三角形內(nèi)角和的證明

我的課堂2021/5/91八年級(jí)數(shù)學(xué)（上冊(cè)）

第五章幾何證明初步5.三角形內(nèi)角和定理（1）授課人：張華之2021/5/92一、復(fù)習(xí)“三角形內(nèi)角和定理”

我們已經(jīng)知道：三角形的三個(gè)內(nèi)角之和等于180゜。即：在△ABC中，有∠A+∠B+∠C=180゜ABC2021/5/93二.論證“三角形內(nèi)角和定理”

怎樣驗(yàn)證三角形的三個(gè)角的和等于180°呢？2021/5/94②剪拼①度量③折疊AABBCAABBCAABCABC2021/5/95

即把∠A撕下來(lái)放在∠1的位置上，把∠B撕下來(lái)放在∠2的位置上。這時(shí)就可得∠ACB和∠1和∠2組成了一條直線，得到∠ACB+∠1+∠2=180゜，就可說(shuō)明∠A+∠B+∠C=180゜了。

你試過(guò)了嗎？.

在前面我們是采用拼接的方法來(lái)說(shuō)明的。2021/5/96組成的BC和CD真的就是一條直線嗎？很明顯，這是無(wú)法確定的2021/5/97

如果△ABC是畫(huà)在一塊不能分割的平面上，如在黑板上，這時(shí)就不可能做到把∠A、∠B撕下來(lái)再分別放在∠1、∠2的位置上，那么又如何論證∠A+∠B+∠C=180゜呢？2021/5/98

三角形內(nèi)角和定理的證明

2021/5/99言必有“據(jù)”

回顧與思考?我們知道三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°.你還記得這個(gè)結(jié)論的探索過(guò)程嗎?1ABD2C(1)如圖,當(dāng)時(shí)我們是把∠A移到了∠1的位置,∠B移到了∠2的位置.如果不實(shí)際移動(dòng)∠A和∠B,那么你還有其它方法可以達(dá)到同樣的效果?(2)根據(jù)前面的公理和定理,你能用自己的語(yǔ)言說(shuō)說(shuō)這一結(jié)論的證明思路嗎?你能用比較簡(jiǎn)捷的語(yǔ)言寫(xiě)出這一證明過(guò)程嗎?與同伴交流.三角形內(nèi)角和定理三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于1800.2021/5/910“行家”

看“門道”已知:如圖,∠A、∠B、∠C

是△ABC的三內(nèi)角.求證:∠A+∠B+∠C=1800.證明:作BC的延長(zhǎng)線CD,過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB,則

你還有其它方法來(lái)證明三角形內(nèi)角和定理嗎?.

∠1=∠A(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等),

∠2=∠B(兩直線平行,同位角相等).

又∵∠1+∠2+∠3=1800(平角的定義),∴∠A+∠B+∠ACB=1800(等量代換).分析:延長(zhǎng)BC到D,過(guò)點(diǎn)C作射線CE∥AB,這樣,就相當(dāng)于把∠A移到了∠1的位置,把∠B移到了∠2的位置.這里的CD,CE稱為輔助線,輔助線通常畫(huà)成虛線.ABCE213D例題欣賞：2021/5/911剪拼AABBCAABBCAABC2021/5/912一題

多解在證明三角形內(nèi)角和定理時(shí),小明的想法是把三個(gè)角“湊”到A處,他過(guò)點(diǎn)A作直線PQ∥BC(如圖),他的想法可以嗎?議一議請(qǐng)你幫小明把想法化為實(shí)際行動(dòng).證明:過(guò)點(diǎn)A作PQ∥BC,則ABC

∠1=∠B(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等),

∠2=∠C(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等),

又∵∠1+∠2+∠3=1800(平角的定義),∴∠BAC+∠B+∠C=1800(等量代換).所作的輔助線是證明的一個(gè)重要組成部分,要在證明時(shí)首先敘述出來(lái).PQ2312021/5/913ABC已知：如圖，△ABC.求證：∠A+∠B+∠C=180°開(kāi)啟智慧還有其他證明方法嗎？2021/5/914ABC證明：過(guò)A作AE∥BC，E∴∠B=∠BAE(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)∠EAB+∠BAC+∠C=180°(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ))∴∠B+∠C+∠BAC=180°(等量代換)開(kāi)啟智慧2021/5/915）A證明：E作BC的延長(zhǎng)線CD，在△ABC的外部，以CA為一邊，CE為另一邊作∠1=∠A，則CE∥BA(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行).∴∠B=∠2(兩直線平行，同位角相等).）12又∵∠1+∠2+∠ACB=180°(平角的定義)∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代換)BCD2021/5/916ABCPQR證明：過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AC交AB于Q點(diǎn)，作PR∥AB交AC于R點(diǎn)2021/5/917

即時(shí)練習(xí)?

1.在△ABC中，∠A=80°，∠B=60°則∠C=

2.在△ABC中，∠A=40°，∠B=∠C，則∠B=

3.在△ABC中，∠A=∠B=∠C，則∠B=

4.已知：如圖，則∠A等于（）

A.60°B.70°C.50°D.80°

2021/5/918

即時(shí)練習(xí)?⑸如圖所示,∠B=∠D,則∠AED與∠ACB的

關(guān)系是()

A.∠AED>∠ACBB.∠AED<∠ACB；

C.∠AED=∠ACBD.無(wú)法確定

⑹.下列敘述正確的是()

A.鈍角三角形的內(nèi)角和大于銳角三角形的內(nèi)角和；

B.三角形兩個(gè)內(nèi)角的和一定大于第三個(gè)內(nèi)角；

C.三角形中至少有兩個(gè)銳角；

D.三角形中至少有一個(gè)銳角.2021/5/919

7.已知：如圖，四邊形ABCD.

求證：∠A+∠B+∠C+∠D=360°.D

即時(shí)練習(xí)?ABC2021/5/920

我們證明了三角形內(nèi)角和定理。證明的基本思想是：運(yùn)用輔助線將原三角形中處于不同位置的三個(gè)內(nèi)角集中在一起，拼成一