四川省德陽市黃鹿中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

四川省德陽市黃鹿中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)

V

A.

B.

C.

D.參考答案：A2.已知是虛數(shù)單位，則等于A. B. C. D.參考答案：A，選A.3.下列命題中真命題的個(gè)數(shù)為（

）①,使得.

②銳角中，恒有.③,不等式成立的充要條件為：A.

B.

C.

D.參考答案：B4.已知方程在（0，+∞）有兩個(gè)不同的解α，β（α＜β），則下面結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．參考答案：C【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷；兩角和與差的正切函數(shù)．【分析】利用x的范圍化簡(jiǎn)方程，通過方程的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題，利用相切求出β的正切值，通過兩角和的正切函數(shù)求解即可．【解答】解：，要使方程在（0，+∞）有兩個(gè)不同的解，則y=|sinx|的圖象與直線y=kx（k＞0）有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以直線y=kx與y=|sinx|在內(nèi)相切，且切于點(diǎn)（β，﹣sinβ），由，，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，直線與曲線相切的轉(zhuǎn)化，兩角和的正切函數(shù)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．5.已知橢圓與拋物線有相同的焦點(diǎn)，為原點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線準(zhǔn)線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且，則的最小值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A6.復(fù)數(shù)A.

2i

B.22i

C.1+i

D.1i

參考答案：D，故選D.7.（原創(chuàng)）首項(xiàng)為1的正項(xiàng)等比數(shù)列的前100項(xiàng)滿足，那么數(shù)列（

）A先單增，再單減

B單調(diào)遞減

C單調(diào)遞增

D先單減，再單增參考答案：A略8.已知點(diǎn)C為扇形AOB的弧AB上任意一點(diǎn)，且，若，則的取值范圍為（

）A.[－2,2] B. C. D.[1,2]參考答案：D【分析】建立平面直角坐標(biāo)系利用設(shè)參數(shù)用三角函數(shù)求解最值即可．【詳解】解：設(shè)半徑為1，由已知可設(shè)OB為x軸的正半軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，其中A（，），B（1，0），C（cosθ，sinθ）（其中∠BOC＝θ有（λ，μ∈R）即：（cosθ，sinθ）＝λ（，）+μ（1，0）；整理得：λ+μ＝cosθ；λ＝sinθ，解得：λ，μ＝cosθ，則λ+μcosθsinθ+cosθ＝2sin（θ），其中；易得其值域?yàn)閇1，2]故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了向量的線性運(yùn)算，三角函數(shù)求值域等知識(shí)，屬于中檔題．9.設(shè)奇函數(shù)f（x）=cos（ωx+φ）﹣sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期為π，則（） A．f（x）在（0，）上單調(diào)遞減 B． f（x）在（0，）上單調(diào)遞增 C．f（x）在（，）上單調(diào)遞減 D． f（x）在（，）上單調(diào)遞增參考答案：D10.對(duì)于函數(shù)，，“的圖象關(guān)于軸對(duì)稱”是“是奇函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件

B.充要條件

C.必要不充分條件

D.即不充分也不必要條件參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如果是二次函數(shù),且的圖象開口向上,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,）,那么曲線任一點(diǎn)處的切線的傾斜角的取值范圍是

.參考答案：略12.已知一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為，圓心角為的扇形，則此圓錐的體積為

．參考答案：

13.在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)M(4，)到曲線上的點(diǎn)最短距離為____，參考答案：2

略14.設(shè)函數(shù)f（x）=（x2+1）（x+a）為奇函數(shù)，則a=

．參考答案：0考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．專題：計(jì)算題．分析：由函數(shù)f（x）=（x2+1）（x+a）為奇函數(shù)，則可得f（0）=0，從而可求解答： 解：因函數(shù)f（x）=（x2+1）（x+a）為奇函數(shù)，則f（0）=0，∴f（0）=a=0故答案為：0．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了奇函數(shù)的性質(zhì)f（0）=0（定義域內(nèi)有0）的應(yīng)用，利用該性質(zhì)可以簡(jiǎn)化基本運(yùn)算．屬于基礎(chǔ)試題15.已知橢圓是該橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)，P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L取最大值時(shí)，的面積為

．參考答案：

16.在中，若，AB=5，BC=7，則的面積S=__________。

參考答案：答案：17.點(diǎn)在同一個(gè)球的球面上，，若四面體體積的最大值為，則該球的表面積為

.參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°．（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若PA＝AB，求PB與AC所成角的余弦值；（Ⅲ）當(dāng)平面PBC與平面PDC垂直時(shí)，求PA的長．

參考答案：（I）證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以AC⊥BD．

又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，

所以PA⊥BD，

所以BD⊥平面PAC．

………4分（Ⅱ）設(shè)AC∩BD＝O．因?yàn)椤螧AD＝60°，PA＝AB＝2，所以BO＝1，AO＝CO＝．如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、OC所在直線及過點(diǎn)O且與PA平行的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz，則

P（0，－，2），A（0，－，0），B（1,0,0），C（0，，0）．

所以＝（1，，－2），＝（0,2，0）．

設(shè)PB與AC所成角為θ，則

cosθ＝＝＝．

………………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知＝（－1，，0）．設(shè)P（0，－，t）（t＞0），則＝（－1，－，t）．設(shè)平面PBC的法向量m＝（x，y，z），則·m＝0，·m＝0．所以

令y＝，則x＝3，z＝，

所以m＝．同理，可求得平面PDC的法向量n＝．因?yàn)槠矫鍼BC⊥平面PDC，所以m·n＝0，即－6＋＝0．解得t＝．所以當(dāng)平面PBC與平面PDC垂直時(shí)，PA＝．

……12分19.已知函數(shù)．（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)（1，﹣）處的切線方程；（2）若函數(shù)g（x）=f（x）﹣x有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，求a的取值范圍．（3）在（2）的條件下，求證：+＞2．參考答案：【考點(diǎn)】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f′（1），求出切線方程即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而確定a的范圍即可；（3）要證，即證，令，即證，設(shè)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．【解答】解：（1）a=1時(shí)，f（x）=xlnx﹣x2，則f′（x）=lnx+1﹣x，則f′（1）=0，故切線方程是：y+=0（x﹣1），即y=﹣；（2）函數(shù)g（x）=f（x）﹣x有兩個(gè)相異的極值點(diǎn)x1，x2，即g′（x）=lnx﹣ax=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，①當(dāng)a≤0時(shí)，g′（x）單調(diào)遞增，g′（x）=0不可能有兩個(gè)不同的實(shí)根；②當(dāng)a＞0時(shí)，設(shè)h（x）=lnx﹣ax，，當(dāng)時(shí)，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；∴，∴，（3）不妨設(shè)x2＞x1＞0，∵，∴l(xiāng)nx2﹣ax2=0，lnx1﹣ax1=0，lnx2﹣lnx1=a（x2﹣x1），要證，即證，即證，令，即證，設(shè)，則，函數(shù)φ（t）在（1，+∞）單調(diào)遞減，∴φ（t）＜φ（1）=0，∴．20.某企業(yè)生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本(即固定投入)為0.5萬元，但每生產(chǎn)100臺(tái)時(shí)，又需可變成本(即另增加投入)0.25萬元．市場(chǎng)對(duì)此商品的年需求量為500臺(tái)，銷售的收入(單位：萬元)函數(shù)為，其中x是產(chǎn)品生產(chǎn)的數(shù)量(單位：百臺(tái))．(1)求利潤關(guān)于產(chǎn)量的函數(shù)．(2)年產(chǎn)量是多少時(shí)，企業(yè)所得的利潤最大？參考答案：（1）解：設(shè)年產(chǎn)量為x，利潤為………………6分（2）解：由（1）知時(shí)，………………8分時(shí)，=………………10分當(dāng)時(shí)，故年產(chǎn)量為475臺(tái)時(shí)，工廠所得利潤最大………………12分【分析】（1）由于商品年需求量為，故要對(duì)產(chǎn)量分成不大于和大于兩段來求利潤.當(dāng)時(shí)，用收入減掉成本，即為利潤的值.當(dāng)時(shí)，成本和的表達(dá)式一樣，但是銷售收入是固定的，由此求得解析式.（2）兩段函數(shù)，二次函數(shù)部分用對(duì)稱軸求得其最大值，一次函數(shù)部分由于是遞減的，在左端點(diǎn)有最值的上限.比較兩段函數(shù)的最大值，來求得整個(gè)函數(shù)的最大值.【詳解】(1)當(dāng)0≤x≤5時(shí)，產(chǎn)品能全部售出，則成本為0.25x＋0.5，收入為5x－x2，利潤f(x)＝5x－x2－0.25x－0.5＝－x2＋4.75x－0.5.當(dāng)x>5時(shí)，只能銷售500臺(tái)，則成本為0.25x＋0.5，銷售收入為5×5－×52＝，利潤f(x)＝－0.25x－0.5＝－0.25x＋12.綜上，利潤函數(shù)f(x)＝(2)當(dāng)0≤x≤5時(shí)，f(x)＝－(x－4.75)2＋10.78125，當(dāng)x＝4.75∈[0,5]時(shí)，f(x)max＝10.78125(萬元)；當(dāng)x>5時(shí)，函數(shù)f(x)是遞減函數(shù)，則f(x)<12－0.25×5＝10.75(萬元)．10．75<10.78125.綜上，當(dāng)年產(chǎn)量是475臺(tái)時(shí)，利潤最大．【點(diǎn)睛】本小題主要考查實(shí)際生活計(jì)算利潤的問題.在利潤等于收入減去成本.本題中含有固定成本和可變成本.而需求量是一個(gè)固定值，所以產(chǎn)量超過500時(shí)，收入是固定的，這一點(diǎn)解題過程中要注意到.21.（本題滿分13分）已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)F（1，0）的距離與點(diǎn)到軸的距離的差等于1．（I）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（II）過點(diǎn)作兩條斜率存在且互相垂直的直線，設(shè)與軌跡相交于點(diǎn)，與軌跡相交于點(diǎn)，求的最小值．參考答案：（I）設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意為化簡(jiǎn)得當(dāng)、所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為（II）由題意知，直線的斜率存在且不為0，設(shè)為，則的方程為．由，得設(shè)則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，于是

．因?yàn)?，所以的斜率為．設(shè)則同理可得故當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取最小值16．22.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立，求滿足條件的b最小的整數(shù)值．參考答案：（1）見解析（2）－3【分析】（1）用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性，注意函數(shù)的定義域；（2）寫出的