中科大《線(xiàn)性代數(shù)與解析幾何》講義5線(xiàn)性變換

1第五章線(xiàn)性變換?5.1線(xiàn)性變換的概念?5.1.1線(xiàn)性變換的定義定義5.1.1.設(shè)U,V為數(shù)域F上的兩個(gè)線(xiàn)性空間,映射愛(ài):U二V稱(chēng)為線(xiàn)性映射,如愛(ài)(x+y)=愛(ài)(x)+愛(ài)(y)(5.1)愛(ài)(λx)=λ愛(ài)(x)(5.2)則稱(chēng)愛(ài)為從線(xiàn)性空間U到線(xiàn)性空間V的線(xiàn)性映射.特別地,如果U=V,則稱(chēng)愛(ài)為線(xiàn)性空間V上的一個(gè)線(xiàn)性變換.?5.1.2線(xiàn)性變換的例子例5.1.1.把每個(gè)向量映為自身的變換侈:侈(x)=x,x∈V;以及把每個(gè)向量映為V不難看出這兩個(gè)變換為線(xiàn)性變換.侈稱(chēng)為單位變換或恒等變換,份稱(chēng)為零變換.例5.1.2.設(shè)Fn為數(shù)域F中的n元數(shù)組空間,A=(aij)nxn為n階方陣.變換愛(ài):Fn二Fn定義為:對(duì)每個(gè)x=(x1,x2,...,xn)\∈Fn(這里我們用列向量表示Fn中的向量),╱a11a12...a1n、╱x1、愛(ài)(x)=x.2由矩陣的乘法法則知變換愛(ài)為線(xiàn)性變換.映射或變換是一個(gè)幾何概念,我們?nèi)粘Ｉ钪薪?jīng)常碰到的鏡面反射、旋轉(zhuǎn)等都是線(xiàn)性變換.例5.1.3.本例中,我們用列向量表示R2的向量.變換愛(ài):R2二R2將每個(gè)向量α映到α關(guān)于X軸對(duì)稱(chēng)的向量(見(jiàn)圖1).設(shè)α=ì、,則愛(ài)(α)=ìx_y、.用矩陣表示就是愛(ài)(α)=愛(ài))ì、/=、ì、由例5.1.2知愛(ài)為線(xiàn)性變換,稱(chēng)為關(guān)于X軸的鏡面反射.2第五章線(xiàn)性變換設(shè)變換愛(ài):R2二R2是將每個(gè)向量α逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)9角的變換.設(shè)α=ì、,愛(ài)(α)=ì、.我們利用復(fù)數(shù)來(lái)計(jì)算,.設(shè)向量α對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為reio.則愛(ài)(α)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為rei(o+9).因此=rcos(o+9)=rcosocos9_rsinosin9=xcos9_ysin9=rsin(o+9)=rcososin9+rsinocos9=xsin9+ycos9用矩陣表示就是愛(ài)(α)=愛(ài))ì、/=、ì、·由例5.1.2知愛(ài)為線(xiàn)性變換,稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)變換.下面介紹我們熟悉的空間中的一些線(xiàn)性變換.例5.1.4.在Pn[x]中,設(shè)愛(ài)為微分算子愛(ài)(p(x))=p(x)·由微分法知愛(ài)為線(xiàn)性變換.例5.1.5.在由2階方陣構(gòu)成的線(xiàn)性空間中,對(duì)取定的方陣M=ì、,定義變換愛(ài)ì、=ì、ì、由矩陣的乘法法則不難看出愛(ài)為線(xiàn)性變換.?5.1.3線(xiàn)性變換的性質(zhì)下面的命題給出了線(xiàn)性變換的一些簡(jiǎn)單性質(zhì).命題5.1.1.設(shè)愛(ài):V二V為線(xiàn)性變換,則(1)愛(ài)(9)=9;愛(ài)(_a)=_愛(ài)(a),a∈V(2)若α1,α2,...,αm為V中線(xiàn)性相關(guān)的向量,則愛(ài)(α1),愛(ài)(α2),...,愛(ài)(αm)也線(xiàn)性相關(guān).?5.2線(xiàn)性變換的矩陣3證明:(1)愛(ài)(9)=愛(ài)(0.a)=0.愛(ài)(a)=9;愛(ài)(_a)=愛(ài)((_1)a)=(_1)愛(ài)(a)=_愛(ài)(a).λ1α1+λ2α2+...+λmαm=9·兩邊用線(xiàn)性變換愛(ài)作用后,得到λ1愛(ài)(α1)+λ2愛(ài)(α2)+...+λm愛(ài)(αm)=愛(ài)(λ1α1+λ2α2+...+λmαm)=愛(ài)(9)=9m.□這個(gè)命題說(shuō)明線(xiàn)性相關(guān)的向量組經(jīng)過(guò)線(xiàn)性變換后,仍保持線(xiàn)性相關(guān)性.特別地將它應(yīng)用到R3空間就意味著線(xiàn)性變換把共線(xiàn)的向量映為共線(xiàn)的向量,把共面的向量映為共面的向量.但是它的逆命題不成立.線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量經(jīng)過(guò)線(xiàn)性變換后,可以成為線(xiàn)性相關(guān)的.例如零變換.?5.2線(xiàn)性變換的矩陣我們將數(shù)域F上n維線(xiàn)性空間V的全體線(xiàn)性變換所構(gòu)成的集合記為L(zhǎng)(V),將數(shù)域F上的全體n階方陣所構(gòu)成的集合記為Mn(F).本節(jié)我們將說(shuō)明在給定的一組基下,集合L(V)與集合Mn(F)之間存在一一對(duì)應(yīng).?5.2.1線(xiàn)性變換在一組基下的矩陣定義5.2.1.設(shè)愛(ài):V二V為n維線(xiàn)性空間V上的線(xiàn)性變換,(α1,α2,...,αn)為V的一組基.如果數(shù)域F上的方陣A滿(mǎn)足則稱(chēng)方陣A為線(xiàn)性變換愛(ài)在基(α1,α2,...,αn)下的矩陣.注1.由定義知矩陣A的第j列恰為愛(ài)(αj)在基(α1,α2,...,αn)下的坐標(biāo),因此一個(gè)線(xiàn)性變換在給定的一組基下的矩陣是唯一的.VV...,αn)下的矩陣為A.x,y∈V且y=Y=AX(5.4)證明:設(shè)X=,Y=·則xnyn(xnyn4第五章線(xiàn)性變換xn=愛(ài)(x1α1+...+xnαn)=x1愛(ài)(α1)+.xn=愛(ài)(x1α1+...+xnαn)=x1愛(ài)(α1)+...+xn愛(ài)(αn)╱x1、nxnxn╱x1、(α1,...,αn)A、xnxn由于一個(gè)向量在一組基下的坐標(biāo)是唯一的,我們得到(5.4)式.(5.5)(5.6)□下面我們來(lái)看如何計(jì)算線(xiàn)性變換愛(ài)在一組基下的矩陣A.例5.2.1.設(shè)例5.1.2中線(xiàn)性變換愛(ài)在自然基e1,e2,...,en下的矩陣為.由愛(ài)的定義知╱a11a12...a1n、╱1、╱a11、愛(ài)(e1)=0..=a2..1因此的第一列與A的第一列相同.同理,的第j(2<j<n)列與A的第j列相同.所以=A,即愛(ài)在自然基e1,e2,...,en下的矩陣為A.作為推論,例5.1.2中的變換愛(ài)在自然基下的矩陣為A,例5.1.3中對(duì)稱(chēng)變換和旋轉(zhuǎn)變換在自然基下的矩陣分別是、,、·例5.2.2.在例5.1.5中,取基e1=ì、,e2=ì、,e3=ì、,e4=ì、·B8．?5.2線(xiàn)性變換的矩陣5則愛(ài)(e1)=ì愛(ài)(e2)=ì愛(ài)(e3)=ì愛(ài)(e4)=ì、ì80B、80、ì80B、80、=ì、=ì0B0B08、=ì、=αe1+0e2+ye3+0e4、=0e1+αe2+0e3+ye4Bee2+8e3+0e4、=0e1+Be2+0e3+8e4╱αA=A=0α0yB080上例中的變換愛(ài)雖然是由通過(guò)左乘矩陣M得到,但愛(ài)在自然基下的矩陣AM,它們的階數(shù)甚至都不相同.讀者應(yīng)注意它與例5.1.2的區(qū)別.?5.2.2L(V)與Mn(F)的一一對(duì)應(yīng)下面的定理指出了L(V)與Mn(F)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.定理5.2.2.設(shè)V為數(shù)域F上的n維線(xiàn)性空間,α1,α2,...,αn為V的一組基.則存在一一映射o:L(V)二Mn(F),使得對(duì)每個(gè)愛(ài)∈L(V),o(愛(ài))為愛(ài)在基α1,α2,...,αn下的矩陣.?5.2.3線(xiàn)性變換的運(yùn)算雖然我們發(fā)現(xiàn)了一一對(duì)應(yīng)o,但它僅僅是兩個(gè)集合間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系,它是否能保持更多的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)呢?例如Mn(F)在矩陣的加法和數(shù)乘下構(gòu)成數(shù)域F上的一個(gè)線(xiàn)性空間,在L(V)中能否引入適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算,使之成為線(xiàn)性空間,并使o成為線(xiàn)性同構(gòu)呢?答案是肯定的.設(shè)愛(ài),s∈L(V),λ∈F,定義愛(ài)+s,λ愛(ài),s。愛(ài)∈L(V)如下:對(duì)每個(gè)x∈V,(愛(ài)+s)(x)=愛(ài)(x)+s(x)(λ愛(ài))(x)=λ愛(ài)(x)(s。愛(ài))(x)=s╱愛(ài)(x)、不難看出L(V)在上述加法和數(shù)乘運(yùn)算下構(gòu)成線(xiàn)性空間.6第五章線(xiàn)性變換定理5.2.3.設(shè)o:L(V)二Mn(F)為定理5.2.2中定義的映射.則對(duì)愛(ài),s∈L(V),λ∈F,有(1)o(愛(ài)+s)=o(愛(ài))+o(s),(2)o(λ愛(ài))=λo(愛(ài)),(3)o(s。愛(ài))=o(s).o(愛(ài))·特別地,(1),(2)表明o為線(xiàn)性同構(gòu).證明:□?5.3矩陣的相似線(xiàn)性變換的矩陣是以空間的一組取定的基為前提的.一般來(lái)說(shuō)同一線(xiàn)性變換在不同基下的矩陣是不一樣的.現(xiàn)在我們來(lái)尋找同一線(xiàn)性變換在不同基下的矩陣之間的關(guān)系.定理5.3.1.設(shè)線(xiàn)性變換愛(ài)在V的兩組基α1,α2,...,αn和B1,B2,...,Bn下的矩陣分ABn基B1,B2,...,Bn的過(guò)渡矩陣為T(mén),則B=T_1AT證明:已知愛(ài)(α1,α2,...,αn)=(α1,α2,...,αn)A于是=(α1,α2,...,αn)(AT)=(B1,B2,...,Bn)(T_1AT)□定義5.3.1.設(shè)A,B為數(shù)域F上的兩個(gè)n階方陣,如果存在數(shù)域F上的n階可逆方陣T,使得B=T_1AT,則稱(chēng)A與B(在數(shù)域F上)相似,記為A~B.7?5.4特征值和特征向量7命題5.3.2.矩陣的相似關(guān)系為等價(jià)關(guān)系,即滿(mǎn)足以下三個(gè)條件:(1)(反身性)A~A;(2)(對(duì)稱(chēng)性)若A~B,則B~A;(3)(傳遞性)若A~B,B~C,則A~C.證明:(1)因?yàn)锳=I_1AI,所以A~A.(2)設(shè)A~B,則存在可逆方陣T,使得B=T_1AT,所以A=(T_1)_1BT_1,即B~A.A(3)設(shè)A~B,B~C,則存在可逆方陣T,S,使得B=T_1AT,C=S_1BS,所以C=S_1(T_1AT)S=(TS)_1A(TS),即A~C.□由于相似關(guān)系為等價(jià)關(guān)系,可以將n階方陣按相似關(guān)系進(jìn)行分類(lèi):將相互之間相似的方陣歸成一類(lèi).兩個(gè)類(lèi)要么是一樣的,要么就不相交.每個(gè)類(lèi)稱(chēng)之為一個(gè)相似類(lèi),該類(lèi)中的每個(gè)元素都稱(chēng)為一個(gè)代表元.定理5.3.1指出:一個(gè)線(xiàn)性變換在不同基下的矩陣是相似的.那么反過(guò)來(lái),屬于某一相似類(lèi)的所有方陣,是否都是該線(xiàn)性變換在不同基下對(duì)應(yīng)的矩陣呢?回答是肯定的.事實(shí)上,設(shè)A為線(xiàn)性變換愛(ài):V二V在基α1,α2,...,αn下的矩陣.若B為A所在的相似類(lèi)中的任一元素,則B與A相似,即存在可逆方陣T,使得B=T_1AT.令BB..,Bn也是V的一組基,且不難驗(yàn)證愛(ài)在這組基下的矩陣為B.一般說(shuō)來(lái),一個(gè)線(xiàn)性變換的性質(zhì)與空間的基沒(méi)有關(guān)系.因此,通過(guò)矩陣研究線(xiàn)性變換的性質(zhì)時(shí),只有相似的矩陣都具有的性質(zhì),才有可能反映線(xiàn)性變換的性質(zhì).如果一個(gè)性質(zhì)為某個(gè)方陣所具有,則與之相似的方陣也具有該性質(zhì),則稱(chēng)該性質(zhì)為一個(gè)相似不變量.例如,方陣的行列式和秩都是相似不變量.讀者可以思考這兩個(gè)不變量反映的是線(xiàn)性變換的哪些性質(zhì).在下一節(jié)中我們要介紹更多的相似不變量.?5.4特征值和特征向量?5.4.1特征值與特征向量的定義定義5.4.1.設(shè)A為數(shù)域F上的n階方陣,如果存在λ∈F及非零向量X∈Fn,使得AX=λX,則稱(chēng)λ為方陣A的一個(gè)特征值,而稱(chēng)X為屬于特征值λ的一個(gè)特征向量.命題5.4.1.設(shè)A為數(shù)域F上的n階方陣,則8第五章線(xiàn)性變換(1)λ∈F為A的特征值當(dāng)且僅當(dāng)齊次方程組(λI_A)X=0有非零解.(2)屬于A的不同特征值的特征向量是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的.證明:(1)是顯然的,下面證明(2).設(shè)λ1,λ2,...,λk為A的互不相同的特征值,X1,X2,...,Xk為相應(yīng)于它們的特征向量.用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)k=1時(shí),X19,它是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的.假設(shè)k_1時(shí)命題成立,下面證明對(duì)k命題成立.假設(shè)u1X1+u2X2+...+ukXk=9用λk乘(5.7)式兩端,得u1λkX1+u2λkX2+...+ukλkXk=9用A左乘(5.7)式,得u1λ1X1+u2λ2X2+...+ukλkXk=9(5.8)式減(5.9)式,得(5.7)(5.8)(5.9)u1(λk_λ1)X1+...+uk_1(λk_λk_1)Xk_1=9·由歸納假設(shè)知,uj(λk_λj)=9,j=1,2,...,k_1,由于λk_λj0,我們得到u1,u2,...,uk_1=0.再由(5.7)知ukXk=9.因?yàn)閄k9,所以u(píng)k=0.這就證明了X1,X2,...,Xk線(xiàn)性無(wú)關(guān).□?5.4.2特征值與特征向量的算法設(shè)λ為方陣A的一個(gè)特征值,由上述命題知,(λI_A)X=0的解空間為Fn的非平凡的線(xiàn)性子空間,我們稱(chēng)之為矩陣A的屬于特征值λ的特征子空間,記作Vλ.Vλ恰好由屬于λ的所有特征向量和零向量組成.因此,屬于λ的兩個(gè)特征向量的和以及屬于λ的特征向量的倍數(shù)仍然是屬于λ的特征向量.λ為A的特征值午÷(λI_A)X=0有非零解午÷det(λI_A)=0對(duì)于給定的n階方陣A,det(λI_A)是以λ為變量的n次多項(xiàng)式.定義5.4.2.設(shè)A是數(shù)域F上的n階方陣,λ∈F,稱(chēng)det(λI_A)為矩陣A的特征多項(xiàng)式,記為pA(λ).?5.4特征值和特征向量9由上面的分析,λ為矩陣A的特征值當(dāng)且僅當(dāng)λ為A的特征多項(xiàng)式的根.但是,數(shù)域F上的多項(xiàng)式在數(shù)域F中并不一定有根,例如F=R時(shí).為了確保特征值的存在性,在本章剩下的各節(jié)中,除非特別申明,我們總假設(shè)F=C.由代數(shù)基本定理知,一個(gè)n次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式恰有n個(gè)根,因此每個(gè)復(fù)數(shù)域C上的n階方陣中恰有n個(gè)特征值.復(fù)數(shù)域C上的方陣A的特征值和特征向量的算法如下:(1)計(jì)算特征多項(xiàng)式pA(λ)=det(λI_A).設(shè)pA(λ)=(λ_λ1)n1(λ_λ2)n2...(λ_λs)ns,(2)對(duì)每個(gè)特征值λi,求解方程組(λiI_A)X=0·設(shè)Xi1,Xi2,...,Ximi為它的一個(gè)基礎(chǔ)解系,則所有的非零線(xiàn)性組合c1Xi1+c2Xi2+...+cmiXimi為A的屬于λi的所有特征向量.例5.4.1.求矩陣╱3_1_2、A=20_2(2_1_1．全部特征值和特征向量.解:A的特征多項(xiàng)式為λ_3λpApA(λ)=lλI_Al=_21λ_22λ1由pA(λ)=λ(λ_1)2=0,得到A的全部特征值為λ1=0,λ2=λ3=1.下面求各個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量.對(duì)于λ=0,解方程組(0I_A)X=0,即解_202x2=0·(_211．(x3．(0．解得特征值0對(duì)應(yīng)的特征向量為c11(c10)(1．10第五章線(xiàn)性變換對(duì)于λ2=λ3=1,解方程組(I_A)X=0,即解_112x2=0·(_212．(x3．(0．解得特征值1對(duì)應(yīng)的特征向量為c22+c3_2(c2,c3不同時(shí)為零)(0．(1．下面討論特征多項(xiàng)式的基本性質(zhì).命題5.4.2.相似的矩陣具有相同的特征多項(xiàng)式和特征值.證明:設(shè)B=T_1AT,其中T為可逆方陣.則lλI_Bl=lλI_T_1ATl=lT_1(λI_A)Tl=lλI_Al因此A和B有相同的特征多項(xiàng)式,從而有相同的特征值.□設(shè)A=(aij)為C上的一個(gè)n階方陣,則pA(λ)=│a2n_a12λ_a22..._an2......_a1n_a2n...λ_ann=λn+o1λn_1+...+on_1λ+onn不難看出在上式中,o1=Eaii,on=(_1)nlAl.i=1i另一方面,假設(shè)A的n個(gè)特征值為λ1,λ2,...,λn,則pA(λ)=(λ_λ1)(λ_λ2)...(λ_λn)·對(duì)比上面兩式,我們得到下面的命題.命題5.4.3.設(shè)A=(aij)為C上的一個(gè)n階方陣,λ1,λ2,...,λn為A的n個(gè)特征值.則nn(1)Eaii=Eλi,i=1i=1?5.5(2)det(A)=λ1λ2...λn·推論5.4.1.n階方陣可逆當(dāng)且僅當(dāng)它的n個(gè)特征值都不為零nn階方陣A=(aij)的主對(duì)角線(xiàn)上元素之和Eaii通常稱(chēng)為A的跡,記為tr(A).命i=1題5.4.2和5.4.3表明矩陣的特征多項(xiàng)式,特征值,行列式,跡等都是相似不變量.例5.4.2.設(shè)n階方陣A的n個(gè)特征值分別為λ1,λ2,...,λn,求I+A的特征值及l(fā)I+Al.n解:對(duì)λ∈C,lλI_Al=Ⅱ(λ_λi)·因此i=1ilλI_(I+A)l=l(λ_1)I_Aln=Ⅱ(λ_1_λi)ni=1n1+λi)、i=1in因此I+A的n個(gè)特征值為1+λ1,1+λ2,...,1+λn,從而lI+Al=Ⅱ(1+λi).i=1i?5.5矩陣的相似對(duì)角化本節(jié)我們討論矩陣在相似下的標(biāo)準(zhǔn)性問(wèn)題.我們希望在每個(gè)相似等價(jià)類(lèi)中尋找一個(gè)最簡(jiǎn)單的代表元.對(duì)角陣可能是最容易想到的候選代表,但是下面的例子說(shuō)明這是辦不到的,并不是每個(gè)矩陣都能相似于對(duì)角陣.╱210、例5.5.1.證明3階方陣A=021不能相似于對(duì)角陣.(002．證明:假設(shè)A能夠相似于對(duì)角陣B.由于A的三個(gè)特征值都是2,而特征值是相似不變量,因此B的三個(gè)特征值也都是2,所以B=2I3.由A相似于B知,存在3階可逆方陣T,使得A=T_1BT=T_1(2I3)T=2I3(T_1T)=2I3·這顯然是矛盾的.因此A不可能相似于對(duì)角陣.?5.5.1相似于對(duì)角陣的一個(gè)充要條件下面給出矩陣相似與對(duì)角陣的充分與必要條件.定理5.5.1.數(shù)域F上的n階方陣A相似于對(duì)角陣的充分必要條件是:A有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量.證明:必要性:設(shè)存在可逆方陣T,使得12第五章線(xiàn)性變換兩邊左乘T,得記T=(X1,X2,...,Xn),其中Xi(i=1,2,...,n)為Fn中的列向量.則由矩陣的分塊運(yùn)算得(AX1,AX2,...,AXn)=A(X1,X2,...,Xn)╱λ1、=(X1,X2,...,Xn)λ2(λn．因此AXi=λiXi(i=1,2,...,n).所以X1,X2,...,Xn為A的n個(gè)特征向量.由于這n個(gè)向量構(gòu)成的矩陣T是可逆的,它們是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的.XXnn令T=(X1,X2,...,Xn),則有AT=A(X1,X2,...,Xn)╱λ1、=(X1,X2,...,Xn)λ2...(λn．□注2.若矩陣A相似于對(duì)角陣,則該對(duì)角陣的n個(gè)主對(duì)角線(xiàn)元素恰為A的n個(gè)特征值.因此如果不計(jì)主對(duì)角線(xiàn)上元素的先后次序,該對(duì)角陣是唯一的.推論5.5.1.如果矩陣A的n個(gè)特征值兩兩不同,則A相似于對(duì)角陣.證明:由命題5.4.1知,不同的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的.因此,由上面的定理知推論成立.□?5.5.2特征值的代數(shù)重?cái)?shù)與幾何重?cái)?shù)雖然定理5.5.1給出矩陣可對(duì)角化的一個(gè)充要條件,但是對(duì)于給定的方陣,要驗(yàn)證定理的條件卻非易事.下面我們將給出一個(gè)更加容易驗(yàn)證的充要條件.為此需要幾個(gè)定義.?5.5給定復(fù)數(shù)域C上的n階方陣A,設(shè)A的特征多項(xiàng)式為pA(λ)=(λ_λ1)n1(λ_λ2)n2...(λ_λs)ns·稱(chēng)ni為特征值λi的代數(shù)重?cái)?shù).特征值λi對(duì)應(yīng)的特征子空間Vλi,即方程組(λiI_A)X=0的解空間的維數(shù)稱(chēng)為特征值λi的幾何重?cái)?shù),記為mi.定理5.5.1告訴我們一個(gè)矩陣要相似于對(duì)角陣,必須有足夠多的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量組.命題5.4.1指出不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的,而對(duì)每個(gè)特征值λi,屬于λi的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量有mi個(gè)(參照mi的定義).如果將這些向量放在一起仍然是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的,那就得到一個(gè)個(gè)數(shù)更多的全部由特征向量構(gòu)成的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量組.下面的引理告訴我們這樣做是可行的.引理5.5.1.設(shè)λ1,λ2,...,λs是矩陣A的s個(gè)不同的特征值.Xi1,Xi2,...,Ximi是A的屬證明:證明方法是命題5.4.1的證明方法的推廣.□下面的引理指出了代數(shù)重?cái)?shù)與幾何重?cái)?shù)的關(guān)系.引理5.5.2.設(shè)λi為n階復(fù)方陣A的特征值,則它的幾何重?cái)?shù)不超過(guò)它的代數(shù)重?cái)?shù),即mi<證明:屬于特征值λi的特征子空間Vli的維數(shù)為mi.取它的一組基α1,α2,...,αmi,將驗(yàn)證).令則=T、因此矩陣A相似于矩陣ìλimi們有1、.由于相似的矩陣有相同的特征多項(xiàng)式,我pA(λ)=(λ_λi)mipA1(λ)而pA(λ)的(λ_λi)的指數(shù)等于ni,所以mi<ni.14第五章線(xiàn)性變換□定理5.5.2.復(fù)方陣A可對(duì)角化的充分必要條件是A的每個(gè)特征值的幾何重?cái)?shù)與代數(shù)重?cái)?shù)相等.證明:設(shè)A為n階復(fù)方陣,其特征多項(xiàng)式為pA(λ)=(λ_λ1)n1(λ_λ2)n2...(λ_λs)ns·特征值λi的代數(shù)重?cái)?shù)為ni.設(shè)λi的幾何重?cái)?shù)為mi,即方程組(λiI_A)X=0的解空間維數(shù)為mi.因此存在mi個(gè)屬于特征值λi的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量.由引理5.5.1知,A有m1+m2+...+ms個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量.由定理5.5.1,A可對(duì)角化當(dāng)且僅當(dāng)m1+m2+...+ms=n.又由于mi<ni,1<i<s及n1+n2+...+ns=n,因此A可對(duì)角化當(dāng)且僅當(dāng)mi=ni,1<i<s.□例5.5.2.在例5.4.1中,矩陣A有兩個(gè)不同的特征值0和1.特征值0的代數(shù)重?cái)?shù)和幾何重?cái)?shù)都是1.特征值1的代數(shù)重?cái)?shù)為2,而特征方程(I_A)X=0的解空間的維數(shù)等于2,故特征值1的幾何重?cái)?shù)也是2,因此A是可對(duì)角化的.事實(shí)上,令X1=1,X2=2X3=_2,(1．(0．(1．則AX1=0,AX2=X2,AX3=X3.若令T=(X1,X2,X3),則有╱000、T_1AT=010·(001．?5.5.3相似于上三角陣從上面的兩個(gè)定理可知,不是每個(gè)方陣都可以相似于對(duì)角陣,但我們可以證明它總可以相似于一個(gè)上三角陣.定理5.5.3.任何一個(gè)n復(fù)方陣A都可以相似于一個(gè)上三角陣,且該上三角陣的主對(duì)角線(xiàn)上的元素都是A的特征值.證明:對(duì)方陣A的階數(shù)n用數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)n=1時(shí),命題顯然成立.假設(shè)命題對(duì)n_1階方陣成立.現(xiàn)在考慮n階方陣A.設(shè)λ1為A的一個(gè)特征值,X1為屬于λ1的一個(gè)特征向量.將X1擴(kuò)充為Cn的一組基:X1,X2,...,Xn.令T=(X1,X2,...,Xn)?5.6若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形簡(jiǎn)介*15則T為n階可逆方陣.由AX1=λ1X1知AT=A(X1,X2,...,Xn)=(λ1X1,AX2,...,AXn)·所以T_1AT=ì根據(jù)歸納假設(shè),存在n_1階可逆方陣T1,使得T1_1A1T1為上三角陣.令S=S=T,0T1則S_1=ìT0_11、T_1·所以S_1AS=ìT0_11、(T_1AT)ì、=ìT0_11、ì、=、由于T1_1A1T1為上三角陣,S_1AS為上三角陣.因?yàn)樯先顷嚨闹鲗?duì)角線(xiàn)元素都是它的特征值,而特征值是相似不變量,所以S_1AS的主對(duì)角線(xiàn)元素都是A的特征值.□注3.在式(5.10)中,向量X2,...,Xn的選取方法不是唯一的,最后得到的上三角不是唯一的.?5.6若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形簡(jiǎn)介*?5.6.1若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)性定理在本節(jié)中,我們將簡(jiǎn)單介紹矩陣在相似關(guān)系下的標(biāo)準(zhǔn)形–若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.我們不給出若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形定理的證明,但給出計(jì)算若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的方法,并作一些簡(jiǎn)單的說(shuō)明.╱210、在例5.5.1中,我們證明了矩陣021不能相似于對(duì)角陣.這個(gè)矩陣只有一個(gè)重?cái)?shù)為3特征值2.若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形定理告訴我們這樣的矩陣在相似關(guān)系下已經(jīng)是最簡(jiǎn)單的形式了,稱(chēng)為一個(gè)若當(dāng)塊.一般地,我們有16第五章線(xiàn)性變換定義5.6.1.設(shè)λ是任意復(fù)數(shù),m是任意正整數(shù),形如╱λ10...0、λ1...