高等數(shù)學(xué)平面曲線的曲率

高等數(shù)學(xué)平面曲線的曲率課件1第1頁，共14頁，2023年，2月20日，星期四一、弧微分為了得出曲線y=

f(x)的曲率公式,先計算弧長函數(shù)s(x)對x的微分,稱為弧微分.規(guī)定設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).基點(diǎn):(1)曲線的正向與x增大的方向一致;當(dāng)

的方向與曲線正向一致時,曲率2第2頁，共14頁，2023年，2月20日，星期四單調(diào)增函數(shù).如圖，于是弧s的增量為那末曲率3第3頁，共14頁，2023年，2月20日，星期四取極限,即又得弧微分公式為單調(diào)增函數(shù),曲率4第4頁，共14頁，2023年，2月20日，星期四如將代入公式,得弧微分公式可化為參數(shù)方程形式如曲線以極坐標(biāo)方程給出如曲線為參數(shù)方程寫到根式內(nèi),得曲率5第5頁，共14頁，2023年，2月20日，星期四是描述曲線局部性質(zhì)(彎曲程度)的量.弧段彎曲程度越大轉(zhuǎn)角相同弧段越短1.曲率的定義曲率轉(zhuǎn)角越大彎曲程度大二、曲率及其計算公式曲率6第6頁，共14頁，2023年，2月20日，星期四設(shè)曲線C是光滑的，定義曲線C在點(diǎn)M處的曲率為⌒（平均曲率為存在的條件下,曲率7第7頁，共14頁，2023年，2月20日，星期四2.曲率的計算公式(1)直線的曲率處處為零;(2)圓上各點(diǎn)處的曲率等于半徑的倒數(shù),且半徑越小曲率越大.注曲率8第8頁，共14頁，2023年，2月20日，星期四二階可導(dǎo),由公式曲率9第9頁，共14頁，2023年，2月20日，星期四例解顯然,為拋物線的頂點(diǎn),∴拋物線在頂點(diǎn)處的曲率最大.K最大.曲率10第10頁，共14頁，2023年，2月20日，星期四定義(circleofcurvature)三、曲率圓與曲率半徑使曲率圓.曲率中心,曲率半徑.設(shè)曲線y=f(x)在點(diǎn)M(x,y)處的曲率為K(K≠0).在點(diǎn)M處的曲線的法線上,在凹的一側(cè)取一點(diǎn)D,以D為圓心,為半徑作圓(如圖).稱此圓為曲線在點(diǎn)M處的曲率11第11頁，共14頁，2023年，2月20日，星期四(1)曲線上一點(diǎn)處的曲率半徑與曲線在該點(diǎn)處的(2)曲線上一點(diǎn)處的曲率半徑越大,曲線在該點(diǎn)處(3)曲線上一點(diǎn)處的曲率圓弧可近似代替該點(diǎn)注曲率半徑越小,曲率越大(曲線越彎曲).的曲率越小(曲線越平坦);附近曲線弧(稱為曲線在該點(diǎn)附近的二次近似).曲率互為倒數(shù),即曲率12第12頁，共14頁，2023年，2月20日，星期四基本概念:弧微分,曲率,曲率圓,曲率中心,曲率半徑;研究曲線的彎曲程度:曲率;四、小結(jié)基本計算:弧微分,曲率;曲線上一點(diǎn)處的曲率圓弧近似代替該點(diǎn)附近曲線弧,使問題簡化.曲率13第13頁，共14頁，2023年，2月20日，星期四思考題的曲率最??？曲率

t為何值時,曲線求出最小曲率,寫出該點(diǎn)的曲率半徑