第06講函數(shù)方程（原卷版）

第06講函數(shù)方程【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】高于二次的代數(shù)方程的問(wèn)題就較難處理，相對(duì)而言，函數(shù)方程問(wèn)題的求解就更困難．關(guān)于函數(shù)方程的求解沒(méi)有一個(gè)系統(tǒng)或完整的理論和方法，對(duì)不同問(wèn)題將采用不同的方法和技巧．關(guān)于函數(shù)方程的問(wèn)題，在各類(lèi)考試中經(jīng)常出現(xiàn)．因此，這里將介紹一些典型函數(shù)方程和解函數(shù)方程的一些方法和技巧，例如賦值法、變量代換以及迭代法等，供大家參考．稱(chēng)含有未知函數(shù)和自變量的等式為函數(shù)方程，例如等都為函數(shù)方程，當(dāng)然，還有更一般的形式．如果一個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)，自變量的一切值均滿足所給的方程，則稱(chēng)此函數(shù)為這個(gè)函數(shù)方程的一個(gè)解．【典例例題】例1．（2007·上?！じ叨?jìng)賽）求正整數(shù)n，使得，其中，表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù).例2．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）已知是正整數(shù)，是正奇數(shù)，、是正常數(shù)，且.函數(shù).若實(shí)數(shù)，滿足，求證：.例3．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）已知、和都是關(guān)于的二次三項(xiàng)式．請(qǐng)你證明：方程不能有根1，2，3，4，5，6，7，8．例4．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）設(shè)滿足條件，且.求證：方程有一根.例5．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）證明：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有唯一的整數(shù)零點(diǎn)．例6．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）給定二次函數(shù).（1）證明：方程的根也一定是方程的根；（2）找出方程有4個(gè)不等實(shí)根的充要條件.例7．（2018·重慶·高三競(jìng)賽）設(shè)f(m)是正整數(shù)m的各位數(shù)字的乘積，求方程的正整數(shù)解．例8．（2005·吉林·高三競(jìng)賽）若（復(fù)數(shù)集），且對(duì)，都有.求證：對(duì)一切正整數(shù)都有.【過(guò)關(guān)測(cè)試】1．（2021·安徽宣城·高一涇縣中學(xué)?？紡?qiáng)基計(jì)劃）已知為正整數(shù).(1)證明：不能表示為兩個(gè)以上連續(xù)整數(shù)的乘積；(2)若能表示為兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的乘積，求的最大值.2．（2019·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè)實(shí)函數(shù)滿足，問(wèn)是否存在整數(shù)n，使也為整數(shù)？若存在，求出所有的n；若不存在，說(shuō)明理由．3．（2021秋·上海浦東新·高一上海市進(jìn)才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）符號(hào)表示不大于的最大整數(shù)（），例如：，，．(1)解下列兩個(gè)方程：，；(2)分別研究當(dāng)，時(shí)，不等式是否成立，并說(shuō)明理由；(3)求方程的實(shí)數(shù)解．4．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)（滿足）、穩(wěn)定點(diǎn)（滿足）的集合分別為A、B．若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．5．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）解方程：．6．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）解方程．7．（2021·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）解下列無(wú)理方程：(1)；(2)．8．（2021·全國(guó)·高三競(jìng)賽）設(shè)函數(shù)同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：（1）對(duì)任意x、，有；（2）對(duì)任意，有；（3）．求的最小值．9．（2021·全國(guó)·高三競(jìng)賽）設(shè)為滿足下列條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：存在實(shí)數(shù)，使得．證明：是中的元素．10．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）記表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)．證明：（1）方程的解為整數(shù)；（2）方程有非整數(shù)解．11．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）求方程組的所有實(shí)數(shù)解．12．（2019秋·福建漳州·高一校聯(lián)考期中）已知定義在上的函數(shù)滿足.（1）當(dāng)時(shí)，求；當(dāng)時(shí)，求.（2）若有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得，求函數(shù)的解析式.13．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）已知個(gè)實(shí)系數(shù)二次函數(shù)的判別式都相等.若對(duì)任意的，方程均有兩個(gè)不等的實(shí)根，求證：方程也有兩個(gè)不等的實(shí)根.14．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）已知方程和都有實(shí)根（、、，），且可以安排適當(dāng)?shù)捻樞蚍謩e將兩個(gè)方程的根記為、和，.則成立的充要條件是.15．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）設(shè)是一個(gè)非零實(shí)數(shù)，是二次方程的兩個(gè)實(shí)根.是否存在這樣的，使得關(guān)系式成立?請(qǐng)說(shuō)明理由.16．（2009·北京·高一競(jìng)賽）求函數(shù)，使得（1）；（2）對(duì)于所有的，都成立．17．（2011·遼寧·高三競(jìng)賽）求曲線和的交點(diǎn).18．（2009·北京·高一競(jìng)賽）表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù).若，試確定正整數(shù)的值.19．（2009·上?！じ呷?jìng)賽）設(shè)函數(shù)定義于閉區(qū)間，滿足，且對(duì)任意，