2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)古典概型

11121121112112．基本事件

2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：古典概型古典概型解開機(jī)密碼的可能1)(M，(M，，I，1)(I，2)，I，3)，(I，I，(N1)，，(N，3)(N4)，N，共在一次試驗(yàn)中，我們常常要關(guān)心的是所有可能發(fā)生的基本結(jié)果，它們是試驗(yàn)中不能再分的最簡單的隨機(jī)事件，其他事件可以用它們來描繪，這樣的事件稱為____________．．基本事件的特點(diǎn)

種可能，由古典概型公式得所求概率P＝故選(2017·山東)分別標(biāo)有1，2…，的9張卡片中不放回地隨機(jī)抽取，每次抽取，則抽到的2張片上的數(shù)奇性不同的概率()(1)任何兩個基本事件是的任何事件(除不可能事件)都表示

C.D.____________和．．古典概型具有以下兩個特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型：

CCC5解：所求概率為＝＝故選C99(2017·莆質(zhì))擲一枚均勻的硬幣4次正面不連續(xù)出現(xiàn)的概率是()試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有

C.

__________個．(2)每個基本事件出現(xiàn)的可能___________．．古典概型的概率式

＝

4

解：拋擲一枚均勻的硬幣4次基本事件總數(shù)n＝16,正面不連續(xù)出現(xiàn)指：沒有正面，四次反面；對于古典概型算率的公__________

有一個正面，三個反面；有兩個正面，兩個反面三種情況包含的基本事件個數(shù)＝＋＋3＝故概率為自自

，故選B.(2016·四川)23、9任兩個不同的數(shù)．基本事件．(1)斥(2)基本事件．(1)限(2)相等A包含的基本事件的個數(shù)．P(A＝基本事件的總數(shù)全卷Ⅲ)小打開計算機(jī)時，忘記了開機(jī)密碼的前兩位只記得第一是MI中一個字母，第二位是1，3，4的一個數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機(jī)的概率()

值記ab為整數(shù)的概率是_．a(chǎn)解：從2，3，9中任取兩個數(shù)記a，，作為對數(shù)的底數(shù)與真數(shù)，共有A12個同的基本事4件，其中為整數(shù)的只有l(wèi)og，log兩基本事件，21所以其概率P＝＝故填.6(2016·江將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各個面上分別標(biāo)有，2，，，5個的正方體玩)先后拋擲2次現(xiàn)上的點(diǎn)數(shù)之和小于10的率是____________．解將顆質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲2次有36種結(jié)果，其中點(diǎn)數(shù)之和不小于10的有6，

C.

，，(5，(5，5)(4，，共種故所求概5率為－＝.填.66

類一基事與本件間概將一枚均勻硬幣拋擲三次察上一面的正反．(1)試用列舉法寫出該試驗(yàn)所包含基本事件；(2)事件：恰有兩次正面向上”包含幾個基本

(51)，，(5，，，(55)，，(61)，，(6，，，(65)，．“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于8包含以下個本事件：(36)，，(4，，，(55)，，，，(6，(6，5)(6，．“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)相”包含以下個基本事件，，，2)，，，4)，(5，，，6)．“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于10包含以下個本事件：5，，(6，，，．事件；(3)事件：三次都正面向上”包含幾個基本事

類二

列基事求率件．解(1)試驗(yàn)的所有基本事件有)正

某校夏令營有3名同學(xué)A，B，和名女同學(xué)，，Z，其年級情況如下表：反，)(正，反，)正，正)(，反，)，

一年級

二年級

三年級(反，反，正，(反，正，反，(反，正，正)，共種

男同學(xué)

AB等可能結(jié)果．(2)事件包含的基本事件有三個(正正反)，(正，反，正，(反，正，正．(3)事件包含的基本事件只有一個(正，正，正)．【點(diǎn)撥】本事件是試驗(yàn)中不能分解的事件，是“最小”“件單位”．任基本事件都是互斥的，任何復(fù)雜事件都可以分解為基本事件，所有基本事件的全體組成基本事件空間．做拋擲兩顆骰子的試驗(yàn)，用(，y)表結(jié)果，其中表第一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)y表第二顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，寫出：(1)試驗(yàn)的基本事件；(2)事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于”；(3)事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)相等”；(4)事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于”．解：(1)個試驗(yàn)的基本事件為，(1，，，，6)，，(2，，，，6)，，(3，，，，6)，，(4，，，，6)，

女同學(xué)XY現(xiàn)從這名學(xué)中隨機(jī)選出2人加知識競(人被選到的可能性相．用表中字母列舉出所有可能的結(jié)果；設(shè)為件選出的人自同年級且恰有名男同學(xué)和1名同學(xué)”，求事件M發(fā)生的概率．解從名同學(xué)中隨機(jī)選出2人加知識競賽的所有可能結(jié)果為{，}{，C}{，X}{，}{，Z}{，}{，}{B，}{，Z}{，}{，}{，Z}{，}{，}{，Z}共種．選出的2人自不同年級且恰有1名男同學(xué)和名女同學(xué)的所有可能結(jié)果{，}{，}{，X}{，}{，}{C}共6種因此，事件M發(fā)的概率P()＝.5【點(diǎn)撥】關(guān)古典概型的概率問，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)(1)基本事件總數(shù)較少時，用列舉法把所有基本事件一一列出，要做到不重復(fù)、不遺漏，可借“狀圖”列舉注意區(qū)分排列與組合，以及計數(shù)原理的正確使

111128211282211182222282用．111128211282211182222282(2015·北)A，B兩各有位人，他們服用某種藥物后的康復(fù)時單位天記錄如下：A組：1011，12，，1415B組：12，1516，，假設(shè)所有病人的康復(fù)時間相互獨(dú)立，從，B兩組隨機(jī)各選，組出的人記為甲組選出的人記為乙．(1)求甲的康復(fù)時間不少于14天概率；(2)如果＝25求甲的康復(fù)時間比乙的康復(fù)時間長的概率；(3)當(dāng)為值時，兩組病人康復(fù)時間的方差相等？結(jié)論不要求證明解：(1)有種法，康復(fù)時間不少于天有種選法，所以所求概率為如a，從A兩隨機(jī)各選1人共有49種法康時間比乙的康復(fù)時間長的情形列舉如下：(1312)(1412)13)(1512)，(15，，，14)(16，12)(16，(16，，

記B＝{件產(chǎn)品中抽，一件為正品，一件為次品}則＝)＝.2CC所以(B＝＝C10解法一：由于事件B中“1為正品，第2次次”“1次次品，2為正”兩種等可能的情況．CC所以所求事件的概率P＝.C10解法二：記Ω＝{從10件產(chǎn)品中，任取一放入甲袋)，再從剩下件品中任取一(入乙袋中}記＝{第次出的是正品，第次取出的是次品}{袋為正品中次品}cardΩ′)＝A，(C)＝C.102C所以(C＝＝.A4510【點(diǎn)撥請意題3)的兩種解法，一種是將試驗(yàn)(抽取2件看作是組無序的)種將試驗(yàn)看作是排(有)，得注意的是兩種解法的樣本空(16，，有，所以所求概率為

間不同，事件不屬于樣本空間(C

Ω)，因此不(3)把組據(jù)調(diào)整為，12，，，，，或，13，，，16，17，可見當(dāng)＝或＝18時B組據(jù)與A組數(shù)據(jù)方差相等．

能用cardΩ)進(jìn)行計算空的選取會影響到解答的過程，因此解等可能概型時，建議遵循以下步驟：類三

無回樣題

①判斷該問題是等可能概型定樣本空(試驗(yàn)的方法因?yàn)樵囼?yàn)的方法影響樣空)③用計數(shù)原有件品，其中有2件次品，每次抽取件檢驗(yàn)，抽檢后不放回，共抽2次求下列事件的概率：(1)兩次抽取的都是正品；(2)抽到的恰有一件為次品；(3)第抽到正品，第次抽到次品．解：Ω＝{10件品中任抽件}則n(Ω)＝10(1)記A＝{10件品中抽，都是正}則mcardA＝1C所以(A)＝＝.C10

（）理確定(Ω)與card(A)，得到PA＝（）(2015·四)某市A，B兩中學(xué)的生組隊參加辯論賽中推薦了3名男生女生，B中推薦了名生4名生，兩校所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn)．由于集訓(xùn)后隊員水平相當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人女生中隨機(jī)抽取組成代表隊．求中至少有1名生入選代表隊的概率；某場比賽前代表隊的隊員中隨機(jī)抽取

3333313342234313421214333參賽，設(shè)表示參賽的男生人數(shù)，求的布列和數(shù)學(xué)期望．3333313342234313421214333解：(1)題意，參加集訓(xùn)的男、女生各有6名代表隊的學(xué)生全從中抽(等價于A中沒C有學(xué)生入選代表的概率為＝.C66因此，A中至少有名生入選代表隊的概率

7×7×即＝××＝0.147③注＝1010××3＝的別．×9山西四校聯(lián)考)不透明的袋子內(nèi)裝有相同的五個小球別有～個編號有為－

99＝.

放回地隨機(jī)摸取三次，則摸出的三個小球的編號乘積能被10整的概率為)(2)根據(jù)題意，X的能取值為1，2C1PX＝＝＝，C6C3PX＝＝＝，C6C1PX＝＝＝.C6所以的分布列為X13

612C.D.125解：由題意有三種情況：一是5號出兩次，2號或號出一次；二是5號出一次號4號摸出兩次三摸出一次2號或4號出次，號或3號出一次共×2C×2＋C×C33××2＝42故所求概率為＝，故選××5P

35

類五

間計因此，X的學(xué)期望為EX＝1×(X＝＋2×P(X＝2)×P(X＝1＋2×＋×＝2.

同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動的概率為()類四

有回樣

57D.8個球，其中個白球個黑球，某人有放回地進(jìn)行抽球，求下列事件的概率：(1)第抽到白球；(2)第才抽到白球．解：(1)Ω{抽}則＝，＝{抽到白球}，＝3.所以(A)＝＝(2)記Ω＝{續(xù)從個中有放回地3次}則＝10B＝{3次抽到白球}＝×7×3.××3所以(B)＝＝【點(diǎn)撥①第一問中的樣本空間也可以擴(kuò)大(×103中的Ω，此(1)中的有化，但結(jié)果為＝0.3不運(yùn)用獨(dú)立性概念也可以計(的概率，

解：4名學(xué)各自在周六、周日天中任選一天參加公益活動的情況有＝種)，其中僅在周六或周日參加公益活動的情況各有1種所以所求概率為17－＝.選D.【點(diǎn)撥】接計算是計算概率十常用的方式，是“正難則反”略的體現(xiàn)，對于“至多”等詞句的概率問題，一般情況下應(yīng)首先考慮利用這一策略．高考概率大題對間接計算的考查也比較常見，尤其是計算含個別比較復(fù)雜概率的分布列或期望問題．金華模擬)2，4，5，6

2322224422六個數(shù)中任取個數(shù)，則取出的兩個數(shù)不是連續(xù)自然數(shù)的概率是()2322224422

C.

解：取出的兩個數(shù)是連續(xù)自然數(shù)有情況，則取出的兩個數(shù)不是連續(xù)自然數(shù)的概率P＝1－＝C6

(2016·中山二模)子里有3個白球個黑球，個球，某人一次抽取3個，若每個球被抽到的機(jī)會均等，則該人抽到的球顏色互異的概率()－＝.選D.3

C.7

．古典概型是概率論中最簡單而又直觀的模型，在概率論的發(fā)展初期曾是主要研究對象，許多概率的

解：基本事件總數(shù)為C＝種，該人抽到的12球顏色互異的情況有34×560(種)所求概率為＝故選．若有2位師2位生站成一排合影，則每位老師都不站在兩端的概率是()運(yùn)算法則都是在古典概型中得到證明的遂之“古典”)要判斷個試驗(yàn)是否為古典概型只需判斷

C.D.4這個試驗(yàn)是否具古典概型的兩特——限性和等可能性．

AA解：依題意，所求概率為P＝A4

＝故選B.．求古典概型的概(1)對于事件A的率的計算鍵要分清基本事件總數(shù)n與件A包含的基本事件數(shù).因此必須解

．集合A＝{2，3，－4}隨機(jī)選取一個數(shù)記為k，從集合＝{，－，中隨機(jī)選取一個數(shù)記為b線y＝＋不過第二象限的概率()決以下三個方面的問題：第一，本試驗(yàn)是否是等可能

C.

的；第二，本試驗(yàn)的基本事件數(shù)有多少個；第三，事件是么，它包含的基事件總共有多少個．(2)如果基本事件的個數(shù)比較少可用列舉法把古典概型試驗(yàn)所含的基本事件一一列舉出來，然后再求m出事件A的基本事件數(shù)，利用公式(A)＝求事件的率，這是一個形直觀的好方法，但列舉時必須按照某一順序做到不重不漏．如果基本事件個數(shù)比較多，列舉有一定困難時，也可借助列表法、畫樹形圖、兩個計數(shù)原理及排m列組合知識直接計算m再用公式P(A)＝求率．較為簡單的問題可以直接使用古典概型概率公式計算，較為復(fù)雜的概率問題處理方有：①轉(zhuǎn)化為幾個互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式求解；②采用間接法事件A的立事件的率，

解依意k和b的有可能的取法一共有3＝9(種)，當(dāng)直線y＝＋b不過第二象限時，應(yīng)有k，，共有×2＝，以所求概率為.故選C.．(2017·廣海珠區(qū)試)某食品廠了促銷，制作了不同的精美卡片，每袋食品中隨機(jī)裝入一張卡片，集齊種卡片可獲獎，現(xiàn)購買該食品，能獲獎的概率為)8B.C.9解：由題意3種同精美卡隨機(jī)放進(jìn)食品袋中據(jù)步計數(shù)原理可知有＝種不同放法，4袋品袋中3種同的卡片都有的情況共有××A＝種根據(jù)古典概型概率公式得能獲獎4的概率為＝，故選．亳州質(zhì)檢)知集合M＝{12，，4}，再由P()－P(

A

)求事件的概率．

N＝{(，)|aM∈M}，是合N任意一點(diǎn)，O為標(biāo)原點(diǎn)，則直線OA與y＝x＋交點(diǎn)的概率

2222222211111111332321111111322是()2222222211111111332321111111322B.D.解：易知過點(diǎn)(0與＝x＋相的直線＝2x斜率小0的需考)合中有16個素，其中使OA斜不于2的有(12)(1(1，，(2，4)共，故所求的概率為＝.選．(2017·東實(shí)驗(yàn)中學(xué)一診)已知直線l：－2y1－1，直線l：axby＝0，其中，b{122

個等可能性基本事件．記“兩數(shù)中至少有一個奇”事件B，則事件B與“兩數(shù)均為偶”互為對立事件，所以P()3＝－＝，兩數(shù)中至少有一個奇數(shù)的概率為4基本事件總數(shù)為36點(diǎn)(，y)在圓＋＝的內(nèi)部記為事件，滿足條件x＋y的(xy)為，1)，(1，，(1，，(21)，(22)，(2，3)1)(32)則C包事件所()＝＝，，，6}則直線l與l的點(diǎn)位于第一象限的1概率為()

，即點(diǎn)x，y)在圓＋＝內(nèi)的概率為.

C.2

有8名京馬拉松志愿者中愿者，1A，通日語，，通俄CC通曉2131解：l的率小于l斜時，直線l與l的點(diǎn)2位于第一象限，此時共有六種a，b∈{3，4，16}a＝，∈，6}因此概率為＝，故選A.×6．(2017·廣一模在個袋內(nèi)裝有同樣大小、質(zhì)地的五個球，編號分別為、、3、4，若從袋中任意取兩個，則編號的和是奇數(shù)的概率為________(結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示．解從中任意取兩個球有＝種若編5號的和為奇數(shù)則有CC＝6(種以編號的和是奇33數(shù)的概率為＝.故填.5

韓語．從中選出通曉日語、俄語和韓語的志愿者各名，組成一個小組．求被中的概率；1求和C不被選中的概率．11解從中選出通曉日語、俄語和韓語的志愿者各的方法數(shù)是C＝被中的方31數(shù)是＝3用M表事“A被中”則P)＝＝.118“和不全被選中”包括選B不C”111“選不選和C都不”這三個事件，分11別記作事件，，C則，，彼此互斥，且有．顆質(zhì)地均勻的正方體骰子，其六個面上的點(diǎn)數(shù)分別為，23，45，，將這顆骰子連續(xù)拋

P(A＝

CCC＝(B)＝(C＝CC63C33332

＝三次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則三次點(diǎn)數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列的概率是_結(jié)用最簡分?jǐn)?shù)表示)．

，用N表事“和不全被選”，所以有1解：連續(xù)拋擲三次，共有＝種況，記三次點(diǎn)數(shù)分別為ab，則a＋＝b所以ac為數(shù)，則，c的偶性相同，且，許重復(fù)，一旦確也唯一確定a共2×＝種，1所以所求概率為＝.故填.．將一顆骰子先后拋擲2，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，求：(1)兩數(shù)中至少有一個奇數(shù)的概率(2)以第一次向上的點(diǎn)數(shù)為橫坐標(biāo)，第二次向上的點(diǎn)數(shù)為縱坐標(biāo)的(x，y在圓x＋＝內(nèi)的概率.解將顆骰子先后拋擲此題中含有36

P(N)＝P(A＋B＋)＝(A＋P()＋PC)或由其對立事件“B和C全被選”求概率．1111．(2017·惠州三)某大學(xué)志愿者協(xié)會有