力學(xué)大會2015集一種基于分段多項式映射的對稱型三階格式

1*，+，2*，+，信3*，+*（中國空氣動力研究與空氣動力學(xué)國家，綿陽+（中國空氣動力研究與計算空氣動力，綿陽本文采用映射函數(shù)的思想，將一種五階分段多項式映射函數(shù)（PiecewisePolynomialMap數(shù)作對比（SYMNND-M）NND、WNND更高的分辨能力，SYMNND-PPM5的分辨率要略高于 比于傳統(tǒng)的二階精度格式（TVD格式），高階精度格式具有更小的數(shù)值耗散和色散誤差，可以Jiang&Shu[3]提出了一種有效地實現(xiàn)WENO的方式，并將其用于有限差分，其五階形式(WENO5)成標準。盡管擁有很多的優(yōu)勢，但WENO5還存在一定的缺陷。Henrick等人[4]首先，WENO5在數(shù)，相應(yīng)的格式稱為WENO-M。WENO-M可以保持精度一致，且分辨率有所提高。對非線性行改進并提出新格式的還有Borges[5]，Ha[6]，F(xiàn)an[7]等。國內(nèi)信[8]較早地提出了構(gòu)造差分格式應(yīng)該滿足的四個原則，提出了一種無振蕩、無自由參數(shù)耗散算法，即二階精度的NND格式。由于NND形式簡單、物理概念清楚、易于編程和計算量小，在國內(nèi)工程領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。隨后，張及其團隊進一步發(fā)展了一系列高精度計算格式，包括ENN[9]、WNND[10]、WENN[11,12]、中心對稱型三階格式[13]等。最近，等人[14]提出了一種分段多項式映射函數(shù)，對WENO5格式的非線性行映射，提出了WENN-PPM格式。新格式在保持計算穩(wěn)定性下的，進

utf(u)x

jutjf?j1/2f?1/2 jf?的數(shù)值離散方式也不同。等人[13]NND格式的基礎(chǔ)上增加了一SMNND1n3rdπ處，SYMNNDWENO3線性格式的1n3rd 變n3rd的值就可以調(diào)整對稱型三階格式的耗散。本文的計算中取n3rd=10。將f 分為正、負通量 0i1/ 1i1/ 2i1/ 0i1/ 1i1/ 2i1/ ffff?(0) f,f?(1) f,f?(2) ffff i3/ ? 1f 1f 1ffi1/2 i3/2,fi1/2f i1/2,fi1/2f n3/1/3,/2/3,/ n3k2 kkISkpk2p21016ISkk2

f

fj1

22

fj

f?f

IS 2 f?(i i為了增強格式的穩(wěn)定性，在使用(5)IS后，要對最下風(fēng)模板進IS2maxi02 jHenrick等人[4]最先，在極值點（f'0）時，WENO5的五階精度不能保持。他們提出j g()232 212 gk(0)0,gk(1) g() ) kkgkLgL(0)0，gL(),gL(i)()0fori1 k

gR(1)1，gR(),gR(i)()0fori1 ak且b1k1，映射函數(shù)gL：1a15 gR：b4 k 此函數(shù)將使用(4)ωk進行一次映射，再將得到的值進行歸一化作為最終 SYMNND-PPM5格式的性能。所有問題使用具有TVD性質(zhì)的三階Runge-Kutta格式，對于定常問題則使用LU-SGS格式。,u,p

(1.0,0.0, 5.0x (0.125,0.0, 0.0x計算時間推進到t2.023 圖3t=2.0，局部密度分,u,p(3.857143,2.629369, x (1.00.2sin(5x),0.0, x圖4t=1.8，密度分 圖5t=1.8，局部密度分WNND格式，并且使SYMNND-PPM5SYMMNND-M以使非線性權(quán)在kSYMNND-PPM5的分辨率也要略高于SYMMNND-M。M2.0，T293K，Re2.96105，Pr0.7232.585，為激波入射角；壁面為粘性絕熱條件 皆為超聲速邊界。計算域為0.0x2.020.0y1.30nxny=102121，x方向均勻分布，yy=0.3045處的壓力分布(6中紅線位置)WENO57x=1.4附近，NND格式SYMNND-PPM5SYMNNDM格式也能夠較好分辨到此區(qū)域，分辨率明顯優(yōu)于NND格式和WNND格式。 圖7沿y=0.3045處的壓力分89分別給出了壁面壓力分布和壁面摩阻系數(shù)分布，對比的實驗數(shù)據(jù)來自文獻[15]?？啥捎肧YMNND-PPM5和SYMNND-M格式則較大。圖8物面壓力分 圖9物面摩阻系數(shù)分Ms3.0Borges[5]

2

rr0e(1rr0)/p(r) M2 (r)

1 2exp(1r

21/(

r 其中u代表旋渦誘導(dǎo)的速度。r0(4,0)代表初始時旋渦中心所在位置。1.4。p(r)(rx0.0處。旋渦強度0.4以上三個量分別采用uu2

系計算得到。計算域為[20,10][15,15]。并使用15011501的均勻網(wǎng)格。計算時間步長t0.002，計算至無量綱時間t14.0SYMNND-PPM5、SYMNND-M、WNND及NND，并進行了比較。10-圖13給出了四種格式計算得到的密度等值線?？梢钥吹?，SYMNNDPPM5和SYMNND-M格式分辨出的流場結(jié)構(gòu)明顯比WNND和NND更加豐富。由于初始流場含有激波間斷，為了適應(yīng)Eluerx3.6處會形成垂直方向的二次干擾波。NNDWNND格式由于耗散較擾波。同樣還有圖10中方框區(qū)域內(nèi)的流場結(jié)構(gòu)。且從圖10左側(cè)方框區(qū)域流場可以看出， 圖11SYMNND-M格式的密度等值 圖12WNND格式的密度等值 圖13NND格式的密度等值計算結(jié)果與Gnoffo[17]給出的實驗結(jié)果進行對比。Gnoffo數(shù)值模擬時使用的網(wǎng)格是512256。SYMNND-MSYMNND-PPM5分辨出的漩渦數(shù)最多，NND格式最少。1819比較了SYMNND-PPM5WNND格式計算的壁面壓力和熱流分布?？梢钥闯?， 圖15SYMNND-M的密度梯度等值圖16NND的密度梯度等值 圖17WNND的密度梯度等值圖18不同格式壁面壓力分 圖19不同格式壁面熱流分 SYMNND-PPM5。同時與Henrick等人映射函數(shù)作對比（SYMNND-。一維Euler算例、NND、WNND更高的分辨能力，可以有效地捕捉到流場中的激波、接觸間斷面等復(fù)雜Henrick的映射函數(shù)，分段多項式映射函數(shù)可以使最終的非線性權(quán)更加接近于格式的線性權(quán)，因此SYMNND-PPM5的分辨率也要略高于SYMMNND-M。制關(guān)鍵基礎(chǔ)問題研究”的支持，項目編號2014CB744100，特此感謝。HartenA,EnquistB,OsherS,etal.Uniformlyhighorderessentiallynon-oscillatoryschemes[J].JournalofComputationalPhysics,1987,71(231):231-303.LiuX,OsherS,ChanT.Weightedessentiallynon-oscillatoryschemes[J].JournalofComputationalPhysics,1994,115(200):JiangG,ShuQiwang.EfficientimplementationofweightedENOschemes[J].JournalofComputationalPhysics,1996,126(1):A.K.Henrick,T.D.Aslam,J.M.Powers.Mappedweightedessentiallynon-oscillatoryschemes:achievingoptimalordernearcriticalpoints[J].JournalofComputationalPhysics,2005,207:542-567.R.Borges,M.Carmona,B.Costa,W-S.Don.Animprovedweightedessentiallynon-oscillatoryschemeforhyperbolilcconservationlaws[J].JournalofComputationalPhysics,2008,227:3191-3211.Y.Ha,C.-H.Kim,Y.-J.Lee,J.Yoon.Animprovedweightedessentiallynon-oscillatoryschemewithanewsmoothnessindicator[J].JournalofComputationalPhysics,2013,232:68-86.7Fan,YiqingShen,NaolinTian,ChaoYang.Anewsmoothnessindicatorforimprovingtheweightedessentiallynon-oscillatoryscheme[J].JournalofComputationalPhysics,2014,269:329-354.8信.無波動、無自由參數(shù)的耗散差分格式[J].空氣動力學(xué)學(xué)報,1988,6(2):143-9信,賀國宏,張雷等.高精度求解氣動方程的幾個問題[J].空氣動力學(xué)學(xué)報,1993,11(4):341-10劉偉.細長機翼搖滾機理的非線性動力學(xué)分析及數(shù)值模擬方法研究[D].國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)博士.11,信,高樹椿.基于NND格式的色散關(guān)系保持格式[A].第九屆計算流體力學(xué)會議[C].云南,12,信,高樹椿.關(guān)于超聲速剪切流動的數(shù)值模擬[J].空氣動力學(xué)學(xué)報,2000,18(增):67-13,孫東,鄭永康,信.一類中心型三階格式及應(yīng)用[J].空氣動力學(xué)學(xué)報,2013,31(4):466-14QinLi,PengxinLiu,HanxinZhang.PiecewisepolynomialmapmethodandcorrespondingWENOschemewithimprovedresolution[J].CommunicationinComputationalPhysics(accepted),2015.15MacCormackR.W.AnumericalmethodforsolvingtheequationsofcompressibleviscousFlow[J].AIAAJournal.1982,16O.Inoue,Y.Hattori.Soundgenerationbyshockvortexinctions[J],JournalofFluidMechanics,1990,380:81-17P.Gnoffo.CFDvalidationstudiesforhyicflowprediction[C].AIAA2001-ASYMMETRICTHIRDORDERSCHEMEBASEDONPIECEWISEPOLYNOMIALMAPMETHODLiu Li Zhang(1StateKeyLaboratoryofAerodynamics.AerodynamicsResearchandDevelopmentCenter,MianyangSichuan621000,)(2ComputationalAerodynamicsInstitute,AerodynamicsResearchandDevelopmentCenter,MianyangSichuan621000,Theideaofmapfunctionisadoptedinthisarticle.ThefifthorderPiecewisePolynomialMapFunctionandHenrick'smapfunctionareappliedtoasymmetricthirdorderschemeandcompared.Thepropertieshaveb