龍馭球《結構力學Ⅰ》（第4版）筆記和課后習題（含考研真題）詳解（中冊）

目錄

內容簡介

目錄

第5章靜定結構位移計算的虛力法

5.1復習筆記

5.2課后習題詳解

5.3名?？佳姓骖}詳解

第6章力法

6.1復習筆記

6.2課后習題詳解

6.3名?？佳姓骖}詳解

第7章位移法

7.1復習筆記

7.2課后習題詳解

73名?？佳姓骖}詳解

第5章靜定結構位移計算的虛力法

5.1復習筆記

本章重點介紹了虛力法的原理以及如何運用虛力法對不同結構在各種荷載作用下的指定位

移進行求解。遵循“化整為零、積零為整”的思想，對結構的局部位移公式進行了分項討論

,在虛力法的指導下疊加組成了結構的整體變形公式，隨后將虛力法升華到了對廣義單位

荷載的設定以及對廣義位移的求解；通過引入圖乘法，結構的彎矩變形公式的求解變得更

加快捷且精確；最后介紹了溫度影響下結構的位移求解并歸納了線性變形體系的四個互等

定理。

一、虛力法求剛體體系的位移（見表5-1-1）

表5-1-1虛力法求剛體體系的位移

要點主要內容

化整為零、?4零為整：先將整體變形拆解為局部變形，再將局部

基本思路

變形公式彘力口得出整體變形公式

計算結構位①驗算結構的剛度，進而蛤算結構的撓度；

移的目的②為分析超靜定結構的內力做準備

結構位移計算①荷載作用；

產生位移的

②溫度變化和材料脹縮；

原因

③支座沉降或制造誤差

用有支座移動的結構來闡述單位荷載法。設支座4

已知條件

向上移動ci,求B點豎向位移△

①沿擬求位移A方向虛設一單位荷載；

②根據(jù)受力平衡求解支座反力：FRI=fa;

單位荷載法

③列虛功方程：AXl+c后尸0,解得

（見圖5-1-1）

計算步驟

=b

△A=-=

a

④判斷符號方向：求出位移為正值，說明虛設單位

荷載與實際位移方向一致

(a)

(b)

圖5-1-1

二、虛力法求靜定結構的位移（見表5-1-2）

要點主要內容

基于化整為零、積零為整的原則，結構位移的計算從局部變形入手，通

過已經介紹過的單位荷載法推導其拉伸、翦切、彎曲變形公式，再對這

基本思路

些局部變形公式進行彝加，得到整體變形公式，最后將結構位移廣義化，

可以求解兩點之間的廣義位移

微段軸向位移出.二￡出

微段分項位移微段剪切位移助二加出

局部變形微段轉角位移d0=dsR=xds

局部位移公式

dA—Md^+FNdz+FQdi/—(MX+FN￡+FQ]O)ds

推導依據(jù)外力虛功獷=內力虛功密

無支座位移

整體變形A=￡((X1X+FN￡+FQN)ds

有支座位移CK

△=Zf(MK+FNE+FQ7O)ds—XFRATX

擬求位移△可以引申理解為廣義位移，但需要根據(jù)廣

定義義位移的性質虛設廣義單位荷載。廣義位移、廣義單

廣義位移

位荷載和外力虛功三者之間滿足：彳=1?A

廣義位移分類見表5-1-3

注：￡為微段軸線伸長應變；7為微段平均切應變；K為微段軸線曲率，而、樂、

FQ分別為虛設單位荷載在截面引起的彎矩、軸力、剪力。

表5-1-2虛力法求靜定結構的位移

表5-1-3廣義位移分類

三、兩個對偶解法——虛力法求位移、虛位移法求內力（見表5-1-4）

主要內容

要點

原理手段作用

虛力法借功求未知力虛設單位位移用于力系的平衡分析

用于位移、變形的幾

虛位移法借功求未知位移虛設單位荷載

何分析

表5-1-4兩個對偶解法——虛力法求位移、虛位移法求內力

四、荷載作用時靜定結構的彈性位移計算（見表5-1-5）

表5-1-5荷載作用時靜定結構的彈性位移計算

要點主要內容

監(jiān)

彎曲應變K=―-代入

EI

荷載引A=Xf（疏+齊N￡+FQYO）ds

起位移

軸向應變￡=T得

的計算EA

公式A=2j3由+2隹殳由+2/匪殳由

3EI乙JE4乙JG4

翦切應變y°=k—

GA

△=2]—心

梁和剛架:位移主要由彎矩引起

乙JEI

A=y|區(qū)&"ds

桁架:位移主要由桿件軸力引起

各類結乙JEA

構的位

yfWpy^Ap!

移公式桁架組合結構:位移主要由桿件A=ds+

彎矩和軸力引起乙JEI乙EA

A=，|?陛+國

拱:位移主要由彎矩和軸力引起

乙JEIEA

1rSy,

平均切應變7。公式/=--dA

/o0/Lb

截面平

均應變a

系數(shù)2

五、圖乘法（見表5-1-6）

表5-1-6圖乘法

要點主要內容

一直桿段有兩個彎矩圖，其中有一個直線圖則

產MM,11,

―:~-dr=—MiMrdx

LEIEIiA

1例

=—Jxtan（XMKdr

1a

二屈tan工隊也

公式推導

1,

=—tanaAxQ

=—Ay

EI0o

式中，M為直線彎矩圖；/為越段內此圖的面積；a為M圖

直線的傾角；X?是Mr圖形心到y(tǒng)軸的距離；州是與Mk圖形心

對應的酩圖縱坐標

①桿段為等截面直桿；

前提條件②結構滿足小變形條件；

③至少有一個直線彎矩圖用以選取豎距州

正負號規(guī)定面積且與豎標a在桿的同一側時A、vo取正,否則取負號

①若兩個彎矩圖中有一個圖形是由幾段直線組成的折線（包括標

距為零的線段），則應分段圖乘，然后進行囊加；

具體問題②若其中一個彎矩圖比較復雜，則可以將其切割成多個規(guī)則圖形

（如一個梯形切分成兩個三角形），分開圖乘，然后進行會加；

③使用圖乘法時，幾種常見圖形的面積和形心位置見圖5-1-2

圖5-1-2

六、溫度改變時靜定結構位移計算（見表5-1-7）

要點主要內容

4=2叫&^+工筌［血

計算公式

式中，a為材料睇戔即賬系數(shù)，“為桿件軸線溫度1加為桿

件上、下邊緣的溫差1%為桿件敲面高度

?的為以拉伸為正，S以溫度升高為正；

正負號規(guī)則

②當專矩*和溫差&使桿件的同一邊產生拉伸時，&-M

取正值，否則取負值

表5-1-7溫度改變時靜定結構位移計算

七、互等定理（見表5-1-8）

定理公式公式含義

對于任意線性變形體系，狀態(tài)I的外力在狀態(tài)n的位移上作的功

功的互等定理卯12=g1

隊:與狀態(tài)口的外力在狀態(tài)I的位移上作的功取】相等

對于任意名戔性變形體系，荷載FT.引起的對應于荷載尸m的位移影

位移互等定理021=012

響系數(shù)Ri等于趣Ec引起的對應于荷載尸m的位移影響系數(shù)6n

（僅適用于超靜定結構）對于任意線性變形體系，位移G引起的

反力互等定理對應于位移C：的反力影響系數(shù)E等于位移6引起的對應于位移

G的反力影響系數(shù)F

對于任意線性變形體系，位移J引起的對應于荷載尸四的位移影

位移反力互等

on--n/響系數(shù)6匕在大小上等于荷載尸餐引起的對應于位移C：的反力影

定理

響系數(shù)nf,但符號相反

表5-1-8互等定理

5.2課后習題詳解

5-1試用剛體體系虛力原理求圖5-2/所示結構D點的水平位移:

(a)設支座A向左移動1cm。

(b)設支座A下沉1cm。

(c)設支座B下沉1cm。

圖5-2-1

解：靜定結構在外部荷載作用下不產生位移和變形、僅產生內力，在外部位移作用下不產

生內力和變形、僅產生位移。圖5-2-

1所示結構為靜定結構，支座移動下不產生內力，虛功方程中沒有內力所做虛功。

(a)畫出求解的內力圖，如圖5-2-2所示。

虛設力狀態(tài)圖1

圖5-2-2

虛設力的方向同位移方向相同，運用剛體虛功方程得

=

ADHX1-1x1=0,ADH1cm(<—)

(b)畫出求解的內力圖,如圖5?2?3所示。

虛設力狀態(tài)圖2

圖5-2-3

根據(jù)比例關系，算出D的水平位移，列出剛體虛功方程

ADHXI—lx(1/4)=0,AnH=l/4cm(<—)

(c)畫出求解的內力圖，如圖5-2-4所示。

虛設力狀態(tài)圖3

圖5-2-4

列虛功方程ADHXI—[lx(—1/4)]=0,ADH=—l/4cm(―*)

5-2設圖5-2-

5所示支座A有給定位移A、&、A,o試求K點的豎向位移A、，、水平位移和轉角0。

解：給定位移，結構狀態(tài)如圖5-2-6所示。

圖526

(I)求豎向位移Av

圖5-2-7

施加一個豎向力，虛設力狀態(tài)如圖5-2-7所示，對應開始時的位移狀態(tài)，列虛功方程

Avx1—[Ayx(—1)]—Awx3a—0

Av=—Av+3aA,p(1)

(2)求水平位移AH

施加一個水平力，虛設力狀態(tài)如圖5-2-8所示，列虛功方程

AHX1—Axx1—△⑴xa=()

△ii=Ax+a△⑴(<—)

I

K

M-a

圖5-2-8

K

A

A7=-I

（3）求轉角0

圖5-2-9

虛設力狀態(tài)如圖5-2-9所示，列虛力方程

X

01—[A9X（—1）]=0

e=—4（逆時針）

5-3設圖5-2-

10所示三校拱支座B向右位移單位距離。試求C點的豎向位移A、水平位移&和兩個半拱

的相對轉角&。

c

解：圖5-2-11所示拱為靜定結構，支座移動下不產生內力，虛功方程中沒有內力所做虛功。

圖5211

(1)求豎向位移A

在C點施加一個豎向虛力，結構虛設力狀態(tài)如圖5-2-

11所示，支座位移和力的方向相反，則列虛功方程

Aixl-lxl/(4f)=0=>&=1/(4f)(|)

(2)求水平位移4

施加水平方向的單位力，虛設力狀態(tài)如圖5-2-12所示，列虛功方程

A2xl-lx(1/2)=0=>A2=l/2(一)

1

c

AB

FR2=T

@5-2-12

（3）求相對轉角4

兩端施加單位力偶，虛設力狀態(tài)如圖5-2-13所示，列虛功方程

7

A^xl-lx(1/f)=O=A=l/f(/、)

圖5-2-13

5-4設圖52

14所示三錢拱中的拉桿AB在D點裝有花籃螺栓。如果擰緊螺栓，使截面Di與D?彼此靠近

的距離為3試求C點的豎向位移"

c

圖5214

解：兩截面相互靠近，可知AB上有相對的位移，可用虛功方程求解。

在C點施加一個豎向的虛設力，AB桿的軸力如圖5-2-15所示，列虛功方程

1

"N=(拉)

Ax1+^x1/(4f)=()=△=—彳.1/(4f)⑴

圖5-2-15

5-5設圖5-2-16所示柱AB由于材料收縮，產生應變一試求B點的水平位移A。

圖5-2-16

解：虛設力狀態(tài)如圖5-2-17所示。

1B

圖5-2-17

則運用虛功原理，歹IJ方程Axl—&x2ax2=0=>A=4a&(<—)

5-6設由于溫度升高，圖5-2-

18所示桿AC伸長膜c=1mm,桿CB伸長&B=1.2mm。試求C點的豎向位移A。

D

圖5-2-18

解：溫度變化對結構有兩種影響方式，一種是通過改變桿件的軸向變形來產生軸力，一種

是通過改變桿件的內外側溫差來產生彎矩。本題結構為靜定三角桁架，溫度變化下不產生

變形，僅考慮由桿件軸向變形產生的位移影響。在C點施加豎向虛設力，虛設力狀態(tài)如圖

5-2-19所示。

圖5219

運用虛功原理列方程：Axl-X,xl/2-X2xl/2=0,則C點的豎向位移公為公=[1乂(1/2)+1.

2x(1/2)]mm=1.1mm(J)

5-7試用積分法求圖5-2-

q

ACEI

⑶

I

8

/

2

20所示懸臂梁A端和跨中C點的豎向位移和轉角(忽略剪切變形的影響)。

圖5220

解：(a)①A端的豎向位移

在A端施加一個豎向虛設力，則梁上產生的彎矩為：M(_)=x；外力均布荷載產生的彎矩

為：Mp=qx?/2<)

所以位移為

q工

②A端的轉角

在A端施加一個虛設彎矩，則梁上產生的彎矩為：M(_)=l;外力均布荷載產生的彎矩為

：Mp=qx2/2。

7

竺X1;

-.......dr=(逆時針)

=10EI6EI

則位移為

③c點的豎向位移

在C點施加一個豎向虛設力，則在梁上產生的彎矩：M(_)=x(坐標原點放到C點)；均

布荷載產生的彎矩為：MP=ql78+qxV2+qlx/2o

4+Q+如

17”

_22一曲=(,)

。EI384EZ

則位移為

④c點的轉角

在C點施加一個虛設彎矩，則在梁上的產生的彎矩為：M(_)=l(坐標原點放到C點)；

均布荷載產生的彎矩為：MP=ql78+qx72+qlx/2o

=汕(逆時針)

%=

48￡7

則位移為

(b)因為外力集中荷載在C左邊不產生作用，因此為了方便起見，把坐標原點放到C點。

①A點的豎向位移

/(5+工)"工5K/3

=..-------dx=----(J)

J。EI48￡Z

則位移為

M(_)=l/2+x,MP=FPx,

②A點的轉角

e-:^±=里(逆時針)

J。EI8EI

則位移為

M(_)=l,MP=FPx,

③C點的豎向位移

則位移為

Mp=FPx,M(_)=x,

④C點的轉角

2

FXXIFl

1Pdv=——(逆時針)

EI8￡7

Mp=FpX,M(_)=l,則位移為

5-8試用積分法求圖5-2-21所示梁的跨中撓度(忽略剪切變形的影響)。

q

卜

圖5-2-21

解：(a)在跨中施加一個豎向虛設力，梁彎矩為：M(_)=x/2(左半邊彎矩)；外力荷

0.竺I1

77X—X,

oEI384￡/

載作用下彎矩為：MP=qlx/2—qx2/2,結構左右對稱，因此求位移

(b)在跨中施加一個豎向虛設力，梁彎矩為：M(_)=x/2(只考慮左半邊)；外力荷載

作用下彎矩為：MP=FPX/2,結構左右對稱，因此位移為

1

XX—x

------dr=(J)

EI48EZ

5-9試求圖5-2-

22所示簡支梁中點C的豎向位移△,并將剪力和彎矩對位移的影響加以比較。設截面為矩

q

CA

、、、\「J7

L一￡、---十-----2——)

r2T2

形，h為截面高度,G=3E/8,k=1.2,形=1/10。

圖5-2-22

解：(1)求位移(積分法)

在C點施加一個豎向虛設力，則產生彎矩M(_)=x/2,軸力F(_)N=O,剪力F(_)Q=1/2(

只考慮左半邊)；外力荷載在結構上，產生彎矩Mp=qlx/2—qx2/2,軸力FM>=0,剪力RP

=ql/2-qx,且結構左右對稱。

2X

qx1

X—X

5q產

―dr=N)

~ET384￡/

①彎矩對位移的影響

②剪力對位移的影響

1

X一,)

△中Q=2k2

0GA8G4GA

故總位移為A中=5qP/(384EI)+0.15ql-/(GA)(J)。

(2)比較剪力和彎矩對位移的影響

4。_0.15/2/5q/4_11.52EZ

XT-GA/384EZ-GA12

求二者比值

將題中所給的G=3E/8,h/l=l/10代入上式，則比值為2.56%。

可以看出剪力對位移的影響僅僅是彎矩的2.56%,因此在某些情況下可以不用考慮剪力的

影響。

5-10試求圖5-2-23所示結點C的豎向位移Ac,設各桿的EA相等。

圖5-2-23

解：在C點施加一個豎向的虛設力，則結構各桿內力反應如圖5-2-

11

△c=一[Fx-x2dx2+)x(--)xx2+(~F)x(-1)x2d]

EA?22P

6.8285日(])

EA

24所示；外力作用下，各桿的內力反應也如圖5-2-24所示。則C點豎向位移為

圖5-2-24

5-11試求圖5-2-25所示結構結點C的水平位移&,設各桿的EA相等。

圖5-2-25

解：在C點施加一個水平虛設力。

結構的虛設力狀態(tài)圖和荷載軸力圖，如圖5-2-26所示。

圖5-2-26

△C江卷心&

=—[y/2F?xy/2xy[2a+(-Fp)x(-l)xa]

EA

二W(2V5+i)(f)

EA

求位移得

5-12試求圖5?2-27所示結構結點C的水平位移設各桿的EA相等。

圖5-2-27

解：首先在C點施加一個水平虛設力，注意到桁架C點以上都為零桿，因此只考慮C點以

下結構受力。虛設力狀態(tài)圖、荷載的軸力圖如圖5-2-28所示。

圖5-2-28

JEA

=J-(4+4+10+272+272)^

EA

=23.657色(->)

EA

則結點c的水平位移為

5-13試求圖5-2-

29所示等截面圓弧曲桿A點的豎向位移Av和水平位移AH。設圓弧AB為1/4個圓周，半徑為

R,EI為常數(shù)。

FP

圖5-2-29

解：（1）A點的豎向位移Av

在A點施加一個豎向的虛設力，虛設力狀態(tài)和外荷載作用下的應力狀態(tài)，如圖5-2-30所示。

虛設力狀態(tài)圖實際狀態(tài)圖

圖5-2-30

2（一為Ksin<9）（-Asin（9）

EI

求解得到M(__)K=-RsinO,MPK=-FPRsin9,則A點的豎向位移為

(2)A點的水平位移以

虛設力狀態(tài)如圖5-2-31所示:

虛設力狀態(tài)圖

圖5-2-31

二f3Wsin0[-(^-^cos0]x口皿二罵.)

J。EI2EI

圖中M(—)K=—(R-RCOS0),外力荷載同上，則A點的水平位移為

5-14試求圖5-2-32所示曲梁B點的水平位移以，已知曲梁軸線為拋物線，方程為

y=4fx(1—x)/I2

EI為常數(shù)，承受均布荷載q。計算時可只考慮彎曲變形。設拱比較平，可取ds=dx。

q

圖5-2-32

解：在B點施加水平虛設力，則任意點的彎矩為

M(_)=lxy=y

外力荷載作用下，梁任意點的彎矩為

Mp=qlx/2—qx:/2

q/qx

A—X---）xV

=---------=-------QX

0EI

生-當[孝心切

=[-.........=-----------------dx

J。EI

=紀（一）

15EI

則B點的水平位移為

5-15試用圖乘法解習題5-7。

解：(a)外力荷載下的彎矩圖如圖5-2-33所示。

圖5233

①A點的豎向位移

A點施加豎向虛設力，則彎矩圖如圖5-2-34所示。

圖5-2-34

與MP圖乘：A,=l/3xlxqp/2=qP/6,對應的形心y°=31/4,所以位移為

△AV=(1/EI)x(ql'/6)x(31/4)=qlV(8EI)(；)

②A點的轉角

A點施加虛設單位彎矩，則彎矩圖如圖5-2-35所示。

M圖

圖5-2-35

與Mp圖乘：Al相同，對應的形心y0=l,所以位移為

0A=1/(EI)xqp/6xl=qp/(6EI)(逆時針)

③C點的豎向位移

/

-

2

M圖

虛設力的彎矩圖如圖5-2-36所示。

圖5-2-36

2

〃

2

圖

對應外力荷載的彎矩圖為如圖5-2-37所示。

圖5237

圖乘時，把Mp圖看成一個梯形A3面積和Az面積的合成，其中

A2=2/3xl/2x[q(1/2)-]/8=qlV96

2

A3=(qP/8+ql/2)xl/2xl/2=5qlV32

C點豎直位移為

Acv=(1/2)/(6EI)x(2xqp/8xO+2xqF/2xl/2xqp/8xl/2+qP/2xO)-1/(EI)xqlV96xl/4

=17qW(384EI)(p

注：用到了兩個梯形圖乘的公式，如圖5-2-38所示。

圖5-2-38

上圖中兩個圖形的圖乘結果為△=1(2ac+2bd+ad+bc)/(6EI)

④C點的轉角

虛設力的彎矩圖如圖5-2-39所示。

圖5-2-39

圖乘結果為Oc=l/(EI)x5qP/32xl-l/(EI)xqp/96xl=7ql3/(48EI)(逆時針)

(b)彎矩圖如圖5-2-40所示。

圖5-2-40

分別與MP圖圖乘可得

AA=1/(EI)xl/2xl/2xFPl/2x(1/3X1/2+21/3)=5FP1V48EI⑴

0A=1/(EI)xl/2xl/2xFPl/2xl=FPP/(8EI)(逆時針)

Ac=l/(EI)xl/2xl/2xl/2x(2/3xFPl/2)=FP1V(24EI)(；)

Oc=l/(EI)X1/2X]/2XFP1/2X1=FPP/(8EI)(逆時針)

5-16試用圖乘法解習題5-8。

解：（a）作虛設力彎矩圖和外荷載彎矩圖，如圖5-2-41所示。

Mp圖

圖5241

MP圖分解為Ai+A?兩個圖形，其中

A1=qP/8xV2xl/2=qP/32

A2=2/3xl/2x[qx(1/2)=]/8=qlV96

圖乘求其跨中撓度為Av=l/(EI)(qP/32x2/3xl/4+qlV96xl/8)x2=5qP/(384EI)(；)

(b)作虛設力彎矩圖和外荷載彎矩圖，如圖5-2-42所示。

圖5-2-42

左右兩半分段圖乘，得出跨中撓度

Av=l/(EI)(FP1/4X1/2X1/2X2/3X]/4)X2=FP1V(48EI)(1)

5-17試用圖乘法求圖5-2-43所示梁的最大撓度fm

圖5243

/圖

圖

解：作出虛設力和外荷載的彎矩圖，如圖5-2-44所示。

圖5-2-44

對兩個圖進行圖乘即可求出梁的最大撓度（以兩個B作用點劃分為三段分別圖乘:左右兩

：2

23FpP

(J)

648E7

段為兩個三角彎矩圖圖乘，中間段為單位彎矩圖的面積與MP圖的y。圖乘）

5-18試求圖5-2-

45所示梁在截面C和E的撓度。已知E=2.OxlO5MPa,L=6560cm",L=12430cm%

圖5245

解：（1）C點的撓度

60kN?m

M,圖

虛設力和外荷載的彎矩圖如圖5-2-46所示。

圖5246

則可以求得C點的撓度為4=1/(EL)[(1.5x2)72x2/3x60+(0.5x2/2)x2/3x60]+l/(EI

2)[(1.5+0.5)x4x1/2x60]=80/(EL)+240/(Eh)=1.58cm(j)

(2)E點的撓度

虛設力彎矩圖如圖5-2-47所示，外荷載MP圖與(1)中圖5-2-46的MP圖相同。

而圖

圖5-2-47

則E點的撓度為

△E=1/(Ell)f(1X2)/2x2/3x60]x2+1/(EL)[(1+2)x2xl/2x60]x2=80/(EL)+360/

(EL)=2.06cm(j)

5-19試求圖5-2-

48所示梁C點撓度，已知FP=9000N,q=15000N/m,梁為18號工字鋼，1=1660cm”,h=l

q

DC

0.9m

5

8cm,E=2.1xl0MPao

圖5-2-48

解：將單位分別換作標準單位：Fp=9kN、q=15kN/m、1=1.66x10-

E=2.1xlOMPa、h=().18m。分別作虛設力和外荷載下的彎矩圖，如圖5-2-49所示。

圖5-2-49

將MP分解為只有均布荷載作用下的彎矩圖和只有FP作用下的彎矩圖，然后分別與虛設力

彎矩圖做圖乘，得C點撓度為

△c=io(2x2/3x1.5x16.875x0.75x5/8-1/2x0.75x1.5x8.1)/(EI)=(11.264x1(?)/(166

0x2.1x109=0.323cm(1)

20kN/m40kN20kN/m40kN

c

h(--2-m---I-------4-m--------?----4-m-------)--2--m-H)

5-20試求圖5-2-50所示梁C點撓度。已知EI=2xI0%N-cm%

圖5-2-50

解：將EI換作標準單位：EI=2xl0^kNm^o作虛設力和外荷載的彎矩圖，如圖5-2-51所示。

圖5-2-51

兩個圖進行圖乘，得到C點的撓度

A..=4(2x40x0-2x8()x1+80x0+40x1)/(6EI)+(-2/3x4x40x1/2)/(EI)+4(-2

x80xl+2x120x2-80x2+120x1)/(6EI)+(120x2x1/2x2/3x2)/(EI)+(-2/3x2xl

()x1)/(EI)=l.(X)cm(p

%

8

5-21試求圖5-2-52所示梁B端的撓度。

圖5-2-52

解：為了計算簡便，本題采用“修補法

先將AB整體看做一個剛度為EL的桿件，求出其端部位移

ABI=1/(EL)X1/2X1X1X2/3XFP1=FP1V(3EL)

再對端部的長度為a的一部分就行修補，把這一段看成一個剛度為(EL—EL)的桿件，求

端部位移

AB2=[1/(EL)-1/(EL)]xl/2xaxax2/3xFpa=[l/(EL)-1/(EL)]xFPaV3

將兩個位移相加，得到B點的撓度

AB=ABI+AB2=FP(P-aO/(3EL)+FPaV(3EL)(J)

5-22試求圖52

53所示剛架A點和D點的豎向位移。已知梁的慣性矩為21,柱的慣性矩為I。

圖5-2-53

解：注意梁和柱的剛度不同，因此圖乘的時候要分開計算。

(1)A點的豎向位移

作虛設力和外荷載的彎矩圖，如圖5-2-54所示。

M圖

圖5-2-54

兩個圖進行圖乘，得到A點的豎向位移

△A=1/(2EI)(l/2x8qx4x2/3x4-2/3x2qx4x4/2)+1/EI(8qx3x4)=112q/(EI)(j)

(2)D點的豎向位移

作虛設力的彎矩圖如下圖5-2-55所示，MP圖與（1）相同。

圖5255

兩個圖進行圖乘，得到D點的豎向位移

AD=1/(2EI)xl/2x2x2x(l/3x2q+2/3x8q)+1/(EI)x3x8qx2—1/(2EI)x2/3x2xq/8x2

2Xl/2x2=161q/(3EI)=53.67q/(EI)(J)

5-23試求圖5-2-56所示三較剛架E點的水平位移和截面B的轉角。設各桿EI為常數(shù)。

圖5-2-56

解：（1）E點的水平位移

作虛設力和外荷載的彎矩圖，如圖5-2-57所示。

圖5257

對兩個圖進行圖乘，得到E點的水平位移

AE=(9qx6xl/2x2/3x3)/(EI)x4+(2/3x6x4.5qxl.5)/(EI)=243q/(EI)(一)

（2）B點的轉角

虛設力如圖5-2-58所示，外荷載的彎矩圖MP圖與（1）中相同。

圖5258

對兩個圖進行圖乘，得到B點的轉角

OB=1/(EI)x[l/2x6x9qx2/3xl/2+2/3x6x9q/2xl/2xl/2+2xl/2x9qx2/3xl/2+l/2x6x9qx(1

73x1+2/3x1/2)]=49.5q/(EI)(/)

5-24試求圖5-2-59所示結構B點的水平位移。

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