內(nèi)蒙古赤峰市紅山區(qū)高三3月模擬數(shù)學(xué)（理）試題

2022屆內(nèi)蒙古赤峰市紅山區(qū)高三3月模擬數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出集合B，再求兩集合的交集即可【詳解】因?yàn)?，，所以，故選：D．2．已知是虛數(shù)單位，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】運(yùn)用復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算法則進(jìn)行求解即可.【詳解】.故選：A.3．曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用切點(diǎn)和斜率求得切線方程.【詳解】由，有．曲線在點(diǎn)處的切線方程為，整理為．故選：A4．已知，，，則向量，的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)與的夾角為，根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義求出，即可得解；【詳解】解：設(shè)與的夾角為，因?yàn)?，且，所以，即，解得，又，所以．故選：B5．已知某個(gè)正三棱錐的正視圖是如圖所示的正三角形，且正三角形的邊長為2，則該正三棱錐的體積為（

）A．3 B． C． D．1【答案】D【分析】依題意正三棱錐的底面邊長為2，高為，再根據(jù)錐體的體積公式計(jì)算可得；【詳解】解：由題意可知，該正三棱錐的底面邊長為2，高為，正三棱錐的體積為.故選：D6．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用二倍角的余弦公式和基本關(guān)系式求解.【詳解】因?yàn)?，所以．故選：C．7．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則取最大值時(shí)正整數(shù)n的值為（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【分析】根據(jù)通項(xiàng)公式以及求和公式得出，再由得出取最大值時(shí)正整數(shù)n的值.【詳解】設(shè)公差為，有，解得，，有，當(dāng)，可得，可知當(dāng)時(shí)，，故取最大值時(shí)正整數(shù)n的值為10．故選：B8．展開式中的系數(shù)為（

）A．148 B．92 C．120 D．36【答案】A【分析】將化為，利用展開式通項(xiàng)可求出結(jié)果.【詳解】，因?yàn)檎归_式通項(xiàng)，所以展開式中的系數(shù)為，展開式中的系數(shù)為，展開式中的系數(shù)為，所以展開式中的系數(shù)為．故選：A9．已知函數(shù)為定義在R上的偶函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，．則（

）A．1 B．-1 C．0 D．-3【答案】A【分析】根據(jù)為偶函數(shù)，且，推出的周期，再根據(jù)周期可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，又，所以，所以，即，所以的周期，所以．故選：A10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線與圓的位置關(guān)系為（

）A．相切 B．相交 C．相離 D．相交或相切【答案】D【分析】根據(jù)圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關(guān)系可得答案.【詳解】因?yàn)閳A心到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到等號(hào)，又圓的半徑為，所以直線與圓相交或相切．故選：D11．已知函數(shù)的部分圖象大致如圖所示．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后，所得函數(shù)為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圖象求出與，函數(shù)向左平移個(gè)單位后，所得函數(shù)為，由于為偶函數(shù)，則即可求解參數(shù)．【詳解】由圖可知，，，可得，又由五點(diǎn)畫圖法有，可得，可得，，函數(shù)向左平移個(gè)單位后，所得函數(shù)為，由奇偶性及，可得，可得．故選：C12．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)．，，則雙曲線C的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】令，結(jié)合雙曲線定義用表示、、，再在、中分別用余弦定理列式計(jì)算作答.【詳解】依題意，設(shè)，，由雙曲線的定義得，，在中，，由余弦定理，得，解得，即，設(shè)雙曲線的焦距為2c，在中利用余弦定理有，解得，所以雙曲線的離心率為．故選：C二、填空題13．設(shè)變量x，y滿足約束條件,則的最小值為______．【答案】-1【分析】作出約束條件表示的平面區(qū)域，再利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義計(jì)算作答.【詳解】作出約束條件表示的平面區(qū)域，如圖中陰影（含邊界），，，，目標(biāo)函數(shù)，即表示斜率為，縱截距為的平行直線系，畫直線，平移直線到，當(dāng)直線過點(diǎn)A時(shí)，直線的縱截距最小，z最小，，所以的最小值為-1.故答案為：-114．在等比數(shù)列中，已知，則_________．【答案】1【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因?yàn)?，所以，解得，，故答案為?15．龍馬負(fù)圖如圖所示．?dāng)?shù)千年來被認(rèn)為是中華文化的源頭，傳說伏羲通過龍馬身上的圖案（河圖）畫出“八卦”．其結(jié)構(gòu)是一與六共宗居下，二與七為朋居上，三與八為友居左，四與九同道居右，五與十相守居中，其中白圈為陽數(shù)，墨點(diǎn)為陰數(shù)．若從陽數(shù)和陰數(shù)中分別隨機(jī)抽出1個(gè)，則被抽到的2個(gè)數(shù)的數(shù)字之和超過12的概率為______．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，用列舉法寫出所有可能結(jié)果，再利用古典概率公式計(jì)算作答.【詳解】依題意，陽數(shù)為1，3，5，7，9，陰數(shù)為2，4，6，8，10，從陽數(shù)和陰數(shù)中分別隨機(jī)抽出1個(gè)有：，共25個(gè)結(jié)果，被抽到的2個(gè)數(shù)的數(shù)字之和超過12的有：，共10種，所以被抽到的2個(gè)數(shù)的數(shù)字之和超過12的概率為.故答案為：16．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過焦點(diǎn)F的直線C交于，兩點(diǎn)，若，則直線AB的方程為______．【答案】或【分析】由題意設(shè)直線AB的方程為，其中，代入拋物線方程消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系，再對(duì)兩邊平方化簡變形，結(jié)合前面的式子可求出，從而可求出直線AB的方程【詳解】焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，顯然直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為，其中，聯(lián)方程消去y后整理為，可得，，則，解得．故直線AB的方程為或，即或，故答案為：或三、解答題17．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)求角B的大?。?2)若，且的面積為，求的周長．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式可得，利用正弦定理將邊化角，再利用二倍角公式得到，即可得解；（2）利用三角形面積公式求出，再根據(jù)，即可求出、，再利用余弦定理求出，即可得解.【詳解】(1)由題設(shè)，，則，因?yàn)?，，因?yàn)?，則，又，故，即，；(2)由題意可得，，，聯(lián)立可得，由余弦定理可得，所以，此時(shí)周長為．18．相對(duì)于二維碼支付，刷臉支付更加便利，以往出門一部手機(jī)解決所有，而現(xiàn)在連手機(jī)都不需要了，畢競手機(jī)支付還需要攜帶手機(jī)，打開“掃一掃”也需要手機(jī)信號(hào)和時(shí)間，刷臉支付將會(huì)替代手機(jī)支付，成為新的支付方式．現(xiàn)從某大型超市門口隨機(jī)抽取40名顧客進(jìn)行調(diào)查，得到了如下列聯(lián)表：男性女性總計(jì)支付1620非刷臉支付8總計(jì)40(1)請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為使用刷臉支付與性別有關(guān)？(2)在抽取的40名顧客的樣本中，根據(jù)是否刷臉支付，按照分層抽樣的方法在女性中抽取7名，為進(jìn)一步了解情況，再從抽取的7人中隨機(jī)抽取4人，求抽到刷臉支付的女性人數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：，其中．【答案】(1)列聯(lián)表見解析，沒有90%的把握認(rèn)為使用刷臉支付與性別有關(guān)(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為【分析】(1)根據(jù)數(shù)據(jù)間的關(guān)系，補(bǔ)充列聯(lián)表，計(jì)算的值，比較其與臨界值的大小，由此判斷是否有90%的把握認(rèn)為使用刷臉支付與性別有關(guān)；(2)由條件可得X的取值有1，2，3，4，求出取各值的概率，由此可得其分布列，再由期望公式求其期望.【詳解】(1)列聯(lián)表補(bǔ)充如下：男性女性總計(jì)刷臉支付41620非刷臉支付81220總計(jì)122840，所以沒有90%的把握認(rèn)為使用刷臉支付與性別有關(guān)；(2)在抽取的40名顧客的樣本中，按照分層抽樣的方法在女性中抽取7名，則抽到刷臉支付的女性人數(shù)為4，非刷臉支付的女性人數(shù)為3，則X的可能取值為1，2，3，4．；；；．故X的分布列為X1234P．19．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，為直角三角形，，，的面積是的面積的倍．(1)證明：平面平面；(2)為上的點(diǎn)，四棱錐的體積是四棱錐的體積的一半，求平面和平面的夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證明為平面和平面所成二面角的平面角，再分別證明和即可求解；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出坐標(biāo)，求法向量，求解即可.【詳解】(1)證明：如圖，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接,，，因?yàn)椋?，，所以，所以，因?yàn)闉橹苯侨切危?，所以，為等腰直角三角形，因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋?，所以，所以的面積是面積的倍，，，，所以，因?yàn)闉榈妊苯侨切危裕?，所以，因?yàn)?，，所以為平面和平面所成二面角的平面角，所以平面平面?2)由四棱錐的體積是四棱錐體積的一半，可得為的中點(diǎn)，設(shè)，可得，，由（1）可知，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，，分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，各點(diǎn)坐標(biāo)如下：，，，，，．設(shè)平面的法向量為，由，，有，取可得，設(shè)平面的法向量為，由，，有，取，，，可得，所以，，，設(shè)平面和平面夾角為，所以，故平面和平面夾角的余弦值為．20．已知M，N是橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，且直線的斜率為．(1)求橢圓E的離心率；(2)設(shè)A為橢圓E的左頂點(diǎn)，B為橢圓E上一點(diǎn)，C為橢圓E上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且，求直線的斜率．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知可得，再由，可求出離心率，（2）由離心率可得橢圓方程為，設(shè)，則由可得，再由在橢圓上，可得，從而可求出直線的斜率【詳解】(1)橢圓的上頂點(diǎn)為和右頂點(diǎn)為，因?yàn)橹本€的斜率為，所以，，所以離心率為，(2)因?yàn)殡x心率，所以，則，所以橢圓方程為，，設(shè)，則，得，則，因?yàn)樵跈E圓上，所以，，解得，則直線的斜率為，21．已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)當(dāng)時(shí)，在上單增；當(dāng)時(shí)，在上單減，在上單增；(2)【分析】（1）直接求導(dǎo)后，分和討論單調(diào)性即可；（2）當(dāng)時(shí)，顯然符合題意，當(dāng)時(shí)，說明存在不合題意，當(dāng)時(shí)，由解出a的取值范圍即可.【詳解】(1)由，①當(dāng)時(shí)，由，，可得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，增區(qū)間為；②當(dāng)時(shí)，令，可得，此時(shí)函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為；綜上：當(dāng)時(shí)，在上單增；當(dāng)時(shí)，在上單減，在上單增；(2)由（1）可知：①當(dāng)時(shí)，，符合題意；②當(dāng)時(shí)，若，可得，又由，可得，故且時(shí)，有，可得，此時(shí)與恒成立矛盾，不合題意；③當(dāng)時(shí)，，若恒成立，只需要，可得，可化為，由函數(shù)單調(diào)遞增，且，可得，由上知，若恒成立，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．22．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（m為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為．(1)求直線l的直角坐標(biāo)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)已知點(diǎn)，若直線l與曲線C相交于P，Q兩點(diǎn)，求的值．【答案】(1)曲線C的方程為，直線l的直角坐標(biāo)方程為(2)【分析】（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，把參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換；（2）利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，結(jié)合一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用求出結(jié)果.【詳解】(1)在曲線C的參數(shù)方程中消去參數(shù)m，有，故曲線C的方程為，直線的極坐標(biāo)方程展開為，代入可得直線l的直角坐標(biāo)方程為．(2)設(shè)直線l的參數(shù)方程為t為參數(shù)，代入方程