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關(guān)于隱函數(shù)及參數(shù)方程求導(dǎo)第1頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月2定義1.隱函數(shù)的定義所確定的函數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為隱函數(shù)(implicitfunction).的形式稱為顯函數(shù).隱函數(shù)的可顯化為函數(shù)例開普勒方程開普勒(J.Kepler)1571-1630德國數(shù)學(xué)家,天文學(xué)家.的隱函數(shù)客觀存在,但無法將表達成的顯式表達式.顯化.第2頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月32.隱函數(shù)求導(dǎo)法隱函數(shù)求導(dǎo)法則
用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,并注意到其中將方程兩邊對x求導(dǎo).變量y是x的函數(shù).隱函數(shù)不易顯化或不能顯化?如何求導(dǎo)第3頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月4隱函數(shù)求導(dǎo)方法:
兩邊對
x
求導(dǎo)(含導(dǎo)數(shù)的方程)解第4頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月5
雖然隱函數(shù)沒解出來,但它的導(dǎo)數(shù)求出來了,當(dāng)然結(jié)果中仍含有變量y.允許在的表達式中含有變量y.一般來說,隱函數(shù)求導(dǎo),
求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時,只要記住x是自變量,將方程兩邊同時對x求導(dǎo),就得到一個含有導(dǎo)數(shù)從中解出即可.于是y的函數(shù)便是x的復(fù)合函數(shù),的方程.y是x的函數(shù),第5頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月6解解得23)4(xy-)112(2-¢×yy第6頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月7例2.解第7頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月8例3.求橢圓在點處的切線方程.解:
橢圓方程兩邊對
x
求導(dǎo)故切線方程為即第8頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)解在題設(shè)方程兩邊同時對自變量求導(dǎo),得解得求由方程所確定的函數(shù)在點處的切線方程.在點處于是,在點處的切線方程為即第9頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月10對數(shù)求導(dǎo)法1.方法:2.適用范圍:先在兩邊取對數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出y的導(dǎo)數(shù).適用于冪指函數(shù)及某些用連乘,連除表示的函數(shù).例如冪指函數(shù):兩端對x求導(dǎo):第10頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月11例.解等式兩邊取對數(shù)得也可這樣求:第11頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月12例.解等式兩邊取對數(shù)得第12頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月13另例兩邊取對數(shù)兩邊對
x求導(dǎo)第13頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例如消去參數(shù)問題:消參困難或無法消參如何求導(dǎo)?第14頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得第15頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月?由于思考與討論:則第16頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月17若上述參數(shù)方程中二階可導(dǎo),且則由它確定的函數(shù)可求二階導(dǎo)數(shù).利用新的參數(shù)方程,可得第17頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月例.解
所求切線方程為第18頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月例求由擺線的參數(shù)方程所表示的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).t一個圓沿一直線緩慢地滾動,則圓上一固定點所經(jīng)過的軌跡稱為擺線.第19頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月解第20頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月練習(xí):解第21頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月22例.拋射體運動軌跡的參數(shù)方程為求拋射體在時刻t的運動速度的大小和方向.解:
先求速度大小:速度的水平分量為垂直分量為故拋射體速度大小再求速度方向(即軌跡的切線方向):設(shè)
為切線傾角,則第22頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月23拋射體軌跡的參數(shù)方程速度的水平分量垂直分量達到最高點的時刻高度落地時刻拋射最遠距離速度的方向第23頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月三、相關(guān)變化率相關(guān)變化率問題:已知其中一個變化率時如何求出另一個變化率?第24頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月25為兩可導(dǎo)函數(shù)之間有聯(lián)系之間也有聯(lián)系稱為相關(guān)變化率相關(guān)變化率問題解法:找出相關(guān)變量的關(guān)系式對
t求導(dǎo)得相關(guān)變化率之間的關(guān)系式求出未知的相關(guān)變化率第25頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月26例.一氣球從離開觀察員500m處離地面鉛直上升,其速率為當(dāng)氣球高度為500m時,觀察員視線的仰角增加率是多少?解:設(shè)氣球上升
t
分后其高度為h
,仰角為
,則兩邊對
t求導(dǎo)已知
h=500m時,第26頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月27思考題:當(dāng)氣球升至500m
時停住,有一觀測者以100m/min的速率向氣球出發(fā)點走來,當(dāng)距離為500m時,仰角的增加率是多少?提示:
對
t求導(dǎo)已知求第27頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月28試求當(dāng)容器內(nèi)水例.有一底半徑為Rcm,高為hcm的圓錐容器,今以自頂部向容器內(nèi)注水,位等于錐高的一半時
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