新疆維吾爾自治區(qū)高三第三診斷性測(cè)試數(shù)學(xué)（文）試題（問(wèn)卷）

2022屆新疆維吾爾自治區(qū)高三第三診斷性測(cè)試數(shù)學(xué)（文）試題（問(wèn)卷）一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)交集的定義，將A和B的范圍在數(shù)軸上表示出來(lái)求交集即可.【詳解】由題意，，故選：B.2．已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則運(yùn)算即可【詳解】，故選：D3．如圖，已知平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于O，且，，則可以表示為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件利用平面向量的減法運(yùn)算列式作答.【詳解】在平行四邊形ABCD中，依題意，，而，所以.故選：D4．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（

）A．75 B．78 C．81 D．84【答案】C【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算首項(xiàng)與公差，再利用等差數(shù)列求和公式可求得的值.【詳解】因?yàn)椋?，所以，解得，，因此．故選：C．5．函數(shù)的部分圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性及特殊點(diǎn)進(jìn)行排除即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，且，即是奇函?shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即排除選項(xiàng)C；因?yàn)?，所以排除選項(xiàng)A；當(dāng)時(shí)，，所以排除選項(xiàng)D，即B正確.故選：B.6．我國(guó)古代數(shù)學(xué)家僧一行（原名：張遂）應(yīng)用“九服晷影算法”在《大衍歷》中建立了晷影長(zhǎng)與太陽(yáng)天頂距的對(duì)應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學(xué)史上較早的一張正切函數(shù)表．根據(jù)三角學(xué)知識(shí)可知，晷影長(zhǎng)度l等于表高h(yuǎn)與太陽(yáng)天頂距θ正切值的乘積，即．若對(duì)同一“表高”兩次測(cè)量，“晷影長(zhǎng)”分別是“表高”的1.5倍和2倍（所成角記、）．則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，分別寫(xiě)出，，然后利用兩角和的正切公式計(jì)算即可.【詳解】由題意，“晷影長(zhǎng)”分別是“表高”的1.5倍和2倍時(shí)，，.∴.故選：A7．若拋物線）上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離是點(diǎn)A到y(tǒng)軸距離的3倍，則p等于（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】由拋物線的定義得出，將點(diǎn)坐標(biāo)代入方程可得．【詳解】由題意，，，則，解得，故選：C8．塔里木河為中國(guó)第一大內(nèi)流河，全長(zhǎng)2179千米，由發(fā)源于天山的阿克蘇河，發(fā)源于昆侖山的葉爾羌河，和田河匯流而成，塔里木河自西向東蜿蜓于塔里木盆地北部，上游地區(qū)大多流經(jīng)起伏不平的戈壁荒漠，所以河水的含沙量大，很不穩(wěn)定，被稱(chēng)為“無(wú)韁的野馬”，已知阿克蘇河，和田河和葉爾羌河的含沙量和流量比（見(jiàn)表），則塔里木河河水的含沙量約為（

）三河河水的含沙量和流量比河的名稱(chēng)含沙量流量比阿克蘇河和田河葉爾羌河721【答案】C【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)給定的流量比，確定含沙權(quán)數(shù)為7，2，1，再根據(jù)各自的含沙量確定塔里木河河水的含沙量.【詳解】已知阿克蘇河，和田河和葉爾羌河的含沙量和流量比為，所以阿克蘇河，和田河和葉爾羌河流量的含沙量的權(quán)數(shù)分別為：7，2，1.由加權(quán)平均數(shù)公式得塔里木河河水的含沙量約為：.故選：C.9．已知定義在R上的偶函數(shù)滿(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，，則下面結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)的奇偶性，單調(diào)性以及周期性，可將三個(gè)函數(shù)值轉(zhuǎn)化到區(qū)間中，根據(jù)在的單調(diào)性即可比較函數(shù)值的大小.【詳解】，時(shí)，單調(diào)遞增；，，單調(diào)遞增；，，綜上所述，.故選：A.10．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》的論割圓術(shù)中有：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周盒體而無(wú)所失矣．”它體現(xiàn)了一種無(wú)限與有限的轉(zhuǎn)化過(guò)程比如在表達(dá)式中“…”即代表無(wú)限次重復(fù)，但原式卻是個(gè)定值，它可以通過(guò)方程求得，類(lèi)似上述過(guò)程及方法，則的值為（

）A． B．3 C． D．2【答案】B【分析】令，則有，然后轉(zhuǎn)化為一元二次方程，解出的值，并排除不正確的值，即可得到結(jié)果.【詳解】令，則，整理，得，解得，或，，，.故選：B.11．已知圓柱的母線長(zhǎng)與底面的半徑之比為，四邊形ABCD為其軸截面，若點(diǎn)E為上底面圓弧的靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則異面直線DE與AB所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)圓柱的底面圓的半徑為，由，可得即為異面直線DE與AB所成角的平面角，求出，再利用余弦定理即可得解.【詳解】解：設(shè)圓柱的底面圓的半徑為，則因?yàn)?，所以即為異面直線DE與AB所成角的平面角，因?yàn)辄c(diǎn)E為上底面圓弧的靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)，所以，故為等邊三角形，所以，故，則，，所以，即異面直線DE與AB所成角的余弦值為.故選：A.12．，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若在雙曲線上存在點(diǎn)P，滿(mǎn)足，且，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)，，由雙曲線的定義及余弦定理可得，又，利用余弦定理可得，聯(lián)立可得，從而即可得答案.【詳解】解：由題意，設(shè)，，因?yàn)?，所以，所以，又，即，所以，所以，又，所以，所以，所以雙曲線的漸近線方程為．故選：B.二、填空題13．已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則__________．【答案】【分析】利用整體代換法，根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，求出的對(duì)稱(chēng)軸，進(jìn)而求出值.【詳解】的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，，解得：當(dāng)時(shí)，.故答案為：.14．若關(guān)于x的不等式的解集為，則__________．【答案】【分析】根據(jù)題意，有為方程的根，代入即求解.【詳解】由題知，為方程的根，故，，.故答案為：.15．?dāng)?shù)列滿(mǎn)足，且，則數(shù)列的前12項(xiàng)的和為_(kāi)_________．【答案】42【分析】利用遞推公式得到兩個(gè)子數(shù)列，一個(gè)等差數(shù)列，一個(gè)常數(shù)列，再分組進(jìn)行求解.【詳解】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，化為，即是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，化為，即相鄰兩項(xiàng)之和為2；則數(shù)列的前12項(xiàng)和為．故答案為：42.三、雙空題16．四棱錐P-ABCD各頂點(diǎn)都在球心為O的球面上，且PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形．，，則球O的半徑是__________；設(shè)M、N分別是PD、CD的中點(diǎn)，則平面AMN截球O所得截面的面積為_(kāi)_________．【答案】

4

12π【分析】畫(huà)出長(zhǎng)方體，根據(jù)墻角模型可知長(zhǎng)方體的外接球即為四棱錐P-ABCD的外接球，求出體對(duì)角線的一半即為球的半徑，設(shè)球心O到平面的距離為h，點(diǎn)到平面的距離為2h，利用等體積法求出，利用勾股定理求出截面半徑，從而求出截面面積.【詳解】如圖為長(zhǎng)方體則球心O為PC（或）的中點(diǎn)∴，∴平面AMN即為平面，設(shè)球心O到平面的距離為h，則點(diǎn)到平面的距離為2h，由，，∴，∴∴，∴截面半徑，截面面積為故答案為：4，四、解答題17．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，．(1)求的值；(2)在邊BC上取一點(diǎn)D，使得，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理求出AC，再用正弦定理即可求解；（2）分別求出和，由同角三角函數(shù)關(guān)系以及兩角差的正切公式即可求解.【詳解】(1)在△ABC中，，即，∴，由得；(2)在△ADC中，，則，又∵，，是銳角，∴，∴；；綜上，，.18．多面體ABDEC中，△BCD與△ABC均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，△CDE為腰長(zhǎng)為的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)．(1)求證：平面ECD；(2)求多面體ABDEC的體積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由面面垂直得線面垂直，進(jìn)而得到線線平行，從而證得線面平行；（2）將多面體ABCDE分為兩個(gè)三棱錐進(jìn)行求解體積.【詳解】(1)證明：取CD的中點(diǎn)G，連接EG∵△CDE為腰長(zhǎng)為的等腰三角形，∴又∵平面CDE⊥平面BCD，平面ECD，平面平面,∴EG⊥平面BCD，同理可得，AF⊥平面BCD∴又∵平面ECD，平面CDE，∴平面CDE(2)在△CDE中，∴又∵△BCD為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形∴過(guò)G作于H，在等邊三角形BCD中，，又∵平面ABC⊥平面BCD，面BCD，平面平面,∴GH⊥平面ABC又∵∴GH的長(zhǎng)度是點(diǎn)E到平面ABC的距離又∵△ABC為等邊三角形∴∴19．已知橢圓C：），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，直線l與直線OM的斜率乘積為．(1)求橢圓C的離心率；(2)若橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用點(diǎn)差法、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率公式可得到，再利用橢圓的離心率公式進(jìn)行求解；（2）利用離心率和點(diǎn)在橢圓上進(jìn)行求解.【詳解】(1)解：設(shè)，，，則，所以，所以，即，即，即，則離心率；(2)解：若橢圓C過(guò)點(diǎn)，即，又因?yàn)?，所以，即，，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.20．我國(guó)是全球最早進(jìn)行航天育種研究的國(guó)家，航天育種在我國(guó)糧食安全和生態(tài)環(huán)境建設(shè)等諸多領(lǐng)域作出了重要貢獻(xiàn)，培育的小麥、水稻、玉米、大豆、棉花和番茄、辣椒等園藝作物新品種，累計(jì)種植推廣面積超過(guò)萬(wàn)公頃，增產(chǎn)糧食約億公斤.經(jīng)過(guò)多年科研和地面選育后，通過(guò)國(guó)審和省審的航天育種新品種超過(guò)個(gè)，創(chuàng)造直接經(jīng)濟(jì)規(guī)模超過(guò)億元.某地面工作站有甲，乙兩個(gè)專(zhuān)門(mén)從事種子培育小組，為了比較他們的培育水平，現(xiàn)隨機(jī)抽取了這兩個(gè)小組在過(guò)去一年里其中經(jīng)過(guò)次各自培育的種子結(jié)果如下：、、、、、、、、、、、、、、，其中、分別表示甲組培育種子發(fā)芽與不發(fā)芽：、分別表示乙組培育種子發(fā)芽與不發(fā)芽．(1)根據(jù)上面這組數(shù)據(jù)，計(jì)算至少有一組種子發(fā)芽的條件下，甲、乙兩組同時(shí)都發(fā)芽的概率；(2)若某組成功培育一種新品種種子，則該組可直接為本次培育實(shí)驗(yàn)創(chuàng)造經(jīng)濟(jì)效益為萬(wàn)元，否則就虧損萬(wàn)元，試分別計(jì)算甲、乙兩組種子培育的經(jīng)濟(jì)效益的平均數(shù)；(3)若某組成功培育一種新品種種子，單位獎(jiǎng)勵(lì)給該組千元，否則獎(jiǎng)勵(lì)元，分別計(jì)算甲、乙兩組的獎(jiǎng)金的方差，并且根據(jù)以上數(shù)據(jù)比較甲、乙兩組的種子培育水平．【答案】(1)(2)甲組（萬(wàn)元），乙組（萬(wàn)元）(3)甲組方差，乙組方差，甲組的培育種子水平應(yīng)高于乙組培育水平．【分析】（1）確定至少有一組種子發(fā)芽的種子和甲、乙培育的種子都發(fā)芽的種子組數(shù)，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）列舉出甲、乙每次培育種子的經(jīng)濟(jì)收益（單位：萬(wàn)元），利用平均數(shù)公式可求得甲、乙兩組種子培育的經(jīng)濟(jì)效益的平均數(shù)；（3）列舉出甲、乙每次培育種子所獲得的獎(jiǎng)金（單位：千元），計(jì)算出甲、乙兩組的獎(jiǎng)金的平均值與方差，比較大小后可得出結(jié)論.【詳解】(1)解：至少有一組種子發(fā)芽的種子共組，甲、乙培育的種子都發(fā)芽的種子共組，故所求概率為.(2)解：甲組培育種子的效益依次為、、、、、、、、、、、、、、，則甲組貢獻(xiàn)經(jīng)濟(jì)效益金的平均值（萬(wàn)元）．、、、、、、、、、、、、、、乙組培育種子的效益依次為、、、、、、、、、、、、、、，則乙組貢獻(xiàn)經(jīng)濟(jì)效益金的平均值（萬(wàn)元）；(3)解：甲組獲得獎(jiǎng)金額依次為、、、、、、、、、、、、、、（單位：千元），甲組獲得獎(jiǎng)金的平均值（千元），甲組獲得獎(jiǎng)金的方差．乙組獲得獎(jiǎng)金額依次為、、、、、、、、、、、、、、（單位：千元），乙組獲得獎(jiǎng)金的平均值（千元），乙組獲得獎(jiǎng)金的方差，從而可以確定，但，綜上所述，從所得數(shù)據(jù)看，甲組的培育種子水平應(yīng)高于乙組培育水平．21．已知．(1)若，求的最小值；(2)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可得出函數(shù)的最小值；（2）分析可知當(dāng)時(shí)，，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類(lèi)討論，分析函數(shù)在上的單調(diào)性，驗(yàn)證在上能否恒成立，由此可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)解：當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，.(2)解：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋瑒t.令，則在為增函數(shù)．①若，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，且不恒為零，此時(shí)函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，，合乎題意；②若，即時(shí)，，所以，存在，使得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，，不合乎題意.綜上所述，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，解題的關(guān)鍵就是注意到，從而將不等式轉(zhuǎn)化為來(lái)處理，進(jìn)而利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求解.22．如圖，在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，曲線是以極點(diǎn)O為圓心，以O(shè)M為半徑的半圓，曲線是過(guò)極點(diǎn)且與曲線相切于點(diǎn)的圓．(1)分別寫(xiě)出曲線、的極坐標(biāo)方程；(2)直線與曲線、分別相交于點(diǎn)A、B（與極點(diǎn)O不重合），求△ABM面積的最大值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)圓的極坐標(biāo)方程得結(jié)論；（2）代入兩曲線極坐標(biāo)方程得交點(diǎn)極徑，相減得，過(guò)點(diǎn)M作于D，可求得，然后求出三角形面積，利用基本不等式得最大值．【詳解】(1)由題意可知，曲線是以極點(diǎn)O為圓心，以2為半徑的半圓，結(jié)合圖形可知，曲線的極坐標(biāo)方程為．設(shè)為曲線上的任意一點(diǎn)，可得因此，曲線極坐標(biāo)方程為；(2)因?yàn)橹本€與曲線，分別相交于點(diǎn)A，B（異于極點(diǎn)），設(shè)，，由題意得，，∴，過(guò)點(diǎn)M作于D，時(shí)，如圖1，，則點(diǎn)M到直線AB的距離為，時(shí)，如圖2，，，∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故△ABM面積的最大值為,圖1圖223．已知函數(shù)；，．(1)請(qǐng)