2021版高考數(shù)學(xué)導(dǎo)與練一輪復(fù)習(xí)（浙江版）知識梳理第二章第二節(jié)　函數(shù)的單調(diào)性與值域(一)

第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與值域(一)復(fù)習(xí)目標(biāo)學(xué)法指導(dǎo)1.增函數(shù)、減函數(shù)的概念.2.函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間.3.函數(shù)的最大值和最小值.1.單調(diào)性是研究函數(shù)中的變量之間的大小關(guān)系的重要指標(biāo),要學(xué)會(huì)從數(shù)與形兩個(gè)角度理解與應(yīng)用單調(diào)性.2.單調(diào)區(qū)間是單調(diào)性存在和應(yīng)用的范圍,要注意辨析其表述形式的差異,區(qū)分其意義的不同,能根據(jù)函數(shù)結(jié)構(gòu)的不同求解單調(diào)區(qū)間.3.能依據(jù)函數(shù)式特征選擇相應(yīng)性質(zhì)與方法求解值域(或最值).一、函數(shù)的單調(diào)性1.單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮,如果對于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)<f(x2),那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)>f(x2),那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的2.單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù),那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,區(qū)間D叫做函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.1.概念理解(1)單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì),是針對定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D而言的,即DI;(2)定義的核心是判定兩個(gè)不等關(guān)系的“異同”,標(biāo)準(zhǔn)是“同增異減”.(3)應(yīng)用定義判定或證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí),x1,x2必須表示任意的自變量,切忌用特殊值代替.(4)單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示,不能用集合或不等式表示;如有多個(gè)單調(diào)區(qū)間應(yīng)用逗號間隔,一般不能用并集符號“∪”連接,也不能用“或”連接.(5)區(qū)分兩種敘述形式:“函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)”與“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是D”,二者意義不同:前者中D是函數(shù)單調(diào)區(qū)間的子集,后者中D是函數(shù)唯一的單調(diào)區(qū)間.2.與判定函數(shù)單調(diào)性相關(guān)的結(jié)論(1)利用定義判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性的等價(jià)形式設(shè)任意x1,x2∈[a,b]且x1<x2,那么①>0?f(x)在[a,b]上是增函數(shù);<0?f(x)在[a,b]上是減函數(shù).②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0?f(x)在[a,b]上是增函數(shù);(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0?f(x)在[a,b]上是減函數(shù).(2)判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的方法y=f(t)增增減減t=g(x)增減增減y=f[g(x)]增減減增復(fù)合法可簡記為“同增異減”,即內(nèi)、外函數(shù)的單調(diào)性相同時(shí)復(fù)合函數(shù)是增函數(shù),相異時(shí)復(fù)合函數(shù)是減函數(shù).(3)運(yùn)算性質(zhì)①若f(x),g(x)均是區(qū)間D上的增(減)函數(shù),則f(x)+g(x)也是區(qū)間D上的增(減)函數(shù).②若k>0,則kf(x)與f(x)的單調(diào)性相同;若k<0,則kf(x)與f(x)單調(diào)性相反.③函數(shù)f(x)(f(x)>0)在公共定義域內(nèi)與的單調(diào)性相反;與的單調(diào)性相同.二、函數(shù)的最值前提一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件(1)對于任意的x∈I,都有f(x)≤M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.(3)對于任意的x∈I,都有f(x)≥M;(4)存在x0∈I,使得f(x0)=M.結(jié)論M為最大值M為最小值基本初等函數(shù)的值域(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:當(dāng)a>0時(shí),值域?yàn)閇,+∞);當(dāng)a<0時(shí),值域?yàn)?-∞,QUOTE4ac-b24a(3)y=(k≠0)的值域是(-∞,0)∪(0,+∞).(4)y=ax(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞).(5)y=logax(a>0且a≠1)的值域是R.(6)y=sinx,y=cosx的值域是[-1,1].(7)y=tanx的值域是R.1.下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+∞)上為增函數(shù)的是(A)(A)y= (B)y=(x-1)2(C)y=2-x (D)y=log0.5(x+1)解析:顯然y=QUOTEx+1是(0,+∞)上的增函數(shù);y=(x-1)2在(0,1)上是減函數(shù),在(1,+∞)上是增函數(shù);y=2-x,即y=(QUOTE12)x在R上是減函數(shù);y=log0.5(x+1)在(0,+∞)上是減函數(shù).故選A.2.設(shè)函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù),則下列結(jié)論一定正確的是(C)(A)y=在R上為減函數(shù)(B)y=|f(x)|在R上為增函數(shù)(C)y=2-f(x)在R上為減函數(shù)(D)y=-[f(x)]3在R上為增函數(shù)解析:根據(jù)題意,依次分析選項(xiàng):對于A,對于函數(shù)f(x)=x,y==,在R上不是減函數(shù),A錯(cuò)誤;對于B,對于函數(shù)f(x)=x,y=|f(x)|=|x|,在R上不是增函數(shù),B錯(cuò)誤;對于C,令t=f(x),則y=2-f(x)=(QUOTE12)f(x)=(QUOTE12)t,t=f(x)在R上為增函數(shù),y=(QUOTE12)t在R上為減函數(shù),則y=2-f(x)在R上為減函數(shù),C正確;對于D,對于函數(shù)f(x)=x,y=-[f(x)]3=-x3,在R上為減函數(shù),D錯(cuò)誤.故選C.3.函數(shù)y=x2-2ax+b在(-∞,1]上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是;若其單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,1),則實(shí)數(shù)a的值是.

解析:函數(shù)y=x2-2ax+b的遞減區(qū)間是(-∞,a],所以(-∞,1](-∞,a],故a≥1.其單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,1)時(shí),a=1.答案:[1,+∞)14.已知函數(shù)f(x)=x(2x-),若f(x-1)>f(x),則x的取值范圍是.

解析:當(dāng)x>0時(shí),f(x)在(0,+∞)上遞增,而f(-x)=f(x),f(x)是偶函數(shù),故f(x)在(-∞,0)上是減函數(shù),若f(x-1)>f(x),則|x-1|>|x|,即(x-1)2>x2,解得x<QUOTE12.答案:(-∞,QUOTE12)5.若函數(shù)f(x)=3x+ax(a>0且a≠1)是偶函數(shù),則函數(shù)f(x)的值域?yàn)?

解析:由f(x)為偶函數(shù)可得,f(-1)=f(1),即QUOTE13+QUOTE1a=3+a,解得a=QUOTE13,所以f(x)=3x+QUOTE13x,因?yàn)?x>0,所以3x+QUOTE13x≥2(當(dāng)且僅當(dāng)3x=QUOTE13x,即x=0時(shí)取等號),所以f(x)≥2,即f(x)的值域?yàn)閇2,+∞).答案:[2,+∞)考點(diǎn)一函數(shù)單調(diào)性的判定[例1]判斷函數(shù)f(x)=(其中a>0)在x∈(-1,1)時(shí)的單調(diào)性.解:設(shè)-1<x1<x2<1,則f(x1)-f(x2)=-==.因?yàn)?1<x1<x2<1,所以x2-x1>0,x1x2+1>0,(QUOTEx12-1)(QUOTEx22-1)>0.因此當(dāng)a>0時(shí),f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),此時(shí)函數(shù)f(x)在(-1,1)上為減函數(shù).利用定義判定函數(shù)單調(diào)性的步驟(1)取值:任取所給區(qū)間上兩個(gè)變量x1,x2;(2)作差,若f(x)>0(或<0),也可以作商;(3)變形:化簡后的代數(shù)式中須出現(xiàn)“x1-x2”(4)定號:判定差的正負(fù)或商與1的大小,必要時(shí)分類討論;(5)判定:注意完整的敘述.(2019·北京卷)下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是(A)(A)y= (B)y=2-x(C)y=x (D)y=解析:y=QUOTEx12=QUOTEx,y=2-x=(QUOTE12)x,y=x,y=QUOTE1x的圖象如圖所示.由圖象知,只有y=QUOTEx12在(0,+∞)上單調(diào)遞增.故選A.考點(diǎn)二求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間[例2](1)函數(shù)f(x)=(x2-4)的單調(diào)遞增區(qū)間為()(A)(0,+∞) (B)(-∞,0)(C)(2,+∞) (D)(-∞,-2)(2)函數(shù)y=f(x)(x∈R)的圖象如圖所示,則函數(shù)g(x)=f(logax)(0<a<1)的單調(diào)減區(qū)間是()(A)[0,QUOTE12](B)[QUOTEa,1](C)(-∞,0)∪[QUOTE12,+∞)(D)[QUOTEa,QUOTEa+1]解析:(1)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)?-∞,-2)∪(2,+∞),因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)是由y=t與t=g(x)=x2-4復(fù)合而成,又y=t在(0,+∞)上單調(diào)遞減,g(x)在(-∞,-2)上單調(diào)遞減,所以函數(shù)y=f(x)在(-∞,-2)上單調(diào)遞增,故選D.(2)因?yàn)閡=logax(0<a<1)在(0,+∞)上是減函數(shù),又因?yàn)間(x)遞減,所以此時(shí)y=f(u)需為增函數(shù),由圖可知,f(u)在[0,QUOTE12]上遞增,所以0≤logax≤QUOTE12,所以QUOTEa≤x≤1,故選B.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的常見方法(1)利用已知函數(shù)的單調(diào)性,即轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的和、差或復(fù)合函數(shù),再求單調(diào)區(qū)間.(2)定義法:先求定義域,再利用單調(diào)性定義求解.(3)圖象法:如果f(x)是以圖象形式給出的,或者f(x)的圖象易作出,可由圖象的直觀性寫出它的單調(diào)區(qū)間.(4)導(dǎo)數(shù)法:利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.1.f(x)=ln(x2-3x+2)的遞增區(qū)間是(D)(A)(-∞,1) (B)(1,)(C)(QUOTE32,+∞) (D)(2,+∞)解析:令t=x2-3x+2=(x-1)(x-2)>0,解得x<1或x>2,故函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x<1或x>2},f(x)=lnt單調(diào)遞增,根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知原函數(shù)f(x)=ln(x2-3x+2)的遞增區(qū)間是(2,+∞).故選D.2.已知函數(shù)y=|4x-m|在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增,則m的取值范圍為.

解析:由于y=|4x-m|=則函數(shù)y=|4x-m|的增區(qū)間為[QUOTEm4,+∞),減區(qū)間為(-∞,QUOTEm4),所以要使函數(shù)y=|4x-m|在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增,則QUOTEm4≤1,解得m≤4,故m的取值范圍為(-∞,4].答案:(-∞,4]考點(diǎn)三求函數(shù)的最值(值域)[例3](1)f(x)=xlgx在區(qū)間[2,10]上的最大值為,最小值為.

(2)函數(shù)y=QUOTEx-x(x≥0)的最大值為.

(3)函數(shù)f(x)=(x>1)的最小值為.

解析:(1)g(x)=x在[2,10]上遞增且為正數(shù),h(x)=lgx在[2,10]遞增且為正數(shù),所以f(x)=xlgx在區(qū)間[2,10]上遞增,所以最大值為f(10)=10,最小值為f(2)=2lg2.(2)令t=QUOTEx,則t≥0,所以y=t-t2=-+QUOTE14,結(jié)合圖象知,當(dāng)t=QUOTE12,即x=QUOTE14時(shí),ymax=QUOTE14.(3)f(x)===(x-1)++2≥+2=8,當(dāng)且僅當(dāng)x-1=QUOTE9x-1,即x=4時(shí),f(x)min=8.答案:(1)102lg2(2)QUOTE14(3)8求函數(shù)最值(值域)的常用方法及適用類型(1)單調(diào)性法:易確定單調(diào)性的函數(shù),利用單調(diào)性法研究函數(shù)最值(值域).(2)圖象法:能作出圖象的函數(shù),用圖象法,觀察其圖象最高點(diǎn)、最低點(diǎn),求出最值(值域).(3)基本不等式法:分子、分母中一個(gè)為一次,一個(gè)為二次函數(shù)結(jié)構(gòu)以及兩個(gè)變量(如x,y)的函數(shù),一般通過變形使之具備“一正、二定、三相等”的條件,用基本不等式法求最值(值域).(4)換元法:對解析式較復(fù)雜的函數(shù),可通過換元轉(zhuǎn)化為以上類型中的某種,再求解.用換元法時(shí),一定要注意新“元”的范圍.1.(2018·臺州模擬)若函數(shù)f(x)=a-(a∈R)是奇函數(shù),則a=,函數(shù)f(x)的值域?yàn)?

解析:函數(shù)f(x)=a-QUOTE22x-1(a∈R)是奇函數(shù),f(-x)+f(x)=0,即a-+a-=2a-(+QUOTE22-x-1)=2a+=0,解得a=-1;令y=-1-?1-2x=,即有2x=>0,解得y>1或y<-1,故f(x)=-1-的值域?yàn)?-∞,-1)∪(1,+∞).答案:-1(-∞,-1)∪(1,+∞)2.(2018·江蘇卷)若函數(shù)f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),則f(x)在[-1,1]上的最大值與最小值的和為.

解析:f′(x)=6x2-2ax=2x(3x-a)(x>0).①當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上遞增,又f(0)=1,所以f(x)在(0,+∞)上無零點(diǎn).②當(dāng)a>0時(shí),由f′(x)>0解得x>QUOTEa3,由f′(x)<0解得0<x<,所以f(x)在（0,QUOTEa3）上遞減,在（QUOTEa3,+∞）上遞增.又f(x)只有一個(gè)零點(diǎn),所以f（QUOTEa3）=-+1=0,所以a=3.此時(shí)f(x)=2x3-3x2+1,f′(x)=6x(x-1),當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),f(x)在[-1,0]上遞增,在[0,1]上遞減.又f(1)=0,f(-1)=-4,所以f(x)max+f(x)min=f(0)+f(-1)=1-4=-3.答案:-3考點(diǎn)四易錯(cuò)辨析[例4]判斷函數(shù)f(x)=的單調(diào)性.解:設(shè)t=x2-2x-3,因?yàn)閠>0,所以x<-1或x>3,因?yàn)閥==在(0,+∞)上單調(diào)遞減,且t=x2-2x-3在(-∞,-1)上