人教版數(shù)學(xué)八年級下冊《期中考試卷》含答案解析

人教版數(shù)學(xué)八年級下學(xué)期

期中測試卷

學(xué)校班級姓名________成績________

一、單選擇題

1.下列圖形中，屬于中心對稱圖形是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.銳角三角形或直角三角

形

3.下列各組線段能構(gòu)成直角三角形的是（）

A.1,2,3B.7,12,13C,5,8,10D.15,20,25

4.在必8。中，NA：：NC：ND的值可以是（）

A.1：2：3：4B.1：2：2：1

C.1：1：2：2D.2：1：2：1

5.矩形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是（）

A.對邊平行且相等B.對角相等C.對角線互相平分D.對角線相等

6.如圖,AD〃BC,ZABC的平分線BP與NBAD的平分線AP相交于點P,作PE±AB于點E,若PE=2,則

A2B.3C.4D.5

7.一個多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的2倍，則這個多邊形是（）

A.五邊形B.六邊形C.七邊形D.八邊形

8.如圖,菱形ABCD中,E.F分別是AB、AC的中點,若EF=3,則菱形ABCD的周長是（）

C

A.12B.16C.20D.24

9.如圖,在平行四邊形ABCD中，按以下步驟作圖：①以A為圓心,AB長為半徑畫弧，交邊AD于點；②再

分別以B,F為圓心畫弧,兩弧交于平行四邊形ABCD內(nèi)部的點G處；③連接AG并延長交BC于點E,連接

BF,若BF=3,AB=2.5,則AE的長為（）

A.2B.4C.8D.5

10.如圖，邊長相等的兩個正方形ABCD和OEFG,若將正方形OEFG繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)150°，兩個

正方形的重疊部分四邊形OMCN的面積（）

A.不變B.先增大再減小C.先減小再增大D.不斷增大

11.如圖，正方形A8CD和正方形CEFG中，點。在CG上,8C=1,CE=3,4是AF的中點，那么的長是

()

G

BC

36

~rD.V5

12.如圖，在uABCD中，AD=2AB,F是AD的中點，作CELAB,垂足E在線段AB上（E不與A、B重合），

連接EF、CF,則下列結(jié)論中一定成立的是（）

?ZDCF=—ZBCD；②EF=CF；③S獨EC<2S&CEF；④NDFE=4/AEF

A.①②③④B.①②③C.①②D.①②④

二、填空題

13.如圖，一棵樹在一次強(qiáng)臺風(fēng)中于離地面4米處折斷倒下，倒下部分與地面成30°夾角，這棵樹在折斷前的

高度為米.

14.如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)據(jù)為

-4-3A-2-10

15.三個正方形的面積如圖所示,則字母8所代表的正方形的面積是

16.如圖,?！晔?48。的中位線,點尸在OE上,且NAFB=90。,AB=6,BC=10,則EF=

17.如圖,在矩形ABCD中，點E在邊CD上,將矩形ABC。沿AE所在直線折疊，點。恰好落在邊BC上的點

尸處.若AB=8,OE=5,則折痕AE的長為.

18.如圖，菱形ABCQ對角線交于點0,8。=6,AC=8,P是線段AC上一動點，E是線段AB上一個

動點,則BP+EP的最小值為

三、解答題

19.如圖，NA=ND=9(r,AC=DB,AC、DB相交于點0.求證：0B=0C.

20.如圖,。ABCD的對角線AC、BD相交于點O,AE=CF.求證：BE=DF.

B

21.如圖，在四邊形ABC。中，A8=BC=6,。。=9,4。=3,且45_18。于艮求四邊形ABC。的面

積.

22.如圖，在Rt“BC中，NBAC=90。,4。平分NBAC,過AC的中點E作FG//AD,交BA的延長線于點F,

交BC于點G,

(1)求證：AE=AF；

(2)若BC=&A8,AF=3,求BC的長.

23.在平行四邊形ABCD中，連接AC、BD交于點0,點E為AD中點,連接CE并延長交于BA的延長線

于點F,連接DF.

(1)求證：四邊形ACDF是平行四邊形;

(2)若AD=2AB,NABC=60。,試判斷四邊形ACDF的形狀，并說明理由.

24.己知：如圖，在口A3C中，AC,AOL8C,AN為DABC外角NCAM的平分線，CELAN.

(1)求證：四邊形AOCE為矩形；

(2)當(dāng)A。與BC滿足什么數(shù)量關(guān)系時，四邊形ADCE是正方形?并給予證明

AZ

25.如圖,在矩形ABCD中，BC=4,AB=10,E為CD邊上的一點,DE=7,動點P從點A出發(fā)，以每秒1個單

位的速度沿著邊AB向終點B運(yùn)動,連接PE.設(shè)點P運(yùn)動的時間為t秒.

(1)求BE的長;

(2)當(dāng)t為多少秒時,4BPE直角三角形?

26.如圖①，已知點。為正方形ABC。的對角線的交點，點P是對角線AC上的一個動點(點P不與A、C

重合)，分別過點A、C向直線BP作垂線,垂足分別為點E、f，連接0E和。尸.

(1)求證：OE=OF；

(2)如圖②，延長正方形對角線CA,當(dāng)點尸運(yùn)動到C4的延長線上時，通過證明判斷(1)中的結(jié)論是否仍

然成立;

(3)若點P在射線0A上運(yùn)動，AE=1,CE=4,求線段0E的長.

答案與解析

一、單選擇題

1.下列圖形中，屬于中心對稱圖形的是（）

AB

?（S）c?0

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)中心對稱圖形的概念求解.

【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

B、中心對稱圖形，故此選項錯誤；

C、是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形,故此選項錯誤；

D、是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形，故此選項錯誤.

故選：B

【點睛】本題主要考查了中心對稱圖形的概念,解題的關(guān)鍵是尋找對稱中心，圖形旋轉(zhuǎn)180。后與原圖重合.

2.如果一個三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)之比為1:2:3,那么這個三角形是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.銳角三角形或直角三角

形

【答案】B

【解析】

（詳解】設(shè)一份為k。,則三個內(nèi)角的度數(shù)分別為k。,2k。,3k°,

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理,可知ko+2k°+3ko=180°,

得k°=30°,

那么三角形三個內(nèi)角的度數(shù)分別是30°,60。和90°

故選B

3.下列各組線段能構(gòu)成直角三角形的是（）

A.1,2,3B.7,12,13C.5,8,10D.15,20,25

【答案】D

【解析】

【分析】

欲求證是否為直角三角形,這里給出三邊的長，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可.

【詳解】A、12+22*22,不能構(gòu)成直角三角形;

B、72+122聲132,不能構(gòu)成直角三角形；

C、52+8V102,不能構(gòu)成直角三角形；

D、152+2()2=252,能構(gòu)成直角三角形.

故選：D.

【點睛】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用.判斷三角形是否為直角三角形，己知三角形三邊的長，只要利

用勾股定理的逆定理加以判斷即可.勾股定理的逆定理：若三角形三邊滿足a?+b2=c2,那么這個三角形是直

角三角形.

4.在口48。中，/A：N8：NC：的值可以是()

A.1：2：3：4B,1：2：2：1

C1：1：2：2D.2：1：2：1

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到NA=NC,NB=ND,/B+NC=180\NA+ND=180。，根據(jù)以上結(jié)論即可選出答

案.

,/四邊形ABCD是平行四邊形，

/A=/C,/B=/D,

：.ZA:ZB:ZC:ZD的值可以是2:1:2:1.

故選D.

【點睛】本題主要考查對平行四邊形的性質(zhì)的理解和掌握，能根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行判斷是解此題的關(guān)

鍵,題目比較典型，難度適中.

5.矩形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是（）

A.對邊平行且相等B.對角相等C.對角線互相平分D.對角線相等

【答案】D

【解析】

【分析】

矩形的對角線互相平分且相等,而平行四邊形的對角線互相平分,不一定相等.

【詳解】解：A.對邊平行且相等,B.對角相等,C.對角線互相平分，均是矩形和平行四邊形都具有的性質(zhì).

D.對角線相等是矩形具有,而平行四邊形不一定具有的性質(zhì).

故選：D.

【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，矩形具有平行四邊形的性質(zhì)，又具有自己的特性,要注意運(yùn)用矩形具備而一般

平行四邊形不具備的性質(zhì).如,矩形的對角線相等.

6.如圖,AD〃BC,ZABC的平分線BP與/BAD的平分線AP相交于點P,作PE1AB于點E,若PE=2,則

兩平行線AD與BC間的距離為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

試題解析：過點P作MNJ_AD,

：AD〃BC,NABC的角平分線BP與NBAD的角平分線AP相交于點P,PE_LAB于點E,

.*.AP±BP,PN±BC,

，PM=PE=2,PE=PN=2,

MN=2+2=4；

故選C.

7.一個多邊形內(nèi)角和是它的外角和的2倍，則這個多邊形是（）

A.五邊形B.六邊形C.七邊形D.八邊形

【答案】B

【解析】

【分析】

多邊形的外角和是360°,則內(nèi)角和是2X360=720°.設(shè)這個多邊形是n邊形，內(nèi)角和是（n-2）?180°,這

樣就得到一個關(guān)于n的方程,從而求出邊數(shù)n的值.

【詳解】設(shè)這個多邊形是n邊形，根據(jù)題意，得

（n-2）X180°=2X360,

解得：n=6.

故這個多邊形是六邊形.

故選B.

【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，熟記內(nèi)角和公式和外角和定理并列出方程是解題的關(guān)鍵.根據(jù)多

邊形的內(nèi)角和定理,求邊數(shù)的問題就可以轉(zhuǎn)化為解方程的問題來解決.

8.如圖，菱形ABCD中,E.F分別是AB、AC的中點，若EF=3,則菱形ABCD的周長是（）

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出AD,再根據(jù)菱形的周長公式列式計算即可

得解.

【詳解】；E、F分別是AC、0c的中點，

???EF是口人。。的中位線，

/.AD=2EF=2x3=6,

菱形A6C。的周長=4AD=4x6=24.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了菱形的四邊形都相等,三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半,求出

菱形的邊長是解題的關(guān)鍵.

9.如圖,在平行四邊形ABCD中，按以下步驟作圖：①以A為圓心,AB長為半徑畫弧，交邊AD于點；②再

分別以B,F為圓心畫弧,兩弧交于平行四邊形ABCD內(nèi)部的點G處；③連接AG并延長交BC于點E,連接

BF,若BF=3,AB=2.5,則AE的長為（）

A.2B.4C.8D.5

【答案】B

【解析】

【分析】

連接EF,先證AF=AB=BE,得四邊形48即是菱形,據(jù)此知AE與BF互相垂直平分,繼而得0B的長，由勾股

定理求得0A的長,繼而得出答案.

【詳解】由題意得：AF=AB,A￡為的角平分線，則

又：四邊形ABCD是平行四邊形，則AD//BC,NBAE=NFAE=NBEA,；.AF=AB=BE.

Dp

連接EF,則四邊形ABEF是菱形，.ME與8尸互相垂直平分，設(shè)AE與相交于點0,0B=k=1.5.在

2

RtAAOB中,0A=^AB2-OB2=V2.52-1.52=2,則AE=2OA=4.

故選B.

【點睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的

尺規(guī)作圖方法等.

10.如圖，邊長相等的兩個正方形ABCD和OEFG,若將正方形OEFG繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)150。，兩個

正方形的重疊部分四邊形OMCN的面積（)

A.不變B.先增大再減小C.先減小再增大D.不斷增大

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)正方形性質(zhì)得出NBOC=/EOG=90o,NOBC=/OCD=45o,OB=OC,求出NBOM=NCON,根據(jù)ASA證4B

0Mg△CON,推出兩個正方形的重疊部分四邊形OMCN的面積等于SABOC=^S正方形ABCD,即可得出選項.

4

【詳解】???四邊形ABCD、四邊形OEFG是兩個邊長相等正方形，

，ZBOC=ZEOG=90°,ZOBC=ZOCD=45°,OB=OC,

ZBOC-ZCOM=ZEOG-ZCOM,

即/BOM=NCON,

?.,在ABOM和ACON中

NBOM=ZCON

<OB=OC,

NOBM=/OCN

...△BOM嶺△CON,

.?.兩個正方形的重疊部分四邊形OMCN的面積是

1

SACOM+SACNO=SACOM+SABOM=SABOC=-S正方形ABCD,

4

即不論旋轉(zhuǎn)多少度，陰影部分的面積都等于!S正方形ABCD,

4

故選A.

【點睛】

本題考查了正方形性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出△BOMg^CON,即aBOM得面積等

于△CON的面積.

11.如圖，正方形A8CD和正方形CEFG中，點。在CG上,BC=1,CE=3,，是A尸的中點,那么CH的長是

()

G

A

BE

5「36

A.2B.-X_z?-----D.75

22

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB=BC=1,CE=EF=3,ZE=90°,延長AD交EF于M,連接AC、CF,求出NACF=90。,

得到CH=gAF,根據(jù)勾股定理求出AF的長度即可得到答案.

（詳解】?/正方形ABCD和正方形CEFG中，點D在CG上,BC=1,CE=3,

；.AB=BC=1,CE=EF=3,/E=90°,

延長AD交EF于M,連接AC、CF,

貝ijAM=BC+CE=1+3=4,FM=EF-AB=3-1=2,ZAMF=90°,

???四邊形ABCD和四邊形GCEF是正方形,

ZACD=ZGCF=45°,

ZACF=90°,

為AF的中點,

1

.\CH=—AF,

2

在RSAMF中，由勾股定理得：AF=7AM2+MF2=A/42+22=2>/5.

.,.CH=V5,

故選：D.

【點睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理,直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半的性質(zhì)，正確引出輔助

線得到/ACF=90。是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，在oABCD中,AD=2AB,F是AD的中點，作CELAB,垂足E在線段AB上(￡不與人、B重合)，

連接EF、CF,則下列結(jié)論中一定成立的是()

①/DCF=gNBCD；②EF=CF；③SGEC〈ZS^EF；@ZDFE=4ZAEF

A.①②③④B.??③C.①②D.①②④

【答案】B

【解析】

【分析】

分別利用平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)得出/絲△OMF(ASA)，得出對應(yīng)線段之間

關(guān)系進(jìn)而得出答案.

【詳解】解：①是AD的中點,.MFSD

?.?在以BCD,AD=2AB,：.AF^FD=CD,：.NDFC=NDCF.

-：AD//BC,：.NDFC=NFCB,：.ZDCF=ZBCF,.\NDCF=g/BCD故①正確；

延長EF,交CD延長線于M.

?：四邊形ABC。是平行四邊形,ZA=ZMDF.

：F為AQ中點,：.AF=FD.在AAEF和△。尸M

-ZA=AFDM

中，＜AF=DF,：./\AEF^/\DMF(ASA),：.FE=MF,ZAEF^ZM.

ZAFE=NDFM

,：CE1AB,：.ZAEC=90°,：.ZAEC=ZECD=90°.

FM=EF,：.E/=CF,故②正確；

(3)EF-FM,SAEFC=SACFM.

MOBE,S^BEC<2sAEFC

故③正確；

④設(shè)NFEC=x,則

ZFCE=x,：.NDCF=NDFC=90。-x,.\ZEFC=180°-2x,：.ZEFD=900-x+180°-2x=270°-3x.

,/ZAEF=90°-x,：./￡>FE=3NAEF,故④錯誤.

故答案為B.

點睛：本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，得出aAEF畛△CMF是解題

的關(guān)鍵.

二、填空題

13.如圖，一棵樹在一次強(qiáng)臺風(fēng)中于離地面4米處折斷倒下，倒下部分與地面成30°夾角，這棵樹在折斷前的

【解析】

【分析】

如圖，由于倒下部分與地面成30。夾角，所以NBAC=30。，由此得到AB=2CB,而離地面米處折斷倒下，即

BC=4米,所以得到AB=8米,然后即可求出這棵大樹在折斷前的高度.

【詳解】如圖,

,/ZBAC=30°,ZBCA=90°,

/.AB=2CB,

而BC=4米,

；.AB=8米,

這棵大樹在折斷前的高度為AB+BC=12米.

故答案為12.

【點睛】本題考查了含30度角的直角三角形的邊長的性質(zhì)，牢牢掌握該性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

14.如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)據(jù)為

B

-4-3A-2-101X

【答案】-V5

【解析】

試題分析：先根據(jù)勾股定理求得OB的長，即可得到OA的長，從而得到結(jié)果.

1耍藕=遜=J妒普喂

.?.數(shù)軸上點A表示的數(shù)據(jù)為反

考點：勾股定理

點評：本題屬于基礎(chǔ)應(yīng)用題，只需學(xué)生熟練掌握勾股定理，即可完成.

15.三個正方形的面積如圖所示，則字母8所代表的正方形的面積是,

【答案】144

【解析】

【分析】

在本題中，外圍正方形的面積就是斜邊和一直角邊的平方，實際上是求另一直角邊的平方,用勾股定理即可

解答.

【詳解】解：如圖，

根據(jù)勾股定理我們可以得出：

a2+b2=c2

a2=25,c2=169

b2=169-25=144

因此B的面積是144.

故答案為144.

【點睛】本題考查正方形的面積公式和勾股定理的應(yīng)用.解題關(guān)鍵是搞清楚直角三角形的斜邊和直角邊.

16.如圖,OE是AABC的中位線，點尸在OE上,且NAFB=90。,A8=6,BC=10,則EF=

【答案】2

【解析】

【分析】

根據(jù)三角形中位線定理求出DE,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出。尸，計算即可.

【詳解】解：?.?￡)￡為A4BC中位線，

\DE=-BC=5,

2

-ZAFB=90°,。是AB的中點，

\DF=-AB=3,

2

\EF=DE-DF=5-3=2,

故答案為：2

【點睛】本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì),掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第

三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

17.如圖,在矩形ABC。中，點E在邊CDt,將矩形48C。沿AE所在直線折疊,點。恰好落在邊8c上的點

尸處.若A8=8,DE=5,則折痕AE的長為.

【答案】56

【解析】

【分析】

由折疊性質(zhì)得出FE=DE=5,AF=AD,根據(jù)勾股定理求得CF=4,設(shè)AD=BC=AF=x,BF=x-4,在RtAABF中，由

勾股定理得出方程8z+(x—4)2=/，解得x=AD=10,在RtAADE中再次應(yīng)用勾股定理可得出答案.

【詳解】?.?四邊形ABCD是長方形，

ZC=90°,AB=CD,AD=BC,

由折疊的性質(zhì)可得：EF=DE=5,AD=AF,

，CE=CD-DE=3,

在RtACEF中，CF=yjEF2-CE2=A/52-32=4-

設(shè)AD=BC=AF=x,則BF=x-4,

.?.在RlZ^ABF中，82+(%-4)2=^,

解得：x=10,

在RtAADE中，AE=，3+正=加+5?=5石?

故答案為5G.

【點睛】此題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)以及勾股定理,注意掌握折疊前后圖形的對應(yīng)關(guān)系，逐步分析,

注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

18.如圖，菱形A8CD的對角線交于點O,BD=6,AC=8,P是線段AC上一動點，E是線段AB上一個

動點，則BP+EP的最小值為—

【答案】y

【解析】

【分析】

本題中BP+EP是折線段,要想最小，故想辦法將折線段拉直，故過B點作AC的對稱點,剛好為D點,連接DP,

則發(fā)現(xiàn)DP=BP,故相當(dāng)于求DP+PE的最小值,根據(jù)點到直線的距離垂線段最短知：過D點作AB的垂線,交

AB于H點,DH即為最小值,再利用菱形等面積法求DH的長.

【詳解】解：過B點作AC的對稱點，由菱形對稱性知剛好落在D處,連接DP,

則BP=DP,故BP+EP=DP+EP,

過D點作DHJ_AB于H點，

...當(dāng)E、P、D三點共線，且DELAB時，由點到直線的距離垂線段最短知：

此時DP+EP有最小值,為DH長.

又四邊形ABCD為菱形,DHLAB,

由菱形的等面積法知：ABxDH-yxACxBD,且AB=5,代入數(shù)據(jù)：

1皿24

5xDH=—x8x6,故DH=—.

25

24

故答案為：.

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、菱形的對稱性、點到直線距離垂線段最短；本題關(guān)鍵是能想到過B點作

AC的對稱點,落在D處，即PB=PD,再利用點到直線距離垂線段最短求解；菱形的兩個面積公式：一個是底

X高,另一個是對角線乘積的一半.

三、解答題

19.如圖，NA=ND=9(T,AC=DB,AC、DB相交于點0.求證：OB=OC.

D

【答案】證明見解析.

【解析】

分析：因為NA=ND=90°,AC=BD,BC=BC,知RtZ\BAC絲Rt^CDB(HL),所以NACB=/DBC,故OB=OC.

【解答】證明：在RtAABC和RtADCB中

BD=CA

BC=CB'

.".RtAABC^RtADCB(HL),

ZOBC=ZOCB,

.,.BO=CO.

點睛：此題主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的

重要工具.

20.如圖,nABCD的對角線AC、BD相交于點O,AE=CF.求證：BE=DF.

【答案】見解析

【解析】

【分析】

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得BO=DO,AO=CO,再利用等式的性質(zhì)可得EO=FO,然后再利用SAS定理判定

△BOE^ADOF即可.

【詳解】證明：???四邊形是平行四邊形，

Z.BO=DO,AO=CO,

?：AE=CF,

：.AO-AE^CO-FO,

：.EO=FO,

BO=DO

在ABOE和△Q。尸中，,NBOE=ZDOF,

EO=FO

.二△BOE絲ADOF(SAS),

:.BE=DF.

【點睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的對角線互相

平分，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

21.如圖，在四邊形A8CO中，AB=8C=6,CD=9,A。=3,且AB，8c于8.求四邊形43co的面

積.

【答案】18+972.

【解析】

【分析】

根據(jù)勾股定理求出AC,根據(jù)勾股定理的逆定理得出ACAD是直角三角形,分別求出AABC和ACAD的面積,

即可得出答案.

【詳解】解：?.?在aABC中,ABLBC,AB=BC=6,

AC=672，

^EAACD中，；CD=9,AD=3,AC=6夜，

.\AD2+AC2-CD2,

...△ACD是直角三角形，

.??SAADC=JX3X6收=9a,

：SAABC=}XABXBC=18,

SABCD-SAABC+SAACD=18+9-y2?

即四邊形ABCD的面積為18+972.

【點睛】本題考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理,解此題的關(guān)鍵是得出4CAD是直角三角形.

22.如圖,在RMABC中，NBAC=90。,A。平分NBAC,過AC的中點E作FG〃4O,交8A的延長線于點F,

交BC于點、G,

(1)求證：AE—AF；

(2)若BC=石AB,AF=3,求BC的長.

3l

【答案】(1)見解析；(2)BC=.

2

【解析】

【分析】

(1)由N34C=90°平分NR4C,得NDA3=45°,又FG〃A。所以NE=NOA3=45°,NAEF=45°,

所以NF=NAEF,因此AE=AF；(2)由A尸=3,AE=3,AC=2AE=6,在Rt/VIBC中,求出

33片

AB=一,因此BC=—yJ5.

22

【詳解】(1)???N&4C=90°平分NA4c

AZDAB=-ZCAB=—X90°=45°,

22

,:FG〃AD

：.ZF=ZDAB=450,ZAEF=45°,

AZF=NAEF,

：.AE=AF；

(2)TA尸=3,

AAE=3,

??,點E是AC的中點，

：.AC=2AE=6f

在RtZVIBC中,AN+AQMBC2,

：.AB2+32=(小AB)2,

3

解得AB=—,

2

BC=-^5.

2

【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵.

23.在平行四邊形ABCD中，連接AC、BD交于點0,點E為AD的中點，連接CE并延長交于BA的延長線

于點F,連接DF.

(1)求證：四邊形ACDF是平行四邊形；

(2)若AD=2AB,/ABC=60。,試判斷四邊形ACDF的形狀，并說明理由.

【答案】(1)詳見解析；(2)四邊形ACDF是平行四邊形，詳見解析

【解析】

【分析】

(1)利用平行四邊形的性質(zhì)，即可判定4FAE絲ZXCDE,即可得到CD=FA,再根據(jù)CD〃AF,即可證得四邊

形ACDF是平行四邊形：

(2)利用平行四邊形的性質(zhì)，即可判定4BCF是等邊三角形,FC=CD,即可判定是矩形.

【詳解】(1)證明：在UABCD中，AB〃CD,NFAD=NCDA,

?.?點E為AD的中點，

；.AE=DE,

又：/AEF=/DEC,

.,.△AEF^ADEC

，AF=CD,

又；AF〃CD,

四邊形ACDF是平行四邊形；

(2)解：由(1)知四邊形ACDF是平行四邊形，AF=CD,

1

VAB=CD；.AF=AB=—BF

2

又：AD=2AB,AD=BC,

；.BF=BC,

?../ABC=60。，.?.△BCF是等邊三角形，

；.FC=AD,

平行四邊形ACDF是矩形.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定、等邊三角形的判定、矩形的判定，熟練掌握判定定理是解題

的關(guān)鍵.

24.已知：如圖，在DABC中，AB=AC,AOL8C,AN為DABC外角NC4M的平分線，CELAN.

（1）求證：四邊形ADCE為矩形；

（2）當(dāng)AD與BC滿足什么數(shù)量關(guān)系時，四邊形ADCE是正方形?并給予證明

【答案】（1）見解析（2）AO=g8C,理由見解析.

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)矩形的有三個角是直角的四邊形是矩形，已知CE_LAN,ADJ_BC,所以求證NDAE=90°,可以證明

四邊形ADCE為矩形.（2）由正方形AOCE的性質(zhì)逆推得AO=DC,結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可以得到答案.

【詳解】（1）證明：在AABC中，AB=AC,AD_LBC,

VAN是4ABC外角ZCAM的平分線，，ZMAE=ZCAE,

.\ZDAE=ZDAC+ZCAE=-X180°=90°,

2

XVAD±BC,CE±AN,AZADC=ZCEA=90°,

四邊形ADCE為矩形.

（2）當(dāng)A3=；8C時，四邊形ADCE是一個正方形.

理由：,?AB=AC,AD1BC,BD=DC

■.?AD=-BC,:.AD=BD=DC,

2

???四邊形ADCE為矩形，.?.矩形ADCE是正方形.

當(dāng)AD=；BC時，四邊形ADCE是一個正方形.

【點睛】本題考查矩形的判定以及正方形的性質(zhì)的應(yīng)用，同時考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握這些知識

點是關(guān)鍵.

25.如圖,在矩形ABCD中,BC=4,AB=10,E為CD邊上的一點,DE=7,動點P從點A出發(fā)，以每秒1個單

位的速度沿著邊AB向終點B運(yùn)動,連接PE.設(shè)點P運(yùn)動的時間為t秒.

(1)求BE的長；

(2)當(dāng)t為多少秒時,ABPE是直角三角形？

【答案】(1)5；(2)當(dāng)t=7或土秒時，Z\BPE為直角三角形.

【解析】

【分析】

(1)在直角4ADE中，利用勾股定理進(jìn)行解答；

(2)需要分類討論NBPE=90。和/BEP=90。兩種情況下的直角三角形.

【詳解】解：(1)由題意知,CD=AB=10,DE=7,BC=4

CE=CD-DE=10-7=3,

在RtACBE中，BE=VBC2+CE2=742+32=5；

(2)①當(dāng)以P為直角頂點時，即NBPE=90。，

AP=10-3=7,則t=7+l=7(秒)，

②當(dāng)以E為直角頂點時，即/BEP=90。，由勾股定理得BE2+PE2=BP2,

設(shè)AP=t,BP=10-t,PE2=42+(7-t)2

即52+42+(7-t)2=(10-t)2,

解得,t=|,

當(dāng)t=7或,秒時,4BPE為直角三角形.

【點睛】本題考查了四邊形綜合題,綜合勾股定理,直角三角形的性質(zhì)，一元二次方程的應(yīng)用等知識點,要注

意分類討論，以防漏解.

26.如圖①，已知點。為正方形A8CO的對角線的交點，點P是對角線AC上的一個動點(點P不與A、C

重合)，分別過點A、C向直線8尸作垂線，垂足分別為點區(qū)/，連接OE和。尸.

(1)求證：OE=O尸；

(