第11講對(duì)數(shù)（解析版）

第11講對(duì)數(shù)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解對(duì)數(shù)的概念.2.知道自然對(duì)數(shù)和常用對(duì)數(shù).3.理解對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)運(yùn)算.4.知道對(duì)數(shù)的換底公式，能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為自然對(duì)數(shù)和常用對(duì)數(shù)，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的化簡(jiǎn)、計(jì)算.【基礎(chǔ)知識(shí)】知識(shí)點(diǎn)一對(duì)數(shù)的概念(1)對(duì)數(shù)的概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).(2)常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)通常，我們將以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，并把log10N記為lgN，另外，在科技、經(jīng)濟(jì)以及社會(huì)生活中經(jīng)常使用以無理數(shù)e＝2.71828…為底數(shù)的對(duì)數(shù)，以e為底的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù)，并把logeN記為lnN.知識(shí)點(diǎn)二對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系易得alogaN＝N，logaab＝b.根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，可以得到對(duì)數(shù)與指數(shù)之間的關(guān)系：當(dāng)a>0，且a≠1時(shí)，ax＝N?x＝logaN.知識(shí)點(diǎn)三對(duì)數(shù)的有關(guān)性質(zhì)對(duì)數(shù)的有關(guān)性質(zhì)是解題的重要依據(jù)(1)零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)；(2)1的對(duì)數(shù)為零，即loga1＝0(a>0且a≠1)；(3)底數(shù)的對(duì)數(shù)為1，即logaa＝1(a>0且a≠1).知識(shí)點(diǎn)四對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)熟記對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，切忌記混性質(zhì)如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；拓展：logamMn＝eq\f(n,m)logaM(n∈R，m≠0)知識(shí)點(diǎn)五換底公式經(jīng)常轉(zhuǎn)化為常用對(duì)數(shù)和自然對(duì)數(shù)對(duì)數(shù)換底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).特別地：logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1).【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：對(duì)數(shù)的定義及其應(yīng)用例1．使式子有意義的的取值范圍是（

）A． B． C． D．且【答案】D【解析】【分析】對(duì)數(shù)函數(shù)中，底數(shù)大于0且不等于1，真數(shù)大于0，列出不等式，求出的取值范圍.【詳解】由題意得：，解得：且.故選：D考點(diǎn)二：指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化例2．將下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【解析】【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）利用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化公式直接求解作答.(1)因?yàn)?，所以有?(2)因?yàn)椋杂校?(3)因?yàn)?，所以有?(4)因?yàn)?，所以有?(5)因?yàn)?，所以有?(6)因?yàn)?，所以有?考點(diǎn)三：對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)例3．已知，那么用表示是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則求解即可.【詳解】，故選:.考點(diǎn)四：換底公式的應(yīng)用例4．________．【答案】8【解析】【分析】直接利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及對(duì)數(shù)的換底公式，對(duì)已知式子進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解．【詳解】解：，故答案為：8．考點(diǎn)五：利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)與求值例5．計(jì)算求值(1)；(2)；(3)已知，求的值．【答案】(1)44(2)(3)1【解析】【分析】（1）由指數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算（2）由對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算（3）將指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式后計(jì)算(1)；(2)；(3)，，則，；所以．考點(diǎn)六：兩邊取對(duì)數(shù)思想在解題中的應(yīng)用例6．已知，求證：.【答案】證明見解析.【解析】【分析】令，利用指數(shù)對(duì)數(shù)的互化和換底公式分別表示出，，，進(jìn)而即可得到.【詳解】設(shè)()，則，，，故.【真題演練】1．Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：，其中K為最大確診病例數(shù)．當(dāng)I()=0.95K時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則約為（

）（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．69【答案】C【解析】【分析】將代入函數(shù)結(jié)合求得即可得解.【詳解】，所以，則，所以，，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，考查指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化，考查計(jì)算能力，屬于中等題.2．已知，，，，則下列等式一定成立的是A． B． C． D．【答案】B【解析】【詳解】試題分析：相除得，又，所以.選B.【考點(diǎn)定位】指數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)運(yùn)算.3．根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361，而可觀測(cè)宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080.則下列各數(shù)中與最接近的是（參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.48）A．1033 B．1053C．1073 D．1093【答案】D【解析】【詳解】試題分析：設(shè)，兩邊取對(duì)數(shù)，，所以，即最接近，故選D.【名師點(diǎn)睛】本題考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力，本題以實(shí)際問題的形式給出，但本質(zhì)就是對(duì)數(shù)的運(yùn)算關(guān)系，以及指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算的關(guān)系，難點(diǎn)是令，并想到兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)進(jìn)行求解，對(duì)數(shù)運(yùn)算公式包含，，.4．在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1,2）.已知太陽的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．【答案】A【解析】由題意得到關(guān)于的等式，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則可得亮度的比值.【詳解】?jī)深w星的星等與亮度滿足,令,.故選A.【點(diǎn)睛】本題以天文學(xué)問題為背景,考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)?信息處理能力?閱讀理解能力以及指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算.5．若，則．【答案】【解析】【詳解】∵，∴，∴.考點(diǎn)：對(duì)數(shù)的計(jì)算6．lg0.01＋log216＝_____________.【答案】2【解析】【詳解】lg0.01＋log216＝－2＋4＝2考點(diǎn)：本題考查對(duì)數(shù)的概念、對(duì)數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本運(yùn)算能力.7．已知，，，則______【答案】【解析】【分析】根據(jù)換底公式得到，，，進(jìn)而求出，再用換底公式求出.【詳解】由，，得：，，，，所以故答案為：8．________．【答案】【解析】【分析】利用指數(shù)運(yùn)算及對(duì)數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.【詳解】故答案為：79．若，則_________．【答案】3【解析】【分析】可根據(jù)已知條件，將對(duì)數(shù)化成指數(shù)關(guān)系，然后對(duì)等，找到a、b之間等量關(guān)系，帶入到a、b、c三者關(guān)系中，找到b、c的關(guān)系，即可完成求解.【詳解】因?yàn)?，所以，，此時(shí)，化簡(jiǎn)得，所以，，所以3.故答案為：3.10．求值：______.【答案】7【解析】【分析】利用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，對(duì)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算作答.【詳解】.故答案為：711．某化工集團(tuán)生產(chǎn)的一種化工產(chǎn)品最初的雜質(zhì)含量為64%，先進(jìn)性除雜，每除雜一次雜質(zhì)含量減少，要使雜質(zhì)含量不超過1%，則過濾的次數(shù)至少為___________.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】5【解析】【分析】結(jié)合題意，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)過濾的次數(shù)至少為n次，則，即從而即所以所以過濾的次數(shù)至少為5次.故答案為：5.【過關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由換底公式和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算.【詳解】由換底公式得：，，其中，，故故選：C2．已知，則（

）A．2 B．3 C． D．【答案】D【解析】【分析】指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所?故選：D3．（

）A．3 B．1 C． D．【答案】B【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)直接計(jì)算作答.【詳解】故選：B4．已知，則的值為（

）A．1 B．0 C． D．2【答案】C【解析】【分析】利用指數(shù)與對(duì)數(shù)互化的公式表示出，再利用換底公式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)計(jì)算.【詳解】因?yàn)?，所以，由換底公式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得.故選：C5．農(nóng)業(yè)農(nóng)村部于年月日發(fā)布信息：全國(guó)按照主動(dòng)預(yù)防、內(nèi)外結(jié)合、分類施策、有效處置的總體要求，全面排查蝗災(zāi)隱患．為了做好蝗蟲防控工作，完善應(yīng)急預(yù)案演練，專家假設(shè)蝗蟲的日增長(zhǎng)率為，最初有只，則大約經(jīng)過（

）天能達(dá)到最初的倍．（參考數(shù)據(jù)：，，，．）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】設(shè)經(jīng)過天后蝗蟲數(shù)量達(dá)到原來的倍，列出方程，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意可知，蝗蟲最初有只且日增長(zhǎng)率為，設(shè)經(jīng)過天后蝗蟲數(shù)量達(dá)到原來的倍，則，，，,大約經(jīng)過天能達(dá)到最初的倍．故選：A6．（

）A．5 B．3 C．2 D．0【答案】B【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算公式進(jìn)行計(jì)算.【詳解】.故選：B7．已知，，則（用，表示）等于（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】利用換底公式和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則得到，，進(jìn)而再用換底公式和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則表示出【詳解】，，，則故選：D二、多選題8．以下運(yùn)算錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則來進(jìn)行判斷，根據(jù)可以判斷ABC，通過可以判斷D選項(xiàng)【詳解】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算，從而判斷A，C都錯(cuò)誤，，從而判斷B錯(cuò)誤，，從而判斷D正確.故選：ABC9．（多選）若，，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)和指數(shù)的互化計(jì)算出，然后逐項(xiàng)驗(yàn)證即可.【詳解】∵，，∴，，∴，故A選項(xiàng)正確；，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；，故D選項(xiàng)正確，故選：AD10．(多選)下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化中正確是（

）A．100＝1與lg1＝0 B．＝與log27＝－3C．log39＝2與32＝9 D．log55＝1與51＝5【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)運(yùn)算的法則，相互轉(zhuǎn)化逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】B選項(xiàng)中，＝?log27＝－.故選：ACD三、填空題11．計(jì)算___________【答案】##0.5【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算及指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化計(jì)算作答【詳解】.故答案為：12．=________【答案】【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)換底公式及運(yùn)算法則，指數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.【詳解】故答案為：13．已知，，，則______【答案】【解析】【分析】根據(jù)換底公式得到，，，進(jìn)而求出，再用換底公式求出.【詳解】由，，得：，，，，所以故答案為：四、解答題14．（1）．（2）已知，，計(jì)算的值．【答案】（1）1；（2）.【