立體幾何考點梳理講解總結(jié),高考數(shù)學立體幾何題及解析

考點24政體幾何初步及左

間幾何體的表面積和體積

【命題解讀】

立體幾何的考察是高考必考知識點，對于幾何體的體積和表面積的考察往往在空間線

面位置關(guān)系問題中出現(xiàn)，依托于某一個幾何體，因而要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的概念、性

質(zhì)以及求解公式，在求解中要學會等價轉(zhuǎn)化思想，等體積轉(zhuǎn)化問題，以及立體問題轉(zhuǎn)化為平

面問題等等。

【命題預測】

預計2021年的高考對于立體幾何表面積和體積考察，還是以多面體和旋轉(zhuǎn)體的面積和

體積為主，注意公式的運用。

【復習建議】

1.掌握空間幾何體特征，多面體與旋轉(zhuǎn)體的有關(guān)知識；

2.會運用公式求解旋轉(zhuǎn)體或多面體的體積和表面積。

考向一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

1.多面體的結(jié)構(gòu)特征

名稱棱柱棱錐棱臺

有兩個面互相平行且全等，

其余各個面都是平行四邊有一個面是多邊形,其余各用一個平行于棱錐底面的

結(jié)構(gòu)

形；面都是有一個公共頂點的平面去截棱錐,截

特征

每相鄰兩個四邊形的公共三角形的多面體面和底面之間的部分

邊都互相平行

2.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

名稱圓柱圓錐圓臺球

圖形

互相平行且相等，延長線交于一

母線相交于一點

垂直于底面點

全等的等腰三角全等的等腰梯

軸截面全等的矩形圓

形形

側(cè)面展

矩形扇形扇環(huán)

開圖

典例劇新

1.一個正方體內(nèi)有一個。內(nèi)切球,作◎正方體的對角E面，所得截面二圖形是下圖中的（）

ABCD

【答案】B

【解析】由組合體的結(jié)構(gòu)特征知，球只與正方體的上、下底面相切，而與兩側(cè)棱相離.

2.12019山東濟寧檢測】一個棱柱的底面是正六邊形，側(cè)面都是正方形，用至少過該棱柱

三個頂點（不在同一側(cè)面或同一底面內(nèi)）的平面去截這個棱柱，所得截面的形狀不可能是

（）

A.等腰三角形B.等腰梯形

C.五邊形D.正六邊形

【答案】D

【解析】如圖1,由圖可知，截面48c為等腰三角形，選項A可能.截面ABE尸為等腰梯

形，選項B可能.如圖2,截面AMQEN為五邊形，選項C可能.

圖2

因為側(cè)面是正方形，只有平行于底面的截面才可能是正六邊形，故過兩底的頂點不可能得到

正六邊形.選項D不可能.

考向二空間幾何體的表面積與體積

空間幾何體的表面積與體積公式

名稱

表面積體積

柱體（棱柱和圓柱）S表面積=S側(cè)+2S底V二S底A

底力

錐體（棱錐和圓錐）S表面積=SOJI+S底

V=i（St+S卜+小上S下）〃

臺體（棱臺和圓臺）S表面枳=S惻+S上+S卜，

球S=4T識2V=

3

典例制新

1.【2020屆河南省鄭州市高三第二次質(zhì)量預測文科數(shù)學試題】在正方體ABCD-AIBIGDI

中，三棱錐A1-BGD內(nèi)切球表面積為4兀，則正方體外接球的體積為

A.8瓜兀B.36%C.32岳

D.64瓜兀

【答案】B

【解析】設正方體的棱長為明則B￡>=也。，

因為三棱錐A.-BC.D內(nèi)切球的表面積為4"，

所以三棱錐內(nèi)切球的半徑為1，

設A—內(nèi)切球的球心為O,A到平面BCQ的距離為h,

則匕1一阮他=4%_叼。,-5ABC.DxA=4x-x5ABCiDxl,.?./i=4,

又/z=V2a=xy[2a<

.".——x'\[^a—4,<2—2>/3)

又因為正方體外接球直接就是正方體對角線長,

???正方體外接球的半徑為JR6）+R⑹+僅⑹=3,

2

47r

其體積為——X33=36萬，故選B.

3

2.12019山東東營模擬】表面積為24的正方體的頂點都在同一個球面上，則該球的表面積

是（）

A.12幾B.8TI

32n

L.3D.4兀

【答案】A

【解析】設正方體的棱長為m因為表面積為24,即6〃2=24,得a=2,正方體的體對角

,_廠2小_

線長度為“22+22+22=2小,所以正方體的外接球半徑為r=2=小，所以球的表面積

為5=4兀，2=12兀.

3.在△ABC中，AB=2,3c=1.5,NA2C=120。（如圖所示），若將AABC繞直線旋轉(zhuǎn)一

周，則形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是（）

C2D-

?21.V?2

【答案】D

【解析】依題意可知，旋轉(zhuǎn)體是一個大圓錐去掉一個小圓錐，如圖所示,

c

近L1L區(qū)

OA=ABcos30°=2x2=小,所以旋轉(zhuǎn)體的體積為我?（小A（OC—08）=1；

;、檢測訓練

題組一（真題在線）

1.【2020年高考全國I卷文數(shù)】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視

為一個正四棱錐.以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積,

則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為

A君-1RV5—1+1nV5+1

4242

2.【2020年高考全國H卷文數(shù)】已知△ABC是面積為述的等邊三角形，且其頂點都在球

4

。的球面上.若球。的表面積為16兀，則。到平面A8C的距離為

A.>/3B.-C.1D.—

22

3.【2020年高考全國I卷文數(shù)】已知A,B,C為球。的球面上的三個點，為ZVIBC的

外接圓，若。01的面積為4兀，A3=BC=AC=。。，則球。的表面積為

A.64KB.48兀C.36兀D.32兀

4.【2020年高考天津】若棱長為2月的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為

A.12KB.24兀

C.36KD.144K

5.【2019年高考全國I卷理數(shù)】已知三棱錐尸-ABC的四個頂點在球O的球面上,%=P8=PC,

△ABC是邊長為2的正三角形，E,F分別是以，AB的中點，ZCEF=90°,則球O的體積

為

A.8逐兀B.4幾兀

C.2&＞式D.\f6ii

6.【2019年高考全國III卷理數(shù)】學生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，

該模型為長方體ABC。-挖去四棱錐O—EFGH后所得的幾何體，其中O為長方

體的中心，E,F,G,，分別為所在棱的中點，AB=5C=6cm,A4,=4cm,3D打印所

用原料密度為0.9g/cnP,不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為g.

7.【2019年高考天津卷理數(shù)】已知四棱錐的底面是邊長為友的正方形，側(cè)棱長均為君.若

圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心,

則該圓柱的體積為.

8.【2019年高考江蘇卷】如圖，長方體43co-人與GR的體積是120,E為C6的中點，

則三棱錐E-BCD的體積是.

9.[2018全國卷I】在長方體ABCD-AyB\C\D\中，AB=BC=2,AC\與平面BBCC所成

的角為30。，則該長方體的體積為（）

A.8B.6^2

C.8mD.8小

10.12018全國卷n】已知圓錐的頂點為S,母線SA,SB互相垂直，SA與圓錐底面所成角

為30。.若ASAB的面積為8,則該圓錐的體積為.

題組二

I.[2020山東省日照五蓮縣、濰坊安丘市、濰坊諸城市、臨沂蘭山區(qū)高三模擬】唐朝的狩

獵景象浮雕銀杯如圖1所示.其浮雕臨摹了國畫、漆繪和墓室壁畫，體現(xiàn)了古人的智慧與工

藝.它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體（假設內(nèi)壁表面光滑，忽略杯壁厚

度），如圖2所示.己知球的半徑為R,酒杯內(nèi)壁表面積為不乃A?,設酒杯上部分（圓柱）的

體積為乂，下部分（半球）的體積為匕，則普=

圖1圖2

33

A.2B.-C.1D.-

24

2.12020河南省鄭州市高三第二次質(zhì)量試?題】在正方體ABCD-A向CD中,三棱錐Ai-BGD

內(nèi)切球表面積為4兀，則正方體外接球的體積為

A.8底兀B.36萬C.32伍D.64瓜兀

3.12019四川省宜賓市高三第三次診斷性考試】如圖，邊長為2的正方形ABC。中，E,F

分別是BC,CD的中點，現(xiàn)在沿AE,AF及EF把這個正方形折成一個四面體,使B,C,D三

點重合，重合后的點記為P，則四面體P—AEF的高為

4.【2019廣東省深圳市高級中學高三適應性考試】在三棱錐P—ABC中，平面MB，平

面ABC,AA8C是邊長為6的等邊三角形，△PA5是以AB為斜邊的等腰直角三角形,

則該三棱錐外接球的表面積為.

5.12017全國卷HI】已知圓柱的高為I,它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球

面上，則該圓柱的體積為（）

.n3兀

A.兀B.彳

一兀c兀

C,2D,4

6.12020湖南省常德市高三上學期期末數(shù)學】某圓柱的高為2,體積為2乃，其底面圓周均

在同一個球面上，則此球的表面積為.

7.在三棱錐P-ABC中，以_1_平面ABC且以=2,ZVIBC是邊長為小的等邊三角形，則該

三棱錐外接球的表面積為（）

4兀八

A.4B.4兀

C.8兀D.20兀

8.12019廣東茂名模擬】如圖，在四棱錐RABCD中，B4_L底面ABCD,底面ABCZ）為菱

形，ZABC=60°,PA=AB=2,過8。作平面8OE與直線以平行，交PC于點E.

（1）求證：E為PC的中點；

（2）求三棱錐E-MB的體積.

忘答案解析

題組一

【解析】如圖，設CO=a,P￡=人，則=06=

121KL.

由題意得「。2=一"，即〃—土=_1"，化簡得4（一）2一2-一—1=0,

242aa

解得2=1±1（負值舍去）.故選C.

a4

2.C

【解析】設球。的半徑為R，則4?R2=I6〃，解得：R=2.

設△A3C外接圓半徑為小邊長為。，

???AABC是面積為也的等邊三角形，

4

.J/x走=典，解得：a=3,

224

???球心。到平面ABC的距離d=V/?2-r2=J==1.

故選：C.

3.A

【解析】設圓。?半徑為r,球的半徑為R,依題意，

得兀戶=44,r=2，：△ABC為等邊三角形，

由正弦定理可得AB=2rsin60°=2G，

,OQ=AB=2/，根據(jù)球的截面性質(zhì)。0、1平面ABC，

OO,LOtA,R=OA=[00：+0闈=go：+產(chǎn)=4,

球。的表面積S=4%/?2=64不.

故選：A

4.C

【解析】這個球是正方體的外接球，其半徑等于正方體的體對角線的一半,

所以，這個球的表面積為S=4〃4=47x3?=36萬.

故選：c.

5.D

【解析】???PA=PB=PC,ZV1BC為邊長為2的等邊三角形，43C為正三棱錐,

：.PB±AC,又E,b分別為R4，AB的中點，所〃PB，，￡FJ_4C，又

EFLCE,CEAAC=C,.?.EFJ?平面PAC,依_1_平面PAC,

:.ZAPB=90°,:.PA=PB=PC=y/2,二P-ABC為正方體的一部分，

2R=52+2+2=，即H=V=—nR}=—7tx—=\[6TI>故選D.

2338

6.118.8

2

【解析】由題意得，Sm^E[,GH=4x6-4x-x2x3=12cm,

1,

:四棱錐O-EFG”的高為3cm,VLoz￡F?F/CH=-xl2x3=12cm.

又長方體ABCD-ABCQI的體積為匕=4x6x6=144cn?,

所以該模型體積為v=匕-VO-EFGH=144-12=132cm3,

其質(zhì)量為0.9x132=118.8g.

兀

,4

【解析】由題意，四棱錐的底面是邊長為0的正方形，側(cè)棱長均為石，借助勾股定理，

可知四棱錐的高為后斤=2.

若圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點，一個底面的圓心為四棱錐底面的

中心，故圓柱的高為1，圓柱的底面半徑為

2

故圓柱的體積為兀x(g)xl=；

8.10

【解析】因為長方體ABC。-44GA的體積為120,所以AB8CCG=120,

因為E為CG的中點，所以CE=；CG，

由長方體的性質(zhì)知CG上底面

所以CE是三棱錐E-3CZ)的底面BCD上的高，

所以三棱錐的體積V==

32

=-x-ABBC-CC=—xl20=10.

322112

9.C

【解析】如圖，連接AG，BG，AC.

,.?48_1平面88|?（7,

AZACtB為直線AC\與平面BBiCC所成的角，

2

.../ACiB=30。.又AB=BC=2,在RsABG中，AC|=—^=4,

在RlAACG中，"1=山0—4。2=、42-22+22=2小,

***V長方體=A8xBCxCC]

=2x2x2g=8啦.

10.8K

【解析】在RtASAB中，SA=SB,SA$AB=/SA2=8,

解得S4=4.

設圓錐的底面圓心為O,底面半徑為r,高為/?,

在RSSAO中，NSAO=30°,

所以〃=25，〃=2,

所以圓錐的體積為可兀心〃=?7tx（2?。?x2=8TL

題組二

l.A

【解析】設酒杯上部分（圓柱）的高為力，

球的半徑為R,則酒杯下部分（半球）的表面積為2萬/??，

酒杯內(nèi)壁表面積為廿萬內(nèi),得圓柱側(cè)面積為匕乃解一2?霜=9乃/?2,

333

Q4

酒杯上部分（圓柱）的表面積為=2萬R2,解得h=—R

33

14?

酒杯下部分（半球）的體積匕=—X—?XR3=—萬/?3

233

44

酒杯上部分（圓柱）的體積V,=?R2X—R=—%R3

33

3

V-TTR

所以于=微----=2.

匕馬內(nèi)

3

故選A.

2.B

【解析】設正方體的棱長為。，則8O=&a，

因為三棱錐\-BC.D內(nèi)切球的表面積為4乃,

所以三棱錐\-BC}D內(nèi)切球的半徑為1,

設4-BC.D內(nèi)切球的球心為0,4到平面BCQ的距離為h,

則匕-匹。=4%的。,：5.。*/1=4*95詔/1,.?.〃=4.

又?"=J（疝『—序可=爭缶，

.?**缶=4,4=26，

又因為正方體外接球直接就是正方體對角線長，

???正方體外接球的半徑為#碼+R?+僅?_,

2

41九"

其體積為一X33=36萬，故選B.

3

3.B【解析】如圖，由題意可知Q4,PE,P/7兩兩垂直,

PAJ_平面PEF，

V_-—S△叼,PA——X—x]x]x2=_,

APFF3323

設P到平面AM的距離為兒

1113

又S^AEF=2?——xlx2--xlx2--xlxl=—,

,,13,A

??^P-AEF:不萬入";不，

h1u,2

,?———,故/?=一,

233

故選B.

4.48兀

【解析】如圖，在等邊三角形A8C中，取A3的中點F，設等邊三角形A8C的中心為。,

連接P尸，CF,0P.

由AB=6,得AO=BO=CO=ZcF=2SQF=y5,

3

???△P43是以A8為斜邊的等腰角三角形，

又平面RW_L平面ABC，.?.PE_L平面ABC,

:.PF1OF,OP=y]OF2+PF2=2A/3>

則。為棱錐P-ABC的外接球球心，外接球半徑R=0C=2百,

???該三棱錐外接球的表面積為4nx(2行『=48兀，

故答案為48兀.

5.B

【解析】設圓柱的底面半徑為r,球的半徑為R,且R=l,

由圓柱兩個底面的圓周在同一個球的球面上可知，

r,R及圓柱的高的一半構(gòu)成直角三角形.

32

圓柱的體積為丫=兀3"=4兀xl=4.

6.8萬

【解析】由題意作出示意圖，設圓柱底面半徑為小球的半徑為R,

???圓柱的高為2,體積為2〃，

***OO'=1,271rL—2萬，得〃=1，

R=V2，

???此球的表面積S=4TTR2=肺，

故答案為：84.

7.C

【解析】由題意得，此三棱錐外接球即為以AABC為底面、以用為高的正三棱柱的外接球，

亞L2

因為AABC的外接圓半徑r=2X小x]=l,外接球球心到"8C的外接圓圓心的距離d=l,

所以外接球的半徑產(chǎn)+球=啦,所以三棱錐外接球的表面積5=4兀/?2=8兀.

8.見解析

【解析】⑴證明如圖，連接4C,設ACnBZ)=O,連接0E,則。為AC的中點，且平面

處CC平面BDE=OE,

平面BOE,J.PA//OE,為PC的中點.

⑵解由⑴知，E為PC的中點，AVMP-ABC=2V^?E.ABc.

A

由底面ABC。為菱形，N48C=60。，AB=2,得5冽6。=晉'22=小,

乂V:極錐P-A3C=V-m.E-ABC~^~ymE-PABf

V棱惟￡-必8=]V.mP-ABC=3,

考點25變間點、俵、面的

位置關(guān)系

65一上「，】孝

鎏

【命題解讀】

空間點、直線、平面的位置關(guān)系是高考?？贾R點之一，它的出題形式多樣，在選擇

題或者填空或者解答都有可能涉及，這部分以簡單和中檔題為主，主要是考察空間想象力和

空間思維能力。

【命題預測】

預計2021年的高考對于空間點、線、面的位置關(guān)系出選擇題的可能性比較大，對于異

面直線所成的角解答題有可能涉及到，因此這部分要加強復習。

【復習建議】

1.能直觀認識空間點、線、面的位置關(guān)系，并能抽象出空間點、線、面的位置關(guān)系；

2.掌握4個基本事實和1個定理。

考向一空間點、線、面的位置關(guān)系

1.四個基本事實

文字語言圖形語言符號語言作用

如果一條直線上的兩Aei/

基本事Bel,可用來證明點、直線在

點在一個平面內(nèi)，那么〉=>/UQ

實1Aea,平面內(nèi)

這條直線在此平面內(nèi)

Bea>

A,B,C三點不共線

過不在一條直線上的①可用來確定一個平

基本事=有且只有一個

三點，有且只有一個平43/面；

實2平面a,使A^a,B

面②證明點、線共面

Sa.CGa

如果兩個不重合的平①可用來確定兩個平面

基本事面有一個公共點，那么PGa,且Pe的交線；②判斷或證明

實3它們有且只有一條過聞用na(V=/,且PGI多點共線;③判斷或證

該點的公共直線明多線共點

基本事平行于同一條直線的證明空間中兩條直線平

a//b,b//c=^a//c

實4兩條直線互相平行行

2.基本事實2的三個推論

推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外一點有且只有一個平面;

推論2:經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面；

推論3:經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面.

3.空間直線的位置關(guān)系

（1）位置關(guān)系的分類

（共面（平行直線

空間直線｛1相交直線

（異面——異面直線

4.空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系

圖形語言符號語言公共點

直線

相交a(ya=A1個

與平V

面

平行a//a0個

在平

aua無數(shù)個

面內(nèi)

平行a//p0個

平面

與平

面相交aC\p=l無數(shù)個

典例劇折

1.12020四川高三期中】俄，〃是不同的直線，a,￡是不重合的平面，下列說法正確

的是（）

A.若m,nua,mllp,n//(3,則all(3；

B.若?！╩ua,nu0,則加〃〃；

C.若a%,mlla,則加〃萬；

D.m,〃是異面直線，若加〃a,m///3,〃ua,"〃尸則a〃/7.

【答案】D

【解析】對于A，若加，〃ua,當機〃〃時，可能有兩個面相交.所以A不正確

若。//￡,機ua,nu0,則根〃〃，也可能加，〃是異面直線，所以A不正確;

對于8,若。〃￡,機ua,nu/3,則加〃〃，也可能加，〃是異面直線，所以8不正

確；

對于C,若a///?,mlla,則相〃/?,也可能加＜=力，所以。不正確；

對于。，過A作。//機，。//〃，直線”，匕是相交直線，確定平面/,由題意可得，////?,

ylla,:.a1/p,所以。正確；

故選：D.

2.12020山西省古縣第一中學高二期中】若直線。與平面a不垂直，那么在平面a內(nèi)與直

線。垂直的直線（）

A.只有一條B.無數(shù)條

C.是平面a內(nèi)的所有直線D.不存在

【答案】B

【解析】直線。與平面a不垂直，一定存在力ua,使得:成立,

因此在平面a內(nèi)，與力平行的所有直線都與直線。垂直，因此有無數(shù)條直線在平面a內(nèi)與

直線。垂直.

故選：B

考向二異面直線所成的角

1.異面直線所成的角

①定義:設〃力是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點。作直線優(yōu)〃。力'〃6,把優(yōu)與〃所成的銳角

（或直角）叫作異面直線a與b所成的角（或夾角）.

②范圍：（04

2.等角定理:空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行,那么這兩個角相等或互補.

|典例劇折

1.12020北京四中高二期中】設a、b是異面直線，給出下列命題：

①經(jīng)過直線。有且僅有一個平面平行于直線人；

②經(jīng)過直線a有且僅有一個平面垂直于直線匕；

③存在分別經(jīng)過直線。和直線匕的兩個平行平面；

④存在分別經(jīng)過直線。和直線b的兩個互相垂直的平面.

其中錯誤的命題為（）

A.①與②B.②與③C.②與④D.僅②

【答案】D

【解析】對于①，選一條直線。與。平行，且。與。相交，則由公理2的推論可知，通過。與

。有且僅有一個平面a,此時Z?〃a,故①正確；

對于②，若a與匕不垂直，則直線匕不可能垂直于直線。所在的平面，故②錯；

對于③，取平面a與平面￡,且使a〃力，若aua,bu（3,且a與人不平行，則。功異

面，故③正確；

對于④，若a、6異面，則存在一條直線。，使得blc,設由。、。所確定的平面

為a,則一定可以過直線b作一個平面/,使得a_L/,故④正確.

故選：D.

2.12020河北高三期中】如圖，在三棱錐ZXA8C中，AC1BD,一平面截三棱錐D-ABC

所得截面為平行四邊形EFGH.已知EF=C，EH=4^，則異面直線EG和AC所成角

的正弦值是（）

A.巫B.叵C.叵D.叵

7777

【答案】A

【解析】EFGH是平行四邊形,所以EH〃戶G,因為硝Z平面ACD，尸Gu平面ACD,

所以EH//平面ACD,又EHu平面ABC,平面ABC八平面ACD=AC,

所以石H//AC,所以NHEG（或其補角）就是異面直線EG和AC所成的角，

因為ACJ.BD,所以NE〃G=9（r，

因為HG=EF=C.，EH=亞，所以EG=J7,

故sinZHEG=—=—

EG7

故選：A

3.12020湖北高三月考】在正方體ABCDA由iGOi中，E,F,G分別為8GCCi,BBi

的中點，則（）

A.D\DLAF

B.4G〃平面AE尸

C.異面直線AiG與EF所成角的余弦值為叵

10

D.點G到平面AEF的距離是點C到平面AEF的距離的2倍

【答案】BCD

【解析】4選項，由。3J/CG，即CG與AF并不垂直，所以錯誤.

B選項，如下圖，延長FE、GB交于G'連接/G'、GF,有GF//BE又E,F,G分別為BC,

CG,BBi的中點，所以GG'=BA=例，而例//GG',即AG//AG'；又因為面ABB.A,

「面AEE=AG,且4Gz面AEE,46<=面48瓦4,所以4G〃平面AEF,故正確.

C選項，取瓦G中點H，連接G”，由題意知GH與EF平行且相等，所以異面直線4G

與E尸所成角的平面角為NAG”,若正方體棱長為2,則有G〃=JE，AG=A“=石，

VlO

即在AA|G"中有COS/4,G”故正確.

lo-

。選項，如下圖若設G到平面AEF的距離、C到平面AEF的距離分別為九、%,則由

匕1-GEF=2,A8,SGEF=VQ-AEF=1%,SAEF且

11IISEC

VA-CEF=§AB,SCEF=匕-4"=§?也.SAEF，知］=不*=2，故正確?

故選：BCD

翁檢測訓練

題組一（真題在線）

1.【2020年高考浙江】已知空間中不過同一點的三條直線/,“7,n.T,m,〃共面”是"/,

m,〃兩兩相交''的

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

2.【2020年高考全國II卷理數(shù)】設有下列四個命題：

夕：兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi).

P2：過空間中任意三點有且僅有一個平面.

P3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行.

P4：若直線/U平面a,直線加，平面a,則

則下述命題中所有真命題的序號是.

①P|A〃4②P|A〃2③r72Vp3④可3丫「〃4

3.【2019年高考全國H卷理數(shù)】設a,4為兩個平面，則a〃/?的充要條件是

A.a內(nèi)有無數(shù)條直線與月平行B.a內(nèi)有兩條相交直線與用平行

C.a,夕平行于同一條直線D.?,夕垂直于同一平面

4.【2019年高考全國HI卷理數(shù)】如圖，點N為正方形ABC。的中心，△ECZ）為正三角形,

平面EC。_L平面ABC。，M是線段的中點，則

A.BM=EN,且直線BM,EN是相交直線

B.BM*EN,且直線8W,EN是相交直線

C.BM=EN,且直線BM,EN是異面直線

D.且直線BM,EN是異面直線

5.【2019年高考北京卷理數(shù)】已知/,〃?是平面a外的兩條不同直線.給出下列三個論斷:

①/_1_機；②“1〃a；③/J_a.

以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題:

題組二

1.【2020全國高三（理）】在正方體ABC?！?4Gq中，點E是棱4G的中點，點產(chǎn)

是線段CR上的一個動點.有以下三個命題:

①異面直線4G與旦F所成的角是定值;

②三棱錐B-A,EF的體積是定值；

③直線4尸與平面Bg所成的角是定值.

其中真命題的個數(shù)是

A.3B.2

C.1D.0

2.【2020福建師大附中高三期中】在正方體ABC。—4月G。中，記平面CgA為a,

若aD平面ABC。：”?，ac平面43瓦4=〃，則加，”所成角的余弦值為（）

A.BB.如C.近D.1

2232

3.12020吉林高二期中（理）】設〃?，"是兩條不同的直線，a,B，7是三個不同的平

面，給出如下命題：

①若a_L尸，尸=/n,〃ua,則〃_L￡；

②若al7,0Ly,則a///3；

③若a_L/?,尸，m<^a,則/M/e；

④若a1（3,ml/a,則J3.

其中正確命題的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

4.12020河南高三月考（理）】在長方形4BCC中，AB=24D,過AO,BC分別作異于平面

ABC。的平面a,0,若?？谠?/，則/與8。所成角的正切值是（）

A.—B.1C.2D.4

2

5.【2020東臺創(chuàng)新高級中學高一月考】設加，〃是兩條不同的直線，a,夕是兩個不重

合的平面，下列說法正確的是（）

A.若加_]_〃，wua,則〃?_LaB.若〃z_La,mu0,則a_L￡

C.若/〃J_a,nl.a,則/“〃〃D.若機ua,nu0,a11/3,則〃?〃〃

6.【2020山東濟寧.高三其他模擬】如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面ABCZ）為菱形，

且NDAB=6（T，側(cè)面抬。為正三角形，且平面a4DJ_平面ABC。，則下列說法正確的

是（）

A.在棱A￡＞上存在點"，使4）_L平面PM6B.異面直線AO與PB所成的角為90

C.二面角P-BC-A的大小為45°D.平面PAC

7.12020北京四中高二期中】正方形A8CD與正方形ABE尸有公共邊AB，平面4BCD

與平面ABEF所成角為60°,則異面直線AB與尸C所成角大小等于.

8.【2020重慶南開中學高三期中（理）】正三棱柱ABC-A4G中，A3=2,AA=20，

D為棱ABi的中點，則異面直線AO與C與成角的大小為.

9.12020浙江溫州高二期中】如圖所示，在三棱錐O—ABC中，4￡）1平面DBC,

ZBDC=1205,且AD=1,DB=DC=2,E是。。的中點.

(1)求異面直線AE與8。所成角的余弦值;

(2)求二面角A—BE—C的正切值.

翁答案解析

題組一

1.B

【解析】依題意是空間不過同一點的三條直線，

當機,〃,/在同一平面時，可能〃〃/〃〃/,故不能得出機,〃，/兩兩相交.

當血〃，/兩兩相交時，設mC"=A,mc/=B,"c/=C,根據(jù)公理2可知"4"確定一

個平面a,而Bemua,Cc"ua,根據(jù)公理1可知，直線即/u。，所以m,〃，/

在同一平面.

綜上所述，“m,〃，/在同一平面”是“m,〃，/兩兩相交”的必要不充分條件.

故選：B

2.①③④

【解析】對于命題Pi，可設4與4相交，這兩條直線確定的平面為a；

若4與4相交，則交點A在平面a內(nèi)，

同理，4與4的交點B也在平面a內(nèi),

所以，ABua,即gua,命題p1為真命題；

對于命題P2,若三點共線，則過這三個點的平面有無數(shù)個，

命題P2為假命題；

對于命題。3,空間中兩條直線相交、平行或異面，

命題P3為假命題；

對于命題若直線mJ?平面a，

則加垂直于平面a內(nèi)所有直線，

???直線/u平面a,.?.直線機_L直線/,

命題P4為真命題.

綜上可知，P[,”,為真命題，Pl'Pj為假命題，

PlAp4為真命題，PlAP2為假命題，

「心V“3為真命題，-3V為真命題.

故答案為：①③④.

3.B

【解析】由面面平行的判定定理知：a內(nèi)兩條相交直線都與夕平行是a〃4的充分條件，

由面面平行性質(zhì)定理知，若a〃尸，則a內(nèi)任意一條直線都與夕平行，所以a內(nèi)兩條相

交直線都與"平行是?！ㄓ玫谋匾獥l件，故選B.

4.B

【解析】如圖所示，作EOLCD于。，連接ON,BD,易得直線BM,EN是三角形EBD

的中線，是相交直線.

過〃作“『_LOO于尸，連接8E，

???平面C￡>E_L平面ABC。，EOLCD,EOu平面CDE,.?.EO_L平面A8CO,

MF_L平面ABC。，.?.△MFB與△EON均為直角三角形.設正方形邊長為2,易知

EO=5ON=1,EN=2,MF=2,BF=),：.BM=不，：.BM豐EN,微選B.

22

故選:B.

5.如果/_La,mHa,則

【解析】將所給論斷，分別作為條件、結(jié)論，得到如下三個命題：

(1)如果/_La,mHa、貝!!/_Lm,正確；

(2)如果/_La,/±m(xù),則根〃a,不正確，有可能根在平面a內(nèi)；

(3)如果mHa,則/_La,不正確，有可能/與。斜交、IIIa.

故答案為：如果ILa,m//a,則

6.C

22

【解析】由題可得z=x+yi,z-i=x+(y-l)i,|z-i|=^x+(y-l)=1,則

x2+(y-l)2=1.

故選