2016高考題數(shù)學(xué)文真題匯編含答案

參考答案與解析

專題/集合與常用邏輯用語

1.解析:選B.因?yàn)锳={1,3,5,7},8={x|2WxW5},所以AAB={3,5}.故選B.

2.解析：選D.易知8={x|—3Vx<3},又4={1,2,3},所以AC8={1,2}.

3.解析：選C.由補(bǔ)集的概念，得［八8={0,2,6,10},故選C.

4.解析：選A.由題知AUB={1,3,4,5},所以［i/（AUB）={2,6}.故選A.

5.解析：選C.由推不出由x>|y|能推出x>y,所以“x>y”是“%>川”的

必要而不充分條件.

匕

〃-

一

-一-

6.解析：選A.當(dāng)6<0時(shí)，段）在2，+8上單調(diào)遞增,2上單調(diào)遞減,

°°,_

/〃

方

時(shí)

一

+於

不+\

_即./-2-/—--2

4

8

/,2

故與用有相等的最小值一了；另一方面，取〃『

4'y（x）（X））=o,Xx）=

與式/伏））=/有相等的最小值0,故選A.

專題2函數(shù)

1.解析：選B.法一：（通性通法）因?yàn)?<c<l,所以y=log”在（0,+8）單調(diào)遞減，又

0<b<a,所以log,a<logc%,故選B.

111111

法二：（光速解法）取。=4,b=2,c=y則lo啊=_g>k）g2E，排除A；42=2>22,排

除C；（；）<（；）,排除D；故選B.

2.解析：選D.法一：（通性通法）函數(shù)尸=10怛，的定義域?yàn)椋?,+8）,又當(dāng)x>0時(shí)，y

=10?=x,故函數(shù)的值域?yàn)椋?,+°°）.只有D選項(xiàng)符合.

法二：（光速解法）易知函數(shù)尸10的中x>0,排除選項(xiàng)A、C；又心，必為正值，排除

選項(xiàng)B.故選D.

3.解析：選B.法一：（通性通法）由火x）=/（2-x）知兀<）的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，又函

數(shù)），=上一級(jí)一3|=仆一1）2—4|的圖象也關(guān)于直線1=1對(duì)稱，所以這兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)

也關(guān)于直線X=1對(duì)稱.不妨設(shè)X1〈X2V…〈川"，則力）*"'=1,即Xl+x,"=2,同理有X2+X,"

mm

12,X3IX,"-22,又XmIX,”-1+所以2XjCXIH-Xni)+(X2IX,,rT)

i=l1=1

m

+…+(X,?+X|)—2m,所以Zx,'=M7.

i-l

法二：（光速解法）取特殊函數(shù)/（%）=0（XGR）,它與），=*一級(jí)一3］的圖象有兩個(gè)交

點(diǎn)(一1,0),(3,0),此時(shí)m=2,X)=—1,X2=3,故2打=2=機(jī)，只有B選項(xiàng)符合.

/=1

422J.22

4.解析：選A.因?yàn)椤?23=43>3'=/?,c=25'=5'>4'=a,所以AVQVC,故選A.

5.解析：選D.當(dāng)x>0時(shí)，工+；斗

所以(+￡+￡)=人+白￡),

即-x+i)=1A%)，

所以式6)=/(5)=犬4)=…=犬1)=一八-1)=2.

6.解析:選D.易知逃=2^—是偶函數(shù),設(shè)於尸源一e1*1,貝IJ火2)=2x2?-e?=8—e?,

所以0〈遂2)<1,所以排除A,B；當(dāng)0WxW2時(shí)，丫=2%2—-所以y=4x—e，，又(y)=4

一e',當(dāng)0<x<ln4時(shí)，(/)，>(),當(dāng)In4cx<2時(shí)，。)<0,所以？=4》一^在(0,In4)單調(diào)

遞增，在(In4,2)單調(diào)遞減，所以)，=4x-e，在［0,2］有一1WyW4(ln4—1),所以了=4工一爐

在［0,2］存在零點(diǎn)公所以函數(shù))，=源一^在［0,。單調(diào)遞減，在(￡,2］單調(diào)遞增，排除C,故

選D.

7.解析：選D.由于函數(shù)〉=5吊f是一個(gè)偶函數(shù)，選項(xiàng)A、C的圖象都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

所以不正確；選項(xiàng)B與選項(xiàng)D的圖象都關(guān)于)，軸對(duì)稱，在選項(xiàng)B中，當(dāng)工=琦時(shí)，函數(shù)y=

sin^<1,顯然不正確，當(dāng)工=±'y|時(shí)，y=sinf=l,而當(dāng)故選D.

8.解析：選B.設(shè)經(jīng)過x年后該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元，貝IJ130(1+

2

2町"5la2—Is13030—011

12%/>200,即1即小心今元〉］丁丁育二?'.'二=3.8,所以該公司全年投入的研

發(fā)資金開始超過200萬元的年份是2019年.

9.解析：法一：(通性通法之分離常數(shù)法加X)=吉=一曰一=1+昔Y，二”》？，.?/

11Y

-1^1,0<—j-^1,.,.1+—j-e(l,2］,故當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)人幻=一二取得最大值2.

X1X1X1

法二:(光速解法之反解法)令'=Y言，

二

??xy^—y=xf?.x=y__1

：尤》2,

y—1

2一3'

2=20,解得l〈y<2,故函數(shù)7U)的最大值為2.

y—1廠1

法三：(光速解法之導(dǎo)數(shù)法)???兀0=言，

x—1—x-1

,W)=(A-1)2=(X-D2<0,

...函數(shù)人處在［2,+8)上單調(diào)遞減，故當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)7U)=M■取得最大值2.

答案：2

專題3導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

1.解析：選D.函數(shù)y=ln(x+D在(-1,1)上都是增函數(shù)，函數(shù)y=cosx在(一

1,0)上是增函數(shù)，在(0,1)上是減函數(shù)，而函數(shù)丫=2-*=(；》在(-1,1)上是減函數(shù)，故選

D.

2.解析：當(dāng)x>0時(shí)，一xVO,則火-x)=e*r+x.又兀v)為偶函數(shù)，所以共x)=/(—x)=-

+x,所以當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=eLi+l,則曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,2)處的切線的斜率為/(1)=2,

所以切線方程為y—2=2(x—1),即y=2x

答案：y-2x

3.解析:由題意得/(x)=(2x+3)e*,則得/(0)=3.

答案：3

4.解：(1)f(x)=(A—1)eA+2a(x—1)=(x—1)(ev+2a).

⑴設(shè)a20,則當(dāng)xd(—8,i)時(shí)，,(x)<0；當(dāng)xd(l,+8)時(shí)，/(x)>0,所以,/(x)在(一

8,I)單調(diào)遞減，在(1,+8)單調(diào)遞增.

(ii)設(shè)aVO,由/(x)=0得x=l或x=ln(-2a).

①若〃=一呈則/(x)=(x—De—e),

所以人犬)在(-8,+8)單調(diào)遞增.

②若a>—?jiǎng)tln(一24<1,故當(dāng)xG(—8,皿一2"))U(1,+8)時(shí),/(x)>0；當(dāng)x￡(ln(—

2a),1)時(shí)，/(x)<0,

所以式力在(-8,in(-2a)),(1,+8)單調(diào)遞增,

在(ln(-2a),I)單調(diào)遞減.

③若a<一|,則ln(-2a)>l,故當(dāng)xG(—8,i)u(ln(-2a),+8)時(shí),/。)>0；當(dāng)xG(l,

In(-2助時(shí)，1(x)<0,所以_/(x)在(一8,1),(in(-2a),+8)單調(diào)遞增,在。，In(-2a))單調(diào)

遞減.

(2)⑴設(shè)。>0,則由⑴知，危)在(一8,1)單調(diào)遞減,在(1,+8)單調(diào)遞增.

又11)=-e,五2)=4,取b滿足MO且6<ln今則.")>鄒一2)+如一l)2=a(〃一全)

>0.

所以火x)有兩個(gè)零點(diǎn).

(ii)設(shè)。=0,則夫x)=(x—2)e",所以./(x)只有一個(gè)零點(diǎn).

(iii)設(shè)“<0,若42一5，則由⑴知，於)在(1,+8)單調(diào)遞增，又當(dāng)XW1時(shí)，火x)<0,

故火x)不存在兩個(gè)零點(diǎn)；若“V—泰貝岫⑴知，式x)在(1,In(—2a))單調(diào)遞減，在(In(—2a),

+8)單調(diào)遞增，又當(dāng)xWl時(shí)，犬》)<0,故4X)不存在兩個(gè)零點(diǎn).

綜上，。的取值范圍為(0,+°°).

5.解：(1VU)的定義域?yàn)?0,+8).當(dāng)〃=4時(shí)，

Xx)=(x+l)lnx-4(x-l),/(x)=lnx+1一3,八1)=一2,五1)=0.

曲線y=/(x)在(1,11))處的切線方程為2x+y—2=0.

Q(X--1)

(2)當(dāng)xC(l,+8)時(shí)，?r)>0等價(jià)于Inx-一>0.

a(x-1)?.

設(shè)g(x)=lnx—-工不一，則

12a『+2(1-“)x+1

g(*)—x(x+1)n—x(x+1)2g(D=O.

(1)當(dāng)后2,xG(l,+8)時(shí)，?+2(l-a)x+l-2x+l>0,故g(x)>0,g(x)在(1,

+8)上單調(diào)遞增，因此g(x)>0；

(日)當(dāng)“>2時(shí)，令g<x)=O得

x\—a-1—\j(a-1)2—1，X2—a~1Ca-1)2—1.

由X2>1和X|X2=1得X1<1,故當(dāng)X?(1,X2)時(shí)，g'(X)<0,g(x)在(1,及)上單調(diào)遞減，此

時(shí)g(x)<g(l)=O.

綜上，。的取值范圍是(一8,2].

6.解：(1)由題設(shè)，兀v)的定義域?yàn)?0,+8),令/(幻=0解得》=1.

當(dāng)0<x<l時(shí)，/(x)>0,/)單調(diào)遞增；當(dāng)x>l時(shí)，/(x)<0,/)單調(diào)遞減.

(2)證明：由⑴知於)在犬=1處取得最大值，最大值為11)=0.

所以當(dāng)xW1時(shí)，Inx<x~\.

故當(dāng)x￡(l,+8)時(shí)，InJC<X—1,In1,

Y---1

即IV不?7<工

(3)證明：由題設(shè)c>l,設(shè)g(x)=l+(c-Dx-cS則g<x)=c—1—Fine,令g'(x)=O,

c~1

儂田In年

解得“°=—

當(dāng)xVxo時(shí)，g，(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>xo時(shí)，

g，(x)VO,g(x)單調(diào)遞減.

c-1

由(2)知1(記1<c,故OVxoVL又g(O)=g(l)=O,故當(dāng)OVxVl時(shí),g(x)>0.

所以當(dāng)x￡(0,1)時(shí)，1+匕一1)%>優(yōu)

7.解：(1)由/(x)=lnx—2ax+2a,

可得g(x)=lnx—2or+2〃，x￡(O,+0°).

11~2ax

n則lg，(x)=[-2a=---.

當(dāng)aWO,xG(0,+8)時(shí)，g，(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0,xG(0,時(shí)，g'(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，

xG仕，+8)時(shí)，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減.

所以當(dāng)“WO時(shí)，g(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+8)；

當(dāng)。>0時(shí)，g(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,燈，單調(diào)減區(qū)間為后，+8).

⑵由⑴知，/⑴=0.

①當(dāng)“won寸，/(X)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)xG(0,D時(shí)，/W<0,於)單調(diào)遞減；

當(dāng)XG(1,+8)時(shí)，/(x)>0,貝x)單調(diào)遞增.

所以人尤)在尤=1處取得極小值，不合題意.

②當(dāng)0<a<1時(shí)，^>1,由(1)知/(x)在(0,古)內(nèi)單調(diào)遞增，

可得當(dāng)xG(0,1)時(shí)，/(x)<0,xG(l,勿時(shí)，/(x)>0.

所以1x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，在(1,土)內(nèi)單調(diào)遞增，

所以7(x)在x=l處取得極小值，不合題意.

③當(dāng)時(shí)，/=1,/(X)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1,+8)內(nèi)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x￡(0,+8)時(shí)，/(x)wo,兀o單調(diào)遞減，不合題意.

④當(dāng)時(shí)，當(dāng)xc七，1)時(shí)，/(尤)>。，/)單調(diào)遞增，

當(dāng)x￡(l,+8)時(shí)，/(x)<0,人工)單調(diào)遞減，

所以兀0在1=1處取得極大值，合題意.

綜上可知，實(shí)數(shù)。的取值范圍為

專題4三角函數(shù)與解三角形

1.解析：選D.由余弦定理，得4+〃一2X2反osA=5,整理得3〃一防一3=0,解得6

=3或/?=一；（舍去），故選D.

2.解析：選D.函數(shù)y=2sin0Y）的周期為貧，所以將函數(shù)y=2sin0Y）的圖象向右

平移打單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的解析式為），=2sin[2（1）+*2a3—。故選

D.

3.解析：選A.由題圖易知4=2,因?yàn)橹芷赥滿足￡下（一§,所以7=0，3若=

JT_TTTTTT

2.由時(shí)，y=2可知2乂可+8=]+2也（ZEZ）,所以?=—％+2攵兀（攵WZ）,結(jié)合選項(xiàng)可知函

數(shù)解析式為y=2sin（2x-5）.

（3\211

4.解析：選B?v）=l—2sin2x+6sinx=-2（sinx—引+了，因?yàn)閟inx￡[—L1],

所以當(dāng)Sinx=l時(shí)，段）取得最大值，且於）max=5.

5.解析：選D.法一：（通性通法）由tan<9=—得sin。=—cos俱或sin9

cos6=_3^^,所以cos20=cos20—sin20=^,故選D.

、q_i、士&口、上cos2^—sin2^1—tan2^^（3）4

法二：（光速解法）cos2'=20+i20=i+tan2，=j1丫=亍

1+H

6.解析：選D.設(shè)BC邊上的高為AD,則8c=3A￡>,DC=2AD,所以AC=，Z5r

=小4。由正弦定理，知第=懸，即蟹=熬，解得小人=需，故選D-

2

7.解析:選C.由余弦定理得。2=從+?-2bccosA=2接一2從cosA,所以2爐（1—sinA）

jr

=2fe2（l—cosA）,所以sinA=cosA,BPtanA=l,又OvAv丁,所以<=不

8.解析：選A.函數(shù)產(chǎn)sinx的圖象向左平行移動(dòng)就單位長(zhǎng)度可得到尸sinQ+|）的圖

象.

9.解析：法一：（通性通法）因?yàn)閟in（。+：）='|，所以cos^-^=sin^+（6—=

sin（0+*|,因?yàn)?為第四象限角，所以甘+2EV6V2E,k《Z,所以一*2EV。一上

2E-?kRZ,

法二：（光速解法）因?yàn)椤Ｊ堑谒南笙藿牵?/p>

且sin（e+g=|,所以嗚為第一象限角,

4

匹-

,45

4

答案-

-3

312

10.解析：由條件可得sinA=W，sin。=可，從而有sin3=sin［兀一（A+C）］=sin（A+O

?，…63,十分一^丁山ah,dsinB21

=smAcosC+cosAsin。=行?由正弦定理總工=而9可知

套案.—

u"13

11.解析：因?yàn)閥=sinx—小cosx=2sin（x一鼻），所以函數(shù)y=sinx—geosx的圖象可由

函數(shù)y=2sinx的圖象至少向右平移,個(gè)單位長(zhǎng)度得到.

答案：f

12.解析：2cos2x+sin2x=cos2x+sin2x+1

=#sin（2x+；）+l,故4=也，b=l.

答案:61

13.角翠：(1)因?yàn)榇蝬)=2sincuxcosa)x+cos2cox

=sin2Gx+cos2cox

=V^sin(2s+：),

所以於)的最小正周期T=磊子.

依題意,-=7r,

co

解得(0=1.

(2)由(1)知J(x)=y［2sin(2x+^).

函數(shù)y=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為［2攵兀甘，2E+，］(MZ).

JTTTTT

由2E—2〈2x+4W2E+](Z：eZ),

,37rJr

得(攵￡Z).

oo

所以40的單調(diào)遞增區(qū)間為[也一手，E+&eGZ).

14.解：(1)在ZkABC中，由總=備，可得asinB=AinA,

又由asin28=小加inA,得2asinBcos8=小加inA=y/3asinB,

所以cosB=乎，得B=*

2O

(2)由cosA=1,可得sinA=邛^,則

■JT

sinC=sin[兀~(A+B)]=sin(A+8)=sin(A+5)

V3.4,1.24+1

=TysmA+^cosA=".

4

15.解：⑴因?yàn)閏os8=5，0<B<7t,

所以sin1—COS2B=^J1—=|.

由正弦定理知幼Ar=工AR，

rCKI…ACsinC6-2r-

所以A"§出8二萬一=5隹

5

(2)在△ABC中，A+8+C=m所以A=7C—(8+0,

于是cosA=-cos(B+Q=—cos(B+：)

=-cosBcos]+sinBsiny,

43

又cosB--A

55，

正

4^3也

故

ASI十

cos-一5X22

5X10

因?yàn)?<A<7t,所以sinA=yj1—cos2A-

因此,cos(A一壽=cosAcos^+sinAsin*

V2A/3,7^2176一水

=-10X2+10X2=20-

專題5平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

1.解析：選C.易知z=3-2i,所以z=3+2i.

2.解析：選口z.畝4—=3布i多4罟3等故選D-

l+2i(l+2i)(2+i)5i

3.解析：選A/

2-i(2—i)(2+i)=5=L

4.解析：選B.易知z=l+i,所以z=l-i.故選B.

威?BC2X22X2h

5.解析:選A.由題意得cosNA8C=—.v.=，所以NABC=30°，

\BA\\BC\1X12

故選A.

6.解析：選B.法一：（通性通法）如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則4（0,坐），B（-1,0）,

C（1,0）,E（0,0）,D（-1,孝），由5k=2赤，得F七，一乎），則后=《，一平），BC=（1?

0),所以

O

法二：（光速解法）第.病=（屐）+方流）?病=（短+泣）?反'=g矗.BC+^AC.病=一

131

4+8=-8-

2

7.解析：因?yàn)椤?(元,x+1),b=(l,2),aJ_"所以x+2(x+l)=0,解得％=一?

答案：一：2

8.解析：由題意得，一2根-12=0,所以機(jī)=-6.

答案：一6

八zi.7j4.r-，一心?/八a，b2V§A/3

9.解析：〃力=2^/3,..cos(。，b)~]^ii^i~2x2=2J

又〈。，b)￡[0,7r],

<a,b)=?.

o

答案需

2

10.解析：因?yàn)?=畝=1—i,所以Z的實(shí)部是1.

答案：1

11.解析：由a2=1,回=1,網(wǎng)=2可得兩向量的夾角為60。，建立平面直角坐標(biāo)系，

可設(shè)a=(l,0),6=(1,/),e—(cos0,sin0),則|a-e|+|"e|=|cos0|+|cos。+小sin0|W|cos

4+lcos6?|+V3|sin6|=#|sin6)|+2|cos4W幣,所以|a-e|+|"e|的最大值為市.

答案：由

專題6數(shù)列

1.解：(1)由已知，?歷+岳=",b\—\,岳=/，得ai=2.

所以數(shù)列｛的｝是首項(xiàng)為2,公差為3的等差數(shù)列，

通項(xiàng)公式為a?=3n—\.

(2)由⑴和a也+[+m1=也，得兒+產(chǎn)件，因此數(shù)列｛仇｝是首項(xiàng)為1,公比為g的等比數(shù)

列.記｛兒｝的前〃項(xiàng)和為S”，則s產(chǎn)

2.解：(1)設(shè)數(shù)列｛〃〃｝的公差為d,由題意有2m+5d=4,

m+5d=3.

2

解得〃i=l,d=不

所以｛知｝的通項(xiàng)公式為小=卷匕.

,,,2〃+3

(2)由(1)知，瓦=[—^一].

當(dāng)”=1,2,3時(shí)，1W—^<2,仇=1；

當(dāng)”=4,5時(shí)，2<二^—V3,與=2；

..2〃+3

當(dāng)〃=6,7,8時(shí)，3W—<4,d=3；

2〃+3

當(dāng)〃=9,10時(shí)，4<^—<5,bn=4.

所以數(shù)列｛d｝的前10項(xiàng)和為1X3+2X2+3X3+4X2=24.

3.解：(1)由題意可得。2=3，a3s.

⑵由屆一(2?！?1—\)an—2%+1=0得

2斯+1(如+1)=a,t(an+1).

因?yàn)椋āǎ母黜?xiàng)都為正數(shù)，所以誓=*

故｛3｝是首項(xiàng)為1,公比為￡的等比數(shù)列，因此a“=￡~r.

4.解：(1)等比數(shù)列｛兒｝的公比“=￡=3=3,

所以也=￡=1,仇=慶河=27.

設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為

因?yàn)椤╙4=d=27,

所以l+13d=27,即d=2.

所以〃”=2〃-1(〃=1,2,3,…).

⑵由⑴知,斯=2〃-1,力〃=3”r.

n]

因此cn=an+bn=2n—l+3'~.

從而數(shù)列｛c〃｝的前〃項(xiàng)和

Z,-1

5W=1+3+-+(2H-1)+1+3+-+3

〃(1+2〃一1)1—3〃

=2+1-3

.3"-1

=n2+-5—?

112

5.解：⑴設(shè)數(shù)列｛斯｝的公比為“由己知，有言一肅=怠，解得4=2,或4=一1.又由

]--，61—2，

S()=ci\?=63,知qW—1,所以1=63,得〃]=1.所以a〃=2"L

1—qY1—2

(2)由題意,得為=g(log2a〃+log2%+i)=T(log22〃1+log22〃)=〃一提即｛瓦｝是首項(xiàng)為1公

差為1的等差數(shù)列.

設(shè)數(shù)列｛（一D"硝的前幾項(xiàng)和為A，則

"〃=（—b彳+儀）+（一員+扇）H---卜（-1〃-1+慶力

=6+62+63+64H---Hfei-i+fei

2n（bi+岳”）

一2

田+。2=4,0=1,

6.解：（1）由題意得，則

。2=2“|+I,02=3.

又當(dāng)”22時(shí),由

a?+1—a?=(2Sn+1)—(2S?-1+1)=2a?,

得出+1=3a”.

所以，數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式為%=3"「，“GN".

(2)設(shè)/=|3"7—〃一2],“CN’,"=2,岳=1.

當(dāng)"23時(shí)，由于3"-1>〃+2,故與=3"-1一“一2,〃》3.

設(shè)數(shù)列｛兒｝的前“項(xiàng)和為Z”則71=2,72=3.

當(dāng)”23時(shí)，

,9(1一3"-2)(n+7)(n-2)3n-?2-5n+ll

T.=3+----1--z~--3------------25--------=------Z5------

2,n=1,

所以3"一〃2—5”+11*

------2------,n>2,“GN*.

專題7不等式、推理與證明

x+y—320

1.解析：選B.不等式組<2x—y—3W0表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，其中A（l,

上一2》+3》0

2）、8（2,1）,當(dāng)兩條平行直線間的距離最小時(shí)，兩平行直線分別過點(diǎn)A與8,又兩平行直線

的斜率為1,直線AB的斜率為一1,所以線段48的長(zhǎng)度就是過4、8兩點(diǎn)的平行直線間的距

離,易得|4B|=啦，即兩條平行直線間的距離的最小值是啦，故選B.

2.解析：選C.不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，其中A(0,-3),8(3,

一1),C(0,2),顯然在點(diǎn)B處f+V取得最大值10

3.解析：設(shè)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B分別為x件，y件，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B

的利潤之和為z元，依題意得

〃1.5x+0.5yW150,

x+0.3yW90,

〈5x+3yW600,

xGN,

〃3x+yW300,

10x+3yW900,

即《5x+3)W600,

xWN,

目標(biāo)函數(shù)為z=2100A-+9003?.

其可行域?yàn)樗倪呅蜲MNC及其內(nèi)部區(qū)域中的整點(diǎn)，其中點(diǎn)0(0,0),M(0,200),N(60,

100),C(90,0),當(dāng)直線z=2100x+900y經(jīng)過點(diǎn)M60,100)時(shí)，z取得最大值,zmax=2100X60

+900X100=216000,即生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為216000元.

答案：216000

4.解析：法一：(通性通法)作出可行域，如圖中陰影部分所示，由z=x—2y得了=%—

1z,作直線y=%并平移，觀察可知，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)43,4)時(shí)，Zmin=3—2X4=-5.

法二：(光速解法)因?yàn)榭尚杏驗(yàn)榉忾]區(qū)域，所以線性目標(biāo)函數(shù)的最值只可能在邊界點(diǎn)處

取得，易求得邊界點(diǎn)分別為(3,4),(1,2),(3,0),依次代入目標(biāo)函數(shù)可求得=—5.

答柒：—5

5.解析：由丙所言可能有兩種情況.一種是丙持有“1和2”，結(jié)合乙所言可知乙持有

“2和3”，從而甲持有“1和3”，符合甲所言情況；另一種是丙持有“1和3”,結(jié)合乙所

言可知乙持有“2和3”，從而甲持有“1和2”，不符合甲所言情況.故甲持有“1和3”.

答案：1和3

6.解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，由圖知當(dāng)z=2r+3y—5

經(jīng)過點(diǎn)A（—1,一1）時(shí),z取得最小值,Zmin=2X（-l）+3X（-l）-5=-10.

答案：一10

專題8立體幾何

1.解析：選A.由正方體的體積為8可知，正方體的棱長(zhǎng)。=2.又正方體的體對(duì)角線是其

外接球的一條直徑，即2R=，§a（R為正方體外接球的半徑），所以R=小，故所求球的表面

積S=4JTR2=12兀.

2.解析：選A.由三視圖可知該幾何體是半徑為R的球截去!所得，其

O

圖象如圖所示，所以5乂,兀7?3=等，解得R=2,所以該幾何體的表面積S

OJJ

71

=dX4兀/?2+3義彳兀A2=]7兀.故選A.

o4

3.解析：選C.該幾何體的表面積由圓錐的側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積和圓柱的一個(gè)底面圓

的面積組成.其中，圓錐的底面半徑為2,母線長(zhǎng)為抽（2事）2+22=4,圓柱的底面半徑為

2,高為4,故所求表面積S=jtX2X4+2兀義2*4+兀乂22=28兀

4.解析:選B.由三視圖，知該幾何體是一個(gè)斜四棱柱，所以該幾何體的表面積S=2X3X6

+2X3X3+2X3X3^5=54+18^5,故選B.

5.解析：選B.由正視圖、俯視圖得原幾何體的形狀如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為

B.

6.解析：選C.選項(xiàng)A,只有當(dāng)機(jī)〃"或時(shí)，m///；選項(xiàng)B,只有當(dāng),*JL￡時(shí)，m

//n；選項(xiàng)C,由于/up,選項(xiàng)D,只有當(dāng)機(jī)〃￡或機(jī)時(shí);加_1_〃.故選C.

7.解析：選A.如圖，過點(diǎn)A補(bǔ)作一個(gè)與正方體ABCD-A出Ci。相同棱長(zhǎng)的正方體，易

知平面a為平面AQE,則根,〃所成角為/E4Q,因?yàn)椤鳌辍?1八為正三角形，所以sin/EAFi

=sin60°=坐，故選A.

8.解析：選B.要使球的體積V最大，必須球的半徑R最大.由題意，知當(dāng)球與直三棱

柱的上、下底面都相切時(shí)，球的半徑取得最大值，為自此時(shí)球的體積為飆3=*乂(1)=當(dāng)，

故選B.

9.解：(1)證明：因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為。，所以

因?yàn)?。在平面?內(nèi)的正投影為E,所以A8LOE.

所以AB_L平面PE￡>,故4B_LPG.

又由已知，可得加=P8,所以G是AB的中點(diǎn).

(2)在平面以B內(nèi)，過點(diǎn)E作PB的平行線交力于點(diǎn)尸，尸即為E在平面以C內(nèi)的正投

影.

理由如下：由已知可得P8_LR1,PB±PC,又EF//PB,所以EF_LB4,EFLPC,因此

平面41C,即點(diǎn)尸為E在平面B4C內(nèi)的正投影.

連接CG,因?yàn)槭谄矫鍭8C內(nèi)的正投影為D,所以。是正三角形A8C的中心.

2

由(1)知，G是AB的中點(diǎn)，所以。在CG上，故CQ=]CG.由題設(shè)可得PC,平面辦B,

21

￡>E_L平面物B,所以。E〃尸C,因止匕PE=]PG,DE=^PC.

由已知，正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且加=6,可得。E=2,PE=2也

在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2.

114

所以四面體PDEF的體積V/X/X2X2X2,.

10.解：(1)證明：由已知得4C_L8。，AD^CD.

又由AE=CF得器=若，故AC〃EF.

由此得EF1HD',所以AC_L〃D'.

(2)由EF〃AC得器=器=/

由A8=5,AC=6得DO=BO=NAB2—AO2=4.

所以。"=1,D'H=DH=3.

于是0Zy2+042=(2^)2+]2=9=o，H2,

故OD'±OH.

由(1)知，AC±HD',又AC_LB。，BDCHD，=H,

所以AC_L平面BHD，，于是AC_LO。。

又由ACCOH=O,

所以平面ABC.

又由差=器得EF=±

11969

五邊形ABCFE的面積S=2X6X8—2X2X3：=T,

所以五棱錐O'-ABCFE的體積竽X2吸=警.

2

11.解：(1)證明：由已知得AM=1A￡>=2.

取8P的中點(diǎn)T,連接AT,TN,由N為PC的中點(diǎn)知川〃8C,

TN=^BC=2.

又AZ)〃BC,故77V觸AM,四邊形AMNT為平行四邊形，于是MN〃A7.

因?yàn)锳TU平面PAB,MNQ平面PAB,所以〃平面PAB.

⑵因?yàn)閒i4_L平面A8CD,N為尸C的中點(diǎn)，所以N到平面A8CD的距離為夕%.

取8c的中點(diǎn)E,連接4E,由A8=AC=3得AEJ_BC,AE=yjAB2~BEr=y15.

由AM〃BC得M到BC的距離為小，故SABCM=3義4義木=2小.

1PA4擊

所以四面體N-8CM的體積.

12.解：⑴證明：因?yàn)镻CJ_平面ABC。，

所以PCLDC.

又因?yàn)镈C-LAC,所以。CJ_平面以C.

(2)證明：因?yàn)锳8〃OC,DC±AC,

所以AB_LAC.

因?yàn)镻C_L平面4BCD,

所以PCLAB.

所以A8J_平面以C.

所以平面布8_L平面PAC.

(3)棱PB上存在點(diǎn)F,使得以〃平面CEE

證明如下：

如圖，取PB中點(diǎn)尸，連接E凡CE,CF.

又因?yàn)镋為A8的中點(diǎn)，所以E尸〃外.

又因?yàn)椴糃平面CEF,

所以以〃平面CEF.

13.解：(1)證明：取BO的中點(diǎn)0,連接0E,0G.在△BC。中，因?yàn)镚是BC的中點(diǎn),

所以O(shè)G〃OC且0G=))C=l,又因?yàn)镋F〃AB,AB//DC,所以E尸〃0G且EF=0G,即

四邊形0GFE是平行四邊形，所以FG//OE.

又FGQ平面BED,0EU平面BE。，所以FG〃平面BED

(2)證明：在△AB。中，AD=1,AB=2,ZBAD=6Q°,由余弦定理可得小，進(jìn)

而/AOB=90°,即BD_LAD又因?yàn)槠矫?EO_L平面A8CO,BDU平面4BC￡>,平面AMD

ABCD=AD,所以8。_L平面AED又因?yàn)锽OU平面BE。，所以平面BE￡)J_平面AED

(3)因?yàn)镋F//AB,所以直線EF與平面BED所成的角即為直線AB與平面BED所成的

角.過點(diǎn)A作于點(diǎn)H,連接BH.又平面BEDD平面AED=E。，由(2)知，4H_L平面

BED,所以直線A3與平面BED所成的角即為/ABH.

在△4￡)￡：中，AO=1,DE=3,AE=*,由余弦定理得cos/A￡>E=],所以sin/AQE

-31

因止匕，4H=AZ>sin/AOE=坐.

在中，sin/AB”=^=W.

AD0

所以，直線EF與平面BE。所成角的正弦值為乎.

14.證明：（1）在直三棱柱48c481cl中，A\C\//AC.

在△ABC中，因?yàn)?。，E分別為AB,8c的中點(diǎn)，

所以。E〃AC,于是OE〃4G.

又DEC平面4CF,4GU平面AICR

所以直線。E〃平面ACE

（2）在直三棱柱ABC481cl中，A/，平面Ai8G.

因?yàn)?GU平面ABC”所以4AJ_AIG.

又4G_LAiB|,ApAU平面ABBiAi，平面ABBA，A\AryA\B}=A\,

所以4G，平面ABBiA.

因?yàn)锽QU平面A8B1A1，所以4G_LB|D

又BiQ_L4F,4C1U平面ACIF,AFU平面AiGF,尸=4,

所以平面AiGF.

因?yàn)橹本€SQU平面BQE,

所以平面SDE，平面AICIF.

15.證明：（1）因?yàn)镋/〃08,

所以Ef■與。3確定平面8DEE連接DE.

因?yàn)锳E=EC,。為AC的中點(diǎn)，

所以DELAC.

同理可得80_LAC.

又BDCDE=D,

所以AC_L平面BDEF,

因?yàn)閒BU平面BDEF,

所以AC_LFA

（2）設(shè)FC的中點(diǎn)為/,連接G/,HI.

在aCE尸中，因?yàn)镚是CE的中點(diǎn)，

所以GI//EF.

又EF〃DB,所以G/〃DB.

在△CFB中，因?yàn)镠是FB的中點(diǎn)，

所以H11IBC,

又HICGI=I,

所以平面GH/〃平面ABC.

因?yàn)镚”u平面GH1,

所以G4〃平面ABC.

16.解：（1）取棱AD的中點(diǎn)平面以。），點(diǎn)M即為所求的一個(gè)點(diǎn).理由如下:

因?yàn)锳Q〃BC,BC=^AD,所以8C〃AM,且8C=AM,

所以四邊形AMCB是平行四邊形，

從而CM//AB.

又A3U平面物8,CMC平面網(wǎng)8,

所以CM〃平面PAB.

（說明：取棱尸。的中點(diǎn)M則所找的點(diǎn)可以是直線上任意一點(diǎn)）

（2）證明：由己知，PALAB,PAA.CD,

因?yàn)锳￡)〃BC,8c=刃。，所以直線AB與C￡>相交.

所以a_L平面ABCD.

從而PALBD.

連接BM,

因?yàn)锳O〃BC,BC=^AD,

所以BC〃MQ,且BC=MD

所以四邊形8CDM是平行四邊形.

所以BM=C￡>=gA￡>,所以BOL4A

又ABCAP=4,所以8。_L平面以8.

又BOU平面PBQ,

所以平面B43_L平面PBD.

專題9平面解析幾何

|。+4—11

1.解析：選A.由題可知，圓心為(1,4),結(jié)合題意得解得

W+i

2.解析：選D.由題意得2P=4,p=2,拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0).

3.解析：選B.由題知圓M：f+(y—a)2=/,圓心(0,a)到直線x+y=0的距離Y,

所以2一3=2吸，解得〃=2.圓M,圓N的圓心距|M/V|=也，兩圓半徑之差為1,故

兩圓相交.

4.解析：選