數值分析(宋岱才版)課后答案

第一章緒論

一本章的學習要求

(1)會求有效數字。

(2)會求函數的誤差及誤差限。

(3)能根據要求進行誤差分析。

二本章應掌握的重點公式

(1)絕對誤差：設x為精確值，X*為x的一個近似值，稱e*=x*-x為X*的絕對誤

差。

*

(2)相對誤差：^z*=—o

X

(3)絕對誤差限：￡*=k*|=[x*-X卜

(4)相對誤差限：￡*=二=匕二d。

(5)一元函數的絕對誤差限：設一元函數/(X)=O,則￡(/*)=，?￡(/)

(6)一元函數的相對誤差限:

設一元函數/（x,y）=O,則￡（/*）=?）?￡（＞*）

(7)二元函數的絕對誤差限:

(8)二元函數的相對誤差限:

三本章習題解析

1.下列各數都是經過四舍五入得到的近似值，（1）試指出它們有幾位有效數字，（2）分別

估計A及A2的相對誤差限。

X；=1.1021,X2*=0.031,x3*=385.6,x；=56.430

解：（1）%；有5位有效數字，苫2*有2位有效數字，％；有4位有效數字，％；有5位有效

數字。

⑵A=x1x2x3,=x2x3,絲L=玉￡,皂=X,X2,山題可知：為4的近似值，

~-dx}dx28X3

X；,x2*,Xj分別為玉,々,工3近似值。

所以

0.215

4=區(qū),則有生=_1,四=_-^,同理有4,*為42的近似值，x,*,%*為花，

-匕加%血（xj-

%4的近似值，代入相對誤差限公式:

2.正方形的邊長大約為100cm,怎樣測量才能使其面積誤差不超過len??

解：設正方形的邊長為x,則面積為S=/,生=2x,在這里設X*為邊長的近似值，S*為

dx

面積的近似值：由題可知：｛5）=（豈]￡（%?）4]

即：2X*-￡（X*）41推出：￡,（X*）<—^―=0.005cn??

'）v'200

3.測得某房間長約L,=4.32m,寬約為/=3.12m,且長與寬的誤差限均為0.01m,試問房

間面積S=Ld的誤差限和相對誤差限分別為多少？

Sv

解：設s=/d則有：j=d,—=l。在這里/*,d*S*分別為/,d,s的近似值:

dldd

皿…、咱43）0.0744

相對誤差限為：￡,S=--------------

-7|S*|4.32x3.12

4,下列公式如何計算才比較準確：

2*_]

（1）當X的絕對值充分小時，計算々二；

（2）當N的絕對值充分大時，計算公；

（3）當x的絕對值充分大時，計算出-R。

解：（1）當國->0時，^—2

2+2

2(e"+i)e'[e'e')e'[e'+e')

2(e'+e')2(e'+e')

W+I1,N+l

（2）當網-00時，-：_—^lx=argtgx=arg次(N+1)-argtgN

JN1+X-N

2

5.歹ij{%}滿足遞推關系”=10兒「I，n=l,2,...,若以=后”1.41,計算到幾時誤差有多

大？這個計算數值穩(wěn)定嗎？

解：已知準確值%=收，近似值算=L41，設他們的誤差為則有：

8=必-＞卜|阿。7)-(1%―1卜明。一仆1%。

￡2』九工|=|阿州)-(耳」卜。啊-習=10°￡。

以此類推所以&。=氏-司卜|(1。H-1)-(1。斤1卜10小。-410%

，＜，128

=10|^2-1.41|＜10°x^x10=^x10

6.計算f=取血，1.4,直接計算和用1、來計算,哪一個最好？

(3+2何

解：依題意構造函數“x)=(x-l)*,則/z(x)=6(x-l)5,由絕對誤差公式

￡(/*)=|/(x*),H*)=6x(1.4-1升收一1.4卜6x0.0124x；xI0i=0.003072

7.求二次方程1-16*+1=0的較小正根，要求有3位有效數字。

解：由求根公式：xJ±J；6T.所以。玉=8+病，工2=8-而對比可知：

較小的根為々=8-倔，由相近數相減原理則有：

「(8+而)(8-病)1

x2=8-V63=7~^7=;-=———-0.0627

-(8+V638+V63

8.如果利用四位函數表計算1-cos2°,試用不同方法計算并比較結果的誤差。

解：1-cos2°?1-0.994=0.006

1-cos2°=吧-2"X0-0349--?6.092x10-4

l+cos201.994

9.設x的相對誤差限為6,求V的相對誤差限。

解：由題意可知：設〃x)=y叫則有r(x)=100X，9在這里設￡為X的近似值，/*為了

的近似值，由已知X的相對誤差限為6。

￡(/*)」/'(x》(x*)_I。。(x?廣傘)_100e(x*)

所以:

"FT|4*)|=(了"方=1006

10.已知三角形面積s=labsinc,其中c為弧度,滿足0<c<-,且a,b,c,的誤差分別為ba、Nb,

22

Aco證明面積誤差加滿足竺』竺|+|竺+'。

s\a\\hc

ds似|+奈皿|,又因為:旨△bsinc,2=Lsinc

解：由誤差定義：A?<

db2db2

ds11

-=-abcosc,代入上式可得:As<一bsinc+—asine|A&|+cbsc|Ac|

de222

1

—bsinc—asine-abcosc

222_______

兩邊同除以s可得:1,.

—a/?sinea/?sine-a/?sine

222

小八一rm/AabbAcTT

約分可得：一<—+—+—因為：0<c<—則有:tgc>c>0.,

sabtgc2

丁7人皿45/Ac_.

所以命感—W----1----1---成立。

ah

第二章插值法

一本章的學習要求

(1)會用拉格朗日插值和牛頓插值求低階插值多項式。

(2)會應用插值余項求節(jié)點數。

(3)會應用均差的性質。

二本章應掌握的重點公式

(1)線性插值：L,(x)=l0(x)y0+/|(%)必o

(2)拋物插值:L,(x)=/0(x)y0+Z](x)yt+12(x)y2?

(3)〃次插值：=(x)以。

k=0

(4)拉格朗日插值余項:R“(X)=/(x)-L.(x)=/"⑷%(x)。

〃+1!

(5)牛頓插值公式：

XXXXXXXXXXXXXX

N(X)=/(0)4-/[0,I](-0)+--/[0,1--,,](-0)(-1)--(-?,I)?

f(xJ)

(6)/區(qū),演,…%]=￡

(x-x)(x-x,)---(x-x

六10…(xfj

(7)f[x0,x?-xn]=^p-.

n\

(8)牛頓插值余項:R“(x)=〃x)-N“(x)=/[xo，X]…x』0+i(x)。

三本章習題解析

1.給定的一系列離散點(1,0),(2,—5),(3,—6),(4,3),試求Lagrange

插值多項試。

解：設所求插值多項式為〃(元)=￡3")=/。(工)?,0+/1卜>乂+/2(')?九'且已知：

，(尸對代入插值基函數公

x()=L0k2%=-5X2=3y2=-6x3=4y3=3,

式.川得.1心-1)(1心)._尤)_(x_2)(x_3)(x-4)

°(X。一-12乂尤一13)(-1X-2X-3)

JzX(x-Xo)(x-X2)(x-，3)=(1)(?3)(1)

1-

(X1-XO)(X1-X2)(X1X3)(lx-lx-2)

JzvA(x-Xo)(x-Xi)(x-X3)=(xT)(x—2)(X-4)

2(12一%0乂12一%)(12一羽)(2X1X—1)

化簡代入p(x)得：p(x)=x3-4x2+3

2.若/(%)=216-3/+/+1,求/[3°3…36],/[3°,3'---37]O

解：由/⑹(x)=2x6!,所以：/⑹⑶=2x6!,嚴(x)=嚴⑷=0.由均差的性質(三)

可知：/[3°,3,…36]=/)=^^=2，/[3。3…3，]=/7I'=%。

3.給定函數表

012345

Xi

-7-452665128

(1)試用Lagrange插值法求一個三次插值多項式“X)，并由此求/(。.5)的近似值。

(2)試用Newton插值公式求一個三次插值多項式N?(X)，并由此求/(0.5)的近似值。

解:⑴〃=3,取0.5附近的4個點為宜。故取，%=0,x,=l=-4々=2,%=5,

七=3,%=26。則L、(X)=/o(x).yo+/|(x).y+/,(x).y,，按照習題1求出插值基

函數。代入L,(X)?？傻茫篖<X)=J+2X-7,所以：/(0.5卜11]+2x1-7=-5.875

(2)設牛頓插值多項式為

x+[xo'X)](%-Xo)+/[%o*X2](x-Xo)(x-Xi)

N3()=f(x^fXe

列差商表：

一階插商二階插商三階插商

玉

0-7

1-43

2593

3262161

3

所以：^3(X)=-7+3(X-0)+3(X-0)(X-1)+(X-0)(X-1)(X-2)=X+2X-7=-5.875

4.設%為互異節(jié)點(j=0,l,2,…,n)求證：之X；/j(x)三丁，%=0,1,2,...,〃其中/0)為

J=o1J1

〃次插值基函數。

證明：根據題意：設〃x)=x",所以有匕=/(.)=%：,

結合上式所以有：之也(X)="“j(x)=￡/j(x)y=L,(%J

；=o;=oj=O'J

由余項定理可知：/(可)=4(%)+R(%J

且由定理二可知，當OWJW〃時，R“(xj=O所以就有/(xJ=L.(,)=x/。

在這里令變量Xj=X,所以命題:Yxkjl^x)=X'成立。

7=0

5.設f(x)ec2[a/]且/⑷=/(/?)=0,求證：max|/(x)|<^(/>-a)2max|//z(x)|<.

證明：由題可知：、0=。，%=0，司="弘=0,故可構造線性插值多項式即為下式：

L(X)=/°(x)/")+/。)/")，記為⑴式，

因為"X)=L(X)+R(X)，記為⑵式，其中.(x)=￡護(x_a)(x叫，記為⑶

式，

將⑴(3)代入(2)整理：

II

.f(x)=L(X)+R(x)=^^”a)+A^/e)+RJ，)(i)(x-b)

a-DD—Cl2!

所以邛(訃4-111

<-----max|（…）（j）］這里取"=方-代

-2!a<x<b乙

再放縮得SV⑸吊僅一。)2黑引/"(N

入，可推出：|/(x)|<

2!4

6.若f（x）=anxn+an_ix"~'+...+atx+a0有"個不同實零點4％,…%,證明：

nXQ,Q<k<n-2

Z?！傲?〃-1

j=lrGO

證明：由題可知：/(X)有〃個不同實零點，故/(X)還可以表示成根形式的多項式，即:

由導數的定義可知：力

%X-%

人XjI%

在此設：。(%)=%'；

n

.=-￡

z（%廣第）……（工廠"）（工廣X）----（X；-%“）

六I/（町）ClnJ=]y+I

力幌…為⑴式

當后=〃一1時，“i(x)=(〃—l)!,則(1)變?yōu)?-；

當0M女<〃一2,則(1)式變?yōu)?,

綜上所述：y-X;0,0<k<n-2

“”=〃T

7.給定函數表

-2-10123

xi

/㈤-5111725

已知以上數據取自一個多項式，試確定這個多項式的次數；并求出這個多項式。

解：用牛頓法：W（x）=/（%0）+./-[%（）,xl]（x-x0）+/[x（）,X）,x2,]（x-x0）（x-x1）+

…+/[%0，須，工2，芻，工4，*5]（%一%0）（*—尤|）（工一％2）（%一》3）（%一》4）,

列插商表:

?階插商二階插商三階插商四階插商五階插商

〃玉）

-2-5

-116

010-3

11001

276310

325186100

N(X)=-5+6(x+2)-3(x+2)(x+l)+(x+2)(x+l)(x-。)=￡-x+l,為三次。

8.對函數/（x）,g（x）及任意常數a,b,證明：

[?/1（X）+bg（x）][x0,x},---xn]^af[x0,xi,---x?]+bg區(qū),占,??-%?]?

證明：由高等數學的知識，我們構造函數尸（X）=4（x）+bg（x）,于是就有下式成立:

\_af(x)+bg(x)][x0,xl,-xn]=尸(尤)]%,占,…x.]

=工

六0（工廣工0）（%廣%）…

=宜________________?（%）+%（%）________________

一（%廣.。）（％廣.）,?■（%廣孫）（%廣%.）…?（%廠%”）

由分式法則：

___-__________/（x）______________\+hXl___________r____g（x）______,________

用（工廣70）（工廠工）….（工廠X/T）（X「％加）?…（工廠X”），=°（即一70）（大廣%）”“（%-丁尸）（工廠為“卜”（工廠二,）

=t?/'[x0,xl?■-xn]+Z>g[x0,x1,---xn],所以命題成立。

10.給定函數表

0.00.20.40.60.8

X,

1.000001.221401.491821.822122.22554

/（X，）

試分別用Newton前插值公式和Newton后插值公式計算/（0.05）的近似值。

分析：基于本題內容為教材中的選講部分，考試不做任何要求。故只給出習題結果，有興趣

的同學可自行解答，分別代入Newton前插值公式和Newton后插值公式可得

/(0.05)=1.05126.

11.若要給出/(x)=cosx,x』0日的一張按等距步長h分布的函數表，并按線性插值計

算任何xe的cosx的值。問當h取多大才能保證其截斷誤差的絕對值不超過

_2_

?10"。

分析：基于本題內容為教材中的選講部分，考試不做任何要求。故只給出習題結果，有興趣

的同學可自行解答，代入余項公式，即可求出力40.02。

12.設/(x)ec2"+2[q,可，采用Lagrange插值余項的證明方法，證明:埃爾米特插值余項

f2"+2(￡]

R(x)=/(x)-”2,川(x)=；2〃+2)!蘇用(X)。

分析：基于本題內容為教材中的選講部分，考試不做任何要求。故只給出習題結果，有興趣

的同學可自行解答，將定理2代入余項公式即可求得，在此不做說明。

13.求不超過3次的多項式“(X),使其滿足”(-1)=9,(-1)=137(1)=1W,(l)=-1o

分析：基于本題內容為教材中的選講部分，考試不做任何要求。故只給出習題結果，有興趣

23

的同學可自行解答，設所求多項式為：H(x)=a0+alx+a3x+a3x,代入條件，即可求得:

//(X)=X3-4X2+4X?

14.求不超過4次的多項式p(X),使其滿足P(0)=尸(0)=0，P(1)=P/(1)=1,

P⑵=1。

分析：基于本題內容為教材中的選講部分，考試不做任何要求。故只給出習題結果，有興趣

234

的同學可自行解答，設所求多項式為分析p(x)=aQ+atx+a2x+a3x+a4x,

代入條件，即可求得：p(x)=|?(x-3)2o

15.給定函數表

0123

〃七)00.521.5

(1)在邊界條件/⑼=0.2,/(3)=-1下求三次樣條插值函數S(X)；

(2)在邊界條件/〃(0)=-0.3,/〃(3)=3.3下求三次樣條插值函數S(X)。

分析：基于本題內容為教材中的選講部分，考試不做任何要求。故只給出習題結果，有興趣

的同學可自行解答，代入樣條插值函數公式，即可求得，在此不做說明。

0.48x3-0.18x2+0.2x,xe[0,l]

32

結果為：（1）5（x）=J-1.04（x-l）+1.25（x-l）+1.28（x-l）+0.5,xe[l,2]

0.68（x-2）3-1.86（x-2）2+0.68（x-2）+2.0,xe[2,3]

0.5x3-0.15x2+0.15x,xe[0,l]

（2）j（x）=--1.2（x-1）3+1.35（x-1）2+1.35（x-1）+0.5,xe[1,2]

1.3（x-2）3-2.25（x-2）2+0.45（x-2）+2,xe[2,3]

第三章函數逼近及最小二乘法

一本章的學習要求

(1)會用最小二乘法求擬合曲線。

(2)會將非線性函數轉化成線性函數。

二本章應掌握的重點公式

線性曲線擬合公式：

(媒㈤斗⑷媒0)。。(力3M=(。㈤晶0媒(浦由(力

j=0i=0

3「。)=￡公弘億)。億)，

電f'=￡o)WCy「電八工①,(KWy「

i=0i=0

三本章習題解析

1.設?！?x),@(x)…。,i(x)…是區(qū)間［0,1］上帶權夕(力=》的最高項系數為1的正交多

項式序列，其中0o(x)=l,求，x〃(x)dx及°|(x)和℃)。

分析：基于本題內容為教材中的選講部分，考試不做任何要求。故只給出習題結果，有興趣

jJ.i--0、

的同學可自行解答，在這里只給出結果。結果為：(x)dx=12；.(x)=x-2;

'［0,^^03

//\263

么3=%-1+歷。

2.判斷函數或(x)=l，/(x)=x,，么(x)=%2_；,在［-1,1］上帶權夕(x)=l正交，并求

.(力使其在［-1，1］上帶權p(x)=l與白(X)，0")，我(無)正交。

分析：基于本題內容為教材中的選講部分，考試不做任何要求。故只給出習題結果，有興趣

的同學可自行解答，在這里只給出結果。結果為：

5

3.證明：若函數組直…。卜)是在［a,b］上帶權夕(x)正交的函數組，則

媒(x),由(x)…0,*)必然是線性無關的函數組。

分析：基于本題內容為教材中的選講部分，考試不做任何要求。故只給出習題結果，有興趣

的同學可自行證明。

4.已知點列％=-2,玉=-1,x2=0,x3=1,%=2及權函數0(x())=0.5,

<y(xj=)=0(x3)=1,C9(x4)=1.5,利用公式(4—7)和(4—8)構造對應的正交多

項式PO(X)，PG)，P23。

分析：基于本題內容為教材中的選講部分，考試不做任何要求。故只給出習題結果，有興趣

的同學可自行解答，在這里只給出結果。結果為：p°(x)=i，p(x)=x_2,

心⑴十一卷DS。

5.已知數據表

01234

1.003.856.509.3512.05

%

t擬合這些數據的直線方程。

解：設所要擬合的直線方程為：y=a0+aiX,這里m=4,〃=1,4)(x)=l,必(x)=x,

(九。。)=￡劭。。(外媒(幻=5'電心=電心=Z④。。")“")=I。，

(么。J=X④“(％,)“(％,)=3。，(。/)='劭裔(％)y,.=32.75，

i=07r=0

(。/4④“(Q=93.1，所以可得到以下方程組：扁:J：。卜圉：

解得：&=1.03,q=2.76,所以所求方程為y=L03+2.76x。

6.已知數據表

12345678

X，

33455667

y

求擬合這些數據的直線方程。

解：設所要擬合的直線方程為：y=a0+qx,這里〃2=7,〃=1,禽(％)=1,族(尤)=%,

(耙。。)/公。。")。。")=8，(耙=M。。)4劭。。"場(K)=36'

(“㈤4④。氏場(%.)=285，(必/4。(%,)y=?，

(〃)4。歐(仙=216,所以可得到以下方程組：［"第fcH；；

解得：4=2.22,q=0.95,所以所求方程為：y=2.22+0.95XO

a,

7.某發(fā)射源的發(fā)射強度公式為I=Ioe-,現測得/與，的一組數據如下表

0.20.30.40.50.60.70.8

4

3.162.381.751.341.000.740.56

4

試用最小二乘法根據以上數據確定參數/。和a的值。

解：先將/=/(<"線性化，即兩邊取以10為底的對數，變?yōu)閻?=lg/"_lgI，

設y=lg，A[=lg/%A=“l(fā)g"所以上式變?yōu)閥=Ao+A，*。這里m=7,n=1,

Oo(x)=l，0|(x)=x,代入公式得：(。0。。)=石劭。0(幻媒(%)=8,

(。㈤=("㈤4④".(%M(%)=3.5,?M)=$①崗%腐%,)=203,

77008062

J)4劭。。")yt=68638，電')=La)03‘

所以可得到以下方程組設3.5(甸/0.8638],解得：008777)

3.5,2.03J|_Aj[0.08062

A產-0.04618,相應的/（）a5.64,aa2.89。

8.試用最小二乘法根據以下數據表

1.001.251.501.752.00

Xi

5.105.796.537.458.46

y,

求)，=aehx的最小二乘擬合曲線。

解先將y=四灰線性化，即兩邊取以10為底的對數，變?yōu)槟?=炫"+〃但'，設、=尼，，

4=lg",A=blg‘，所以原式變?yōu)椋簓=4+Ax。這里m=4,〃=1,0"）=1，

A(x)=X，代入公式得(。閡=￡①，之(%,)%)=5，

他歐)=(么。0)N④么(%場")=75，仇”)=。丘)必")=11875,

(。力=Z0,我(%,)卜=3333，(°j)=之④么(%,)y,=51.2275，

<=0/=0

所以可以得到以下方程組：[5,75][A>]=p333],解得：4=3.708，

_7.5,11.875_|[Aj|_51.2275_

4=1.972,代回求得，。=3.071,8=0.5056,故方程為y=3.07le°s°56l

9.用最小二乘法求形如y=a+bx2的經驗公式，使它擬合以下數據。

1925313844

19.032.349.073.397.8

y

解：先將y=a+以2線性化，設X=f,則原式變?yōu)閥=a+/?x,這里〃?=4,〃=1,

0o（x）="。仆）=x，代入公式得（之㈤=耳0么（幻媒（％,）=5，

（。他）=（我直）4公么（］，場（幻=5327，（么"）=￡公”（%,場（幻=7277699,

血”4④。。（％JY=271.4，（內必）40,如幻制％J=369321.5，

5,5327a271.4

所以可以得到以下方程組:

5327,7277699369321.5

解得：a=0.05004,6=0.97258,所求方程為：>'=0.97258+0.05004x2?

第四章數值積分和數值微分

一本章的學習要求

（1）會求各種插值型求積公式。

（2）會應用求積公式分析代數精度。

（3）掌握梯形公式，辛甫生公式及其誤差余項。

（4）掌握復化梯形公式，復化辛甫生公式及其誤差余項。

二本章應掌握的重點公式

⑴梯形公式：（/（1世=?\^［/（4）+/e）］。

⑵辛甫生公式：/（4）+4/（色|^）+/伍）

⑶復化梯形公式：7“=*（。）+4由（8）+/伍）］。

，Lk=l_

⑷復化辛甫生公式：S,,=*（a）+2?（%J+0心』+f⑹。

N|_&=1K=0\27_

（5）梯形公式的誤差余項：R,"）=_/2詈e-a）'Je（a,b）

（6）復化梯形公式的誤差余項：%（月=一等力2/〃何）?！保╝,b）

三本章習題解析

1.用復化梯形公式和復化Simpson公式計算下列積分。

（1）f取"8;（2）RV4-sin2xdx，取〃=6

解（1）代入復化梯形公式可得了8二1〃。）+力/（羽）+/⑴卜SU14024,

T6&=1J

T=^/（0）+力仇）+/（￡|卜03562,

⑵代入梯復化形公式可得:6

同理，分別代入復化Simpson公式可得:58=0.1115724,S6=1.03577.

2.確定下列求積公式中的待定參數，使其代數精度盡量高，并指出所構造的求積公式所具

有的代數精度。

⑴￡J(加“A/(叫+AJ(。)+AJ㈤

⑵。(加AJ(o)+A/")+4〃i)

⑶[fih/(xUj(j)+4〃o)+Aj㈤

⑷AJ(—〃)+AJ(x)

2A=A,+Ai+/L

解：(1)設〃x)=l,X,求積公式準確成立代入(1)式可得:0=h+h

-A0A2-

32

j/i=U+A2)/z

14

解得：&=&=§/?,A{=—h9

代入原式整理得：「/(x>/-/(o)+-/?■/(//),

J-/,333

對于"x)=d,代入上式驗證，左邊=右邊，繼續(xù)令/(x)=x4,代入上式驗證,

左邊。右邊，即所構造的求積公式具有3次代數精度。

i=Ao+Ai+A?

2

(2)設“X)=1,x,X求積公式準確成立，代入(2)式可得:g=A「x+4

6=A=+24

121

解得：4)=A,=—,A=—x,

~63t2

代入原式整理得:

對于f(x)=x3,代入上式驗證，左邊=右邊，繼續(xù)令f(x)=/,代入上式驗證，左

邊H右邊，即所構造的求積公式具有3次代數精度。

4h=4+A+&

(3)設f(x)=l,x,/,求積公式準確成立，代入(3)式可得:0=-4?力+A>'h

32

y//=(AO+A2)h

8,4,

解得：4=4=—/i,A=一h]

代入原式整理得：弟1力?/(—〃)—g九/(xJ+|/r/(〃)，

對于〃x)=x3,代入上式驗證，左邊=右邊，繼續(xù)令/(x)=x4,代入上式驗證，

左邊工右邊，即所構造的求積公式具有3次代數精度。

(4)設=x,求積公式準確成立，代入(4)式可得上飛'

\'[0=-4)/?+Axi

hh2

解得：斗=§,A)--4=1%

代入原式整理得：fJ(x*x+

對于/(x)=x2,代入上式驗證，左邊=右邊。繼續(xù)令/(x)=x3,代入上式驗證，

左邊H右邊，即所構造的求積公式具有3次代數精度。

3.證明：。(沙-：]/(0)+/⑴]一\[一⑴一尸(0)]具有3次代數精度。

證明：當〃x)=l時，

左邊=1,右邊=g[l+l]-、[0-0]=l,左邊=右邊。

當/(x)=工時，

左邊=；，右邊=」0+l]-L[l-l]=L，左邊=右邊。

22122

當〃%)=空時,

左邊=§,右邊=g[0+l]-(■[2-0]=；,左邊=右邊。

當”x)=d時，

左邊=工，右邊=—,左邊=右邊。

44

當/(丫)=尤4時，

左邊=!，右邊=1,左邊有邊。

56

故所求積公式具有3次代數精度。

71

4.用復化Simpson公式S“計算積分psinxdx,要使誤差不超過問應將區(qū)間

Jo2

TT7T

0,-分為多少等份？若改用復化梯形公式時,要達到同樣精度間應將區(qū)間0,-分

22

為多少等份?

解：復化Simpson公式的余項的絕對值為:限⑺卜b-a由此可將原問題轉

180-

￡_5

071I-I<——過—<_!_乂[八$角畢得：“26。

化為R⑺卜器maxls,nH-92160n4-21°

4〃

同理若應用復化梯形公式，則有

-等〃7"M)f]max卜Ex層xlO'解得：n-255°

"\2n)應必

5.求積公式，/(xg°AJ(°)+AJ(i)+A2/'(°)，已知其余項表達式為

夫(/)=小〃(3。試確定求積公式中的待定參數A,，A，A?，使其代數精度盡量

高，并指出求枳公式所具有的代數精度及余項表達式。

/

1=4+4+4

解：設〃x)=l,X,f求積公式準確成立，代入原式可得：1..