收斂數(shù)列的性質(zhì)

§2收斂數(shù)列的性質(zhì)教學(xué)目的與要求理解掌握收斂數(shù)列的唯一性、有界性、保號性、保不等式性，并會利用這些性質(zhì)證明相關(guān)命題.掌握數(shù)列極限四則運(yùn)算法則、迫斂性定理，會利用其求數(shù)列極限.掌握數(shù)列極限迫斂性定理、數(shù)列與其子列的收斂關(guān)系，會利用其討論數(shù)列的收斂性.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)：收斂數(shù)列的性質(zhì).難點(diǎn)：收斂數(shù)列的性質(zhì)的證明及其應(yīng)用.講授內(nèi)容收斂數(shù)列有如下一些重要性質(zhì)：定理2.2（唯一性）若數(shù)列｛氣｝收斂，則它只有一個極限.證設(shè)a是｛氣｝的一個極限.我們證明：對任何數(shù)b豐a,b不是｛氣｝的極限.事實上，若取膈=11b-aI，則按定義1'，在U（a;8）之外至多只有｛a｝中有限個項，從而在0 2 0 nU（b;80）內(nèi)至多只有｛an｝中有限個項；所以b不是｛an｝的極限.這就證明了收斂數(shù)列只能有一個極限.一個收斂數(shù)列一般含有無窮多個數(shù)，而它的極限只是一個數(shù).我們單憑這一個數(shù)就能精確地估計出幾乎全體項的大小.以下收斂數(shù)列的一些性質(zhì)，大都基于這一事實.定理2.3（有界性）若數(shù)列｛a.｝收斂，則｛an｝為有界數(shù)列，即存在正數(shù)M，使得對一切正整數(shù)有Ia\<M.證設(shè)lima=a取8=1，存在正數(shù)N，對一切n>N有nT8nIa一aI<1即a一1<a<a+1.記 M=max｛IaI,IaI,IaI,Ia一1I,Ia+11｝,則對一切正整數(shù)n都有|aj<M.注有界性只是數(shù)列收斂的必要條件，而非充分條件.例如數(shù)列11）〃如界，但它并不收斂．定理2?4（保號性）若lima=a>0 （或<0），則對任何a七（0,a）（或nT8n

a' e（a,0）），存在正數(shù)N，使得當(dāng)n>N時有a>a'（或a<a'）.證設(shè)a>0.取e=a—a'（>0），則存在正數(shù)N，使得當(dāng)n>N時有a>a=a'，這就證得結(jié)果.對于a<0的情形，也可類似地證明.注在應(yīng)用保號性時，經(jīng)常取a'=a.2定理2.5（保不等式性）設(shè)與bj均為收斂數(shù)列.若存在正數(shù)N0，使得當(dāng)n>N0時，有a<b，則時，有a<b，則lima<limb.nn nsnnsn=a,limb=b.任給e>0,分別存在正數(shù)0與如，使得當(dāng)n>N^時，證設(shè)limannT8ns(1)a-e<a(1)n當(dāng)n>N2時有取N=maxN0,N「N)則當(dāng)n>N時，按假設(shè)及不等式（i）和（2）有即即lima<limb.ns nT8由此得到a<b+2e.由e的任意性推得a<b，請學(xué)生思考：如果把定理2.5中的條件a<bn換成嚴(yán)格不等式an<bn，那么能否把結(jié)論換成lima,<lim氣?，并給出理由.ns ns例1設(shè)a>0（n=1,2,）.證明：若lima=a,則ns(3)lim^a=（a.(3)ms n證由定理2.5可得a>0.若a=0，則由lima=0，任給e>0，存在正數(shù)N，使得當(dāng)n>N時有a〃<nsa=0.nse2，從而Jan<e即Ja“—0<e,故有l(wèi)imJ若a>0，則有a=0.ns任給￡>任給￡>0,由lima=a，存在正數(shù)N，使得當(dāng)n>N時有nrsla—ala—aUn——U<-—n xa+n

從而*板|<￡.(3)式得證.定理2.7(迫斂性)設(shè)收斂數(shù)列"」都以a為極限，數(shù)列滿足:存在正數(shù)％當(dāng)〃>n時有a<c<b, (4)則數(shù)列々J收斂，且limc=a.ns證任給￡>。，由lima=limb=a，分別存在正數(shù)N與N，使得當(dāng)n>nsnnsna-￡<a, (5)當(dāng)n>N2時有b<a+e. (6)取N=maxNN1,N*，則當(dāng)n>N時,不等式(4)、(5)、(6)同時成立，即有a-￡<a<c<b<a+￡.從而有|c廣a|<￡，這就證得所要的結(jié)果.定理2.6不僅給出了判定數(shù)列收斂的一種方法，而且也提供了一個求極限的工具.例2求數(shù)列｛云｝的極限.解記a=而=1+h，這里h>0(n>1)，則有n=G+h\>n^Ph2.n 2n由上式得0<七由上式得0<七<J-~~i。>1)，從而有… 4 -2=+n-1+\"(7)數(shù)列「+』￡I是收斂于1的，因?qū)θ谓o的8>0,取N=1+^2，則當(dāng)數(shù)列「+』￡I是收斂于1的，因?qū)θ谓o的8>0,取N=1+^2，則當(dāng)n>N,12 ,時有1+盤一-1V8?于是，不等式（7）的左右兩邊的極限皆為1,故由迫斂\n一1性證得limn-n=1?nT8在求數(shù)列極限時，常需要使用極限的四則運(yùn)算法則.定理2.7（四則運(yùn)算法則）若與^bn｝為收斂數(shù)列，則上+b｝，｛a一b｝，kb｝也都是收斂數(shù)列，且有nnlim(a土b)=lima土limb，nsnnnT8nnsnlim(a.b)=lima.limb.nT8nn nsnnsn特別當(dāng)b為常數(shù)c時有nlim(a+c)=lima+c,limca=clima.nsn nsn nsnnnT8若再假設(shè)b。0及l(fā)imb豐0，則]上I也是收斂數(shù)列n n bns [Jn且有l(wèi)imns=lima/limb.ns ns證由于a-b=a+（-1》及%=a.二，因此我們只須證明關(guān)于和、積與倒數(shù)nnn nbnb運(yùn)算的結(jié)論即可.設(shè)lim七=a，lim^=b,則對任給的￡>0,分別存在正數(shù)N1與N2，使得ns nT8|a-b|<￡,當(dāng)n>N,|b—b<￡,當(dāng)n>N.取N=max坷,N2｝則當(dāng)n>N時上述兩不等式同時成立，從而有|(a+b)-(a+b)<|a-a|+|b-b|<2enlim(a+b)=a+b.nn " “ nsnn|a b-ab= |(a -a)b +a(b -b)<|a -a||b |+|a||b -b|. (8)nn n n n n n n由收斂數(shù)列的有界性定理，存在正數(shù)M，對一切n有虬|<M.于是，當(dāng)n>N時由（8）式可得ab-ab\<M+|a|).由8的任意性，得limab=ab.N3，則當(dāng)N3，則當(dāng)n>N33.由于lim^=b豐0,根據(jù)收斂數(shù)列的保號性，存在正數(shù)nT8|b|>—|b|.取N'=maxN,N｝則當(dāng)n>N'時有'n2 2 311_|b—b2|b,-b|28

bbbbb2b21 1由8的任意性，這就證得lim—=—nsbbnanm+anm-1h fan+aTOC\o"1-5"\h\zlim m— 1 o，n*bnk+bnk-1+ fbn+bk k-1 1 0其中m<k，a。0,b。0.解以n-k同乘分子分母后，所求極限式化為anm-k+anm-1-k+ fan1-k+an-klim m-1 1 0n—8b+bk-1n-1+fbn1-k+bn-k當(dāng)a>0時有l(wèi)imn-a=0.于是，n—8當(dāng)m=k時，上式除了分子分母的第一項分別為am與bm外，期于各項的極限皆為0，故此時所求的極限等于%；bm當(dāng)m<k時，由于nm——0（n—8），故此時所求的極限等于0.綜上所述，a]a]—m,k=m,b0,k>m.l，anm+a nm-1+ +a+abnk+b nk-1+ +b+ban例4求lim ,其中a。-1.n—8an+1an解若a=1,則顯然有l(wèi)imnsan+12'若|a|<1，則由liman=0得nT8limnT3anan+1=limanns若|a|>1，則limnT3anan+1=limn*1+-1=1.an例5求lim"‘n(n+1-4n)ns解、；ntn+1-、.n)= == —、n+1+口.1+1+1\n由1+—^1(n

n—8）及例1得limn—8limn—8tntn+1-氣,n)=lim而子列?kj則由aj的所有奇=k，k=1,2，....n—8最后，我們給出數(shù)列的子列概念和關(guān)于子列的一個重要定理.定義1設(shè)七｝為數(shù)列，為正整數(shù)集N+的無限子集，且nvn2v???<nk<…，則數(shù)列a,a

n1n2稱為數(shù)列｝的一個子列,簡記為｛a｝.k注i由定義i可見，"｝的子列a｝的各項都選自｝，且保持這些項在｝中的k先后次序.a｝中的第k項是k｝中的第n項，故總有n>k.實際上".｝本身也是正k整數(shù)列《｝的子列.例如，子列"2.｝由數(shù)列^〃｝的所有偶數(shù)項所組成數(shù)項所組成.又本身也是kJ的一個子列，此時n

注2數(shù)列本身以及去掉有限項后得到的子列，稱為的平凡子列；不是平凡子列的子列，稱為"J的非平凡子列.例如?「和k?_J都是的非平凡子列.由上節(jié)例8可知：數(shù)列｝與它的任一平凡子列同為收斂或發(fā)散，且在收斂時有相同的極限.n定理2.8數(shù)列收斂的充要條件是：的任何非平凡子列都收斂.得當(dāng)k>N時有|ak一a|<￡證必要性設(shè)lim七=a,｛得當(dāng)k>N時有|ak一a|<￡.由于匕>k，故當(dāng)k>N時更有nk>N，從而也有a-a<￡nk，這就證明了^1攵斂(a-a<￡nk充分性考慮的非平凡子列?」，?kJ與七」.按假設(shè)，它們都收斂.由于｛a6k｝既是?「，又是七」的子列，故由剛才證明的必要性，(9)(10)lima=lima=lima.ks2kk—s6k k—s3k(9)(10)又hk-31既是?「又是kJ的子列，同樣可得lima=lima.k—s2k-1k—s3k(9)式與(10)式給出lima=limak—s2kk—s22-1所以由上節(jié)例7可知1收斂n由定理2.8的證明可見，若數(shù)列上1的任何非平凡子列都收斂，則所有這些子列與七｝必收斂于同一個極限.于是，若數(shù)列k〃｝有一個子列發(fā)散，或有兩個子列收斂而極限不相等，則