初二數(shù)學提優(yōu)-軸對稱圖形

初二數(shù)學第二章軸對稱圖形知識點一、軸對稱與軸對稱圖形（1）把一個圖形沿著某一條直線翻折，如果它能夠與另一個圖形重合，那么這兩個圖形成___；（2）把一個圖形沿著某一條直線折疊，如_____能夠互相重合，那么稱這個圖形是軸對稱圖形．1．下列圖形是軸對稱圖形嗎？請你試著畫出它們的對稱軸．二、軸對稱的性質(zhì)及軸對稱圖形的畫法成軸對稱的兩個圖形中，對應點的連線被______________垂直平分；2．如圖，已知△ABC和直線l，畫出△ABC關(guān)于直線l的對稱圖形．3．如圖所示，由小正方形組成的“7”字形圖中，請你用三種方法分別在圖中添畫一個小正方形使它成為軸對稱圖形．三、線段、角的軸對稱性（1）①線段是軸對稱圖形，＿＿＿＿＿＿＿＿是它的對稱軸；②線段垂直平分線上的點到＿＿的距離相等；到＿＿距離相等的點在線段的垂直平分線上．（2）①角是軸對稱圖形，＿＿＿＿＿＿＿＿是它的對稱軸；②角平分線上的點到＿＿＿＿的距離相等；到＿＿＿＿距離相等的點在角的平分線上．考查試題：4．如圖，在△ABC中，AC=7，DE垂直平分AB，分別交AB、AC于點E、D，△BCD周長為9，則BC=_____．第7題圖第6題圖第5題圖第4題圖第7題圖第6題圖第5題圖第4題圖5．如圖，AB=AC=5cm，BC=3cm，∠A=40°，點A和點B關(guān)于直線l對稱，AC與l相交于點D，則∠C=＿＿＿＿°，△BDC的周長等于＿＿＿＿cm．6．如圖，有張村A、李村B、王村C，這三個村莊共建一個水泵站D，使得水泵站D到A、B兩村的距離相等，且使C村到水泵站D的管線最短，試確定水泵站D的位置．7．如圖，△ABC中，AF平分∠BAC交BC于F，F(xiàn)D⊥AB于D，F(xiàn)E⊥AC于E，求證：AF垂直平分DE．四、等腰三角形的性質(zhì)與判定第8題圖（1）等腰三角形的性質(zhì)：①＿＿＿＿＿＿＿；第8題圖（2）等腰三角形的判定：＿＿＿＿＿＿＿＿；8．如圖，D為△ABC內(nèi)一點，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足為D，交AC于點E，∠A=∠ABE．若AC=5，BC=3，則BD的長為 （）A．2.5 B．1.5 C．2 D．19．如圖，在△ABC中，∠B與∠C的平分線交于點O，過點O作DE∥BC，分別交AB、AC于點D、E．若AB=5，AC=4，則△ADE的周長是＿＿＿＿．第第9題圖10．已知：如圖，點C、D在△ABE的邊BE上，BC=ED，AB=AE．求證：AC=AD．第12題圖第12第12題圖第12題圖第10題圖五、等邊三角形的性質(zhì)與判定及直角三角形的性質(zhì)（兩個一半）（1）等邊三角形的性質(zhì)：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（2）等邊三角形的判定：①＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；②＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；③＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；第11題圖（3）兩個一半：①＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；第11題圖11．如圖，在△ABC中，AB=AC=8，AD是底邊上的高，E為AC中點，則DE=＿＿12．一艘輪船由海平面上A地出發(fā)向南偏西40°的方向行駛40海里到達B地，再由B地向北偏西20°的方向行駛40海里到達C地，則A、C兩地相距 （）A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里13．如圖，四邊形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，M為BD中點，N為AC中點．求證：MN⊥AC．第1第13題圖14．已知：在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD．（1）如圖①，若∠AOB=∠COD=60°，求證：①AC=BD；②∠APB=60°．（2）如圖②，若∠AOB=∠COD=α，則AC與BD間的等量關(guān)系式為＿＿＿＿，∠APB的大小為＿＿＿．（直接寫出結(jié)果，不證明）15．如圖，小明將三角形紙片ABC（AB＞AC）沿過點A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD，展開紙片（如圖①），再次折疊該三角形紙片，使點A和點D重合，折痕為EF，展平紙片后得到△AEF（如圖②）．小明認為△AEF是等腰三角形，你同意嗎？請說明理由．16．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D在BC上，且BD=BA，點E在BC的延長線上，且CE=CA．（1）試求∠DAE的度數(shù)．（2）如果把原題中“AB=AC”的條件去掉，其余條件不變，那么∠DAE的度數(shù)會改變嗎？為什么？參考答案知識點1：軸對稱、圖形的兩部分．1、略知識點2：對稱軸．2、略；3略．知識點3：線段的垂直平分線、線段的兩端點、線段的兩端點、角平分線所在的直線、角兩邊、角兩邊4、2；5、70、8；6、略；7、角平分線上點到兩邊距離相等∴FD=FE∠DAF=∠EAFAF公共邊所以有△DAF≌△EAF

所以AD=AE設(shè)DE與AF交于點G又∵∠DAF=∠EAFAG公共邊∴△ADG≌△EAG

∴DG=EG∠AGD=∠AGE=180/2=90°

即AF垂直平分DE知識點4：等邊對等角，三線合一；等角對等邊．8、D9、9；10、（很簡單，就略了吧！注意多種方法．）知識點5：三角都等于60度；三邊相等的三角形是等邊三角形、三角都相等的三角形是等邊三角形、有兩個角是60度的三角形是等邊三角形、有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．30度所對的直角邊是斜邊的一半．11、4；12、B；13、證明：連接CM，AM，∵∠DAB=∠BCD=90°，M為BD中點，∴CM=1/2BD=AM．∴△AMC為等腰三角形．∵N為AC中點，∴MN⊥AC．14、證明：在△AOB和△COD中OA=OB，OD=OC，∠AOB=60??，∠COD=60∵∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC∴∠AOC=∠BOD∴△AOC≌△BOD∴AC=BD∴∠OAC=∠OBD，∴∠APB=∠AOB=60（2）②∠APB=α．

證明：由△AOC≌△BOD可以得到∠OAC=∠OBD，利用“三角形的外角等于和它不相鄰的兩個外角的和”可以證明即∠BPC=∠OBD+∠BOC+∠OCA=∠OAC+∠BOC+∠OCA=180°-α，又∵∠APB=180°-∠BPC，∴∠APB=α．15、：（1）同意．如圖，設(shè)AD與EF交于點G．由折疊知，AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD．又由折疊知，∠AGE=∠DGE，∠AGE+∠DGE=180°，所以∠AGE=∠AGF=90°，所以∠AEF=∠AFE．所以AE=AF，即△AEF為等腰三角形．16、（1）∵AB=AC，∠BAC=90°

∴∠B=∠ACB=45°∵BD=BA

∴∠BAD=∠BDA=（180°-∠B）=67.5°

∵CE=CA

∴∠CAE=∠E=∠ACB=22.5°

在△ABE中，∠BAE=180°-∠B-∠E=112.5°∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=112.5°-67.5°=45°

（2）不改變

設(shè)∠CAE=x

∵CA=CE

∴∠E=∠CAE=x

∴∠ACB=∠CAE+∠E=2x

在△ABC中，∠BAC=90°

∴∠B=90°-∠ACB=90°-2x∵BD=BA

∴∠BAD=∠BDA=（180°-∠B）=x+45°

在△ABE中，∠BAE=180°-∠B-∠E=180°-(90°-2x）-x=90°+x∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=（90°+x）-（x+45°）

=45°課后練習：MT9527；2、6；3、1；4、B;5、B;6、略；7、略．8、（1）、OA=OB=OC(2）△OMN是等腰直角三角形．

證明：連接OA，∵AC=AB，∠BAC=90°，∴OA=OB，OA平分∠BAC，∠B=45°，∴∠NAO=45°，∴∠NAO=∠B，在△NAO和△MBO中，AN=BM，∠NAO=∠B，AO=BO，∴△NAO≌△MBO，∴ON=OM，∠AON=∠BOM，∵AC=AB，O是BC的中點，∴AO⊥BC，即∠BOM+∠AOM=90°，∴∠AON+∠AOM=90°，即∠NOM=90°，∴△OMN是等腰直角三角形．9、解：（1）∵BD⊥BC，∴△DBC是直角三角形，當P移動到DC的中點時，DP=PC=BP，∴∠C=∠PBC，∠APB=∠C+∠PBC=2∠C，又∵∠A=2∠C，∴∠A=∠APB，∴△ABP是等腰三角形，∴BP=AB；（2）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，在△ABD中，∠BDC＞∠A，∵∠BDC+∠C=90°，∴∠A+∠C＜90°，即2∠C+∠C＜90°，解得∠C＜30°．10、⑴ΔCOD是等邊三角形．理由：∵∠OCD=60°，OC=DC，∴ΔOCD是等邊三角形．⑵∵∠ODC=60°，∠ADC=∠AOB=105°，∴∠ADO=45°，①AO=AD，則∠AOD=45°，∠AOC=105°，∴α=360°-2×105°=150°，②OA=OD，則∠AOD=90°，∴α=360°-105°-90°-60°=105°，③DA=DO，則∠AOD=1/2(180°-45°)=67.5°，α=360°-(105°+60°+67.5°)=127.5．∴當α為150°或105°或127.5°時，ΔAOD是等腰三角形．⑶由⑵知，∠ADO=45°，∴ΔAOD不能成為等邊三角形．⑷設(shè)AC與OD相交于P，∵∠ADO=45°，∴∠DAC=45°，∴∠CBO=∠DAC=45°，在ΔACD中，∠ADC=105°，∴∠ACD=30°，∴∠BCO=∠ACD=30°，∴α=180°-(∠CBO+∠BCO)=105°．11、（1）能（2）∵小木棒長度都相等，∴∠A1A2A=∠θ，∠A2A3A1=∠θ1，由三角形外角性質(zhì)，∠θ1=∠A1A2A+∠θ=2∠θ，∠θ2=∠θ+∠θ1=∠θ+2∠θ=3θ；依此類推，∠θ3=4θ，∠θ4=5θ，∵只能擺放4根小木棒，∴5θ≥90°4θ+4θ＜180°，解得18°≤θ＜22.5°．12、（1）證明：∵△ABC是等邊三角形∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，又∵點P、Q運動