斐波那契數(shù)列

斐波那契數(shù)列數(shù)學(xué)術(shù)語01定義特性通項(xiàng)公式應(yīng)用目錄03020405推廣斐波那契弧線相關(guān)數(shù)學(xué)C++代碼實(shí)現(xiàn)目錄070608基本信息斐波那契數(shù)列（Fibonaccisequence），又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家萊昂納多·斐波那契（LeonardoFibonacci）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，指的是這樣一個(gè)數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列以如下被以遞推的方法定義：F(0)=1，F(xiàn)(1)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N*）在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域，斐波那契數(shù)列都有直接的應(yīng)用，為此，美國數(shù)學(xué)會(huì)從1963年起出版了以《斐波那契數(shù)列季刊》為名的一份數(shù)學(xué)雜志，用于專門刊載這方面的研究成果。定義定義斐波那契數(shù)列指的是這樣一個(gè)數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89...自然中的斐波那契數(shù)列這個(gè)數(shù)列從第3項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和。斐波那契數(shù)列的定義者，是意大利數(shù)學(xué)家萊昂納多·斐波那契（LeonardoFibonacci），生于公元1170年，卒于1250年，籍貫是比薩。他被人稱作“比薩的萊昂納多”。1202年，他撰寫了《算盤全書》（LiberAbacci）一書。他是第一個(gè)研究了印度和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)理論的歐洲人。他的父親被比薩的一家商業(yè)團(tuán)體聘任為外交領(lǐng)事，派駐地點(diǎn)于阿爾及利亞地區(qū)，萊昂納多因此得以在一個(gè)阿拉伯老師的指導(dǎo)下研究數(shù)學(xué)。他還曾在埃及、敘利亞、希臘、西西里和普羅旺斯等地研究數(shù)學(xué)。另外斐波那契還在計(jì)算機(jī)C語言程序題中應(yīng)用廣泛通項(xiàng)公式遞推公式通項(xiàng)公式內(nèi)容通項(xiàng)公式推導(dǎo)與黃金分割的關(guān)系證明12345通項(xiàng)公式遞推公式斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89...斐波納契數(shù)列以如下被以遞歸的方法定義：；這個(gè)數(shù)列從第三項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和。

顯然這是一個(gè)線性遞推數(shù)列。通項(xiàng)公式內(nèi)容⑴(如上，又稱為“比內(nèi)公式”，是用無理數(shù)表示有理數(shù)的一個(gè)范例。

)注：此時(shí)⑵通項(xiàng)公式推導(dǎo)方法一：利用特征方程（線性代數(shù)解法）線性遞推數(shù)列的特征方程為：解得則解得方法二：待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列1（初等代數(shù)解法）設(shè)常數(shù)，使得則時(shí)，有：聯(lián)立以上個(gè)式子，得：與黃金分割的關(guān)系有趣的是，這樣一個(gè)完全是自然數(shù)的數(shù)列，通項(xiàng)公式卻是用無理數(shù)來表達(dá)的。而且當(dāng)趨向于無窮大時(shí)，前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的比值越來越逼近黃金分割0.618（或者說后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比值小數(shù)部分越來越逼近0.618）。越到后面，的比值越接近黃金比。證明兩邊同時(shí)除以得到：若的極限存在，設(shè)其極限為，則所以由于解得：所以極限是黃金分割比。特性平方與前后項(xiàng)其他公式與集合子集特性平方與前后項(xiàng)從第二項(xiàng)開始（構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，第一項(xiàng)為1，第二項(xiàng)為2，……），每個(gè)偶數(shù)項(xiàng)的平方都比前后兩項(xiàng)之積多1，每個(gè)奇數(shù)項(xiàng)的平方都比前后兩項(xiàng)之積少1。如：第二項(xiàng)1的平方比它的前一項(xiàng)1和它的后一項(xiàng)2的積2少1，第三項(xiàng)2的平方比它的前一項(xiàng)1和它的后一項(xiàng)3的積3多1。（注：奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)是指項(xiàng)數(shù)的奇偶，而并不是指數(shù)列的數(shù)字本身的奇偶，比如從數(shù)列第二項(xiàng)1開始數(shù)，第4項(xiàng)5是奇數(shù)，但它是偶數(shù)項(xiàng)，如果認(rèn)為5是奇數(shù)項(xiàng)，那就誤解題意，怎么都說不通）證明經(jīng)計(jì)算可得：與集合子集斐波那契數(shù)列的第n+2項(xiàng)同時(shí)也代表了集合中所有不包含相鄰正整數(shù)的子集個(gè)數(shù)。其他公式如果，，，，……，則有：因，，則有：應(yīng)用黃金分割楊輝三角矩形面積質(zhì)數(shù)數(shù)量應(yīng)用尾數(shù)循環(huán)自然界中“巧合”數(shù)字謎題影視作品中的應(yīng)用黃金分割隨著數(shù)列項(xiàng)數(shù)的增加，前一項(xiàng)與后一項(xiàng)之比越來越逼近黃金分割的數(shù)值0...…楊輝三角將楊輝三角左對(duì)齊，成圖1所示排列，將同一斜行的數(shù)加起來，即得一數(shù)列1、1、2、3、5、8、……圖1公式表示如下：矩形面積斐波那契數(shù)列與矩形面積的生成相關(guān)，由此可以導(dǎo)出一個(gè)斐波那契數(shù)列的一個(gè)性質(zhì)。圖2斐波那契數(shù)列前幾項(xiàng)的平方和可以看做不同大小的正方形，由于斐波那契的遞推公式，它們可以拼成一個(gè)大的矩形。這樣所有小正方形的面積之和等于大矩形的面積。則可以得到如下的恒等式：質(zhì)數(shù)數(shù)量斐波那契數(shù)列的整除性與質(zhì)數(shù)生成性每3個(gè)連續(xù)的數(shù)中有且只有一個(gè)被2整除，圖3每4個(gè)連續(xù)的數(shù)中有且只有一個(gè)被3整除，每5個(gè)連續(xù)的數(shù)中有且只有一個(gè)被5整除，每6個(gè)連續(xù)的數(shù)中有且只有一個(gè)被8整除，每7個(gè)連續(xù)的數(shù)中有且只有一個(gè)被13整除，每8個(gè)連續(xù)的數(shù)中有且只有一個(gè)被21整除，每9個(gè)連續(xù)的數(shù)中有且只有一個(gè)被34整除，.......我們看到第5、7、11、13、17、23位分別是質(zhì)數(shù)：5，13，89，233，1597，28657（第19位不是）尾數(shù)循環(huán)斐波那契數(shù)列的個(gè)位數(shù)：一個(gè)60步的循環(huán)11235,83145,94370,77415,61785,38190,99875,27965,16730,33695,49325,72910…進(jìn)一步，斐波那契數(shù)列的最后兩位數(shù)是一個(gè)300步的循環(huán)，最后三位數(shù)是一個(gè)1500步的循環(huán)，最后四位數(shù)是一個(gè)15000步的循環(huán)，最后五位數(shù)是一個(gè)150000步的循環(huán)。自然界中“巧合”斐波那契數(shù)列在自然科學(xué)的其他分支，有許多應(yīng)用。例如，樹木的生長，由于新生的枝條，往往需要一段“休息”時(shí)間，供自身生長，而后才能萌發(fā)新枝。所以，一株樹苗在一段間隔，例如一年，以后長出一條新枝；第二年新枝“休息”，老枝依舊萌發(fā)；此后，老枝與“休息”過一年的枝同時(shí)萌發(fā)，當(dāng)年生的新枝則次年“休息”。這樣，一株樹木各個(gè)年份的枝椏數(shù)，便構(gòu)成斐波那契數(shù)列。這個(gè)規(guī)律，就是生物學(xué)上著名的“魯?shù)戮S格定律”。另外，觀察延齡草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金鳳花、耬斗菜、百合花、蝴蝶花的花瓣，可以發(fā)現(xiàn)它們花瓣數(shù)目具有斐波那契數(shù)：3、5、8、13、21……圖4其中百合花花瓣數(shù)目為3，梅花5瓣，飛燕草8瓣，萬壽菊13瓣，向日葵21或34瓣，雛菊有34、55和89三個(gè)數(shù)目的花瓣。斐波那契螺旋：具有13條順時(shí)針旋轉(zhuǎn)和21條逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的螺旋的薊的頭部這些植物只是按照自然的規(guī)律才進(jìn)化成這樣。這似乎是植物排列種子的“優(yōu)化方式”，它能使所有種子具有差不多的大小卻又疏密得當(dāng)，不至于在圓心處擠了太多的種子而在圓周處卻又稀稀拉拉。葉子的生長方式也是如此，對(duì)于許多植物來說，每片葉子從中軸附近生長出來，為了在生長的過程中一直都能最佳地利用空間（要考慮到葉子是一片一片逐漸地生長出來，而不是一下子同時(shí)出現(xiàn)的），每片葉子和前一片葉子之間的角度應(yīng)該是222.5°，這個(gè)角度稱為“黃金角度”，因?yàn)樗驼麄€(gè)圓周360°之比是黃金分割數(shù)0.數(shù)字謎題三角形的三邊關(guān)系定理和斐波那契數(shù)列的一個(gè)聯(lián)系：現(xiàn)有長為144cm的鐵絲，要截成n小段（n≥3），每段的長度不小于1cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，則n的最大值為：由于形成三角形的充要條件是任何兩邊之和大于第三邊，因此不構(gòu)成三角形的條件就是存在兩邊之和不超過另一邊。截成的鐵絲最小為1，因此可以放2個(gè)1，第三條線段就是2（為了使得n最大，因此要使剩下來的鐵絲盡可能長，因此每一條線段總是前面的相鄰2段之和），依次為：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，以上各數(shù)之和為143，與144相差1，因此可以取最后一段為56，這時(shí)n達(dá)到最大為10。我們看到，“每段的長度不小于1”這個(gè)條件起了控制全局的作用，正是這個(gè)最小數(shù)1產(chǎn)生了斐波那契數(shù)列，如果把1換成其他數(shù)，遞推關(guān)系保留了，但這個(gè)數(shù)列消失了。這里，三角形的三邊關(guān)系定理和斐波那契數(shù)列發(fā)生了一個(gè)聯(lián)系。在這個(gè)問題中，這個(gè)143是斐波那契數(shù)列的前項(xiàng)和，我們是把144超出143的部分加到最后的一個(gè)數(shù)上去，如果加到其他數(shù)上，就有3條線段可以構(gòu)成三角形了。影視作品中的斐波那契數(shù)列在歐美可謂是盡人皆知，于是在電影這種通俗藝術(shù)中也時(shí)常出現(xiàn)，比如在風(fēng)靡一時(shí)的《達(dá)芬奇密碼》里它就作為一個(gè)重要的符號(hào)和情節(jié)線索出現(xiàn)，在《魔法玩具城》里又是在店主招聘會(huì)計(jì)時(shí)隨口問的問題?？梢姶藬?shù)列就像黃金分割一樣流行。可是雖說叫得上名，多數(shù)人也就背過前幾個(gè)數(shù)，并沒有深入理解研究。在電視劇中也出現(xiàn)斐波那契數(shù)列，比如：日劇《考試之神》第五回，義嗣做全國模擬考試題中的最后一道數(shù)學(xué)題~在FOX熱播美劇《Fringe》中更是無數(shù)次引用，甚至作為全劇宣傳海報(bào)的設(shè)計(jì)元素之一。推廣推廣斐波那契—盧卡斯數(shù)列盧卡斯數(shù)列1、3、4、7、11、18…，也具有斐波那契數(shù)列同樣的性質(zhì)。（我們可稱之為斐波那契—盧卡斯遞推：從第三項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和）盧卡斯數(shù)列的通項(xiàng)公式為這兩個(gè)數(shù)列還有一種特殊的聯(lián)系（如下表所示），，及類似的數(shù)列還有無限多個(gè)，我們稱之為斐波那契—盧卡斯數(shù)列。如1，4，5，9，14，23…，因?yàn)?，4開頭，可記作F[1，4]，斐波那契數(shù)列就是F[1，1]，盧卡斯數(shù)列就是F[1，3]，斐波那契—盧卡斯數(shù)列就是F[a，b]。斐波那契—盧卡斯數(shù)列之間的廣泛聯(lián)系①任意兩個(gè)或兩個(gè)以上斐波那契—盧卡斯數(shù)列之和或差仍然是斐波那契—盧卡斯數(shù)列。如：F[1,4]n+F[1,3]n=F[2,7]n，F(xiàn)[1,4]n-F[1,3]n=F[0,1]n=F[1,1](n-1)，②任何一個(gè)斐波那契—盧卡斯數(shù)列都可以由斐波那契數(shù)列的有限項(xiàng)之和獲得，如相關(guān)數(shù)學(xué)排列組合數(shù)列與矩陣兔子繁殖問題相關(guān)數(shù)學(xué)排列組合有一段樓梯有10級(jí)臺(tái)階，規(guī)定每一步只能跨一級(jí)或兩級(jí)，要登上第10級(jí)臺(tái)階有幾種不同的走法?這就是一個(gè)斐波那契數(shù)列：登上第一級(jí)臺(tái)階有一種登法；登上兩級(jí)臺(tái)階，有兩種登法；登上三級(jí)臺(tái)階，有三種登法；登上四級(jí)臺(tái)階，有五種登法……1，2，3，5，8，13……所以，登上十級(jí)，有89種走法。類似的，一枚均勻的硬幣擲10次，問不連續(xù)出現(xiàn)正面的可能情形有：答案是種。求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式由數(shù)學(xué)歸納法可以得到：，將斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)式代入，化簡就得結(jié)果。兔子繁殖問題斐波那契數(shù)列又因數(shù)學(xué)家萊昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”。一般而言，兔子在出生兩個(gè)月后，就有繁殖能力，一對(duì)兔子每個(gè)月能生出一對(duì)小兔子來。如果所有兔子都不死：我們不妨拿新出生的一對(duì)小兔子分析一下：第一個(gè)月小兔子沒有繁殖能力，所以還是一對(duì)兩個(gè)月后，生下一對(duì)小兔對(duì)數(shù)共有兩對(duì)三個(gè)月以后，老兔子又生下一對(duì)，因?yàn)樾⊥米舆€沒有繁殖能力，所以一共是三對(duì)－－－－－－依次類推可以列出下表：幼仔對(duì)數(shù)=前月成兔對(duì)數(shù)成兔對(duì)數(shù)=前月成兔對(duì)數(shù)+前月幼仔對(duì)數(shù)數(shù)列與矩陣對(duì)于斐波那契數(shù)列1、1、2、3、5、8、13、……。有如下定義F(n)=F(n-1)+F(n-2)F(1)=1F(2)=1對(duì)于以下矩陣乘法F(n+1)=【11】【F(n)F(n-1)】TF(n)=【10】【F(n)F(n-1)】T它的運(yùn)算就是矩陣【11】乘以矩陣【F(n)F(n-1)】以及矩陣【10】乘以矩陣【F(n)F(n-1)】，得到：F(n+1)=F(n)+F(n-1)F(n)=F(n)可見該矩陣的乘法完全符合斐波那契數(shù)列的定義斐波那契弧線斐波那契弧線圖5斐波那契弧線，也稱為斐波那契扇形線。第一，此趨勢(shì)線以二個(gè)端點(diǎn)為準(zhǔn)而畫出，例如，最低點(diǎn)反向到最高點(diǎn)線上的兩個(gè)點(diǎn)。