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2022年湖南省常德市石門(mén)縣第七中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知、為實(shí)數(shù),則是的
(
)A.充要條件
B.充分非必要條件C.
必要非充分條件
D.既不充分也不必要條件參考答案:C略2.
參考答案:D3.當(dāng)a<0時(shí),不等式42x2+ax-a2<0的解集為(
)(A){x|-<x<}
(B){x|<x<-}
(C){x|<x<-}
(D){x|-<x<}參考答案:B4.若f(x)=sin(2x+),則f′()等于()A.0 B.1 C.2 D.3參考答案:A【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算.【分析】根據(jù)y=sinx的導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式和復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的計(jì)算即可求出f′(x),進(jìn)而便可得出的值.【解答】解:;∴.故選:A.5.(5分)有甲、乙兩位射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊測(cè)試,每人各射擊10次,圖1、圖2分別是甲、乙兩人射擊命中環(huán)數(shù)分布的條形圖,由條形圖判斷下列命題正確的是() A. 總體上甲比乙的射擊命中能力更強(qiáng),但乙的穩(wěn)定性更好 B. 總體上乙比甲的射擊命中能力更強(qiáng),但甲的穩(wěn)定性更好 C. 總體上甲、乙兩人的射擊命中能力基本相當(dāng),但乙的穩(wěn)定性更好 D. 總體上甲、乙兩人的射擊命中能力基本相當(dāng),但甲的穩(wěn)定性更好參考答案:D6.已知是兩條不同直線,是三個(gè)不同平面,則下列正確的是()A.若,則
B.若,則C.若,則
D.若,則參考答案:D7.設(shè)集合,,,則集合C中元素的個(gè)數(shù)為()A.11 B.9 C.6 D.4參考答案:A【分析】由題意可得出:從,,任選一個(gè);或者從,任選一個(gè);結(jié)合題中條件,確定對(duì)應(yīng)的選法,即可得出結(jié)果.【詳解】解:根據(jù)條件得:從,,任選一個(gè),從而,,任選一個(gè),有種選法;或時(shí),,有兩種選法;共種選法;C中元素有個(gè).故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查列舉法求集合中元素個(gè)數(shù),熟記概念即可,屬于基礎(chǔ)題型.8.已知拋物線y=ax2(a>0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為1,則a=()A.4 B.2 C. D.參考答案:D【考點(diǎn)】K8:拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì).【分析】拋物線y=ax2(a>0)化為,可得.再利用拋物線y=ax2(a>0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1,即可得出結(jié)論.【解答】解:拋物線方程化為,∴,∴焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為,∴,故選D.9.等比數(shù)列的公比,則等于(
)A. B.-3 C. D.3參考答案:C【分析】通過(guò)觀察,可將分母的每個(gè)數(shù)提出一個(gè)公比,再進(jìn)行求解【詳解】故選:C【點(diǎn)睛】本題考等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題10.利用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時(shí),從“”變到“”時(shí),左邊應(yīng)增乘的因式是A. B. C. D.參考答案:B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中①設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn),k為非零常數(shù),||﹣||=k,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線;②設(shè)定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動(dòng)點(diǎn)弦AB,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若=(+),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓;③方程2x2﹣5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率;④雙曲線﹣=1與橢圓+y2=1有相同的焦點(diǎn).其中真命題的序號(hào)為(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào))參考答案:③④【考點(diǎn)】軌跡方程;橢圓的定義;雙曲線的定義;雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì).【分析】①不正確.若動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線,則|k|要小于A、B為兩個(gè)定點(diǎn)間的距離;②不正確.根據(jù)平行四邊形法則,易得P是AB的中點(diǎn).由此可知P點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓;③正確.方程2x2﹣5x+2=0的兩根和2可分別作為橢圓和雙曲線的離心率;④正確.雙曲線﹣=1與橢圓+y2=1焦點(diǎn)坐標(biāo)都是(,0).【解答】解:①不正確.若動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線,則|k|要小于A、B為兩個(gè)定點(diǎn)間的距離.當(dāng)點(diǎn)P在頂點(diǎn)AB的延長(zhǎng)線上時(shí),K=|AB|,顯然這種曲線是射線,而非雙曲線;②不正確.根據(jù)平行四邊形法則,易得P是AB的中點(diǎn).根據(jù)垂徑定理,圓心與弦的中點(diǎn)連線垂直于這條弦設(shè)圓心為C,那么有CP⊥AB即∠CPB恒為直角.由于CA是圓的半徑,是定長(zhǎng),而∠CPB恒為直角.也就是說(shuō),P在以CP為直徑的圓上運(yùn)動(dòng),∠CPB為直徑所對(duì)的圓周角.所以P點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓,如圖.③正確.方程2x2﹣5x+2=0的兩根分別為和2,和2可分別作為橢圓和雙曲線的離心率.④正確.雙曲線﹣=1與橢圓+y2=1焦點(diǎn)坐標(biāo)都是(,0).故答案為:③④.12.民間酒座上劃酒令:“杠子打老虎,老虎吃雞,雞吃蟲(chóng),蟲(chóng)蛀杠子”,將這四種不同屬性的物質(zhì)任意排成一列,為了避免相克物質(zhì)相鄰,特在這4種物質(zhì)中插入一種與這4種物質(zhì)均不相克的物質(zhì)W,設(shè)事件A表示“這5種物質(zhì)排列中屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰”,則事件A出現(xiàn)的概率是
。參考答案:13.若半徑為1的動(dòng)圓與圓相切,則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是
.參考答案:14.已知,點(diǎn)在平面內(nèi),則
參考答案:11略15.設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,若
參考答案:略16.已知整數(shù)對(duì)按如下規(guī)律排成:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4)(2,3),(3,2),(4,1),……,照此規(guī)律則第60個(gè)數(shù)對(duì)是_________。參考答案:(5,7)17.定義“”為雙曲正弦函數(shù),“”為雙曲余弦函數(shù),它們與正、余弦函數(shù)有某些類(lèi)似的性質(zhì),如:等,請(qǐng)你再寫(xiě)出一個(gè)類(lèi)似的性質(zhì):參考答案:三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.已知F1、F2分別是橢圓C:+y2=1的左、右焦點(diǎn).(1)若P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn),?=﹣,求點(diǎn)P的坐標(biāo);(2)設(shè)過(guò)定點(diǎn)M(0,2)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A,B,且∠AOB為銳角(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線l的斜率k的取值范圍.參考答案:【考點(diǎn)】K4:橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì).【分析】(1)求得橢圓的a,b,c,可得左右焦點(diǎn),設(shè)P(x,y)(x>0,y>0),運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,解方程可得P的坐標(biāo);(2)顯然x=0不滿(mǎn)足題意,可設(shè)l的方程為y=kx+2,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立直線方程和橢圓方程,運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0,由∠AOB為銳角,即為,運(yùn)用數(shù)量積的坐標(biāo)表示,解不等式即可得到所求k的范圍.【解答】解:(1)因?yàn)闄E圓方程為,知a=2,b=1,,可得,,設(shè)P(x,y)(x>0,y>0),則,又,聯(lián)立,解得,即為;(2)顯然x=0不滿(mǎn)足題意,可設(shè)l的方程為y=kx+2,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立,由△=(16k)2﹣4(1+4k2)?12>0,得.,.又∠AOB為銳角,即為,即x1x2+y1y2>0,x1x2+(kx1+2)(kx2+2)>0,又,可得k2<4.又,即為,解得.19.(本小題滿(mǎn)分12分)(1)求不等式的解集:(2)求函數(shù)的定義域:參考答案:略20.在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,且邊長(zhǎng)為2a,棱PD⊥底面ABCD,PD=2b,取各側(cè)棱的中點(diǎn)E,F(xiàn),G,H,寫(xiě)出點(diǎn)E,F(xiàn),G,H的坐標(biāo).參考答案:解析:由圖形知,DA⊥DC,DC⊥DP,DP⊥DA,故以D為原點(diǎn),建立如圖空間坐標(biāo)系D-xyz.因?yàn)镋,F(xiàn),G,H分別為側(cè)棱中點(diǎn),由立體幾何知識(shí)可知,平面EFGH與底面ABCD平行,從而這4個(gè)點(diǎn)的豎坐標(biāo)都為P的豎坐標(biāo)的一半,也就是b,由H為DP中點(diǎn),得H(0,0,b)
E在底面面上的投影為AD中點(diǎn),所以E的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別為a和0,所以E(a,0,b),
同理G(0,a,b);
F在坐標(biāo)平面xOz和yOz上的投影分別為點(diǎn)E和G,故F與E橫坐標(biāo)相同都是a,
與G的縱坐標(biāo)也同為a,又F豎坐標(biāo)為b,故F(a,a,b).21.已知平面區(qū)域恰好被面積最小的圓C:(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2及其內(nèi)部所覆蓋.(1)試求圓C的方程.(2)若斜率為1的直線l與圓C交于不同兩點(diǎn)A,B滿(mǎn)足CA⊥CB,求直線l的方程.參考答案:【考點(diǎn)】直線和圓的方程的應(yīng)用;直線的一般式方程;圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【分析】(1)根據(jù)題意可知平面區(qū)域表示的是三角形及其內(nèi)部,且△OPQ是直角三角形,進(jìn)而可推斷出覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓,進(jìn)而求得圓心和半徑,則圓的方程可得.(2)設(shè)直線l的方程是:y=x+b.根據(jù)CA⊥CB,可知圓心C到直線l的距離,進(jìn)而求得b,則直線方程可得.【解答】解:(1)由題意知此平面區(qū)域表示的是以O(shè)(0,0),P(4,0),Q(0,2)構(gòu)成的三角形及其內(nèi)部,且△OPQ是直角三角形,所以覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓,故圓心是(2,1),半徑是,所以圓C的方程是(x﹣2)2+(y﹣1)2=5.(2)設(shè)直線l的方程是:y=x+b.因?yàn)?,所以圓心C到直線l的距離是,即=解得:b=﹣1.所以直線l的方程是:y=x﹣1.22.如圖,在三棱錐P﹣ABC中,AB⊥BC,AB=BC=kPA,點(diǎn)O為AC中點(diǎn),D是BC上一點(diǎn),OP⊥底面ABC,BC⊥面POD.(Ⅰ)求證:點(diǎn)D為BC中點(diǎn);(Ⅱ)當(dāng)k取何值時(shí),O在平面PBC內(nèi)的射影恰好是PD的中點(diǎn).參考答案:【考點(diǎn)】三垂線定理.【分析】(Ⅰ)由BC⊥平面POD得BC⊥OD,由AB⊥BC得OD∥AB,再由O為AC中點(diǎn)得點(diǎn)D為BC的中點(diǎn);(Ⅱ)作OF⊥PD于點(diǎn)F,證明OF⊥平面PBC,PO=OD,利用勾股定理PA2=PO2+OA2,列方
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