2022年福建省三明市南辛鎮(zhèn)中學高三數(shù)學理模擬試卷含解析

2022年福建省三明市南辛鎮(zhèn)中學高三數(shù)學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.空氣質(zhì)量指數(shù)AQI是反映空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，AQI指數(shù)值越小，表明空氣質(zhì)量越好，其對應關系如表：AQI指數(shù)值0～5051～100101～150151～200201～300＞300空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染

如圖是某市10月1日-20日AQI指數(shù)變化趨勢：下列敘述錯誤的是（

）A.這20天中AQI指數(shù)值的中位數(shù)略高于100B.這20天中的中度污染及以上的天數(shù)占C.該市10月的前半個月的空氣質(zhì)量越來越好D.總體來說，該市10月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好參考答案：C【分析】根據(jù)所給圖象，結(jié)合中位數(shù)的定義、指數(shù)與污染程度的關系以及古典概型概率公式，對四個選項逐一判斷即可.【詳解】對，因為第10天與第11天指數(shù)值都略高100，所以中位數(shù)略高于100，正確；對，中度污染及以上的有第11，13，14，15，17天，共5天占，正確；對，由圖知，前半個月中，前4天的空氣質(zhì)量越來越好，后11天該市的空氣質(zhì)量越來越差，錯誤；對，由圖知，10月上旬大部分指數(shù)在100以下，10月中旬大部分指數(shù)在100以上，所以正確，故選C.【點睛】與實際應用相結(jié)合的題型也是高考命題的動向，這類問題的特點是通過現(xiàn)實生活的事例考查書本知識，解決這類問題的關鍵是耐心讀題、仔細理解題，只有吃透題意，才能將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型進行解答.2.已知數(shù)列的通項公式，若或為數(shù)列的最小項，則實數(shù)的取值范圍A．(3,

4)

B．[2,5]

C．[3,4]

D．[]參考答案：D3.已知R上的不間斷函數(shù)

滿足：①當時，恒成立；②對任意的都有。又函數(shù)

滿足：對任意的，都有

成立，當時，。若關于的不等式

對恒成立，則的取值范圍

A．

B．

C．

D．參考答案：A4.如圖，從點發(fā)出的光線，沿平行于拋物線的對稱軸方向射向此拋物線上的點，經(jīng)拋物線反射后，穿過焦點射向拋物線上的點，再經(jīng)拋物線反射后射向直線上的點，經(jīng)直線反射后又回到點，則等于(

) A．

B．

C． D．參考答案：B5.已知，是互相垂直的兩個單位向量，=+2，=4﹣2，則（）A．∥ B．⊥ C．||=2||| D．＜，＞=60°參考答案：B【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【分析】經(jīng)計算可知=0，從而兩向量垂直．【解答】解：∵，是互相垂直的兩個單位向量，∴=0，==1，∴==（+2）?（4﹣2）=4+6﹣42=0，．故選：B．6.已知平面和共面的兩條不同的直線，下列命題是真命題的是（

）A．若與所成的角相等，則

B．若，，則

C.若，，則

D．若，，則參考答案：D7.設集合，，則A∪B=A.

(－1,0)

B.

(0,1)

C.

(－1,3)

D.(1,3)參考答案：C.故選C.8.用表示三個數(shù)中的最小值，設，則的最大值是（

）

A.

4

B.

5

C.

6

D.

7參考答案：C9.如圖是函數(shù)f（x）=x2+ax+b的部分圖象，則函數(shù)g（x）=lnx+f′（x）的零點所在的區(qū)間是(

)A．（） B．（1，2） C．（，1） D．（2，3）參考答案：C【考點】函數(shù)零點的判定定理．【專題】計算題；壓軸題．【分析】由二次函數(shù)圖象的對稱軸確定a的范圍，據(jù)g（x）的表達式計算g（）和g（1）的值的符號，從而確定零點所在的區(qū)間．【解答】解：由函數(shù)f（x）=x2+ax+b的部分圖象得0＜b＜1，f（1）=0，即有a=﹣1﹣b，從而﹣2＜a＜﹣1，而g（x）=lnx+2x+a在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，g（）=ln+1+a＜0，由函數(shù)f（x）=x2+ax+b的部分圖象，結(jié)合拋物線的對稱軸得到：0＜﹣＜1，解得﹣2＜a＜0，∴g（1）=ln1+2+a=2+a＞0，∴函數(shù)g（x）=lnx+f′（x）的零點所在的區(qū)間是（，1）；故選C．【點評】本題主要考查了導數(shù)的運算，以及函數(shù)零點的判斷，同時考查了運算求解能力和識圖能力，屬于基礎題．10.函數(shù)的值域為

(

）A．

B．

C．

D．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數(shù)列的前項和，且滿足，則正整數(shù)___.參考答案：812.正項等比數(shù)列{an}中，，則{an}的前9項和

．參考答案：26

13.雙曲線的離心率為

.參考答案：【知識點】雙曲線的幾何性質(zhì)解析：因為雙曲線，所以，所以離心率，故答案為?！舅悸伏c撥】根據(jù)雙曲線的標準方程，可得a，b，c，從而可求雙曲線的離心率．

14.若函數(shù)恰有2個零點，則a的取值范圍為

．參考答案：原問題等價于函數(shù)與函數(shù)恰有2個零點，當時，，則函數(shù)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增，且：；當時，分類討論：若，則，若，則，據(jù)此繪制函數(shù)圖像如圖所示，結(jié)合函數(shù)圖像觀察可得a的取值范圍為.

15.若無窮數(shù)列(R)是等差數(shù)列，則其前10項的和為

．參考答案：10若等差數(shù)列公差為d，則，若d＞0，則當時，，若d＜0，則當時，，∴d＝0，可得，解得或（舍去），∴其前10項的和為10．16.在中，角A、B、C所對邊的長分別為a、b、c，若，則的最小值等于.參考答案：因為，所以，即當且僅當時去等號。所以，所以的最小值等于.17.已知向量，且與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍是

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）已知函數(shù)，其導函數(shù)為。若函數(shù)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；若且，已知，求證：；（3）在（2）的條件下，試比較與的大小，并說明你的理由.參考答案：（1）（2）見解析【知識點】數(shù)列與不等式的綜合；數(shù)列與函數(shù)的綜合．D5

（1）。要使函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，則在內(nèi)恒大于0或恒小于0，當時，在恒成立；當時，要使恒成立，則；當時，恒成立；所以的取值范圍為。（2）根據(jù)題意得：f'（1）=0，即a+a﹣2=0，得a=1，∴，于是，用數(shù)學歸納法證明如下：當n=1時，a1=4≥2×1+2，不等式成立；假設當n=k時，不等式ak≥2k+2成立，即ak﹣2k≥2也成立，當n=k+1時，ak+1=ak（ak﹣2k）+1≥（2k+2）×2+1=4k+5＞2（k+1）+2，所以當n=k+1，不等式也成立，綜上得對所有n∈N*時5，都有an≥2n+2．（3）由（2）得an=an﹣1（an﹣1﹣2n+2）+1≥an﹣1[2（n﹣1）+2﹣2n+2]+1=2an﹣1+1，于是an+1≥2（an﹣1+1）（n≥2），所以a2+1≥2（a1+1），a3+1≥2（a2+1）…an+1≥2（an﹣1+1），累乘得：，所以．【思路點撥】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)的關系，f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，在（0，+∞）內(nèi)f′（x）恒大于0或恒小于0，轉(zhuǎn)化為恒成立問題去解決．（2）根據(jù)導數(shù)的幾何意義，f'（1）=0，求出a，確定f（x），f′（x）繼而得出an+1的表達式，最后用數(shù)學歸納法證明．（3）在（2）的條件下，將各項適當放縮，能得出，再結(jié)合等比數(shù)列求和公式化簡不等式左邊，去與比較．19.崇慶中學高三年級某班班班主任近期對班上每位同學的成績作相關分析時，得到周同學的某些成績數(shù)據(jù)如下：

第一次考試第二次考試第三次考試第四次考試數(shù)學總分118119121122總分年級排名133127121119（1）求總分年級名次關于數(shù)學總分的線性回歸方程=x+（必要時用分數(shù)表示）（2）若周同學想在下次的測試時考入年級前100名，預測該同學下次測試的數(shù)學成績至少應考多少分（取整數(shù)，可四舍五入）．（參考公式）參考答案：【考點】線性回歸方程．【分析】（1）由表中數(shù)據(jù)計算、，再求出回歸系數(shù)，即可寫出線性回歸方程；（2）由線性回歸方程，令≤100，求出x的值即可．【解答】解：（1）由表中數(shù)據(jù)，得=×（118+119+121+122）=120，=×（133+127+121+119）=125，∴==﹣3.4x∴=﹣=125﹣（﹣3.4）×120=543；∴y關于x的線性回歸方程為=﹣3.4x+543；（2）由線性回歸方程，令≤100，得﹣3.4x+543≤100，解得x≥130；故預測若想考入年級前100名，數(shù)學成績至少應考130分．【點評】本題考查了線性回歸方程的求法與應用問題，是綜合題目．20.已知正數(shù)a、b、c滿足，求證：參考答案：證明：要證只需證

…………3分即只要證

…………5分兩邊都是非負數(shù)，這就是已知條件，且以上各步都可逆，

…………10分

21.已知函數(shù)f（x）=ax﹣lnx．（1）過原點O作曲線y=f（x）的切線，求切點的橫坐標；（2）對?x∈[1，+∞），不等式f（x）≥a（2x﹣x2），求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】6H：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程；6E：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（1）過原點O作曲線y=f（x）的切線，求出切線方程，即可求切點的橫坐標；（2）對?x∈[1，+∞），不等式f（x）≥a（2x﹣x2），化為ax2﹣ax﹣lnx≥0對?x∈[1，+∞）恒成立，分類討論，即可求實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（1）設切點為（x0，ax0﹣lnx0），∴，直線的切線方程為y﹣（ax0﹣lnx0）=（a﹣）（x﹣x0），又切線過原點﹣ax0+lnx0=﹣ax0+1，所以lnx0=1，解得x0=e，所以切點的橫坐標為e．（2）因為不等式ax﹣lnx≥a（2x﹣x2）對?x∈[1，+∞）恒成立，所以ax2﹣ax﹣lnx≥0對?x∈[1，+∞）恒成立．設g（x）=ax2﹣ax﹣lnx，g′（x）=2ax﹣a﹣．①當a≤0時，∵，∴g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，即g（x）≤g（1）=0，∴a≤0不符合題意．②當a＞0時，．設，在[1，+∞）上單調(diào)遞增，即a≥1．（i）當a≥1時，由h（x）≥0，得g'（x）≥0，∴g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，即g（x）≥g（1）=0，∴a≥1符合題意；（ii）當0＜a＜1時，∵a﹣1＜0，∴?x0∈[1，+∞）使得h（x0）=0，則g（x）在[1，x0）上單調(diào)遞減，在（x0，+∞）上單調(diào)遞增，∴g（x0）＜g（1）=0，則0＜a＜1不合題意．綜上所述，a≥1．22.設公比大于零的等比數(shù)列的前項和為，且，，數(shù)列的前項和為，滿足，，．

（Ⅰ）求數(shù)列、的通項公式；（Ⅱ）設，若數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍．參考答案：【知識點】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合．D2

D