2022-2023學年河北省滄州市黃驊新世紀中學高二數(shù)學理期末試題含解析

2022-2023學年河北省滄州市黃驊新世紀中學高二數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知異面直線a，b分別在平面α，β內，且α∩β＝c，那么直線c一定()A．與a，b都相交

B．只能與a，b中的一條相交C．至少與a，b中的一條相交

D．與a，b都平行參考答案：C2.在同一平面直角坐標系中，將直線按：變換后得到的直線為l，若以坐標原點為極點，以x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，則直線l的極坐標方程為（

）A. B.C. D.參考答案：A【分析】根據(jù)直線直角坐標方程，將直線上的點按坐標變換得到直線的方程；利用直角坐標與極坐標的互化公式，寫出直線的極坐標的方程；【詳解】將直線按變換后得到的直線，，即，化為極坐標方程為.故選A.【點睛】本題考查了坐標變換的應用，極坐標與直角坐標方程的互化，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．3.設函數(shù)f(x)是定義在(0,+∞)上的連續(xù)函數(shù)，且在處存在導數(shù)，若函數(shù)f(x)及其導函數(shù)滿足，則函數(shù)f(x)(

)A.既有極大值又有極小值 B.有極大值，無極小值C.既無極大值也無極小值 D.有極小值，無極大值參考答案：C【分析】由，由于，可得，當時，，令，可得，利用其單調性可得：當時，取得極小值即最小值，，進而得出函數(shù)的單調性.【詳解】因為，，所以，所以，因為函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，所以由，可得，代入，可得，所以，當時，，令，所以，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減.所以當時，取得極小值即最小值，所以，所以函數(shù)在上單調遞增，所以既沒有極大值，也沒有極小值，故選C.【點睛】該題考查的是有關判斷函數(shù)有沒有極值的問題，涉及到的知識點有導數(shù)與極值的關系，導數(shù)的符號與函數(shù)單調性的關系，在解題的過程中，求的解析式是解題的關鍵.

4.已知++=0，||=2，||=3，||=，則向量與的夾角為（）A．60° B．45° C．30° D．以上都不對參考答案：A【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【分析】把已知向量等式變形，兩邊平方后展開數(shù)量積公式得答案．【解答】解：∵++=0，且||=2，||=3，||=，∴，設向量與的夾角為θ，則=，即19=4+2×2×3×cosθ+9，∴cosθ=，則θ=60°．故選：A．5.將2名教師，4名學生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由1名教師和2名學生組成，不同的安排方案共有()A．12種

B．10種

C．9種

D．8種參考答案：A略6.已知函數(shù)f（x）=6﹣x3，g（x）=ex﹣1，則這兩個函數(shù)的導函數(shù)分別為（）A．f′（x）=6﹣3x2，g′（x）=ex B．f′（x）=﹣3x2，g′（x）=ex﹣1C．f′（x）=﹣3x2，g′（x）=ex D．f′（x）=6﹣3x2，g′（x）=ex﹣1參考答案：C【考點】63：導數(shù)的運算．【分析】根據(jù)導數(shù)的運算法則求導即可．【解答】解：f′（x）=﹣3x2，g′（x）=ex，故選：C7.已知不等式對一切正整數(shù)n恒成立，則實數(shù)a的范圍為（）A．（0，3） B．（1，3） C．（2，4） D．（3，+∞）參考答案：B【考點】數(shù)列的求和．【分析】由于，于是原不等式化為＞，由于不等式對一切正整數(shù)n恒成立，可得log2（a﹣1）+a﹣，化簡整理利用對數(shù)函數(shù)的單調性即可得出．【解答】解：∵，∴不等式，化為＞，由于不等式對一切正整數(shù)n恒成立，∴l(xiāng)og2（a﹣1）+a﹣，化為4﹣a＞log2（a﹣1），∴1＜a＜3．故選：B．8.已知兩個正數(shù)a，b的等差中項為4，則a，b的等比中項的最大值為()A．2

B．4

C．8

D．16參考答案：B9.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足其導函數(shù)在R上恒成立，則不等式的解集為（

）A．(－1,1)

B．(0,1)

C．(1,+∞)

D．(－∞,－1)∪(1,+∞)參考答案：D10.把15個相同的小球放到三個編號為1,2,3的盒子中，且每個盒子內的小球數(shù)要多于盒子的編號數(shù)，則共有多少種放法（

）A.18 B.28 C.38 D.42參考答案：B【分析】根據(jù)題意，先在1號盒子里放1個球，在2號盒子里放2個球，在3號盒子里放3.個球，則原問題可以轉化為將剩下的9個小球，放入3個盒子，每個盒子至少放1個的問題，由擋板法分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，15個相同的小球放到三個編號為1,2,3的盒子中，且每個盒子內的小球數(shù)要多于盒子的編號數(shù)，先在1號盒子里放1個球，在2號盒子里放2個球，在3號盒子里放3個球，則原問題可以轉化為將剩下的9個小球，放入3個盒子，每個盒子至少放1個的問題，將剩下的9個球排成一排，有8個空位，在8個空位中任選2個，插入擋板，有種不同的放法，即有28個不同的符合題意的放法；故選B．【點睛】本題考查排列、組合的應用，關鍵是將原問題轉化為將個球放入個盒子的問題，屬于基礎題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（文科學生做）設函數(shù)是奇函數(shù)，則實數(shù)的值為

．參考答案：12.已知函數(shù)的自變量取值區(qū)間為,若其值域也為,則稱區(qū)間為的保值區(qū)間.若函數(shù)的保值區(qū)間是,則的值為

.參考答案：13.在大小相同的6個球中，2個是紅球，4個是白球，若從中任意選取3個，則所選的3個球至少有一個紅球的概率是_______（用分數(shù)表示）．參考答案：14.有一堆數(shù)量足夠多的規(guī)格一樣的正方體模具，計劃從現(xiàn)有的6種顏色涂料中選出5種顏色涂料對以上模具進行染色，要求每個面只染一種顏色，每兩個有公共棱的面不能同色，恰用了5種顏色，稱為“五色模具”，若有兩個正方體經(jīng)翻轉后，6個面顏色都對應相同，則視為相同“五色模具”，則可得到不同的“五色模具”的個數(shù)為

.參考答案：90略15.小明所在的高二年級共有1500名同學，現(xiàn)在以簡單隨機抽樣的方式抽取30名同學來填寫調查問卷，則小明被抽到的概率為

．參考答案：用簡單隨機抽樣從含有N個個體的總體中抽取一個容量為n的樣本時,每次抽取一個個體時任一個體被抽到的概率為；在整個抽樣過程中各個個體被抽到的概率為，故答案為.

16.給出下列五個命題：①過點(–1,2)的直線方程一定可以表示為y–2=k(x+1)；②過點(–1,2)且在x軸、y軸截距相等的的直線方程是x+y–1=0；③過點M(–1,2)且與直線l:Ax+By+C=0(AB≠0)垂直的直線方程是B(x+1)+A(y–2)=0；④設點M(–1,2)不在直線l:Ax+By+C=0(AB≠0)上，則過點M且與l平行的直線方程是A(x+1)+B(y–2)=0;⑤點P(–1,2)到直線ax+y+a2+a=0的距離不小于2.

以上命題中，正確的序號是

.參考答案：④⑤.17.已知雙曲線的一個焦點在直線上，則雙曲線的方程為

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．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某市教育部門對甲校四年級學生進行體育學科測試，隨機抽取15名學生的測試成績，繪制莖葉圖如圖：（Ⅰ）依據(jù)上述數(shù)據(jù)，估計甲校此次的體育平均成績；（Ⅱ）從得分在70～80之間的學生中隨機抽取兩名學生，記這兩名學生的平均成績?yōu)?，求|﹣|≤1的概率．參考答案：【考點】列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；莖葉圖．【分析】（Ⅰ）讀取莖葉圖數(shù)據(jù)，求得平均數(shù)（Ⅱ）列舉從得分在70～80之間的學生中隨機抽取兩名學生的基本事件個數(shù)，滿足|﹣|≤1的結果個數(shù)得出結果．【解答】解：（Ⅰ）==77．…（Ⅱ）從得分在70～80之間的學生中隨機抽取兩名學生的基本事件：{75，77}，{75，73}，{75，78}，{75，79}，{77，73}，{77，78}，{77，79}，{73，78}，{73，79}，{78，79}共10個；其中滿足|﹣|≤1的事件：{75，77}，{75，78}，{75，79}，{77，78}，{77，79}，{73，79}共6個．所以滿足|﹣|≤1的概率P==．…19.已知雙曲線G的中心在原點，它的漸近線與圓x2＋y2－10x＋20＝0相切.過點P(－4,0)作斜率為的直線，使得和G交于A，B兩點，和y軸交于點C，并且點P在線段AB上，又滿足|PA|·|PB|＝|PC|2.(1)求雙曲線G的漸近線的方程；(2)求雙曲線G的方程；(3)橢圓S的中心在原點，它的短軸是G的實軸.如果S中垂直于的平行弦的中點的軌跡恰好是G的漸近線截在S內的部分AB，若P（x,y）（y>0）為橢圓上一點，求當?shù)拿娣e最大時點P的坐標.參考答案：解：(1)設雙曲線G的漸近線的方程為y＝kx，則由漸近線與圓x2＋y2－10x＋20＝0相切可得＝，所以k＝±，即雙曲線G的漸近線的方程為y＝±x.

…

3分(2)由(1)可設雙曲線G的方程為x2－4y2＝m，把直線的方程y＝(x＋4)代入雙曲線方程，整理得3x2－8x－16－4m＝0，則xA＋xB＝，xAxB＝－.(*)∵|PA|·|PB|＝|PC|2，P、A、B、C共線且P在線段AB上，∴(xP－xA)(xB－xP)＝(xP－xC)2，即(xB＋4)(－4－xA)＝16，整理得4(xA＋xB)＋xAxB＋32＝0.將(*)代入上式得m＝28，∴雙曲線的方程為－＝1.

…

7分(3)由題可設橢圓S的方程為＋＝1(a>2)，設垂直于的平行弦的兩端點分別為M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點為P(x0，y0)，則＋＝1，＋＝1，兩式作差得＋＝0.由于＝－4，x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，所以－＝0，所以，垂直于的平行弦中點的軌跡為直線－＝0截在橢圓S內的部分.又由已知，這個軌跡恰好是G的漸近線截在S內的部分，所以＝，即a2＝56，故橢圓S的方程為＋＝1.

…11分

由題意知滿足條件的P點必為平行于AB且與橢圓相切的直線m在橢圓上的切點，易得切線m的方程為，解得切點坐標，則P點的坐標為

…13分20.（12分）（2015秋?洛陽期中）解關于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0（a＞﹣1）．參考答案：【考點】一元二次不等式的解法．

【專題】不等式的解法及應用．【分析】由﹣1＜a＜0，a=0，0＜a＜1，a≥1，進行分類討論，由此利用分類討論思想和一元二次方程的解法能求出原不等式的解集．【解答】解：（1）當a=0時，有﹣2x＜0，∴x＞0．（2）a＞0時，∵△=4﹣4a2．①當△＞0，即0＜a＜1．方程ax2﹣2x+a=0的兩根為=，∴不等式的解集為{x|＜x＜}．②當△=0，即a=1時，有x2﹣2x+1＜0，∴x∈?；③當△＜0，即a＞1時，方程ax2﹣2x+a=0無實數(shù)根，不等式ax2﹣2x+a＜0無解，∴x∈?．（3）當﹣1＜a＜0時，△＞0，不等式ax2﹣2x+a＜0的解集為{x|x＜或x＞}．綜上，關于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0（a＞﹣1）的解集為：當﹣1＜a＜0時，關于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0（a＞﹣1）的解集為：{x|x＜或x＞}；當a=0時，關于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0（a＞﹣1）的解集為：{x|x＞0}；當0＜a＜1時，關于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0（a＞﹣1）的解集為：{x|＜x＜}．當a≥1時，關于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0（a＞﹣1）的解集為：?．【點評】本題考查不等式的解集的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．21.在直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（Ⅰ）以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求圓C的極坐標方程；（Ⅱ）若點(x，y)是圓C上的動點，求x+y的最大值.參考答案：（Ⅰ）將圓C的參