巧用直線的參數(shù)方程解題方法

------------------------------------------------------------------------巧用直線的參數(shù)方程解題方法巧用直線的參數(shù)方程解題摘要：我們都知道解析幾何在高考數(shù)學(xué)中的重要性，解析幾何常常讓考生感到頭痛，特別是關(guān)于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、求軌跡方程等類型的題目。這類型的題目所涉及的知識(shí)點(diǎn)多、覆蓋面廣、綜合性比較強(qiáng)。從而考察考生的運(yùn)算能力和綜合解題能力，不少學(xué)生常常因缺乏解題策略而導(dǎo)致解答過程繁難、運(yùn)算量大，甚至半途而廢。而想要比較簡(jiǎn)單的解決此類問題運(yùn)用直線的參數(shù)方程是較合適的方法，運(yùn)用直線的參數(shù)方程去解決一些解析幾何問題會(huì)比較簡(jiǎn)便。關(guān)鍵詞:直線的參數(shù)方程；平面；空間；弦長。1、引言在解決的某一解析幾何的問題時(shí)，運(yùn)用直線的參數(shù)方程解題是非常合適的。運(yùn)用的直線的參數(shù)方程解題它的優(yōu)點(diǎn)在于能化繁為簡(jiǎn)、減少計(jì)算過程，而它的缺點(diǎn)就是它的局限性，不是所有的題目都適合運(yùn)用直線的參數(shù)方程解決的。在平面幾何里，一些關(guān)于焦點(diǎn)弦長、某點(diǎn)的坐標(biāo)、軌跡方程、等式證明等問題的題目我們可以考慮運(yùn)用直線的參數(shù)方程去解決。在空間幾何里用直線的參數(shù)方程可以解決的問題有求柱面和錐面的方程、空間中的一些軌跡方程、對(duì)稱點(diǎn)等相關(guān)問題。在平面中或是空間里的解析幾何問題，我們都可以考慮運(yùn)用直線的參數(shù)方程去解決，我們會(huì)舉相關(guān)的例題，運(yùn)用直線的參數(shù)方程去解題。2.1在平面中運(yùn)用直線的參數(shù)方程解題直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式：過點(diǎn)傾斜角為的直線參數(shù)方程為(t為參數(shù),為直線的傾斜角)t的幾何意義是：t表示有向線段的數(shù)量，為直線上任意一點(diǎn)。2.1.1用直線的參數(shù)方程求弦長相關(guān)問題如果知道過某點(diǎn)的某一直線與一個(gè)圓錐曲線相交，要求求直線被截的弦長。我們把這一直線的參數(shù)方程代入圓錐曲線的方程里，然后韋達(dá)定理和參數(shù)t的幾何意義得出弦長。例1過點(diǎn)有一條傾斜角為的直線與圓相交，求直線被圓截得的弦的長。分析:1、考慮點(diǎn)P在不在圓上；2、這個(gè)題目如果用一般方法解就要寫出直線方程，然后代入圓方程，要想求出弦長過程比較復(fù)雜、計(jì)算量大；3、適合運(yùn)用直線的參數(shù)方程進(jìn)行求解。解：把點(diǎn)代入圓的方程，得所以點(diǎn)P不在圓上，在圓內(nèi)可設(shè)直線與圓的交點(diǎn)分別為A、B兩點(diǎn)由題意得直線的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)）代入圓的方程，得整理后得=1\*GB3①因?yàn)棣?設(shè)=1\*GB3①的兩根為，即對(duì)應(yīng)交點(diǎn)A、B的參數(shù)值，由韋達(dá)定理得；由t的幾何意義，得弦長評(píng)注:此類求弦長的問題，一般方法得求出直線與二次曲線的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，然后用兩點(diǎn)間的距離公式求出弦長，這樣計(jì)算量會(huì)比較大，而運(yùn)用直線的參數(shù)方程參數(shù)方程去解，根據(jù)參數(shù)t的幾何意義和韋達(dá)定理就能比較簡(jiǎn)捷的求出弦長。小結(jié)：我們?cè)谶\(yùn)用直線的參數(shù)方程解決求弦長問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)在解決例1此類題型時(shí)有一定的規(guī)律，這個(gè)規(guī)律在解決此類問題時(shí)可以當(dāng)公式來用，對(duì)解題速度很有幫助的。下面我對(duì)這個(gè)規(guī)律進(jìn)行闡述：?jiǎn)栴}1求二次曲線=1\*GB3①截直線（t是參數(shù)，為直線的傾斜角）=2\*GB3②所得的弦的長。解：有=1\*GB3①和=2\*GB3②消去整理后，若能得到一個(gè)關(guān)于參數(shù)t的二元一次方程：=3\*GB3③則當(dāng)有Δ=，截得的弦長為（公式一）證明：設(shè)為=3\*GB3③的兩個(gè)實(shí)根，根據(jù)韋達(dá)定理有=4\*GB3④又設(shè)直線與二次曲線的兩個(gè)交點(diǎn)為，則，=5\*GB3⑤根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式，由=4\*GB3④，=5\*GB3⑤得弦長（證畢）上述公式適用于已知直線的傾斜角，那如果已知直線的斜率呢？問題2求二次曲線=1\*GB3①截直線，（t是參數(shù)，直線的斜率為）=2\*GB3②所得的弦的長。解：有=1\*GB3①和=2\*GB3②消去整理后，若能得到一個(gè)關(guān)于參數(shù)t的二元一次方程：=3\*GB3③則當(dāng)有Δ=，截得的弦長為（公式二）利用上述公式我再舉個(gè)例例2若拋物線截直線所得的弦長是，求的值。解：由直線的方程，得直線的斜率k==2，且直線恒過點(diǎn)∴該直線的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)）把參數(shù)方程代入拋物線方程，整理后得因?yàn)閠是實(shí)數(shù)，所以Δ=由公式二，有解得評(píng)注：我們通過運(yùn)用直線的參數(shù)方程得到了公式一和公式二，在解決關(guān)于弦長問題時(shí)運(yùn)用公式一或者公式二解題就會(huì)更加方便。如果題目已知的是直線的傾斜角，就應(yīng)該考慮用公式一；如果題目已知的是直線的斜率，就應(yīng)該先考慮用公式二。2.1.2運(yùn)用直線的參數(shù)方程解中點(diǎn)問題例3已知經(jīng)過點(diǎn)，斜率為的直線和拋物線相交于A,B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M坐標(biāo)。解：設(shè)過點(diǎn)的傾斜角為，則，則，可設(shè)直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）把參數(shù)方程代入拋物線方程中，整理后得設(shè)為方程的兩個(gè)實(shí)根，即為A,B兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)參數(shù)，根據(jù)韋達(dá)定理由M為線段AB的中點(diǎn)，根據(jù)的幾何意義可得所以中點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為,將此值代入直線的參數(shù)方程里，得M的坐標(biāo)為即評(píng)注：在直線的參數(shù)方程中，當(dāng)時(shí)，則的方向向上；當(dāng)時(shí)，則的方向向下，所以AB中點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的值是，這與求兩點(diǎn)之間的中點(diǎn)坐標(biāo)有點(diǎn)相似。2.1.3運(yùn)用直線的參數(shù)方程求軌跡方程運(yùn)用直線的參數(shù)方程，我們根據(jù)參數(shù)t的幾何意義得出某些線段的數(shù)量關(guān)系，然后建立相關(guān)等式，最后可得出某動(dòng)點(diǎn)的軌跡。例4過原點(diǎn)的一條直線，交圓于點(diǎn),在直線上取一點(diǎn),使到直線的距離等于,求當(dāng)這條直線繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)的軌跡。解：設(shè)該直線的方程為，t為參數(shù)，為直線的傾斜角把直線方程代入圓方程，得即根據(jù)公式一，可得 ，可設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，起對(duì)應(yīng)的參數(shù)值為t，則有，因?yàn)?所以易知，點(diǎn)到直線的距離是，即;由題意有=等式兩邊同時(shí)平方，化簡(jiǎn)后得解得或當(dāng)時(shí)，軌跡的一支為；當(dāng)時(shí)，，從而得另一支軌跡即；因此所求軌跡系是由圓和直線組成。評(píng)注：遇到此類題目，考慮運(yùn)用直線的參數(shù)方程先把弦長求出來，在根據(jù)題意建立相關(guān)等式，根據(jù)等式消元化簡(jiǎn)得出結(jié)果，本題的關(guān)鍵主要是建立等式=。2.1.4運(yùn)用直線的參數(shù)方程證明相關(guān)等式運(yùn)用直線的參數(shù)方程，根據(jù)參數(shù)t的幾何意義，我們可以得到一些線段的數(shù)量關(guān)系，對(duì)證明一些幾何等式很有幫助。例5設(shè)過點(diǎn)的直線交拋物線于B、C,求證：證明：設(shè)過點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，為直線的傾斜角）因?yàn)橹本€與拋物線交B、C兩點(diǎn)，故。把直線參數(shù)方程代入拋物線方程，整理后得設(shè)為兩根，即點(diǎn)B、C的對(duì)應(yīng)參數(shù)值，根據(jù)韋達(dá)定理得;根據(jù)參數(shù)t的幾何意義有AB=，AC=，所以評(píng)注：在證明一些相關(guān)等式問題時(shí)，引用直線的參數(shù)方程輔助證明，會(huì)讓證明思路更加清晰易懂，在證明過程中根據(jù)參數(shù)t的幾何意義，用參數(shù)t去替換其它變量，把所要證的等式化繁為簡(jiǎn)。2.2在空間中用直線的參數(shù)方程解題在空間中過點(diǎn)，方向向量為的直線的坐標(biāo)式參數(shù)方程為，（t為參數(shù)）直線標(biāo)準(zhǔn)方程為：。2.2.1用空間直線的參數(shù)方程求柱面和錐面方程已知柱面、錐面的準(zhǔn)線方程，可以根據(jù)母線的參數(shù)方程或者標(biāo)準(zhǔn)方程很方便的求出柱面或者錐面方程。例6若柱面的母線的方向向量，準(zhǔn)線方程是，求柱面方程。解：設(shè)為準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)的母線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)）即代入準(zhǔn)線方程得消去參數(shù)t，可得到所求柱面方程評(píng)注：此題假設(shè)準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，然后過此點(diǎn)寫出對(duì)應(yīng)的參數(shù)方程，通過參數(shù)t的引入便可變形代入相關(guān)方程，最終消去參數(shù)t得到所求柱面方程。例7已知錐面頂點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，求錐面的方程。解： 設(shè)為準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，連接點(diǎn)與頂點(diǎn)的母線為，將它們的比值記為，得，（t為參數(shù)）代入所滿足的方程，得消去t，由上式的第二式得，代入第一式，化簡(jiǎn)整理后得錐面的一般方程為評(píng)注：此題的關(guān)鍵是母線方程的表示，然后引入?yún)?shù)t，得到一個(gè)參數(shù)方程。通過參數(shù)t代入化簡(jiǎn)得出所求的錐面方程。2.2.2用空間直線的參數(shù)方程求空間軌跡空間的點(diǎn)或者直線的軌跡的空間解析幾何的一個(gè)重要課題，是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，在求解過程中，通常非常復(fù)雜，但對(duì)于某些軌跡問題，運(yùn)用直線的參數(shù)方程去解決會(huì)相對(duì)簡(jiǎn)單。例8一直線分別交坐標(biāo)面于三點(diǎn)A、B、C，當(dāng)直線變動(dòng)時(shí)，直線上的三定點(diǎn)A、B、C也分別在三個(gè)坐標(biāo)面上變動(dòng)，另外直線上有第四個(gè)點(diǎn)P，它與A、B、C三點(diǎn)的距離分別為、b、c。當(dāng)直線按照這樣的規(guī)定（即保持A、B、C分別在三坐標(biāo)面上變動(dòng)），試求P點(diǎn)的軌跡。解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，直線的方向余弦為。則直線的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)）令，即的與面的交點(diǎn)A，根據(jù)t的幾何意義，，則。同理可得，，。由以上三式可得所以P點(diǎn)軌跡方程為，是一個(gè)橢球面。評(píng)注：通過運(yùn)用直線的參數(shù)方程，然后根據(jù)t的幾何意義，用t去表示點(diǎn)P的坐標(biāo)，通過觀察代入某式子得出軌跡方程。2.2.3用空間直線的參數(shù)方程求對(duì)稱點(diǎn)運(yùn)用空間直線的參數(shù)方程我們可以求出定點(diǎn)關(guān)于定平面、定直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)。例9求定點(diǎn)關(guān)于定平面的對(duì)稱點(diǎn)。分析：1、可設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)；2、點(diǎn)和點(diǎn)到平面的距離是相等的；3、與平面是垂直的。解：設(shè)是所求的對(duì)稱點(diǎn)，則平面到和的有向距離是等值異號(hào)，即化簡(jiǎn)后得（1）又的一組方向向量為，由于與平面垂直，故有,(t為參數(shù))即，（2）把（2）代入（1），得解得，t=代入（2），得，即所求的對(duì)稱點(diǎn)為。評(píng)注：此題的關(guān)鍵是根據(jù)與平面垂直引入?yún)?shù)t，然后用參數(shù)t表示其它未知量，通過代入求出參數(shù)