高中數(shù)學(xué)空間幾何體習(xí)題及解析

1．在球面上有四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C，假如PA、PB、PC兩兩垂直且PA＝PB＝PC＝a，求這個(gè)球的體積．解∵PA、PB、PC兩兩垂直，PA＝PB＝PC＝a.∴以PA、PB、PC為相鄰三條棱可以構(gòu)造正方體．又∵P、A、B、C四點(diǎn)是球面上四點(diǎn)，∴球是正方體的外接球，正方體的對(duì)角線是球的直徑．∴2R＝eq\r(3)a，R＝eq\f(\r(3),2)a，∴V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π(eq\f(\r(3),2)a)3＝eq\f(\r(3),2)πa3.2．有一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是一個(gè)正三角形，在容器內(nèi)放一個(gè)半徑為r的鐵球，并注入水，使水面與球正好相切，然后將球取出，求這時(shí)容器中水的深度．解由題意知，圓錐的軸截面為正三角形，如圖所示為圓錐的軸截面．依據(jù)切線性質(zhì)知，當(dāng)球在容器內(nèi)時(shí)，水深為3r，水面的半徑為eq\r(3)r，則容器內(nèi)水的體積為V＝V圓錐－V球＝eq\f(1,3)π·(eq\r(3)r)2·3r－eq\f(4,3)πr3＝eq\f(5,3)πr3，而將球取出后，設(shè)容器內(nèi)水的深度為h，則水面圓的半徑為eq\f(\r(3),3)h，從而容器內(nèi)水的體積是V′＝eq\f(1,3)π·(eq\f(\r(3),3)h)2·h＝eq\f(1,9)πh3，由V＝V′，得h＝eq\r(3,15)r.即容器中水的深度為eq\r(3,15)r.3．有三個(gè)球，第一個(gè)球內(nèi)切于正方體，其次個(gè)球與這個(gè)正方體各條棱相切，第三個(gè)球過(guò)這個(gè)正方體的各個(gè)頂點(diǎn)，求這三個(gè)球的表面積之比．解設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a.如圖所示．(1)中正方體的內(nèi)切球球心是正方體的中心，切點(diǎn)是正方體六個(gè)面的中心，經(jīng)過(guò)四個(gè)切點(diǎn)及球心作截面，所以有2r1＝a，r1＝eq\f(a,2)，所以S1＝4πreq\o\al(2,1)＝πa2.(2)中球與正方體的各棱的切點(diǎn)在每條棱的中點(diǎn)，過(guò)球心作正方體的對(duì)角面得截面，2r2＝eq\r(2)a，r2＝eq\f(\r(2),2)a，所以S2＝4πreq\o\al(2,2)＝2πa2.(3)中正方體的各個(gè)頂點(diǎn)在球面上，過(guò)球心作正方體的對(duì)角面得截面，所以有2r3＝eq\r(3)a，r3＝eq\f(\r(3),2)a，所以S3＝4πreq\o\al(2,3)＝3πa2.綜上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3.4．有一塔形幾何體由3個(gè)正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個(gè)頂點(diǎn)是下層正方體上底面各邊的中點(diǎn)．已知最底層正方體的棱長(zhǎng)為2，求該塔形的表面積(含最底層正方體的底面面積)．解易知由下向上三個(gè)正方體的棱長(zhǎng)依次為2，eq\r(2)，1.考慮該幾何體在水平面的投影，可知其水平面的面積之和為下底面積最大正方體的底面面積的二倍．∴S表＝2S下＋S側(cè)＝2×22＋4×[22＋(eq\r(2))2＋12]＝36.∴該幾何體的表面積為36.5．有一根長(zhǎng)為3πcm，底面半徑為1cm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并使鐵絲的兩個(gè)端點(diǎn)落在圓柱的同一母線的兩端，解把圓柱側(cè)面及纏繞其上的鐵絲綻開(kāi)，在平面上得到矩形ABCD(如圖所示)，由題意知BC＝3πcm，AB＝4πcm，點(diǎn)A與點(diǎn)C分別是鐵絲的起、止位置，故線段AC的長(zhǎng)度即為鐵絲的最短長(zhǎng)度．AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝5πcm，故鐵絲的最短長(zhǎng)度為5πcm.6．用小立方體搭成一個(gè)幾何體，使它的正視圖和俯視圖如圖所示，搭建這樣的幾何體，最多要幾個(gè)小立方體？最少要幾個(gè)小立方體？解由于正視圖中每列的層數(shù)即是俯視圖中該列的最大數(shù)字，因此，用的立方塊數(shù)最多的狀況是每個(gè)方框都用該列的最大數(shù)字，即如圖①所示，此種狀況共用小立方塊17塊．而搭建這樣的幾何體用方塊數(shù)最少的狀況是每列只要有一個(gè)最大的數(shù)字，其他方框內(nèi)的數(shù)字可削減到最少的1，即如圖②所示，這樣的擺法只需小立方塊11塊．7．依據(jù)下列對(duì)于幾何體結(jié)構(gòu)特征的描述，說(shuō)出幾何體的名稱．(1)由八個(gè)面圍成，其中兩個(gè)面是相互平行且全等的正六邊形，其它各面都是矩形；(2)由五個(gè)面圍成，其中一個(gè)面是正方形，其它各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的全等三角形．8．在水平放置的平面α內(nèi)有一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形A′B′C′D′，如圖，其中的對(duì)角線A′C′在水平位置，已知該正方形是某個(gè)四邊形用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的直觀圖，試畫(huà)出該四邊形的真實(shí)圖形并求出其面積．解(1)該幾何體有兩個(gè)面是相互平行且全等的正六邊形，其他各面都是矩形，可滿意每相鄰兩個(gè)面的公共邊都相互平行，故該幾何體是六棱柱．(2)該幾何體的其中一個(gè)面是四邊形，其余各面都是三角形，并且這些三角形有一個(gè)公共頂點(diǎn)，因此該幾何體是四棱錐．解四邊形ABCD的真實(shí)圖形如圖所示，∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′為正方形，∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，∴在原四邊形ABCD中，DA⊥AC，AC⊥BC，∵DA＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝eq\r(2)，∴S四邊形ABCD＝AC·AD＝2eq\r(2).9．如圖所示，圓臺(tái)母線AB長(zhǎng)為20cm，上、下底面半徑分別為5cm和10cm，從母線AB的中點(diǎn)M解作出圓臺(tái)的側(cè)面綻開(kāi)圖，如圖所示，由其軸截面中Rt△OPA與Rt△OQB相像，得eq\f(OA,OA＋AB)＝eq\f(5,10)，可求得OA＝20cm.設(shè)∠BOB′＝α，由于扇形弧eq\x\to(BB′)的長(zhǎng)與底面圓Q的周長(zhǎng)相等，而底面圓Q的周長(zhǎng)為2π×10cm.扇形OBB′的半徑為OA＋AB＝20＋20＝40cm，扇形OBB