中考數(shù)學四邊形專練

2008年中考數(shù)學四邊形解答題

（08黑龍江雞西23題）23.（本小題滿分6分）

有一-底角為60°的直角梯形，上底長為10cm,與底垂直的腰長為10cm,以上底或與底垂直的腰為邊作三

角形，使三角形的另一邊長為15cm,第三個頂點落在下底上.請計算所作的三角形的面積.

23.解：當8E=15cm時,△A8E的面積是50cm2；

當CF=15cm時，△BCF的面積是75cm\

當5E=15cm時，ASCE的面積是25不cn?.

（每種情況，圖給1分，計算結果正確1分，共6分）

（08黑龍江雞西26題）26.（本小題滿分8分）

已知：正方形A8CO中，NAMN=45°,NM4N繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交C3,DC（或它

們的延長線）于點M,N.

當NMAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時（如圖1）,易證BM+DN=MN.

（1）當NMAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BMWON時（如圖2）,線段BM,ON和MN之間有怎樣的數(shù)量關系？

寫出猜想，并加以證明.

（2）當NAMN繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，線段8M,ON和MN之間又有怎樣的數(shù)量關系？請直接

寫出你的猜想.

如圖，把△AND繞點A順時針90°,得到△4BE,

則可證得E,B朋三點共線（圖形畫正確）?（3分）

證明過程中，

證得：ZEAM=NNAM...............（4分）

證得：XWMANM.............（5分）

ME=MNE

?：ME=BE+BM=DN+BM

DN+BM=MN（6分）

(2)DN-BM=MN(8分)

（08黑龍江大慶）20.（本題5分）

如圖，在ABC。中，E,尸分別是邊BC和AD上的點且8￡=。尸，則線段AE與線段C/有怎樣的

數(shù)量關系和位置關系？并證明你的結論.F

（第20題）

（08北京市卷18題）18.（本小題滿分5分）

如圖，在梯形46CO中，AD//BC,AB1AC,N8=45°,AD=6,8c=40,求。C的長.

解:

圖1

（08北京市卷18題解析）（本小題滿分5分）

解法一：如圖1,分別過點4。作于點E,

DF工BC于點F......................1分

/.AE//DF.

又AO〃8C,

四邊形AEFO是矩形.

EF=AD=41.......................2分

?：ABVAC,N8=45。，8c=4萬

AB—AC.

：.AE=EC=-BC=242.

2

DF=AE=2V2,

CF=EC-EF=6...........................................................................................................4分

在Rt/XOFC中，NOFC=90°,

DC=YJDF2+CF2=J（2近）2+詆2.........................5分

解法二：如圖2,過點。作。/〃4B,分別交AC,BC于點E,F..........1分

AB1AC,

ZAED=ABAC=90".

AD//BC,

：.ZDAE=180c-ZB-ZBAC=45°.

在RtaABC中，ZBAC=90°,N8=45°,BC=472,

：.AC=BCsin450=4V2x—=42分

2

在RtZ^AOE中，ZAED=90°,ZDAE=45°,AD=6，

：.DE=AE=1.

：.CE=AC-AE=3...............................................................................................4分

在RtaOEC中，ZCED=9Q°,

：.DC=y/DE2+CE2=712+32=V10.............................................................5分

（08北京市卷22題）22.（本小題滿分4分）

已知等邊三角形紙片ABC的邊長為8,。為A8邊上的點，過點。作。G〃8c交AC于點

G.DEJ.BC于點E,過點G作GE_LBC于點尸，把三角形紙片ABC分別沿OG,DEG/按圖1

所示方式折疊，點4BC分別落在點A',B',C'處.若點A,B',C'在矩形。EQG內(nèi)或其邊上，

且互不重合，此時我們稱△AB'C'（即圖中陰影部分）為“重疊三角形”.

A,B,C。恰好落在網(wǎng)格圖中的格點上.如圖2所示，請直接寫出此時重疊三角形A'8'C'的面積；

（2）實驗探究：設A。的長為機，若重疊三角形AB'C'存在.試用含機的代數(shù)式表示重疊三角形AB'C'

的面積，并寫出機的取值范圍（直接寫出結果，備用圖供實驗，探究使用）.

備用圖備用圖

解：（1）重疊三角形A'6'C'的面積為；

（2）用含用的代數(shù)式表示重疊三角形A'8'C'的面積為:根的取值范圍為.

（08北京市卷22題解析）：（1）重疊三角形AB'C'的面積為6.........................1分

（2）用含加的代數(shù)式表示重疊三角形A'B'C'的面積為6（4-〃ip；.....................2分

Q

加的取值范圍為一Wm<4.................................................................................4分

3

（08北京市卷25題）25.請閱讀下列材料：

問題：如圖1,在菱形ABCO和菱形8ERG中，點A,BE在同?條直線上，P是線段OF的中點，連

結PG,PC.若=尸=60°,探究PG與PC的位置關系及空■的值.

PC

小聰同學的思路是：延長GP交。。于點“，構造全等三角形，經(jīng)過推理使問題得到解決.

圖2E

請你參考小聰同學的思路，探究并解決下列問題：

（1）寫出上面問題中線段PG與PC的位置關系及空的值；

PC

（2）將圖「I」的菱形BEFG繞點3順時針旋轉(zhuǎn)，使菱形BEFG的對角線8尸恰好與菱形ABCD的邊AB

在同?條直線上，原問題中的其他條件不變（如圖2）.你在（1）中得到的兩個結論是否發(fā)生變化？寫出

你的猜想并加以證明.

（3）若圖1中ZABC=NBEF=2a（0°<a<90°）,將菱形BEFG繞點8順時針旋轉(zhuǎn)任意角度，原問題

中的其他條件不變，請你直接寫出二的值（用含a的式子表示）.

PC

（08北京市卷25題解析）解：（1）線段PG與PC的位置關系是PGLPC；"=6.2分

------------PC—

（2）猜想：（1）中的結論沒有發(fā)生變化.

證明：如圖，延長GP交A0于點〃，連結C”,CG.

???P是線段的中點，

-FP=DP.0mTV

由題意可知A0〃尸G.H\-

ZGFP=ZHDP.\

ZGPF=NHPD,4B\J

△國把HDP.E

：.GP=HP,GF=HD.

?.?四邊形ABC。是菱形，

CD=CB,NHDC=NABC=60°.

由ZABC=NBEF=6（T，且菱形BEFG的對角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上,

可得/GBC=60".

NHDC=NGBC.

?.?四邊形6E5G是菱形,

:.GF=GB.

HD=GB.

.-.△ffiOTGBC.

：.CH=CG,ZDCH=ZBCG.

ZDCH+NHCB=ZBCG+NHCB=120°.

即NHCG=120°.

CH=CG,PH=PG,

PGVPC,ZGCP=ZHCP=60°.

壟=氐..................6分

PC

(3)—=tan(90a-a)..............8分

PC-----------

(08河北省卷26題)26.(本小題滿分12分)

如圖15,在RtZXABC中，NC=90°,A8=50,AC=30,D,E/分別是AC,AB6c的中點.點

P從點D出發(fā)沿折線DE—EF—FC—CD以每秒7個單位長的速度勻速運動；點。從點8出發(fā)沿區(qū)4方

向以每秒4個單位長的速度勻速運動，過點。作射線。KLA5,交折線BC—CA于點G.點P,。同時

出發(fā)，當點尸繞行一周回到點。時停止運動，點。也隨之停止.設點P,。運動的時間是f秒(f>0).

(1)D,R兩點間的距離是；

(2)射線QK能否把四邊形CDEE分成面積相等的兩部分？若能，求出f的值.若不能，說明理由；

(3)當點P運動到折線EE-尸C上，且點尸又恰好落在射線QK上時，求，的值；

(4)連結PG,當PG〃AB時，請章授寫出f的值.

圖15

(08河北省卷26題解答)26.解：(1)25.

(2)能.

如圖5,連結DE,過點尸作尸”LAB于點”，

由四邊形COER為矩形，可知QK過。F的中點。時，

QK把矩形CDEF分為面積相等的兩部分

(注：可利用全等三角形借助割補法或用中心對稱等方法說明)，

此時?！?OF=12.5.由8尸=20,叢HHECBA,得“B=16.

K

412.5+16/

故，=--------=7-.

48

（3）①當點尸在E/上（2^WW5）時，如圖6.

7

QB=4t,DE+EP=lt,

由△座BCA,得七型="二

5030

,21

...t-4—.

41

②當點P在尸。上（5WW79時，如圖7.

圖

已知QB=4f,從而PB=5t,7

由PP=7f—35,BF=20,得5/=7/—35+20.

解得，=7'

2

239

（4）如圖8,t=l-；如圖9,Z=7—.

343

（注：判斷尸G〃A6可分為以下幾種情形：當時?，點P下行，點G上行，可知其中存在

7

PG〃718的時刻，如圖8；此后，點G繼續(xù)上行到點/時，f=4,而點P卻在下行到點￡再沿EF上行,

發(fā)現(xiàn)點尸在EF上運動時不存在尸G〃AB；當5WW時點P,G均在尸C上，也不存在PG〃AB；

7

由于點P比點G先到達點。并繼續(xù)沿CO下行，所以在79＜，＜8中存在PG〃/18的時刻，如圖9：當

7

8WW10時，點尸，G均在CD匕不存在PG〃AB）

（08內(nèi)蒙赤峰）20.（本題滿分10分）

如圖，用兩張等寬的紙帶交叉重疊地放在一起，重合的四邊形A8CO是菱形嗎？如果是菱形請給出證明,

如果不是菱形請說明理由.

20.答：四邊形ABCZ）是菱形.（不寫已知、求證不扣分）.................（2分）

證明：由A6〃CO得四邊形A8CO是平行四邊形.............（4分）

過A,。兩點分別作AEL6C于E,。尸，43于尸.

NCFB=ZAEB=90°...............................................（6分）

?/AE=CF（紙帶的寬度相等）NABE=NCBF,

：.RtAaSBfiRtCBF.......................（8分）

AB=BC

四邊形ABC。是菱形.......................（10分）

（08山西省卷）25.（本題12分）如圖，已知4ABC是等邊三角形，D、E分

別在邊BC、AC上，且CD=CE,連結DE并延長至點F,使EF=AE,連結AF、BE

和CF。

（1）請在圖中找出一對全等三角形，用符號“且”表示，并加以證明。

（2）判斷四邊形ABDF是怎樣的四邊形，并說明理由。

（3）若AB=6,BD=2DC,求四邊形ABEF的面積。

（第25題）

（08山東濱州21題）21.（本題滿分10分）在梯形ABCD中，AB〃CD,乙4=90°,AB=2,BC=3,CD=1,E

是AD中點，試判斷EC與EB的位置關系，并寫出推理過程。

解：（08山東濱州21題）21.ECLEB

略證：過點C作CT，AB于F,則四邊形AFCD是矩形，在放BC/中，可算得CF=2&

則AD=CF=141,故DE=AE=-AD=y/2

2

在RtABE>fnRtOCE中,

EB2=AE2+AB2=6

EC2DE2+CD2=?>

EB?+EC?=9=BC?

：.NCEB=90°

EB1EC

（08山東聊城22題）22.（本題滿分8分）如圖，矩形ABC。中，。是AC與8D的交點，過。點的直

線EF與A8,CO的延長線分別交于￡F.

（1）求證：△的宜DOF；

（2）當政與AC滿足什么關系時，以A,E,C/為頂點的四邊形是菱形？證明你的結論.

解：（08山東聊城22題）22.（本題滿分8分）

（1）證明：?.?西邊形A6CO是矩形，

：.OB=OD（矩形的對角線互相平分），

AE//CF（矩形的對邊平行）.

:.NE=NF,ZOBE=ZODF.

DOF（A.A.S）.........4分

（2）當EF_LAC時，四邊形AECT是菱形.?5分

證明：?.?四邊形A6CO是矩形，

OA=OC（矩形的對角線互相平分）.

又由（1）。?？诘?，

OE=OF,

四邊形AEC尸是平行四邊形（對角線互相平分的

四邊形是平行四邊形）.....................6分

又Eb_LAC,

/.四邊形AECF是菱形（對角線互相垂直的平行四

邊形是菱形）............................8分

（注：小括號內(nèi)的理由不寫不扣分）.

（08山東臨沂21題）21.（本小題滿分7分）

如圖，LIABCD中，E是CD的延長線匕一點，BE與AD交于點F,DE=、CD。

2

⑴求證：AABF^ACEB;

⑵若4DEF的面積為2,求DABCD的面積。

解：(08山東臨沂21題)⑴證明：...四邊形ABCD是平行四邊形,

AZA=ZC,AB//CD,

ZABF=ZCEB,

AAABF^ACEB...................................................................................2分

(2)V四邊形ABCD是平行四邊形，

，AD〃BC,AB幺CD,

/.△DEF^ACEB,△DEFS/XABF,...........................3分第23題圖

DE^-CD,

2

.S&DEF_\DE]SgEF

)?------4分

qre

QXCEB'LL“^7

'?q-?

?0tsDEF-乙'

分

,,SACEB=18,S^BF=8,6

,?S四邊形=S岫CE-SADEF=16,

?,Spq邊形ABC。=S四邊形8c。尸+S^BF=16+8=247分

(08山東青島21題)21.(本小題滿分8分)

已知：如圖，在正方形ABC。中，G是CO上一點，延長3C到E,使CE=CG,雌BG并延長交QE

于尸.

(1)求證：△留26DCE；

(2)將△OCE繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△￡>4￡,

判斷四邊形EZGQ是什么特殊四邊形？并說明理由.

證明：(08山東青島21題)(1)??,四邊形ABCD是正方形,

???BOCD,NBCD=90°.

VZBCD+ZDCE=180°,

AZBCD=ZDCE=90°.

又TCG二CE,

AABCG^ADCE...............................................................4

(2):△DCE繞D順時針旋轉(zhuǎn)90。得到aDAE',

???CE=AE'.

VCE=CG,

...CG=AE

?.?四邊形ABCD是正方形，

ABE'〃DG,AB=CD.

.".AB-AE'=CD-CG,

即BE'=DG.

四邊形DE'BG是平行四邊形................8'

（08山東濰坊21題）21.（本題滿分10分）

如圖，ABC。為平行四邊形，AD^a,BE//AC,OE交AC的延長線于尸點，交BE于E點.

（1）求證：DF=FE：

（2）若AC=2Cb,ZADC=60\AC1DC,求BE的長;

（3）在（2）的條件下，求四邊形A8EO的面積.

（08山東濰坊23題）23.（本題滿分11分）

如圖，矩形紙片A8CD中，AB=8,將紙片折疊，使頂點6落在邊A0的E點上，折痕的一端G點在邊

BC上，3G=10.

（1）當折痕的另一端/在A8邊上時，如圖（1）,求的面積；

（2）當折痕的另一端尸在AO邊上時，如圖（2）,證明四邊形8GEF為菱形，并求出折痕G尸的長.

圖⑴

（08山東煙臺25題）25、（本題滿分14分）

如圖，菱形ABCD的邊長為2,BD=2,E、F分別是邊AD,CD上的兩個動點，且滿足AE+CF=2.

（1）求證：ABDE絲△BCF；

（2）判斷4BEF的形狀，并說明理由；

（3）設aBEF的面積為S,求S的取值范圍.

B

(D證明J.?菱形AECD的邊長為2,BD=2,

.,.△ABD和△BCD都為正三角形.

:.NBDE=NBCF=60",BD=BC.

VAE+DE=AD=2,而AETCF=2,DE=CF.

:.ABDE4△BCF.

(2)解i/XBEF為正三角形.

理由：???△BDE9△ECF,

.,?NQBE=NCBF,BE=BF.

,.,ZDBC-ZDBF+ZCBF=60%

??.NDBF+NDBE=6O°.即/￡BF=60".

.??△BEF為正三角形.

⑶解:設BE=BF=EF=x,

則S=-y?n?l?sin60，="亨

當BE^AD時，工.小=2Xsin600="，

??0本?今蟻(遍＞=竽.

當BE與AB重合時，工.大=2,

：?S.大2?=4^?

4&s^yr.

（08年江蘇常州）已知：如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是邊BC、AB上的點，且EF=ED,EF_LED.

求證:AE平分NBAD.

（第23題）

(08年江蘇常州)如圖,這是一張等腰梯形紙片,它的上底長為2,下底長為4,腰長為2,這樣的紙片共有5

張.打算用其中的幾張來拼成較大的等腰梯形，那么你能拼出哪幾種不同的等腰梯形?分別畫出它們的不尊

圖，并寫出它們的周長.

(08年江蘇連云港20題)(本小題滿分8分)

如圖，在宜角梯形紙片ABC。中，AB//DC,NA=90°,CD>AD,將紙片沿過點。的直線折疊，使

點A落在邊CD上的點￡處，折痕為。尸.連接￡尸并展開紙片.

(1)求證：四邊形AOEE是正方形；

(2)取線段AF的中點G,連接EG,如果BG=C￡),試說明四邊形GBCE是等腰梯形.

（第20題圖）

（08年江蘇連云港20題）證明：（1）/A=90°,AB//DC,:.ZADE=9Q\

由沿OF折疊后△D4/7與重合，知A￡）=DE,ZDEF=90°.

(第20題答圖)

,四邊形ADE尸是矩形，且鄰邊AZ),AE相等.

四邊形ADEF是正方形...................................................3分

(2)-.-CE//BG,且CEW6G,.,.四邊形GBCE是梯形......................4分

?.?四邊形AOEF是正方形，.,.AO=IFE,ZA=^GFE=9Q0.

又點G為AE的中點，.?.AG=FG.連接。G.

在△AGO與△bGE中，???AD=FE,ZA=ZGFE,AG=FG,

.-.△ffiSOFGE,:"DGA=NEGB...............................6分

?:BG=CD,6G〃CO,.?.四邊形5CDG是平行四邊形.

DG//CD.:.NDGA=NB.:.NEGB=NB.

四邊形GBCE是等腰梯形.................................................8分

注：第（2）小題也可過點。作4?,垂足為點H,證△故次CBH.

（08年江蘇南京21題）（6分）如圖，在A8C。中，E,尸為上兩點，且BE=CE,AF=DE.

求證：（1）△空吹DCE；

（2）四邊形ABCD是矩形.

（08年江蘇南京21題）（本題6分）

解：(1)BE=CF,（第21題）

BF=BE+EF,CE=CF+EF,

：.BF=CE........................................................................................................................1分

???四邊形ABCD是平行四邊形，

AB—DC............................................................................................................................2分

在和△OCE中，

vAB=DC,BF=CE,AF=DE,

△轆DCE....................................................................................................3分

(2)解法一：?.?△阻達DCE,

ZZ?=ZC............................................................................................................................4分

?.?四邊形A5CO是平行四邊形,

AB//CD.

：.N8+NC=180°.

ZB=ZC=90°........................................................................................................5分

四邊形45co是矩形.....................................................6分

解法二：連接AC,DB.

vAag&KDCE,

NAFB=ZDEC.

：.ZAFC=ZDEB........................................................................................................4分

在△AR7和△OE8中，

vAF=DE,AAFC=4DEB,CF=BE,

△綺在DEB.

AC—DB..................................................................................................................5分

?.?四邊形ABC。是平行四邊形，

四邊形ABC。是矩形.....................................................6分

（08年江蘇南京22題）（6分）如圖，菱形45CO（圖1）與菱形EFGH（圖2）的形狀、大小完全相

同.

（1）請從下列序號中選擇正確選項的序號填寫；

①點、E,F,GH；②點、G,F,EH；③點、E,H,GR；④點G,”，EF.

（第22題）

如果圖1經(jīng)過一次平移后得到圖2,那么點A,B,C。對應點分別是；

如果圖1經(jīng)過一次軸對稱后得到圖2,那么點A,B,C。對應點分別是；

如果圖1經(jīng)過一次旋轉(zhuǎn)后得到圖2,那么點A,B,C。對應點分別是；

（2）①圖1,圖2關于點。成中心對稱，請畫出對稱中心（保留畫圖痕跡，不寫畫法）：

②寫出兩個圖形成中心對稱的：條性質(zhì)：.（可以結合所畫圖形敘述）

（08年江蘇南京22題）（本題6分）

解：（1）①；②；④；......................................................3分

（2）①畫圖正確..............................................................5分

②答案不惟一，例如：對應線段相等，

OC=OE等................................................................6分

（08年江蘇宿遷21題）（本題滿分8分）

如圖，在平行四邊形A8CO中，E為8c的中點，連接4E并延長交。C的延長線于點

D

（1）求證：AB^CF

（2）當BC'jAF滿足什么數(shù)量關系時，

四邊形A8/C是矩形，并說明理由.

F

（08年江蘇宿遷21題）（1）證明：...四邊形A8C0是平行四邊形

第21題

AB//CD,AB=CD

：.NBAE=NCFE,NABE=NFCE

???￡為的中點

EB=EC

：.AABE=\FCE

：.ABCF.

（2）解：當BC=AF時，四邊形A6PC是矩形.理由如下：：4B〃C￡AB=C/

四邊形ABFC是平行四邊形

,?BC=AF

...四邊形4BFC是矩形.

（08年江蘇泰州27題）如圖,在矩形ABCD中，AB=2,AD=C。

（1）在邊CD上找一點E,使EB平分NAEC,并加以說明；（3分）

（2）若P為BC邊上一點，且BP=2CP,連接EP并延長交AB的延長線于F。

①求證：點B平分線段AF；（3分）

②4PAE能否由aPFB繞P點按順時針方向旋轉(zhuǎn)而得到？若能，加以證明，并求出旋轉(zhuǎn)度數(shù)；若不能,

請說明理由。（4分）

（08年江蘇泰州27題）（1）當E為CD中點時,EB平分江AEC。..................1分

由ND=90°,DE=1,AD=V3,推得DEA=60°,同理，ZCEB=60°,從而/AEB=/CEB=60°,即EB平分N

AEC?......................3分

CFcP1

(2)①：CE〃BF,r.——=—=一，BF=2CE。..............5分

BFBP2

VAB=2CE,...點B平分線段AF..............................6分

VZAEP=ZBP=90°,.,.△PAS^APFBo....................9分

...△PAE可以△PFB按照順時針方向繞P點旋轉(zhuǎn)而得到。

旋轉(zhuǎn)度數(shù)為120°fla.......................................10分

（08年江蘇無錫20題）（本小題滿分6分）如圖，已知E是矩形A6CO的邊CO上一點，BFLAETF,

試說明：死EAD.

（08年江蘇無錫20題）解法一：?.?矩形ABC。中，AB//CD,ZD=90°,?（2分）

ZBAF=ZAED........................................................................................（4分）

vBF1AE,:.ZAFB^9Q\：.ZAFB=ZD................................................（5分）

△由8以EAD......................................................................................（6分）

解法二：?.?矩形A8CO中，ZBAD=ZD=9ff...........................................（2分）

ZBAF+ZEAD=90°,ZEAD+AAED=90°,ZBAF=ZAED.???（4分）

（08年江蘇無錫21題）（本小題滿分7分）

如圖，四邊形46CO中，AB//CD,AC平分NBA。，CEIIkD交.AB書E.

（1）求證：四邊形AECO是菱形；

（2）若點E是A8的中點，試判斷△ABC的形狀，并說明理由.

（08年江蘇無錫21題）（1）?/AB//CD,即AE〃CO,又,：CEHAD,

二.四邊形4ECO是平行四邊形...........................................（2分）

???AC平分ZBAO,AZ.CAE=^CAD,.....................................................（3分）

又?.?AO〃CE,ZACE=ZCAD,：.ZACE=ZCAE,：.AE=CE,

四邊形AECO是菱形.................................................（4分）

（2）證法一：?.?￡是4》中點，，4￡；=3后.

又?：AE=CE,:.BE=CE,:.NB=NBCE,..........................................（5分）

ZB+ZBCA+ABAC=180°,...................................................................（6分）

2NBCE+2NACE=180°,ZBCE+ZACE=90.

即NACB=90°,.?.△ABC是直角三角形................................（7分）

證法二：連OE,則且平分4C,..............................................（5分）

設OE交AC于尸.

?.?E是A3的中點，EF//BC...................................................................（6分）

BCLAC,.,.△ABC是直角三角形..................................（7分）

（08年江蘇無錫28題）（本小題滿分8分）

一種電訊信號轉(zhuǎn)發(fā)裝置的發(fā)射直徑為31km.現(xiàn)要求：在一邊長為30km的正方形城區(qū)選擇若干個安裝點，每

個點安裝一個這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置，使這些裝置轉(zhuǎn)發(fā)的信號能完全覆蓋這個城市.問：

（1）能否找到這樣的4個安裝點，使得這些點安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后能達到預設的要求？

（2）至少需要選擇多少個安裝點，才能使這些點安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后達到預設的要求？

答題要求：請你在解答時，畫出必要的示意圖，并用必要的計算、推理和文字來說明你的理由.（下面給

出了幾個邊長為30km的正方形城區(qū)示意圖，供解題時選用）

圖1

（08年江蘇無錫28題）解：（1）將圖1中的正方形等分成如圖的四個小正方形，將這4個轉(zhuǎn)發(fā)裝置安裝

在這4個小正方形對角線的交點處，此時，每個小正方形的對角線長為230&=15后<31,每個轉(zhuǎn)發(fā)

2

裝置都能完全覆蓋一?個小正方形區(qū)域，故安裝4個這種裝置可以達到預設的要求.

........（3分）（圖案設計不唯一）

（2）將原正方形分割成如圖2中的3個矩形，使得BE=DG=CG.將每個裝置安裝在這些矩形的對角

線交點處，設AE=x,則ED=30—x,DH=\5.

由6E=OG,^X2+302=152+（30-X）2,

即如此安裝3個這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置，也能達到預設要求........................（6分）

或：將原正方形分割成如圖2中的3個矩形，使得BE=31,“是CO的中點，將每個裝置安裝在這些矩

形的對角線交點處，則AE=回-？。？=府，DE=30-761,

DE=7（30-V61）2+152??26.8<31,即如此安裝三個這個轉(zhuǎn)發(fā)裝置，能達到預設要求.（6分）

要用兩個圓覆蓋一個正方形，則一個圓至少要經(jīng)過正方形相鄰兩個頂點.如圖3,用一個直徑為31的。

去覆蓋邊長為30的正方形ABCD，設。經(jīng)過A,8,。與A0交于E,連3E,則

AE=7312-302=屈<15=』AO,這說明用兩個直徑都為31的圓不能完全覆蓋正方形ABCD.

2

所以，至少要安裝3個這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置，才能達到預設要求.（8分）

評分說明：示意圖（圖1、圖2、圖3）每個圖1分.

圖3

（08年江蘇徐州26題）已知四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點0,給出下列四個論斷

①0A=0C②AB=Q）③ZBAD=ZDCB④AD〃BC

請你從中選擇兩個論斷作為條件，以“四邊形ABCD為平行四邊形”作為結論，完成下列各題:

①構造一個其向題，畫圖并給出證明；

②構造一個假向題，舉反例加以說明.

（08年江蘇徐州26題）解：（1）②③為論斷時，

（2）②④為論斷時，此時可以構成一梯形.

（08浙江湖州20題）20.（本小題8分）

如圖，在△A3C中，。是邊的中點，F(xiàn),E分別是A0及其延長線上的點，CF//BE.

（1）求證：△閨達CDF.

（2）請連結BP,CE,試判斷四邊形是何種特殊四邊形，并說明理由.

解：（08浙江湖州20題）（本小題8分）

（1）證明：?/CF//BE,：.ZEBD=ZFCD.

又?；NBDE=NCDF,BD=CD,

.-.△SQECDF.

（2）四邊形8EC尸是平行四邊形.

由△曲宜CDF,得ED=FD.

?.?6。=。。，.?.四邊形5ECP是平行四邊形.

（08浙江淮安24題）24.（本小題9分）

已知；如圖.矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點0,點0關于直線AD的對稱點是E,

連結AE、DE.

（1）試判斷四邊形A0DE的形狀，不必說明理由；

（2）請你連結EB、EC.并證明EB=EC.

BC

（08浙江嘉興23題）23.小麗參加數(shù)學興趣小組活動，提供了下面3個有聯(lián)系的問題，請你幫助解決:

（1）如圖1,正方形A6CO中，作AE交8c于E,DF工AE交AB『F,求證：AE=DF；

（2）@圖2,昉形ABC7）由點、E,尸分別在AO,BCk點G,"分別在AB,CDk且E/LG”，

EF,,也

求——的值；

GH

EF

（3）如圖3,矩形48co中,AB^a,BCHE,歹分別在AD,8C上，且求——

GH

的值.

B

（第23題圖I）（第23題圖2）（第23題圖3）

解：（08浙江嘉興23題）（1）-：DFLAE,

DAD

：.ZAEB=90°—NBAE=ZAFD,

H

又???48=A。，ZABE=ZDAF=90°,N

△母DAF,G

AE=DF.

（2）作AM〃EF交BC于M,ECBMFC

作DN〃GH交AB千N,（第23題圖1）（第23題圖2）

則AM=EF,DN=GH.

由⑴知，AM=DN,

EFAED

：.EF=GH,即——=1.

GHH

（3）作AM〃EF交BC于M,

作ON〃G”交AB于N,

則AM=EF,DN=GH.A

G

EF1GH,：.AM1DN,B

MFC

ZAMB=90；ZBAM=AAND,

（笫23題圖3）

又???ZABM=NDAN=90°,

DAN,

?_A_M____A_B___a

"DN~AD~b'

.EFa

--=—.

GHb

（08浙江麗水18題）18.如圖，正方形ABC。中，E與尸分別是A。、8c■上?點.

在①AE=CF、②BE〃。/、③/1=/2中，請選擇其中一個條件，證明

BE=