高等數學第3版(張卓奎)第二章習題選解-北京郵電大學出版社

習題選解（第二章）習題2－13．設，根據導數的定義求．解：4．用導數的定義證明．解：．5．已知（1）（3）存在，求下列極限；（2）；．解：（1）（2）．；（3）．6．求下列函數的導數（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．解：；；；；；．7．討論下列函數在處的連續(xù)性和可導性．（1）；（2）．解：（1）因為，所以在處連續(xù)；又因為所以在處不可導．（2）因為，所以在處連續(xù)；又因為所以在處可導，且。8．設，試用導數的定義討論在處的可導性．解：因為，即，在處的可導且．又，由于，所以在處不可導．9．如果為偶函數，且存在，用導數定義證明．證：因為為偶函數，故，又存在，于是令，有，所以，，即10．求曲線上點處的切線方程和法線方程．解：，故曲線上點處的切線方程為，即，法線方程為，即．11．設某產品生產個單位時的總收入為，求生產100個產品時的總收入、平均收入及當生產第100個產品時，總收入的變化率．解：生產100個產品時的總收入為平均收入為生產第100個產品時，總收入的變化率為．12．證明：雙曲線上任一點處的切線與兩坐標軸構成的三角形面積都等于．證明：由，得設為曲線上任意一點，則過點的切線方程為又因為，令，得為切線在軸的截距；令，得為切線在軸的截距。所以切線與兩坐標軸構成的三角形面積為習題2－21．求下列函數的導數（1）（3）；（2）；；（4）；（5）（7）；（6）（8）；；；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）（17）；（16）；（18）；；（19）（21）；（20）（22）；；．解：；；；；；；；；；；；；；；；；；；；，；；；2．設，求和.解：，，3．求曲線在橫坐標處的法線方程．解：，當時，，所以所求法線方程為：即4．求曲線解：上的一點，使該點處的切線與軸平行．，令即解之得。把代入得，所以所求曲線上的點為。5．求曲線的平行于直線的法線方程．解：因為，把且直線代入的斜率為1，所以即解之得，得。故所求的法線方程為6．以初速度豎直上拋的物體，其上升高度與時間的關系是（1）該物體的速度（2）該物體達到最高點的時刻．，求：；解：，物體達到最高點時，即．習題2－31．求下列函數的導數（1）；（2）；（3）（5）；（4）；；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）（15）；（14）（16）；；；（17）（19）（21）；（18）（20）；；；；（22）；（23）；（24）．解：；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；，；；2．設（1）解：可導，求下列函數的導數；；（2）；解：；（3）；解：；（4）；解：；（5）解．．3．求曲線過點的切線方程和法線方程．解：，，故曲線過點的切線方程為或；法線方程或．4．設質點作直線運動，其運動規(guī)律為（為常數），求時質點的運動速度．解：，將代入，得習題2－41．求下列函數的二階導數．（1）；解：，；（2）解：；，；（3）解：；，；（4）；解：，；（5）解：；，（6）；解：，（7）解：；，（8）；解：，；（9）；，解：；（10）解：；，；（11）；解：，；（12）．解：，．2．驗證函數滿足．證：，，所以，3．一質點作直線運動，其路程函數為，證明其加速度．證：而，所以，求。4．設解：．，，利用歸納法可得5．設，求，．解：，，…，．所以.6．設，求．解：，，，．，利用歸納法得7．設存在，求下列函數的二階導數．（1）解：；，．（2）．解：，．習題2－51．求由下列方程所確定的隱函數（1）解：將方程兩端對求導，得的導數：，，解得．（2），解：將方程兩端對求導，得解得．（3），解：將方程兩端對求導，得，解得．（4），解：將方程兩端對求導，得，解得．（5），解：將方程兩端對求導，得（6），解得．，．解：將方程兩端對求導，得，解得2．證明：曲線上任一點的切線所截二坐標軸的截距之和等于．證：方程關于求導，有，解出，曲線在點處的切線方程為，它在軸的截距為，它在軸的截距為，切線所截二坐標軸的截距之和等于．3．求由下列方程所確定隱函數的二階導數：（1）；解：將方程兩端對求導，得，解得；．（2）．解：將方程兩端對求導，得，解得；．4．用對數求導法求下列函數的導數（1）；解：對兩邊取對數，得，兩邊關于求導，得，所以，．（2）；解：對兩邊取對數，得，兩邊關于求導，得，所以．（3）解：對；兩邊取對數，得，兩邊關于求導，得，所以．（4）解：對；兩邊取對數，兩邊關于求導，得．5．求下列由參數方程所確定函數的導數（1）；解：．（2）；解：．6．求曲線在，處的切線方程．解：時，，，切線方程為，即7．求下列由參數方程所確定函數的二階導數．（1）；解：，．（2），其中存在且不為零．解：，．8．注水入深上頂直徑的正圓錐形容器中，其速率為，當水深為時，其表面上升的速率為多少？解：設開始注水后的時間為時，水深為，所以，，水面半徑為，，則由題意知，，即上式兩邊關于求導，有時，其表面上升的速率．，當時，，即水深為習題2-61．已知，當時分別計算時的和．解：因為，，所以當時同理可計算和在點處增量為時的和．2．函數，對應的函數增量的主部為，求其在點處的導數．解：對應的函數增量的主部為，所以，4．求下列函數的微分．（7）;解：（8）解：，;，（9）;解：，（10）;解：（11）;解：，（12）．解：．6．求下列方程所確定的隱函數（1）的微分;解:方程兩邊對求導整理，得，故。（2）;解：方程兩邊對求導整理，得（3），故。;解：方程兩邊對求導，