常用單元的剛度矩陣

.2(ru)2ru2rr由于各點在圓周方向上無位移，因而剪應(yīng)變vr和vr均為urru零。將應(yīng)變寫成向量的形式，則rzwrzuzwzr根據(jù)上式，可推導(dǎo)出幾何方程B(e)zjk0zkj0zij0Ni(r,z)0Nj(r,z)Nk(r,z)rr0r01其中幾何矩陣0rkj0rik0rjiB2rkjzjkrikzkirjizij3.彈性方程和彈性矩陣[D]依據(jù)廣義虎克定律，同樣能夠?qū)懗鲈谳S對稱中應(yīng)力和應(yīng)變之間的彈性方程，其形式為r1ru(z)E1u(rz)Ez1zu(r)Errz2(1)Erz所以彈性方程為式中應(yīng)力矩陣

DTrzrz..10彈性矩陣E10D10(1)(12)1200024.單元剛度矩陣k(e)與平面問題相同，仍用虛功原理來成立單元剛度矩陣，其積分式為k(e)BTDBdVV在柱面坐標(biāo)系中，dV2drdz將dV2drdz代入k(e)BTDBdV，則k(e)2BTDBrdrdzV即為軸對稱問題求單元剛度矩陣的積分式。與彈性力學(xué)平面問題的三角形單元不同，在軸對稱問題中，幾何矩陣[B]內(nèi)有的元素（如Ni(r,z)等）是坐標(biāo)r、z的函r數(shù)，不是常量。因此，乘積BTDB不能簡單地從式k(e)2BTDBrdrdz的積分號中提出。如果對該乘積逐項求積分，將是一個沉重的工作。一般采用近似的方法：用三角形形心的坐標(biāo)值代替幾何矩陣[B]內(nèi)的r和z的值。用B表示在形心(r,z)處計算出的矩陣[B]。其中r(rirjrk),z(zizjzk)33只需單元尺寸不太大，經(jīng)過這樣辦理惹起的誤差也不大。被積函數(shù)又成為常數(shù)，能夠提出到積分號外面：..k(e)Trdrdz2TBr式中——三角形的面積。2BDBBD由式k(e)TDBrdrdz2T能夠看出，兩軸對2BBDBr稱的三角形單元，當(dāng)形狀、大小及方位完全相同而地點不同時，其剛度矩陣也不相同。距離主軸線越遠(yuǎn)的單元，其剛度越大。這與平面問題不同樣。二、等參數(shù)的剛度矩陣對一些由曲線輪廓的復(fù)雜構(gòu)造，如果采用直角邊單元進行離散，由于用直線代替了曲線，除非網(wǎng)格區(qū)分得很細(xì)，否則不能獲得較高的精度；對另一些應(yīng)力隨坐標(biāo)急巨變化的構(gòu)造，采用簡單的常應(yīng)力單元離散時，也必須區(qū)分紅大量的微小單元，以保證足夠的精度。為此引入一種高精度的單元——等參數(shù)單元。它既能簡化復(fù)雜單元區(qū)分的工作，又能在知足同樣精度的要求時，大大減少使用的單元數(shù)。當(dāng)前流行的大程序中較常用，它成功地解決了很多二維和三維的彈性力學(xué)識題。為導(dǎo)出等參數(shù)單元的剛度矩陣，首先要成立根據(jù)每個單元的形狀確定的自然坐標(biāo)系，然后將位移模式和形狀函數(shù)都寫成自然坐標(biāo)的函數(shù)。一個單元在自然坐標(biāo)系內(nèi)的點余元整體坐標(biāo)系內(nèi)的點成一一對應(yīng)的關(guān)系。經(jīng)過映射，能夠?qū)⒄w坐標(biāo)系中的圖形轉(zhuǎn)變?yōu)樽匀蛔鴺?biāo)系中的相應(yīng)徒刑。比如能夠?qū)⒄w坐標(biāo)系中的一個隨意四邊形（實際單元）映射到自然坐標(biāo)系中成為一..個正方形（基本單元）。同樣也能夠?qū)㈦S意四面體、六面體（包括直邊和曲邊的）分別映射成正四面體和正六面體。這里只介紹較簡單的一種平面問題的情況，將整體坐標(biāo)系中的一個隨意四邊形映射成自然坐標(biāo)系中的一個正方體，并導(dǎo)出單元剛度矩陣。其余種單元的映射，可依次原理進行。不再表達(dá)。位移模式和形狀函數(shù)圖4-2中的隨意四邊形單元上，作連結(jié)對邊中點的直線，取其交點為原點，這兩條直線分別為和軸，并令四條邊上的和值分別為1，成立一個新的坐標(biāo)系，稱之為該單元的自然坐標(biāo)系。原坐標(biāo)系XOY稱為整體坐標(biāo)系。在整體坐標(biāo)系中，自然坐標(biāo)系非正交，它由隨意四邊形的形狀所確定。圖4-19如果將自然坐標(biāo)系改畫成直角坐標(biāo)系，那么圖4-19（a）中的隨意四邊形單元就成為圖4-19（b）所示的正方形。上述兩個四邊形的點（包括極點）一一對應(yīng)，即它們之間相互映射。因此，需要寫出整體坐標(biāo)X、Y和自然坐標(biāo)、之間的坐標(biāo)變換式，即XY

1234*5678四邊形四個極點的坐標(biāo)值在XOY坐標(biāo)系中分別為X1,Y1,X2,Y2,X3,Y3,X4,Y4：在o坐標(biāo)系中相應(yīng)為1,1,1,1,1,1,1,1。將相關(guān)數(shù)據(jù)代入*中的第一式，則有..X11234,X21234X31234,X41234求解上述方程組得：1X1X2X3X4,2X1X2X3X4443X1X2X3X4,4X1X2X3X444坐標(biāo)變換方程*成為1X11X21X31X4X14同理11Y11Y21Y31Y4Y4當(dāng)引入函數(shù)Ni,后，坐標(biāo)變換方程成為4XNi,Xii14YNi,Yii1式中Ni,111ii4變量、的正負(fù)號由相應(yīng)節(jié)點的坐標(biāo)值i、i決定。比如當(dāng)i=4時，41,41，因此，N4,11。4下面再來研究函數(shù)Ni,的特性。對節(jié)點1X1,Y1，相應(yīng)的自然坐標(biāo)值為（-1，-1）。從式Ni1i1i中很容易看出，除N1=1外，,14N2=N3=N4=0。對其余各節(jié)點也同樣?？偠灾瑢?jié)點i(i=1,2,3,4)，除Ni=1外，其余三個N值均為零。同時，不難看出N1,N2,N3,N4,1，即四個節(jié)點的Ni函數(shù)..之和等于1。函數(shù)Ni,具備上章所介紹的形狀函數(shù)應(yīng)知足的條件，可作為本單元的形狀函數(shù)。采用Ni,做形狀函數(shù)，其位移模式為44uNi,ui,vNi,vii1i14XNi,Xi44對照i1和u,ui,vNiNi,vi能夠看出：4i1i1YNi,Yii1在這種實際單元（隨意四邊形）中，坐標(biāo)變換式和位移模式不單采用了相同的形狀函數(shù)Ni,，而且擁有相同的數(shù)學(xué)模型。這種性質(zhì)的實際單元稱為等參數(shù)單元。對用節(jié)點位移值ui（或vi等）求單元內(nèi)某一點位移量u(或v等)的插值公式u4,ui，只需將u(或v等)換成X(或YNii1等)，便成為利用節(jié)點值Xi(或Yi等)求相應(yīng)點坐標(biāo)X(或Y等)的插值公式。相反也是這樣。2.幾何矩陣[B]由于幾何矩陣[B]經(jīng)過對位移求偏導(dǎo)數(shù)而得出，所以首先必須利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的規(guī)則得出下述公式uuXuYuuXY或?qū)懗蒍XuuXuuuYXYy..XY式中JXY，此式稱為雅可比矩陣。為了將幾何矩陣[B]寫成變量、的函數(shù)，必須將式uuuJX改寫成uyuuXJ1，同理，uuy

vvX1vJvy從表示單元內(nèi)各點位移與其應(yīng)變關(guān)系的幾何方程可知：X01000uvT0u00uvY01YXYv1100YXuuvv將式XJ1和XJ1歸并，則uuvvyyuuvvT10TJuuvvXYXY0J1對單元（e），隨意一點的位移u，v對自然坐標(biāo)，的偏導(dǎo)數(shù)可利用上式求出，寫成矩陣形式為：uuvvTeNp式中eu1v1u1v1u1v1u1v1TNpN1p0N2p0N3p0N4p00N1p0N2p0N3p0N4p..NiT關(guān)于i=1,2,3,4NipNiuuvvT10uuvvT將J和XYXY0J1uuvTvNpe代入X00001vvT0u00uu，則可得出表示01XYYv11Y00YX在整體坐標(biāo)系中位移和應(yīng)變關(guān)系的幾何方程：eBee式中的幾何矩陣[B]是自然坐標(biāo)，的函數(shù)：100010B000JNp110110J04NiNiTXNi,Xi也可利用Nip求得的Nip以及i1和4YNi,Yii1XYTX1X2X3X4J求出J，JN1p。YN2pN3pN4pY2Y3Y4XY13.單元剛度矩陣ke設(shè)單元板厚為t，根據(jù)虛功方程有：eTkBDBtdA，A此式中幾何矩陣[B]和彈性矩陣[D]都已求出。因為幾何矩陣中的變量是自然坐標(biāo)，，所以也要用自然坐標(biāo)表示微分面積dA。在實際單元中任取一點p，其整體坐標(biāo)位X、Y，其相應(yīng)..的自然坐標(biāo)為，。過p點做，的等值線，同時做d，d的等值線，圍成一小塊微分面積dA，如圖4-20a）所示。為便于剖析，將四邊形pqrs放大，如圖4-20（b）所示。實際上，d，d取得很小，因此該四邊形可視為平行四邊形。若相鄰的兩邊用向量a，b表示，則兩者的乘積等于該平行四邊形的面積dA。圖4-20dAabsinab若aaxiayj,bbxibyj，則dAaxiayaxbxjbxibyjbyay為了求出ax，ay,bx，by的值，要先寫出a和b兩頭節(jié)點p、q、s的坐標(biāo)值。點p：點q：

XpX,,YpY,XqXd,,YqYd,點s：XsX,d,YsY,d利用泰勒技術(shù)展開并略去高階項，可得Xd,X,XdX,dX,Xd對Yd,,Y,d，也可寫出相應(yīng)的展開式。利用式Xd,X,Xd可得：X,dX,Xd..Xd,ayYqYpYaxXqXpd，bxXsXpXd,byYsYpYd將此式代入式dAaxiayjbxibyjaxbx獲得：aybyXYaxbxdd，簡寫為dAJdddAbyXayY單元剛度矩陣為：11keBTDBtJdd，這個積分能夠采用“數(shù)值方法”，用11高斯求積分公式很方便的求出，在此不作介紹。例：求如下圖四邊形的雅可比矩陣。解：求雅可比矩陣可在整體坐標(biāo)系中進行，也能夠在實際單元的局部坐標(biāo)系中進行。為便于計算，本例在局部坐標(biāo)系中進行。對單元（1）：將四個節(jié)點的自然坐標(biāo)值（-1，-1）、（1，-1）、（1，1）、（-1，1）代入下式：Ni,11i1i，再將所獲得的Ni,值及四個節(jié)點4實際單元在局部坐標(biāo)系的坐標(biāo)值（-3，-2）、（3，-2）、（3，2）、（-3，2）代入下式計算：..4XNi,Xi3,Y2i1，則X4