高中數(shù)學(xué)人教A版必修2：模塊復(fù)習(xí)精要復(fù)習(xí)課(一)空間幾何體及點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系Word版含解析

-1-復(fù)習(xí)課(一)空間幾何體及點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系空間幾何體的三視圖、表面積與體積(1)空間幾何體的結(jié)構(gòu)與特征考查方向有兩個(gè)方面：一是在選擇、填空題中直接考查結(jié)構(gòu)特征，二是作為載體在解答題中考查位置關(guān)系的判定證明，多與三視圖相結(jié)合．要充分掌握柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征，解題時(shí)要注意識(shí)別幾何體的性質(zhì)．(2)空間幾何體的三視圖的考查主要有兩個(gè)方面：一是由幾何體考查三視圖、二是由三視圖還原幾何體后求表面積與體積，題型多為選擇題、填空題，主要考查空間想象能力，屬低檔題．[考點(diǎn)精要]1．三視圖的畫法規(guī)則(1)正、俯視圖都反映了物體的長(zhǎng)度——“長(zhǎng)(2)正、側(cè)視圖都反映了物體的高度——“高平齊”；(3)側(cè)、俯視圖都反映了物體的寬度——“寬相對(duì)正”；等”．2．表面積(1)多面體的表面積：多面體的各個(gè)面都是平面，表面積是各面面積之和．(2)旋轉(zhuǎn)體的表面積：①S＝2πrl＋2πr2；圓柱②S＝πrl＋πr2；圓錐③S＝π(R＋r)l＋πr2＋πR2.圓臺(tái)3．體積(1)柱體：V＝Sh(S為底面面積，h為高)．柱體13錐體(2)錐體：V＝Sh(S為底面面積，h為高)．13臺(tái)體(3)臺(tái)體：V＝(S＋SS′＋S′)h.其中S，S′分別表示臺(tái)體的上、下底面面積．[典例](1)給下出列命題：①在正方體上任意選擇4個(gè)不共面的頂點(diǎn)，它們可能是正四面體的4個(gè)頂點(diǎn)；段；垂直于底面，則該四棱柱為直②球的直徑是連接球面上兩點(diǎn)的線③若有兩個(gè)側(cè)面________．(2)(全國甲卷)如圖是由四棱柱．其中正確命題的序號(hào)是圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()-2-A．20πC．28πB．24πD．32π(3)(天津高考)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為________m3.[解析](1)①正確，正四面體是每個(gè)面都是等邊三角形的四面體，如正方體ABCD-A1B1C1D1中的四面體A-CB1D1；②錯(cuò)誤，因?yàn)榍虻闹睆奖剡^球心；③錯(cuò)誤，必須是相鄰的兩個(gè)側(cè)面．(2)由三視圖知該幾何體是圓錐與圓柱的組合體，設(shè)圓柱底面圓半徑為r，周長(zhǎng)為c，圓錐母線長(zhǎng)為l，圓柱高為h.由圖得r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4，由勾股定理得：l＝22＋232＝124，S表＝πr2＋ch＋cl＝4π＋16π＋8π＝28π.(3)由幾何體的三視圖可知該幾何體由兩個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱構(gòu)成，其中圓錐的底面半徑和高均為1，圓柱的底面半徑為1且其高為2，故所求幾何體的體積為183V＝3×1×2＋π×1×2＝π×122π.[答案](1)①(2)C(3)83π[類題通法](1)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判-3-定．(2)求不規(guī)則幾何體的表面積時(shí)，通常將所給幾何體分割成基本的柱、錐、臺(tái)體，先求這些柱、錐、臺(tái)體的表面積，再通過求和或作差求得幾何體的表面積．[題組訓(xùn)練]1．下列說法正確的是A．用一平面去截圓臺(tái)，截面一定是圓面B．在圓臺(tái)的上、下底面圓周上各取一點(diǎn)，則兩點(diǎn)的C．圓臺(tái)的D．圓臺(tái)的母線可能平行()連線就是圓臺(tái)的母線任意兩條母線延長(zhǎng)后相交于同一點(diǎn)解析：選C對(duì)于A，用一平面去截圓臺(tái)，當(dāng)截面與底面不平行時(shí)，截面不是圓面．對(duì)于B，等腰梯形(軸截面)的腰才是圓臺(tái)的母線．對(duì)于D，圓臺(tái)的母線不可能平行．2．某幾何體及其俯視圖如圖所示，下列關(guān)于該幾何體的正視圖和側(cè)視圖的畫法正確的是()解析：選A該幾何體是由圓柱切割得到的，由俯視圖可知正視方向和側(cè)視方向，可進(jìn)一步畫出正視圖和側(cè)視圖，如圖所示，故選A.-4-3．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積S為________．解析：根據(jù)三視圖，可知題中的幾何體是由一個(gè)長(zhǎng)方體挖去一個(gè)圓柱得到的，所以S＝2×(4×1＋3×1＋4×3)＋2π－2π＝38.答案：38與球有關(guān)的問題與球有關(guān)的組合體是命題的熱點(diǎn)，多為選擇、填空題，有時(shí)也與三視圖相結(jié)合，主要考查球的表面積與體積的求法，屬于低檔題．[考點(diǎn)精要]球的表面積與體積(1)球的表面積公式S＝4πR2.球4(2)球的體積公式V＝πR3.3球[典例](1)如圖所示，平面四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝2，BD⊥CD，將其沿對(duì)角線BD折成四面體ABCD，使平面ABD⊥平面BCD，若四面體ABCD的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的體積為()A.23πC.32πB．3πD．2π(2)(全國乙卷)如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑．若該幾何體的體積是28π3，則它的表面積是()-5-A．17πC．20πB．18πD．28π[解析](1)如圖，取BD的中點(diǎn)E，BC的中點(diǎn)O，連接AE，OD，EO，AO.由題意，知AB＝AD，所以AE⊥BD.由于平面ABD⊥平面BCD，所以AE⊥平面BCD.因?yàn)锳B＝AD＝CD＝1，BD＝2，所以AE＝22，EO＝12，所以O(shè)A＝23.123，所以四面體ABCD的外接球的球心為O，半2在Rt△BDC中，OB＝OC＝OD＝BC＝23.徑為332所以該球的體積V＝4π＝23π.3(2)由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)球體去掉上半球的14，得到的幾何體如43×πR3＝283π，解得R＝2.因此它的表面14πR3－83圖．設(shè)球的半徑為R，則積為87×4πR2＋3＝17π.故選A.πR24[答案](1)A(2)A[類題通法]解決球與其他幾何體的切、接問題，關(guān)鍵在于仔細(xì)觀察、分析，弄清相關(guān)元素的關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，選準(zhǔn)最佳角度作出截面(要使這個(gè)截面盡可能多地包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素之間的關(guān)系)，達(dá)到空間問題平面化的目的.[題組訓(xùn)練]1.如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的六個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的半球上，AB＝AC，側(cè)面BCC1B1是半球底面圓的內(nèi)接正方形，則側(cè)面面ABB1A1的面積為(A．2)B．12C.2D.2解析：選C連接BC1，B1C，交于點(diǎn)O，則O為面BCC1B1的-6-中心．由題意知，球心為側(cè)面BCC1B1的中心O，BC為截面圓的直徑，所以∠BAC＝90°，則△ABC的外接圓圓心N位于BC的中點(diǎn)，同理，△A1B1C1的外接圓圓心M位于B1C1的中點(diǎn)，xx設(shè)正方形BCC1B1的邊長(zhǎng)為x，在Rt△OMC1中，OM＝2，MC1＝2，OC1＝R＝1(R為球的半xx徑)，所以＝1，即x＝2，即AB＝AC＝1，所以側(cè)面ABB1A1＋的面積為2×1＝22222，選C.2．設(shè)A，B，C，D是球面上的四點(diǎn)，AB，AC，AD兩兩互相垂直，且AB＝3，AC＝4，AD＝11，則球的表面積為(A．36π)B．64πC．100πD．144π解析：選A三棱錐A-BCD的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，所以把它擴(kuò)展為長(zhǎng)方體，它和三棱錐A-BCD的外接球是同一個(gè)，且體對(duì)角線的長(zhǎng)為球的直徑，若設(shè)球的半徑為R，則2R＝32＋42＋112＝6，故R＝3，∴外接球的表面積S＝4πR2＝36π，故選A.空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判斷與證明空間線、面平行與垂直關(guān)系的判斷與證明是?？紵狳c(diǎn)，多以空間幾何體為載體進(jìn)行考查．常以選擇、解答題形式出現(xiàn)，難度中檔．[考點(diǎn)精要]1．判定線線平行的方法(1)利用定義：證明線線共面且無公共點(diǎn)．(2)利用平行公理：證明兩條直線同時(shí)平行于第三條直線．(3)利用線面平行的性質(zhì)定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b.(4)利用面面平行的性質(zhì)定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b.(5)利用線面垂直的性質(zhì)定理：a⊥α，b⊥α?a∥b.2．判定線面平行的方法(1)利用定義：證明直線a與平面α沒有公共點(diǎn)，往往借助反證法．(2)利用直線和平面平行的判定定理：a?α，b?α，a∥b?a∥α.(3)利用面面平行的性質(zhì)的推廣：-7-α∥β，a?β?a∥α.3．判定面面平行的方法(1)利用面面平行的定義：兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)．(2)利用面面平行的判定定理：a?α，b?α，a∩b＝A，a∥β，b∥β?α∥β.(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即(4)平行于同一平面的兩個(gè)平面平行，即α∥γ，β∥γ?α∥β.4．證明直線a⊥α，a⊥β?α∥β.與平面垂直的方法(1)利用線面垂直的定義：若一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線，則這條直線垂直于這個(gè)平面．符號(hào)表示：?a?α，l⊥a?l⊥α.(其中“?”表示“任意的”)(2)利用線面垂直的判定定理：若一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．符號(hào)表示：l⊥m，l⊥n，m?α，n?α，m∩n＝P?l⊥α.(3)若兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面．a(chǎn)∥b，a⊥α?b⊥α.符號(hào)表示：(4)利用面面垂直的性質(zhì)定理：若兩平面垂直，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一個(gè)平面．符號(hào)表示：α⊥β，α∩β＝l，m?α，m⊥l?m⊥β.5．證明平面與平面垂直的方法(1)利用平面與平面垂直的定義：若兩個(gè)平面相交，所成的二面角是直二面角，則這兩個(gè)平面互相垂直．符號(hào)表示：α∩β＝l，O∈l，OA?α，OB?β，OA⊥l，OB⊥l，∠AOB＝90°?α⊥β.(2)利用平面與平面垂直的判定定理：若一個(gè)平面通過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面互相垂直．符號(hào)表示：l⊥α，l?β?α⊥β.[典例]如圖，已知直角梯形ABCD中，DA，EC的中點(diǎn)，將△ADE沿AE折疊，使得DE⊥EC.(1)求證：AE⊥平面CDE；(2)求證：FG∥平面BCD；(3)在線段AE上找一點(diǎn)R，使得平面BDR⊥平面DCB，并說明理E為CD邊中點(diǎn)，且AE⊥CD，又G，F(xiàn)分別為由．-8-

[解](1)證明：由已知得DE⊥AE，AE⊥EC.∵DE∩EC＝E，DE，EC?平面DCE，∴AE⊥平面CDE.(2)證明：取AB中點(diǎn)H，連接GH，F(xiàn)H，∴GH∥BD，F(xiàn)H∥BC，∵GH?平面BCD，BD?平面BCD，∴GH∥平面BCD.同理：FH∥平面BCD，又GH∩FH＝H，∴平面FHG∥平面BCD，∵GF?平面FHG，∴GF∥平面BCD.(3)取線段AE的中點(diǎn)R，則平面BDR⊥平面DCB.取線段DC的中點(diǎn)M，取線段DB中點(diǎn)S，連接MS，RS，BR，DR，EM.則MS綊21BC，又RE綊12BC，∴MS綊RE，∴四邊形MERS是平行四邊形，∴RS∥ME.在△DEC中，ED＝EC，M是CD的中點(diǎn)，∴EM⊥DC.由(1)知AE⊥平面CDE，AE∥BC，∴BC⊥平面CDE.∵EM?平面CDE，∴EM⊥BC.-9-∵BC∩CD＝C，∴EM⊥平面BCD.∵EM∥RS，∴RS⊥平面BCD.∵RS?平面BDR，∴平面BDR⊥平面DCB.[類題通法]1．平行、垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化2．證明空間線面平行或垂直需注意三點(diǎn)(1)由已知想性質(zhì)，由求證想判定．(2)適當(dāng)添加輔助線(或面)是解題的常用方法之一．(3)用定理時(shí)要先明確條件，再由定理得出相應(yīng)結(jié)論．[題組訓(xùn)練]1．已知m，n是兩條不同直線，α，β，γ是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是()A．若m∥α，n∥α，則m∥nC．若m∥α，m∥β，則α∥βB．若α⊥γ，β⊥γ，則α∥βD．若m⊥α，n⊥α，則m∥n解析：選D平行于同一平面的兩條直線的位置關(guān)系不確定，所以A錯(cuò)；垂直于同一平面的兩個(gè)平面可以平行也可以相交，所以B錯(cuò)；平行于同一直線的兩平面可以平行也可以相交，所以C錯(cuò)；垂直于同一平面的兩條直線一定平行，所以答案選D.2.如圖，AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B的點(diǎn)，PA垂直于⊙O所在的平面，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，因此，________⊥平面PBC.(填圖中的一條直線)解析：∵AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B的點(diǎn)，∴BC⊥AC.∵PA垂直于⊙O所在的平面，∴BC⊥PA，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.∵AF?平面PAC，∴AF⊥BC.-10-又AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC.答案：AF3．(江蘇高考)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱BB上，且BD⊥A1F，A1C1⊥A1B1.11求證：(1)直線DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C1∥AC.證明：在△ABC中，因?yàn)镈，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.又因?yàn)镈E?平面A1C1F，A1C1?平面A1C1F，所以直線DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.因?yàn)锳1C1?平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.又因?yàn)锳1C1⊥A1B1，A1A?平面ABB1A1，A1B1?平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.因?yàn)锽1D?平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.又因?yàn)锽1D⊥A1F，A1C1?平面A1C1F，A1F?平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F.因?yàn)橹本€B1D?平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.空間角求法空間角包括異面直線所成角、線面角、二面角，常以選擇、填空、解答題形式考查，難度中檔以上．主要考查轉(zhuǎn)化思想與空間想象能力．[考點(diǎn)精要]1．異面直線所成角的求法(1)一作：根據(jù)異面直線的定義，用平移法作出異面直線所成的角，常用直接平移法、中位線平移法和補(bǔ)形平移法；(2)二證：證明作出的角就是所要求的角；-11-(3)三計(jì)算：一般通過構(gòu)造三角形來求角．2．求直線與平面所成角的方法(1)確定點(diǎn)在平面內(nèi)的射影的位置是解題的關(guān)鍵．只有確定了射影的位置，才能找到直線與平面所成的角，才能將空間的問題轉(zhuǎn)化為平面的問題來解．(2)求斜線與平面所成角的一般步驟：①尋找(或作出)過直線上一點(diǎn)與平面垂直的直線；②連接垂足和斜足得出射影，確定所求角；③把該角放在三角形中計(jì)算．(3)當(dāng)直線和平面垂直時(shí)，直線與平面所成的角是0°.3．二面角的平面角的確定(1)用定90°；當(dāng)直線與平面平行或直線在平面內(nèi)時(shí)，直線與平面所成的角是義法來確定二面角的平面角：在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn)，過這個(gè)點(diǎn)在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角(取“特殊”點(diǎn)，是為了方便計(jì)算平面角的大小)．(2)垂面法：過二面角棱上一點(diǎn)，作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個(gè)半平面分別相交得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角．(3)垂線法：過二面角的一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)作另一個(gè)面的垂線，過垂足作棱的垂線，可找到二面角的平面角或其補(bǔ)角．此種方法通用于求二面角的所有題目．4．求二面角的大小一作，作二面角的平面角；二證，證明該角是所求二面角的平面角；三計(jì)算，解三角形，確定平面角的大小．[典例]如圖，正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為B′C∩BC′＝O，求：(1)AO與A′C′所成角的(2)AO與平面ABCD所成角的1，大?。徽兄?；(3)平面AOB與平面AOC所成角的大?。甗解](1)∵A′C′∥AC，∴AO與A′C′所成的角就是∠OAC.∵OC⊥OB，AB⊥平面BCC′B′，∴OC⊥AB.又AB∩BO＝B，∴OC⊥平面ABO.又OA?平面ABO，∴OC⊥OA.-12-在Rt△AOC中，OC＝22，AC＝2，1sin∠OAC＝OCAC＝，∴∠OAC＝30°.2即AO與A′C′所成的角為30°.(2)如圖，作OE⊥BC于E，連接AE.由題知OE⊥平面ABCD，∠OAE為OA與平面ABCD所成的角．12在Rt△OAE中，OE＝，15，2＋12＝AE＝2255.OE∴tan∠OAE＝AE＝(3)由(1)知OC⊥平面AOB.又∵OC?平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC.即平面AOB與平面AOC所成的角為90°.[類題通法]求空間各種角的大小一般都轉(zhuǎn)化為平面角來計(jì)算，空間角的計(jì)算步驟：一作，二證，三計(jì)算．但要注意角的范圍．[題組訓(xùn)練]1．(浙江高考)如圖，在三棱臺(tái)ABC-DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.(1)求證：BF⊥平面ACFD；(2)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值．解：(1)證明：延長(zhǎng)AD，BE，CF相交于一點(diǎn)K，如圖所示．因?yàn)槠矫鍮CFE⊥平面ABC，平面BCFE∩平面ABC＝BC，且AC⊥BC，所以AC⊥平面BCFE，又因?yàn)锽F?平面BCFE，因此BF⊥AC.-13-又因?yàn)镋F∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK為等邊三角形，且F為CK的中點(diǎn)，則BF⊥CK.又AC∩CK＝C，所以BF⊥平面ACFD.(2)過點(diǎn)F作FQ⊥AK于Q，連接BQ.因?yàn)锽F⊥平面ACFD，所以BF⊥AK，則AK⊥平面BQF，所以BQ⊥AK.所以∠BQF是二面角B-AD-F的平面角．在Rt△ACK中，AC＝3，CK＝2，得AK＝13，F(xiàn)Q＝313.13在Rt△BQF中，F(xiàn)Q＝31313，BF＝3，得cos∠BQF＝43.43.所以二面角B-AD-F的平面角的余弦值為2．已知幾何體A-BCED的三視圖如圖所示，其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長(zhǎng)為4的等腰直角三角形．(1)求此幾何體的體積(2)求異面直線DE與AB所成角的余弦值；(3)求二面角A-ED-B的正弦值．V的大??；解：(1)由三視圖畫出幾何體A-BCED的直觀圖如圖所示．∵AC⊥平面BCDE，則V＝1·AC·S四邊形BCED3＝112×(2＋4)×4××4＝16，3∴幾何體的體積V為16.-14-(2)取EC的中點(diǎn)是F，連接BF，則BF∥DE，∴∠FBA或其補(bǔ)角即為異面直線DE與AB所成的角．在△BAF中，AB＝42，BF＝AF＝25，10.5∴cos∠ABF＝10.5∴異面直線DE與AB所成的角的余弦值為(3)AC⊥平面BCE，過C作CG⊥DE交DE于G，連接AG.可得DE⊥平面ACG，從而AG⊥DE，∴∠AGC為二面角A-ED-B的平面角．在△ACG中，∠ACG＝90°，AC＝4，CG＝85，55.∴sin∠AGC＝5.∴tan∠AGC＝2335.∴二面角A-ED-B的正弦值為1．(北京高考)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是()A．2＋5B．4＋5D．5C．2＋25解析：選C作出三棱錐的示意圖如圖，在△ABC中，作AB邊上高CD，連接SD.在三棱錐S-ABC中，SC⊥底面ABC，SC＝1，底面的三角形ABC是等腰三角形，AC＝BC，AB邊上的高CD＝2，AD＝BD＝1，斜高SD＝5，AC＝BC＝5.∴S表＝S△ABC＋S△SAC＋S△SBC＋S△SAB＝1211×2×2＋2×1×5＋212×1×5＋×2×5＝2＋25.-15-2．下列命題中假命題是()A．垂直于同一條直線的兩條直線相互垂直B．若一條直線平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行C．若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直D．若一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面內(nèi)的相交直線分別平行，那么這兩個(gè)平面相互平行解析：選A垂直于同一條直線的兩條直線可能平行、相交或異面，A錯(cuò)誤；選A.3．已知m，n是兩條不重合的直線，α，β，γ是三個(gè)兩兩不重合的平面，給出下列四個(gè)命題：①若m⊥α，m⊥β，則α∥β；m?α，n?β，m∥n，則α∥β；α⊥γ，β⊥γ，則α∥β；m，n是異面直線，m?α，m∥β，n?β，n∥α，則α∥β.其中真命題是②若③若④若()A．①③C．③④B．①②D．①④解析：選D對(duì)于①垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，正確；對(duì)于②不滿足平面與平面平行的判斷定理，錯(cuò)誤；對(duì)于③平面α，β可能相交，錯(cuò)誤；對(duì)于④滿足平面α與平面β平行，正確．4．已知以下三視圖中有三個(gè)同時(shí)表示某一個(gè)三棱錐，則不是該三棱錐的三視圖的是()解析：選D該三棱錐是由三條交于一點(diǎn)且兩兩垂直，長(zhǎng)度分別為1,2,3的棱構(gòu)成的．由于不同的放置方式其三視圖可為A，B，C中的情況．D選項(xiàng)中側(cè)視圖錯(cuò)誤，故選D.5．某幾何體的三該幾何體的體積為(視圖如圖所示，則)-16-2π3A.B．πD．2π4π3C.解析：選A由三視圖可知該幾何體的直觀圖為一個(gè)圓柱內(nèi)挖去兩個(gè)與圓柱同底的半14π232π3球，所以該幾何體的體積V＝V柱－2V半球＝π×1＝，選A.2×2－2×××136.如圖，三棱錐V-ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA＝VB，AD＝BD，則下列結(jié)論中不一定成立的是(A．AC＝BC)B．VC⊥VDC．AB⊥VCD．S·AB＝S·VO△VCD△ABC解析：選B因?yàn)閂A＝VB，AD＝BD，所以VD⊥AB.因?yàn)閂O⊥平面ABC，AB?平面ABC，所以VO⊥AB.又VO∩VD＝V，所以AB⊥平面VCD.又CD?平面VCD，VC?平面VCD，所以AB⊥VC，AB⊥CD.又AD＝BD，所以AC＝BC(線段垂直平分線的性質(zhì))．1V-ABC＝S△ABC3因?yàn)閂O⊥平面ABC，所以V·VO.＋VA-VCD＝S△VCD·BD＋31S△VCD·AD＝13S△13因?yàn)锳B⊥平面VCD，所以VV-ABC＝VB-VCD·(BD＋AD)＝13S△VCD·AB，VCD所以13S△ABC·VO＝13·AB，△VCDS-17-即S△VCD·AB＝S△ABC·VO.綜上知，A，C，D正確．7．下面四個(gè)正方體圖形中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出平面ABC∥平面MNP的圖形序號(hào)是________(寫出所有符合要求的圖形序號(hào))．解析：由面面平行的判定定理可得．答案：①②8．已知四面體A-BCD的棱都相等，G為△ABC的重心，則異面直線AG與CD所成角的余弦值為________．解析：設(shè)四面體A-BCD的棱長(zhǎng)為a，延長(zhǎng)AG交BC于E，取BD的中點(diǎn)F，連接EF，AF.由題意知E為BC的中點(diǎn)，所以CD∥EF，所以∠AEF23a，EF＝a，則在12即異面直線AG與CD所成的角．由題意知AE＝AF＝1EFAE＝△AEF中，cos∠AEF＝263.3答案：69.如圖，三棱錐V-ABC的底面為正三角形，側(cè)面VAC與底面垂直且VA23＝VC，已知其正視圖的面積為，則其側(cè)視圖的面積為________．解析：由題意知，該三棱錐的正視圖為△VAC，作VO⊥AC于O，連＝接OB，設(shè)底面邊長(zhǎng)為2a，高VO＝h，則△VAC的面積為21×2a×h＝ah23.又三棱錐的側(cè)視圖為Rt△VOB，在正三角形ABC中，高OB＝3a，所以側(cè)視圖的面積為11232233＝×3.OB·OV＝×3a×h＝2-18-3答案：310.如圖，已知△ABC是正三角形，EA＝AB＝2a，DC＝a，F(xiàn)是BE的中點(diǎn)，求證：(1)FD∥平面ABC；EA，CD都垂直于平面ABC，且(2)AF⊥平面EDB.證明：(1)取AB的中點(diǎn)M，連接FM，MC.∵F，M分別是BE，BA的中點(diǎn)，12∴FM∥EA，F(xiàn)M＝EA＝a.∵EA，CD都垂直于平面ABC，∴CD∥EA，∴CD∥FM.又∵DC＝a，∴FM＝DC，∴四邊形FMCD是平行四邊形，∴FD∥MC.∵FD?平面ABC，MC?平