2022年湖南省常德市澧縣教育局張公廟鎮(zhèn)中學高三數(shù)學理模擬試卷含解析

2022年湖南省常德市澧縣教育局張公廟鎮(zhèn)中學高三數(shù)學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知點A（4，4）在拋物線y2=2px（p＞0）上，該拋物線的焦點為F，過點A作該拋物線準線的垂線，垂足為E，則∠EAF的平分線所在的直線方程為（）A．2x+y﹣12=0 B．x+2y﹣12=0 C．2x﹣y﹣4=0 D．x﹣2y+4=0參考答案：D【分析】先求出拋物線方程，再拋物線的定義可得|AF|=|AE|，所以∠EAF的平分線所在直線就是線段EF的垂直平分線，從而可得結論．【解答】解：∵點A（4，4）在拋物線y2=2px（p＞0）上，∴16=8p，∴p=2∴拋物線的焦點為F（1，0），準線方程為x=﹣1，E（﹣1，4）由拋物線的定義可得|AF|=|AE|，所以∠EAF的平分線所在直線就是線段EF的垂直平分線∵kEF=﹣2，∴∠EAF的平分線所在直線的方程為y﹣4=（x﹣4），即x﹣2y+4=0故選D．【點評】本題考查拋物線的標準方程，考查學生的計算能力，屬于基礎題．2.雙曲線的右焦點F與拋物線的焦點重合，且在第一象限的交點為M，MF垂直于軸，則雙曲線的離心率是

(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C3.下列命題錯誤的是（

）A.不在同一直線上的三點確定一個平面B.兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面C.如果兩個平面垂直，那么其中一個平面內的直線一定垂直于另一個平面D.如果兩個平面平行，那么其中一個平面內的直線一定平行于另一個平面參考答案：C如果兩個平面垂直，那么其中一個平面內的直線不一定垂直于另一個平面，可能相交或平行于另一個平面，故命題錯誤.試題立意：本小題考查空間直線和平面的位置關系，直線與平面垂直的判定與性質定理等基礎知識；意在考查學生空間想象能力.4.已知函數(shù)f（x）=，若關于x的不等式[f（x）]2+af（x）﹣b2＜0恰有1個整數(shù)解，則實數(shù)a的最大值是（）A．2 B．3 C．5 D．8參考答案：D【考點】74：一元二次不等式的解法．【分析】畫出函數(shù)f（x）=的圖象，對b，a分類討論，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用數(shù)形結合即可得出．【解答】解：函數(shù)f（x）=，如圖所示，①當b=0時，[f（x）]2+af（x）﹣b2＜0化為[f（x）]2+af（x）＜0，當a＞0時，﹣a＜f（x）＜0，由于關于x的不等式[f（x）]2+af（x）﹣b2＜0恰有1個整數(shù)解，因此其整數(shù)解為3，又f（3）=﹣9+6=﹣3，∴﹣a＜﹣3＜0，﹣a≥f（4）=﹣8，則8≥a＞3，a≤0不必考慮．②當b≠0時，對于[f（x）]2+af（x）﹣b2＜0，△=a2+4b2＞0，解得：＜f（x）＜，只考慮a＞0，則＜0＜，由于f（x）=0時，不等式的解集中含有多于一個整數(shù)解（例如，0，2），舍去．綜上可得：a的最大值為8．故選：D．5.已知向量，，則（

）A． B．

C．

D．參考答案：B6.已知正項等比數(shù)列{an}的公比為3，若，則的最小值等于（

）A．1

B．

C.

D．參考答案：C∵正項等比數(shù)列的公比為3，且∴∴∴，當且僅當時取等號.故選C.

7.設集合A=,B=,則AB=(

)A.

B.

C.

D.參考答案：D8.若點P(3，m)在以點F為焦點的拋物線(t為參數(shù))上，則|PF|等于()．A．2

B．3 C．4

D．5參考答案：C略9.已知函數(shù)f（x）=ln|x|，g（x）=﹣x2+3，則f（x）?g（x）的圖象為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】3O：函數(shù)的圖象．【分析】根據(jù)f（x）?g（x）為偶函數(shù)，排除A，D，根據(jù)函數(shù)的變化趨勢，排除B．【解答】解：f（x）=ln|x|，g（x）=﹣x2+3，則f（x）?g（x）=ln|x|?（﹣x2+3），∴f（﹣x）?g（﹣x）=ln|﹣x|?（﹣（﹣x）2+3）=ln|x|?（﹣x2+3）=f（x）?g（x），∴f（x）?g（x）為偶函數(shù)，其圖象關于y軸對稱，排除A，D，當x→+∞時，f（x）→+∞，g（x）→﹣∞，∴f（x）?g（x）→﹣∞，排除B．故選：C10.已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足z（1﹣i）=3+2i，則z=（）A．+ B．﹣﹣ C．+ D．﹣﹣參考答案：A【考點】A5：復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【分析】利用復數(shù)的運算法則、共軛復數(shù)的定義即可得出．【解答】解：z（1﹣i）=3+2i，∴z（1﹣i）（1+i）=（3+2i）（1+i），∴2z=1+5i，則z=，故選：A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若雙曲線的離心率小于，則的取值范圍是

.參考答案：12.已知滿足不等式組，則的最小值等于

.參考答案：313.將序號分別為1，2，3，4，5的5張參觀券全部分給4人，每人至少1張，如果分給同一人的2張參觀券連號，那么不同的分法種數(shù)是．參考答案：96【考點】排列、組合及簡單計數(shù)問題．【分析】求出5張參觀券全部分給4人，每人至少1張，如果分給同一人的2張參觀券連號的組數(shù)，然后分給4人排列即可．【解答】解：5張參觀券全部分給4人，分給同一人的2張參觀券連號，方法數(shù)為：1和2，2和3，3和4，4和5，四種連號，其它號碼各為一組，分給4人，共有4×=96種．故答案為：96．14.若函數(shù)在點處存在極值，則a=

，b=

。參考答案：-2，略15.為了了解名學生對學校某項教改試驗的意見，打算從中抽取一個容量為的樣本，考慮用系統(tǒng)抽樣，則分段的間隔為__________________．參考答案：_20_略16.已知集合，則實數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：17.已知為上的可導函數(shù)，當時，，則關于的函數(shù)的零點個數(shù)為___________.參考答案：0個略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，,平面PAD⊥底面ABCD，且△PAD是邊長為2的等邊三角形，，M是AD中點．(1)求證：平面PMB⊥平面PAD；(2)證明：∠PDC>∠PAB，且△PDC與△PAB的面積相等.參考答案：解：(1)△PAD是邊長為2的等邊三角形,M是AD中點PM⊥AD,PM平面PAD又平面PAD⊥底面ABCD

平面PAD∩底面ABCD=AD∴PM⊥底面ABCD又BM底面ABCD,

PM⊥BM,

△PMB是直角三角形在等邊△PAD中，PM=，又PB=，MB=∠BAD=60○,在△ABM中,由余弦定理：MB2=AM2+AB2-2AM×AB×cos60○得：AB2-AB-2=0,即AB=2，△ABD也是等邊三角形，

BM⊥AD平面PAD∩底面ABCD=AD

BM底面ABCD

∴BM⊥平面PAD又BM平面PMB平面PMB⊥平面PAD（Ⅱ）由（Ⅰ）知底面ABCD是菱形.連接CM,在△DMC中，∠MDC=120○,由余弦定理：MC2=MD2+CD2-2MD×CD×cos120○=12+22-2×1×2×=7得：MC=，在直角形△PMC中，：PC2=PM2+MC2=在△PDC中，由余弦定理：在△PAB中，由余弦定理：,，余弦函數(shù)在是減函數(shù)∠PDC>∠PAB，

而，

，即△PDC與△PAB面積相等.

(注：沒有通過計算出面積，能夠說明面積相等原因的，仍然是滿分)

19.（本小題滿分14分）已知函數(shù)．（1）求在上的最大值；（2）若直線為曲線的切線，求實數(shù)的值；（3）當時，設，且，若不等式恒成立，求實數(shù)的最小值．參考答案：（1），…………2分令，解得（負值舍去），由，解得．（ⅰ）當時，由，得，在上的最大值為．…………………3分（ⅱ）當時，由，得，在上的最大值為．……4分（ⅲ）當時，在時，，在時，，在上的最大值為．…………………5分（2）設切點為，則

……………6分由，有，化簡得，即或，……………①

由，有，……………②由①、②解得或．

……………9分（3）當時，，由（2）的結論直線為曲線的切線，，點在直線上，根據(jù)圖像分析，曲線在直線下方．

…………10分下面給出證明：當時，．

，當時，，即．………12分，，．要使不等式恒成立，必須．……………13分又當時，滿足條件，且，因此，的最小值為．

…………………14分20.如圖所示，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=，點F是PB的中點，點E在棱BC上移動．（Ⅰ）當E為BC的中點時，試判斷EF與平面PAC的位置關系，并說明理由；（Ⅱ）當BE為何值時，PA與平面PDE所成角的大小為45°？參考答案：【考點】直線與平面所成的角．【專題】空間位置關系與距離．【分析】（Ⅰ）當點E為BC的中點時，EF與平面PAC平行．由線面平行的判定定理可以證出結論．用線面平行的判定定理證明時要注意把條件寫全．（Ⅱ）建立空間坐標系設點E（x，1，0），求出用E的坐標表示的平面PDE的法向量，由線面角的向量表示公式建立方程求出E的坐標．【解答】解：（Ⅰ）當點E為BC的中點時，EF與平面PAC平行．∵在△PBC中，E、F分別為BC、PB的中點，∴EF∥PC．又EF?平面PAC，而PC?平面PAC，∴EF∥平面PAC．（Ⅱ）建立如圖所示空間直角坐標系，則P（0，0，1），B（0，1，0），D（，0，0），設BE=x（0≤x≤），則E（x，1，0），設平面PDE的法向量為=（p，q，1），由，得，令p=1，則=（1，﹣x，）．而=（0，0，1），依題意PA與平面PDE所成角為45°，所以sin45°===，解得BE=x=或BE=x=＞（舍）．故BE=時，PA與平面PDE所成角為45°．【點評】考查用向量證明立體幾何中的問題，此類題的做題步驟一般是先建立坐標系，設出坐標，用線的方向向量的內積為0證線線垂直，線面垂直，用線的方向向量與面的法向量的垂直證面面平行，兩者的共線證明線面垂直．此處為一規(guī)律性較強的題，要注意梳理清楚思路．21.(本小題滿分12分)已知向量（1）求，并求在上的投影（2）若，求的值，并確定此時它們是同向還是反向？參考答案：（1）………1分

…………2分，…………4分

在上的投影為………6分（2）法一：…………8分…………10分

…12分法二：…………8分…………10分…12分22.（本小題滿分12分）如圖5，已知三棱錐中，⊥，為的中點，為的中點，且△為正三角形．（1）求證：⊥平面；（2）若，，求點到平面的距離．參考答案：