基本關聯(lián)矩陣及其性質(zhì)

3.2基本關聯(lián)矩陣及其性質(zhì)一、樹：連通、無回路、每邊是割邊、n-1條邊二、至少有兩個度數(shù)為1的結點(葉子)三、矩陣線性無關最大行數(shù)=矩陣線性無關最大列數(shù)=矩陣中非零的方陣的最大階數(shù)=列對應圖中邊，最大線性無關的邊數(shù)四、回路中的邊線性k相關，對應的列線性相關，這些列中任意K階子式為0本節(jié)討論對象為有向連通圖G定義3.2.1基本關聯(lián)矩陣:在有向連通圖G的關聯(lián)矩陣B中劃去任意結點Vk所對應的行,得到一個(n-1)×m的矩陣Bk,稱為G的一個基本關聯(lián)矩陣.V1V2V3V4V5V6e2e1e3e4e5e6e7e8e9e10V1V2V3V4V5V6e2e1e3e4e5e6e7e8e9e10V1V2V3V4V5V6e2e1e3e4e5e6e7e8e9e10Th3.2.1有向圖G的關聯(lián)矩陣B的秩<n證明由于矩陣B的每列表示每邊的起點與終點,起點處為1,終點為-1.行1+行2+…+行n=0,故行n=-行1-行2-…-行n-1，即行n為前n-1的線性組合，即行n與前n-1行不獨立,故獨立行數(shù)即B的秩<n.

Th3.2.2設S是有向圖的關聯(lián)矩陣B任一k階方陣,則Det(S)=0,1或-1.證明

當k=1時det(S1)=1、0、-1.當k=2時det(S2)=1、0、-1.det(S2)=a11*a22-a21*a12v1是邊e1的起終無若a11=1,a21=0det(S2)=a22=1、0、-1若a11=1,a21=-1det(S2)=a22+a12，第2列中兩元可能:1與-1、1或-1、全0。

若a11=-1,a21=1det(S2)=-a22-a12=-(a22+a12)同上。若a11=-1,a21=0det(S2)=-a22=1、0、-1若a11=0,a21=1det(S2)=-a12=1、0、-1若a11=0,a21=-1det(S2)=a12=1、0、-1Th3.2.2設S是有向圖的關聯(lián)矩陣B任一k階方陣,則Det(S)=0,1或-1.證明：假設n=k時，det(Sk)=1、0、-1.對于(k+1)階方陣S，由于關聯(lián)矩陣的每列只有2個非0元即+1,-1,故S的每列最多只有2個非0元+1,-1。S的情況如下：(1)S有一列全為0則det(S)=0。(2)每列都不全為0，即每列都有非0元。(2.1)每列都有兩個非零元即每列都有+1、-1，則將前k行加到第k+1行，則使得第k+1行為0，故det(S)=0。(2.2)某一列只有一個非零元aij，則按其展開為det(S)=aij*(-1)i+jdet(Sk)=(-1)i+jdet(Sk)=1,0,-1各階子式的值是0,-1,+1.定理3.2.3連通圖G有n個結點，點與邊的完全關聯(lián)矩陣的秩為n-1。

證明：線性無關的最大行數(shù)為n-1，再多1行即n行就相關，即線性相關的最少行數(shù)為n，用反證法證明。即假設線性相關的最少行數(shù)為L<n，尋找錯誤的結論。定理3.2.3連通圖G有n個結點，點與邊的完全關聯(lián)矩陣的秩為n-1。

證:假設線性相關的最少行數(shù)為L<n.k1b(i1)+k2b(i2)+…+kLb(iL)=0ki0,i=1…L因關聯(lián)矩陣每列只有二個非0元，則這L行所形成的矩陣中每列至多有2個非0元，有些列可能全是0，但不可能只有1個非0元。

假設某列j只有1個非0元在ki行，則該列各數(shù)的線性組合=ki*bij=ki=0，與ki0矛盾.對關聯(lián)矩陣的列進行調(diào)整，將這L行中列中含有2個非0元的列調(diào)整最前面，全0的調(diào)整到后面.最后將這L行調(diào)整到最前面。定理3.2.3連通圖G有n個結點，點與邊的完全關聯(lián)矩陣的秩為n-1。證:假設線性相關的最少行數(shù)為L<n.對關聯(lián)矩陣的列進行調(diào)整，將這L行中列中含有2個非0元的列調(diào)整最前面，全0的調(diào)整到后面.最后將這L行調(diào)整到最前面。記L行中含2個非0元的列數(shù)為t，即這L行只與這t條邊相關，則有如下分塊矩陣：

2個非0元的列全0元的列定理3.2.3連通圖G有n個結點，關聯(lián)矩陣的秩為n-1。

證:假設線性相關的最少行數(shù)為L<n.L行對應的L點只與這t條邊相關，n-L個點與t條沒關系，那么n-L個點不可能與L點有邊相連！故不連通！

因L<n故n-L>0，則B'至少分為兩個連通分枝，而B'僅是B進行“行-行”與“列-列”互換得到,是改變點與邊在關聯(lián)矩陣中出現(xiàn)的順序，故保持連接性不變，故B也有2個連通分枝，故原圖G不連接.與原圖是連通矛盾！故線性相關至少需要n行，小于n無關，線性無關最大行數(shù)為n-12個非0元的列全0元的列定理3.2.4

連通圖基本關聯(lián)矩陣Bk的秩n-1.

證明:由定理3.2.3的證明可知,線性相關的行數(shù)至少為n，故小于n則線性無關。即任意n-1行肯定線性無關，而Bk是關聯(lián)矩陣的某n-1行，故線性無關，故Bk的秩為n-1。說明：若G的結點為n，連通分支數(shù)為w，則完全關聯(lián)矩陣的秩為n-w。

分支數(shù)w=點數(shù)n-關聯(lián)矩陣的秩rank(B)

特別是w=1即G連通時,秩為n-1點數(shù)是確定的，關聯(lián)矩陣隨網(wǎng)絡連接情況而變化，故根據(jù)其秩數(shù)可判斷網(wǎng)絡的連通性。推論3.2.1

n個結點樹T的基本關聯(lián)矩陣的秩是n-1.

證明:T是連通無回路的圖，是一個特殊的連通圖。給每條邊加上方向，父結點為邊的起點，子結點為邊的終點，則樹T是有向連通圖。根據(jù)定理3.2.3可知，故它的基本關聯(lián)矩陣的秩是n-1.

有向圖的連通性,是在忽略每邊的方向后確定的,這與其它教材上關于有向圖的定義不一樣,請注意.結點掩數(shù)為n的連仁通圖G的基本錢關聯(lián)外矩陣的秩是n-祖1,其中喊邊數(shù)派最少禮的連朗通圖免是“碌樹”,它恰逆好有n-就1邊,這n-秒1邊是券線性環(huán)無關的.其它踐連通津圖中的得邊數(shù)>n凱-1壘,而這壤些邊段中又只有n-使1列是線性鄙無關的,那么畫哪些芽列是線性革無關的呢?如何遠尋找呢？定理3.券2.鵝5C是連頭通圖G的一膝個回路,Bk是G的一久個基本悄關聯(lián)鹽矩陣,那么瘦回路C中各戶點與各邊個對應Bk的列線性帥相關.一個婦回路逃中的雜邊是嘩線性嗚相關兔的?；芈奉伨仃囅茨苷衣莩鏊i有相露關、梳無關梳邊設初淺級回路C包含抹了G的L個結較點，由拌點與賺邊均崇不重肢復，C肯定有L條邊,這L條邊茅對應蟲關聯(lián)唯矩陣B的L列,這L列構皇成B的子擊陣B(殊Gc)，環(huán)C本身捐的關繪聯(lián)矩迎陣B(撈C)混(L點L邊)。V1V2V3V4V5V6e2e1e3e4e5e6e7e8e9e10子陣B(Gc)B(C)(L點L邊)證明:只需蜂針對初級冠回路進行衛(wèi)討論.設回這路C包含景了G的L個結芝點L條邊.不妨志假設L<堵n,這L條邊寬對應繁關聯(lián)攪矩陣B的L列,這L列構忽成B的子外陣B(黨Gc).回路C的關副聯(lián)矩字陣B(濾C)是L階方芹陣,又由個于C是連壓通圖,故B(霧C)的秩測為L-榆1.由秩責的定肢義可集知，荒矩陣B(對C)的L個列辭向量線性脂相關桌。而基轟本關釋聯(lián)矩肉陣Bk中與楊這L條邊夫?qū)x的L列向援量的脹下方(即n-剖L-糧1行)全是0(因這L條邊謙只與衛(wèi)回路C中的L個結神點相習關,與其拖他點獸無關駐故為0)，故Bk中這L個列畏也線處性相捏關。子陣B(Gc)的L列相關B(C)(L點L邊)秩為L-1,則其L列相關推論3.癥2.友2設H是連債通圖G的子圖,若H含有壘回路,則H的諸風邊對吉應的G的基足本關句聯(lián)矩辱陣各列算線性榴相關.減少施找回種路范戒圍定理3.鹿2.路2令Bk是有吼向連敞通圖G的基本猜關聯(lián)浩矩陣,Bk的某n-袋1階子桑陣行泰列式非0其各匆列對蹲應的計邊構寬成一棵飯支撐舍樹。不在字某回蒼路上!定理3.紅2.辮2令Bk是有擠向連通盜圖G的基弱本關皺聯(lián)矩普陣,那么Bk的某n-堂1階子瘋陣行倆列式非0的是其各行列所對困應的民邊構沃成G的支撐伐樹.證明:.如果棉某個N-忽1階子諸陣Bk棕(GT)的行氣列式絕非0,則這n-勾1列線猛性無得關,即這n-叉1邊線暖性無革關。由推書理3.刻2.遺2可知,則這n-蠶1條邊絨中不含遞回路(若有愧回路催則線淘性相勤關)。由樹摩的定支義含詞有n-緊1條不鐵構成禮回路的邊騎，即構成炕一棵爸樹，即它為支止撐樹將。定理3.區(qū)2.像2令Bk是有檢向連通兇圖G的基遲本關惕聯(lián)矩茶陣,那么Bk的某n-吼1階子楊陣行狼列式非0的是其口各列桃所對趟應的素邊構般成G的支撐戴樹.證明:.設對應護邊的構館成一棵員樹,則由跡樹的滅定義五可知,它有n-毒1條邊交無回浪路,則這揭些邊線法性無勞關,對應膝的列向忌量線患性無夜關?；救￡P聯(lián)柏矩陣Bk(T)只有n-嗽1行，因孔此這n-嚼1行與送樹中效的n-腿1邊所選對應頌的列倦向量翁構成n-睡1階方陣。由線畏性代戰(zhàn)數(shù)知純識可細知，線炸性無揉關的n-番1列所對書應的n-頂1階行支列式值不等唇于0。定理3.納2.袍2令Bk是有退向連通做圖G的基飽本關勉聯(lián)矩冊陣,那么Bk的某n-軋1階子是陣行毀列式非0的是其陰各列幸所