平面向量的運算-

第六章平面向量及其應(yīng)用平面向量的運算（1）求兩個向量和的運算，叫做向量的加法.如圖6.2-2，已知非零向量，在平面內(nèi)取任意一點，作，則向量叫做與的和，記作，即.這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則.（2）如圖6.2-4，以同一點為起點的兩個已知向量，以為鄰邊作，則以為起點的向量（是的對角線）就是與的和.這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.（3）規(guī)定.（4）.當(dāng)且僅當(dāng)方向相同時等號成立.（5）.（6）與向量長度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，記作.和互為相反向量..（7）零向量的相反向量仍是零向量.（8）.（9）如果互為相反向量，那么；向量加上的相反向量，叫做與的差，即.求兩個向量差的運算叫做向量的減法.（10）實數(shù)與向量的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘.；當(dāng)時，的方向與的方向相同；當(dāng)時，的方向與的方向相反.當(dāng)時，.①；②；③；④；⑤.（11）向量的加、減、數(shù)乘統(tǒng)稱為向量的線性運算，線性運算的結(jié)果仍是向量.（12）向量與共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)，使.（12）向量的數(shù)量積：已知兩個非零向量，是平面上的任意一點，作，則叫做向量與的夾角.（13）當(dāng)時，與同向；當(dāng)時，與反向；當(dāng)與的夾角是，與垂直，記作.（14）已知兩個非零向量與，它們的夾角為，叫做向量與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作.零向量與任一向量的數(shù)量積為0.（15）兩個非零向量與，，過的起點和終點，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量的投影向量.（16）數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)與是非零向量，夾角為，是與方向相同的單位向量，則①；②；③當(dāng)與同向時，；當(dāng)與反向時，；或；④；⑤；；.向量的加法運算如圖，已知，求作.(1)；(2)【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【解析】根據(jù)向量加法的三角形法則即可求解.（1）在平面內(nèi)任取一點，如圖所示作則.（2）在平面內(nèi)任取一點，如圖所示作則.如圖所示，已知正方形的邊長等于1，，，試作出下列向量并分別求出其長度..【答案】做圖見解析，2.【解析】，又，∴延長AC到E，使|,則,且，所以如圖，已知向量(1)求作(2)設(shè)，為單位向量，試探索的最大值．【答案】(1)作圖見解析(2)3【解析】（1）在平面內(nèi)任取一點O，作，，，，則（2）由向量三角不等式知，當(dāng)且僅當(dāng)同向時等號成立故的最大值為3已知用向量加法的三角形法則作出.(1)；(2).【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【解析】(1)(2)請用平行四邊形法則作出，.【答案】答案見解析【詳解】在平面內(nèi)任取一點，作，，，如圖，以，為鄰邊作平行四邊形，再以，為鄰邊作平行四邊形，則，.如圖，為邊長為1的正六邊形，為其幾何中心.(1)化簡；(2)化簡；(3)化簡；(4)求向量的模.【答案】(1)(2)(3)(4)2【解析】(1)解：根據(jù)向量的平行四邊形法則得；(2)解：根據(jù)題意，，所以；(3)解：因為，所以；(4)解：因為，所以，所以如圖為正八邊形，其中為正八邊形的中心，則（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由平面向量的運算法則，可得.故選：A.在中，是的中點，則等于（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】如圖，作平行四邊形，因為M是的中點，所以M也是的中點，則.故選：C.如圖，在矩形中，為中點，那么（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因為在矩形中，為中點，所以，所以，故選：A如圖，正六邊形中，（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】ABCDEF為正六邊形，所以，，所以.故選：D.如圖，等腰梯形中，，點為線段中點，點為線段的中點，則（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】連接，，點為線段中點，點為線段的中點，,又，.故選：B.已知是正三角形，則下列等式中不成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】解：對于A，因為，,所以，故正確；對于B，因為,(為中點)，故錯誤；對于C，因為(為中點),(為中點),所以，故正確；對于D，因為，，所以，故正確.故選：B.已知等腰的直角邊長為1，為斜邊上一動點，則的最小值為（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】，顯然當(dāng)為斜邊中點時，，此時最小為，即的最小值為.故選：A.化簡等于（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】.故選:C.化簡下列各式：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【詳解】(1).(2).(3.向量“不共線”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】當(dāng)向量“，不共線”時，由向量三角形的性質(zhì)可得“|+|<||+||”成立，即充分性成立，當(dāng)“，方向相反”時，滿足“|+|<||+||”，但此時兩個向量共線，即必要性不成立，故向量“，不共線”是“|+|<||+||”的充分不必要條件.故選：A.（多選）已知，則的值可能為（）A．4 B．8C．10 D．12【答案】AD【詳解】解：因為，所以，因為，所以方向相同或相反，當(dāng)同向時，，當(dāng)反向時，.故選：AD.一架救援直升飛機從地沿北偏東60°方向飛行了40km到達(dá)地，再由地沿正北方向飛行40km到達(dá)地，求此時直升飛機與地的相對位置.【答案】直升飛機位于地北偏東30°方向，且距離地km處【詳解】如圖所示，設(shè)，分別是直升飛機的位移，則表示兩次位移的合位移，即.在中，.在中，，，即此時直升飛機位于地北偏東30°方向，且距離地km處.在靜水中船的速度為，水流的速度為，若船沿垂直于水流的方向航行，求船實際行進(jìn)的方向的正切值(相當(dāng)于與河岸的夾角).【答案】【詳解】如圖所示，表示船速，表示水速，以、為鄰邊作，則表示船實際航行的方向.所以在中，.所以船實際行進(jìn)的方向的正切值為.在靜水中船的速度是，水流的速度是.如果船從岸邊出發(fā)，沿垂直于水流的航線到達(dá)對岸，那么船行進(jìn)方向應(yīng)指向何處？實際航速為多少？【答案】船的航行方向與水流方向成，船的實際航速為中，可得,從而得，，即可得答案.【詳解】解：設(shè)表示水流的速度，表示船實際航行的速度，表示船行駛的速度，則四邊形為平行四邊形.所以，，因為，于是，所以，，故船的航行方向與水流方向成，船的實際航速為.向量的減法運算如圖，已知向量不共線，求作向量．【答案】作圖見解析，【詳解】如圖，在平面內(nèi)任取一點O，作，．因為，即，所以．如圖，已知向量和向量，用三角形法則作出.【答案】作圖見解析【詳解】解：作法：作向量，向量，則向量,如圖所示，作向量，則如圖，已知向量，求作向量：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3)答案見解析【詳解】(1)設(shè)，根據(jù)數(shù)乘的幾何意義可得，如圖,(2)根據(jù)向量的減法三角形法則可得，如圖，(3)先做出，再由向量加法的三角形法則得到，如圖，已知向量如圖所示.（1）求作向量；（2）求作向量.【答案】作圖見解析【詳解】解：如圖所示.（1）（2）如圖，已知向量，求作下列向量：(1)；(2)．【答案】(1)作圖見解析(2)作圖見解析【詳解】(1)解：作，，則，則即為所求作的向量.(2)解：作，，則，則即為所求作的向量.已知在邊長為2的等邊中，向量滿足，，則（）A．2 B．C． D．3【答案】C【詳解】如圖所示：設(shè)點是的中點，由題可知：.故選：C.在平行四邊形中，，，則（）A．B．-C．D．【答案】B【詳解】如圖，由題可知，是中點，是三等分點，所以，故選：B.在中，點在邊上，．記，，則（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】如圖，因為點在邊上，，所以，故，又，所以，即．故選：B．.在中，已知是邊上一點，且，則（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：，則有，可得．故選：C.在平行四邊形中，為上任一點，則（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：，在平行四邊形中，，所以，故選：B．在四邊形中，，若，則四邊形是（）A．菱形 B．矩形C．正方形 D．不確定【答案】B【詳解】解：在四邊形ABCD中，因為，所以四邊形ABCD為平行四邊形，又，即，所以平行四邊形ABCD為矩形，故選：B.在中，點是線段上靠近的三等分點，是線段的中點，則（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】如圖所示：.故選：B如圖，中，，，點是的三等分點，則（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】故選：B.向量（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】,故選：B化簡：（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】故選：.①；②；③．其中正確的個數(shù)是（）A．0 B．1C．2 D．3【答案】D【詳解】對①，根據(jù)向量的加法運算法則可知，故①正確；對②，，故②正確；對③，，故③正確.故選：D化簡所得的結(jié)果是（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)平面向量減法原則，，而，故.故選：C（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由向量的運算法則，可得．故選：A.下列化簡結(jié)果錯誤的是（）A．B．C．D．【答案】D【詳解】對A，原式，正確；對B，原式，正確；對C，原式，正確；對D，原式，錯誤.故選：D．已知向量，且不是方向相反的向量，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】由已知必有，則所求的取值范圍是．故選：B.若，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由題意知，且,當(dāng)同向時，取得最小值，；當(dāng)反向時，取得最大值，；當(dāng)不共線時，取得最小值，，故的取值范圍是，故選：C若為相反向量，且，，則________，________.【答案】【詳解】因為、為相反向量，且，，則，，因此，，.故答案為：；.若互為相反向量，且，則，.【答案】

0

2【詳解】若，互為相反向量，則＋＝，∴|＋|＝0；又＝－，∴||＝|－|＝1，∴|－|＝|＋(－)|＝2.故答案為：0；2.向量的數(shù)乘運算的化簡結(jié)果為（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題意，.故選：B.等于（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】依題意得：，故選：B.化簡______.【答案】【詳解】.故答案為:.求__________．【答案】【詳解】解：；故答案為：若，，則___________，___________，___________.【答案】；；【詳解】因為，，所以，，.故答案為：，，如圖所示，已知在中，是的邊上的中點，則（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因為是中點，所以故選：C．如圖，在平行四邊形中，是的中點，，則（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】.故選：C如圖所示，在中，為的中點，則（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】∵在△ABC中，D為AB的中點，∴故選：A．設(shè)為所在平面內(nèi)一點，且滿足，則（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】∵，所以三點共線且.如圖所示：∴，即.故選：A.在等腰梯形中，，分別為的中點，為的中點，則等于（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因為在等腰梯形中，，分別為的中點，為的中點，所以可得：．故選：B.已知向量是兩個不共線的向量，與共線，則（）A．2 B．C． D．【答案】C【詳解】因為與共線，所以，，所以，因為向量，是兩個不共線的向量，所以，解得，故選：C．已知，則共線的三點為（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】不滿足共線定理，A錯誤；不滿足共線定理，B錯誤；，，不滿足共線定理，C錯誤；，D正確.故選：D.已知為不共線的向量，且，，則（）A．共線 B．共線C．共線 D．共線【答案】B【詳解】因為，，，所以，，因為，為不共線，所以為非零向量，若存在，使得，則，即，因為，不共線，所以，即，此方程組無解，故與不共線，所以不共線，故A不正確；因為，即與共線，又與有公共點，所以共線，故B正確；若存在，使得，則，即，因為，不共線，所以，即，此方程組無解，故與不共線，所以不共線，故C不正確；若存在，使得，則，即，因為，不共線，所以，即，此方程組無解，故與不共線，所以不共線，故D不正確.故選：B設(shè)向量不共線，向量與同方向，則實數(shù)的值為（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由向量共線定理得存在一個實數(shù)使成立，即則，解得或，又因為向量與同方向，所以，即，故選：.已知是平面內(nèi)的一組基底，，，，若三點共線，則實數(shù)的值為（）A． B．0C．1 D．2【答案】A【詳解】因為，，，所以，，又因為A，B，C三點共線，所以，即，所以，解得，故選：A在中，是三角形內(nèi)一點，如果滿足，，則點的軌跡一定經(jīng)過的（）A．內(nèi)心 B．外心C．重心 D．垂心【答案】A【詳解】表示與同向的單位向量，表示與同向的單位向量，故表示起點為，終點在的平分線上的向量，又，，與共起點，且為同向的向量，則點也在的角平分線上，故點的軌跡一定經(jīng)過三角形的內(nèi)心.故選：A.已知是所在平面上的一點，若，則點是的（）A．外心 B．內(nèi)心C．重心 D．垂心【答案】C【詳解】作BD∥OC，CD∥OB，連接OD，OD與BC相交于點G，則BG=CG(平行四邊形對角線互相平分)，∴，又，可得=-，∴=-，∴A，O，G在一條直線上，可得AG是BC邊上的中線，同理，BO，CO也在△ABC的中線上.∴點O為三角形ABC的重心.故選：C.已知是所在平面上一點，若，則是的（）A．重心 B．外心C．內(nèi)心 D．垂心【答案】B【詳解】因為，則，所以，是的外心.故選：B.已知是不在同一直線上的三個點，是平面內(nèi)一動點，若，，則點的軌跡一定過的（）A．外心 B．重心C．垂心 D．內(nèi)心【答案】B【詳解】解：如圖，取的中點，連接，則．又，，即．又，點在射線上．故的軌跡過的重心．故選：B．已知是平面上一個定點，是平面上三個不共線的點，動點滿足條件，則點的軌跡一定通過的___________心.【答案】內(nèi)【詳解】分別表示方向的單位向量，令，，則，即.又，以為一組鄰邊作一個菱形，則點P在菱形的對角線上，所以點P在角平分線上所以動點P的軌跡一定通過的內(nèi)心.故答案為：內(nèi)（1）已知的外心為，且，則______．（2）已知的重心為，且，則______．（3）已知的重心為，且，為中點，則____．【答案】;;【詳解】（1）解：由題意得：如圖過O作，垂足為，則是的中點，，又，（2）根據(jù)重心的性質(zhì)，知重心將相應(yīng)的中線分成兩部分，（3）根據(jù)重心的性質(zhì)，知重心將相應(yīng)的中線分成兩部分，故答案為：（1）（2）（3）已知點是所在平面內(nèi)一點，若，則與的面積之比是（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由可得，即點P在線段BC上，且則與的面積之比等于故選：B已知點為內(nèi)一點，且，則與的面積之比為（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】設(shè)AC的中點是M，BC的中點是N，由題有，即，，所以O(shè)在△ABC中位線MN上，且O為靠近N的三等分點，設(shè)S△ONC=k，則S△OMC=2k，S△OAC=4k，S△ABC=12k所以.故選：B.在中，為上的一點，且，，則（）A．B．C．D．【答案】A【詳解】因為在中，P為AB上的一點，且，所以，所以，因為，所以，，故選：A如圖，在中，是中點，，則________．【答案】【詳解】解：；又，根據(jù)平面向量基本定理得：，；．故答案為：．已知正方形中，是的中點，，則________【答案】【詳解】解：令則，有∵，∴，∴解得：∴向量的數(shù)量積已知向量，，若與的夾角為，則為（）A． B．C． D．1【答案】B【詳解】因為向量，，若與的夾角為，所以，故選：B.已知平面向量的夾角為，且，則（）A．4 B．C．8 D．【答案】C【詳解】因為平面向量的夾角為，且，所以，故選：C己知向量的夾角為，且滿足，則____________.【答案】1.【詳解】因為向量的夾角為，且，所以.已知，與的夾角為60°，求：(1)；(2)；(3).【答案】(1)；(2)；(3)【詳解】（1）；（2）；（3）已知非零向量滿足，，則______.【答案】【詳解】∵，∴，即又，∴，解得.故答案為：已知，向量與的夾角為，則__________．【答案】【詳解】因為，向量與的夾角為，所以，故答案為：設(shè)向量的夾角為，且，，則_________．【答案】【詳解】解：因為向量、的夾角為，且，，所以，所以.故答案為：已知向量滿足，則()A．4 B．3C．2 D．0【答案】B【詳解】﹒故選：B．已知向量滿足，它們的夾角為，則（）A．2 B．4C．6 D．8【答案】C【詳解】由題意，向量滿足，它們的夾角為，則.故選：C.已知，，且向量與的夾角為，則______.【答案】-268【詳解】.故答案為：已知平面向量的夾角為，且.若，則______.【答案】11【詳解】因為平面向量，的夾角為，且，所以，因為，所以，所以，解得，故答案為：11.已知向量滿足,，與的夾角為，，則_______．【答案】2【詳解】因為，所以，即.又，,與的夾角為，則，所以．故答案為：2.若單位向量滿足，且，則實數(shù)的值為___________.【答案】6【詳解】因為，所以，因為，所以，即，又是單位向量，所以，即.故答案為：已知向量滿足，，且的夾角為．若，求實數(shù)的值；【答案】【詳解】解：因為，所以，所以，解得．設(shè)平面向量均為單位向量，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】C【詳解】因為，所以“”是“”的充分必要條件，故選：C.若非零向量滿足，，則向量夾角的大小為（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因為，所以，所以，又因為，所以，解得，因為，所以.故選：C.已知向量，且，則兩向量的夾角的大小為（）A．30° B．60°C．120° D．150°【答案】C【詳解】解：設(shè)向量的夾角為，則，因為，所以.故選：C若向量滿足，，，則與的夾角為（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由已知得，，，，所以.故選：C．已知向量滿足，則向量與所成的夾角為（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題意得，，解得，所以，因為，所以向量與所成的夾角為，故選:B．已知是單位向量，且，則與的夾角為（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：因為是單位向量，所以，又因為，所以，即，所以，又，所以與的夾角為.故選：D.已知平面向量滿足，，則（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因為，所以，又，所以，所以，故B，C，D錯誤.故選：A.若單位向量滿足，則的夾角為（）A． B．C． D．0【答案】B【詳解】原式兩邊平方得，解得，即。故選：B．已知非零向量滿足，則向量與的夾角為（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：因為，所以，所以，由得，所以，設(shè)向量與的夾角為，則，又，所以．故選：B.已知兩個單位向量的夾角為，則與的夾角為（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】，，設(shè)與的夾角為，則，又，則與的夾角為.故選：A.已知向量滿足，則()A． B．C． D．【答案】D【詳解】，，，．，∴．故選：D．平面上不共線的向量，其夾角兩兩相等，且，則與的夾角為（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因為平面上不共線的向量，，，其夾角兩兩相等，所以向量，，間的夾角均為，不妨設(shè)所以，，所以，因為，所以，即與的夾角為.故選：A已知向量滿足，則向量與夾角的最大值是（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題意知，可得，又由，可得，則，即，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以向量與夾角的最大值是.故選：B.若兩個非零向量滿足，則與的夾角___________.【答案】【詳解】設(shè)向量與的夾角為，若，則，變形得，所以且，則，故，又，則.故答案為:.設(shè)向量，滿足，，與的夾角為，則（）A． B．C．4 D．【答案】A【詳解】解：因為，，與的夾角為，所以，所以，所以．故選：A．已知向量滿足，，且的夾角為30°，則（）A． B．7C． D．3【答案】C【詳解】由題意得：，所以.故選：C已知向量與的夾角為，，，則___________.【答案】【詳解】解：因為向量與的夾角為，，，所以，所以故答案為：已知平面向量與的夾角為，且，則.【答案】2【詳解】因為平面向量與的夾角為，且，，所以，所以.故答案為：2.已知向量滿足，且，則_____.【答案】1【詳解】因為，所以，，則．故答案為：1.已知向量是非零向量，是單位向量，的夾角為，且，則（）A． B．C．1 D．2【答案】A【詳解】因為，所以，即，因為是單位向量，的夾角為，所以，因為向量是非零向量，所以，故選：A已知平面向量滿足，則在方向上的投影向量為（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】在方向上的投影向量為故選：C.已知單位向量滿足，則在方向上的投影向量為（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因為是單位向量，所以，故，由得，即，則，即，得，設(shè)與的夾角為，則在方向上的投影向量為.故選：B.已知平面向量，滿足，，與的夾角為，在方向上的投影向量為（）A． B．C． D．1【答案】C【詳解】由在方向上的投影向量為.故選：C已知是兩個互相垂直的單位向量，則向量在向量上的投影向量為（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：因為，是兩個互相垂直的單位向量，所以，且，所以，所以向量在向量上的投影向量為.故選：B已知向量的夾角為，且，則向量在向量方向上的投影是（）A． B．3C． D．1【答案】D【詳解】由，，，，，，解得，所以向量在向量方向上的投影為，故選：D.已知向量滿足，，則向量在向量上的投影向量為（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】依題意，，向量在向量方向上的投影向量為．故選：A平面中兩個向量滿足，，則在方向上的投影向量為（）A．2 B．C． D．-2【答案】B【詳解】由題意得：，故在方向上的投影向量為，故選：B已知向量，在方向上的投影向量為，則（）A．4 B．8C． D．【答案】C【詳解】由得，根據(jù)在方向上的投影向量為，可知在方向上的投影為，故根據(jù)數(shù)量積的幾何意義，等于與在方向上的投影的乘積，故，故選：C已知，，向量在方向上投影向量是，則為（）A．12 B．8C．-8 D．2【答案】A【詳解】在方向上投影向量為，，.故選：A設(shè)向量與滿足，在方向上的投影向量為，若存在實數(shù)，使得與垂直，則（）A．2 B．C． D．【答案】B【詳解】解：因為在方向上的投影向量為，所以，所以，因為與垂直，所以，即，解得.故選：B.已知向量滿足，且向量在向量上的投影向量為，則的模為____________．【答案】【詳解】解：因為向量在向量上的投影向量為，所以，即，解得故答案為：已知，若向量在向量上的投影向量為，則______.【答案】2【詳解】設(shè)，的夾角為，則，因為向量在向量上的投影向量為，所以，所以.故答案為：2.已知向量滿足，且向量在向量上的投影向量為，則__________.【答案】【詳解】解：設(shè)向量的夾角為，因為向量在向量上的投影向量為，所以，又，解得：，因為，所以.故答案為：.若，，和的夾角為，則在的方向上的投影向量的模長為（）A． B．C．2 D．4【答案】C【詳解】，，和的夾角為，則在的方向上的投影向量的模長為故選：C已知向量滿足，其中是單位向量，則在上的投影為（）A．1 B．C． D．【答案】A【詳解】∵，，∴，∴，∴在方向上的投影的數(shù)量是.故選：A已知向量和的夾角為，，則在上投影的數(shù)量為（）A．1 B．2C． D．【答案】A【詳解】根據(jù)向量在向量上投影可知，在上投影的數(shù)量為．故選：A向量在向量方向上的數(shù)量投影為，且，則______．【答案】【詳解】根據(jù)題意，設(shè)與的夾角為，則在向量方向上的數(shù)量投影為，即，所以．故答案為：.已知與的夾角為.(1)求；(2)求在上的投影向量的模長.【答案】(1)；(2).【詳解】(1).(2)因為，所以在上的投影向量的模長為.課后練習(xí)已知向量如圖，求作.【答案】答案見解析【詳解】在平面內(nèi)任取一點O，作，如圖，則由向量加法的三角形法則，得.如圖，已知正方形的邊長等于1，，，，試作向量:（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【詳解】(1)在正方形ABCD中，.連接BD，箭頭指向B，則即為.(2)過B作BF∥AC，交DC的延長線于F，連接AF，則四邊形ABFC為平行四邊形，故.在△ADF中，，故即為所求.已知，用向量減法作出.(1)(2)【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【詳解】可以把看做，依題意作圖即可；(1)依題意作上圖，其中；(2)依題意作上圖，其中；如圖，已知向量和向量，用三角形法則作出.【答案】答案見解析.【詳解】作法：作向量＝，向量＝，則向量＝－；作向量＝，則＝－＋.如圖，已知向量不共線，作向量．【答案】答案見詳解.【詳解】由向量加法的三角形法則，++如圖，如圖所示，試分別作出向量．【答案】答案見解析【詳解】如圖，以為鄰邊作平行四邊形，根據(jù)平行四邊形法則，可知就是．以為鄰邊作平行四邊形，根據(jù)平行四邊形法則，可知就是．所以，.已知向量如圖，求作向量.【答案】答案見解析【詳解】在平面內(nèi)任意取一點O，作，則.如圖，已知向量，求作和向量.【答案】答案見解析【詳解】三個向量不共線，用平行四邊形法則來作．如圖（1）在平面內(nèi)任取一點O，作，；（2）作平行四邊形AOBC，則；（3）再作向量；（4）作平行四邊形，則＝，即即為所求.如圖，已知向量.(1)求作.(2)設(shè)，為單位向量，試探索的最大值.【答案】(1)答案見解析(2)3【詳解】(1)（1）在平面內(nèi)任取一點O，作，，，，則.(2)（2）在平面內(nèi)任取一點O，作，則，因為為單位向量，所以點B在以A為圓心的單位圓上(如圖所示)，由圖可知當(dāng)點B在點B1時，即O，A，B1三點共線時，最大，最大值是3.如圖，已知為兩個非零向量．(1)求作向量及；(2)向量成什么位置關(guān)系時，？（不要求證明）【答案】(1)作圖見解析；(2)，相互垂直.【詳解】(1)將向量，的起點平移到重合的位置，再由向量加減法的平行四邊形法則可得、，如下圖示：(2)要使，由（1）所得圖知：平行四邊形的兩條對角線相等，所以，當(dāng)平行四邊形為矩形時成立，故，相互垂直.如圖，為內(nèi)一點，.求作：(1)；(2).【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【詳解】(1)設(shè)是的中點，連接并延長，使.+-.(2)--=-（+）.如圖，已知向量，求作向量．【答案】見解析【詳解】由向量減法的三角形法則，令,則,令,所以.如下圖中即為.已知是所在平面內(nèi)一點，且，那么（）A．點在的內(nèi)部B．點在的邊上C．點在邊所在的直線上D．點在的外部【答案】D【詳解】因為，所以四邊形OACB為平行四邊形．從而點O在的外部．故選：D如圖，在平行四邊形中，（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題意得，.故選：B.如圖，四邊形是平行四邊形，則（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由題意得，，所以.故選：D.（多選）已知點分別是的邊的中點，則下列等式中正確的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【詳解】對于A,，故A正確；對于B,，故B正確；對于C,因為D，E，F(xiàn)分別是的邊，，的中點，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，即，故C正確；對于D,因為F為的中點，所以，所以，故D錯誤．故選:ABC．如圖，分別是梯形的邊的中點，化簡下列各式：(1)；(2).【答案】(1)；(2).【詳解】（1）；（2）.下列向量運算結(jié)果錯誤的是（）A．B．C．=D．【答案】A【詳解】對于A，，A錯誤；對于B，，B正確；對于C，，C正確；對于D，，D正確；故選：A在中，分別是的中點，則___________.【答案】【詳解】利用三角形中位線定理知，所以.故答案為：如圖，是兩條對角線的交點，則下列等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【詳解】由向量減法的運算可得，又因為四邊形為平行四邊形，所以.故選：D.如圖，在平行四邊形中，下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．【答案】C【詳解】對于A選項，，A錯；對于B選項，，B錯；對于C選項，，C對；對于D選項，，D錯.故選：C.如圖，等于（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由圖可知.故選：C.如圖，已知平行四邊形的對角線和相交于，且，，則可以表示為（）A．B．C．D．【答案】D【詳解】在平行四邊形ABCD中，依題意，，而，所以.故選：D如圖，在中，，，用表示向量，．【答案】，【詳解】解：在中，，，所以，已知四邊形是邊長為的正方形，求：(1)；(2)【答案】(1)(2)2【詳解】利用向量的加減法法則化簡向量即可解決問題.（1）四邊形是邊長為的正方形，（2）在平行四邊形中，等于（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：.故選：D.如圖所示，梯形中，，且，分別是和的中點，若，試用表示.【答案】，，【詳解】如圖所示，連接，因為，且，分別是和的中點，則四邊形是平行四邊形，所以，，.如圖，在中，是的中點．設(shè)，，試用表示．【答案】【詳解】根據(jù)向量的加法，減法及數(shù)乘運算法則可得：如圖所示，解答下列各題：(1)用表示；(2)用表示；(3)用表示；(4)用表示.【答案】(1)(2)(3)(4)【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）．已知四邊形是邊長為2的正方形，求：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【詳解】(1)如圖：(2)如圖，根據(jù)圖示填空：（1）______；（2）______；（3）______；（4）______；（5）______．【答案】【詳解】解：由平面向量的加法和減法法則得：（1）在中，，即；（2）在中，，即；（3）在四邊形ABCD中，，即；（4）在五邊形ABCDE中，，即；（5）在四邊形ABCD中，，即，所以.（多選）如圖，分別是的邊的中點，則等于（）A． B．C． D．【答案】BCD【詳解】解：因為D，E，F(xiàn)分別是的邊AB，BC，CA的中點，所以,且，，且，所以，，所以，故選：BCD.中國文化博大精深，“八卦”用深邃的哲理解釋自然、社會現(xiàn)象.如圖（1）是八卦模型圖，將其簡化成圖（2）的正八邊形，若，則______.【答案】【詳解】在中，設(shè)，，則，所以，所以.故答案為：計算：_________．【答案】【詳解】.故答案為：.化簡（1）（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）.【詳解】（1）方法一(統(tǒng)一成加法)：方法二(利用)：（2）．（3）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【詳解】(1).(2).化簡.(1)；(2).【答案】(1)；(2).【詳解】(1)；(2)化簡：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【詳解】(1).(2).化簡：(1)；(2).【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：；（2）解：.計算：(1)；(2).【答案】(1)(2)【詳解】（1）原式=.（2）原式=.化簡下列各式：(1)；(2).【答案】(1)(2)【詳解】（1）；（2）向量可以寫成：①；②；③；④.其中正確的是________(填序號).【答案】①④【詳解】①；②；③；④；故答案為：①④（多選）化簡以下各式，結(jié)果為的有（）A．B．C．D．【答案】ABC【詳解】對于A，，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，，故D不正確.故選：ABC.（多選）下列各式中能化簡為的有（）A．B．C．D．【答案】BCD【詳解】對于A：，故A錯誤；對于B：，故B正確；對于C：，故C正確；對于D：，故D正確.故選：BCD6.2.3已知向量，則___________．【答案】【詳解】根據(jù)向量的運算法則，可得.故答案為：.已知，，，則等于（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】.故選：A.＝_______．【答案】【詳解】根據(jù)向量的運算法則，可得：.故答案為：.___________.【答案】【詳解】.故答案為：化簡：________.【答案】【詳解】故答案為：化簡：___________.【答案】【詳解】解：，，，故答案為：化簡：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【詳解】解：（1）原式.（2）原式，.若為已知向量，且，則_____________.【答案】【詳解】∵，∴，化簡得，∴.故答案為：.在中，是邊上的中點，則（）A．B．C．D．【答案】C【詳解】因為是邊上的中點，所以，故選：C如圖，設(shè)是線段的三等分點（點靠近點），則下列說法正確的是（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】根據(jù)題意，，又與方向相同，∴，故A錯誤；，又與方向相反，∴，故B正確；，又與方向相反，∴，故C錯誤；，又與方向相反，∴，故D錯誤.故選：B.如圖，平行四邊形的對角線交于，若，，用表示為()A． B．C． D．【答案】D【詳解】．故選：D．在中，若分別為的中點，則（）A．? B．?C． D．【答案】C【詳解】因為是的中點，所以.因為是的中點，所以.所以，故選：C.在梯形中，，則（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題意得．故選：B.正方形中，點是的中點，點是的一個三等分點，那么（）A．B．C．D．【答案】D【詳解】解：∵點E是DC的中點，點F是BC的一個三等分點，∴．故選：D．如圖，已知分別是矩形的邊的中點，與交于點，若，用表示________.【答案】【詳解】.故答案為：(多選)在中，，則（）A． B．C． D．【答案】ABD【詳解】.故選：ABD(多選)在中，，記，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B．C． D．【答案】AC【詳解】解：因為，，所以，所以，.故選：AC.(多選)在等邊中，與交于點，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B．C． D．【答案】AC【詳解】解：因為，所以，故選項A正確；因為，所以，故選項B錯誤；由于B，E，F(xiàn)三點共線，所以．又，從而解得故選項C正確；，故選項D錯誤．故選：AC已知的重心為，經(jīng)過點的直線交于，交于，若，，則________.【答案】3【詳解】如圖，設(shè)F為BC的中點，則，又，，則，又G，D，E三點共線，∴，即.故答案為：3.已知是平面上的一定點，是平面上不共線的三個動點，若動點滿足，，則點的軌跡一定通過的______心．【答案】重【詳解】解：設(shè)為的中點，則，則，即，，，三點共線，又因為為的中點，所以是邊的中線，所以點的軌跡一定通過的重心．故答案為：重．(多選)在中，D分別是邊的中點，點為的重心，則下列結(jié)論中正確的是（）A．B．C．D．【答案】BCD【詳解】解：如圖：對于選項A，，即選項A錯誤；對于選項B，點為的重心，則，即選項B正確；對于選項C，，即選項C正確；對于選項D，，即，即選項D正確，故選：BCD．在中，點滿足，若存在點，使得，且，則______．【答案】【詳解】，∴，，可得，∵∴則.故答案為：.已知不共線，，并且共線，則________.【答案】-2.【詳解】∵共線，∴存在實數(shù)，使得，即，又，不共線，∴，解得．故答案為：．已知與共線，且不共線，則的值為_____．【答案】6【詳解】由于與共線，不共線，所以.故答案為：設(shè)是兩個不共線的向量，已知，若三點共線，求的值為__________．【答案】【詳解】由A、B、D三點共線，可得，又，則，又、不共線，則，解得.故答案為：.已知，，求證三點共線．【答案】證明見解析【詳解】證明：因為，，所以，所以，又與有一個公共點P，所以，，三點共線.已知，，求證：與共線.【答案】證明見解析【詳解】∵，即，∴.已知不共線，向量，，且，求的值．【答案】【詳解】，存在唯一的實數(shù)，使得，即已知.其中與不共線且三點共線，求的值.【答案】.【詳解】由B，C，D三點共線，得，又，所以，，所以，即，所以，解得.兩個非零向量不共線．(1)若，求證：三點共線；(2)求實數(shù)使與共線．【答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】(1)證明：因為，所以，則，所以共線，兩個向量有公共點，所以A、B、D三點共線.(2)若與共線，則存在實數(shù)，使得，所以，所以.若，則________．【答案】【詳解】由可得，即,可得，則，故答案為：6.2.4若非零向量滿足，則與夾角的余弦值為________．【答案】【詳解】因為，所以，所以，設(shè)與夾角為θ．所以．故答案為：已知且，則的夾角是_____．【答案】【詳解】∵且，∴，即，∴此時夾角為銳角，∴的夾角是.故答案為：已知向量是單位向量，且，則向量與的夾角是（）A．30° B．60°C．90° D．120°【答案】B【詳解】由可得，又，則，則，又，則向量與的夾角是60°.故選：B.已知向量滿足，，，則向量夾角的大小等于（）A．30° B．45°C．60° D．120°【答案】A【詳解】設(shè)向量向量，的夾角為，由，得，即，因為，，所以，解得，又因為，所以，即向量，的夾角的大小為30°．故選：A．設(shè)非零向量滿足，則向量與的夾角為（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由得，代入得，又故夾角為．故選：C已知非零向量滿足，且，則向量夾角的大小為（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：因為，所以，所以，又，所以.故選：C.若非零向量滿足，，則向量與的夾角為（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】設(shè)向量與的夾角為（），因為，所以，所以，得，因為非零向量，滿足，所以，因為，所以，故選：C已知非零向量滿足，則與的夾角的余弦值為___________.【答案】【詳解】因為，所以，展開整理化簡得：.所以.即與的夾角的余弦值為.故答案為：.已知向滿足，，則_____________.【答案】【詳解】由題意，向量滿足且，可得，解得，即.故答案為：.設(shè)向量滿足與的夾角為，則___________.【答案】【詳解】由已知得，，故答案為：已知向量滿足，，．(1)求；(2)若，求實數(shù)的值．【答案】(1)6(2)或2【詳解】（（1）．所以；（2）由題意可得：，即，∴，解得：或2，所以實數(shù)k的值是-1或2.已知，則向量在方向上的投影向量為（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】設(shè)與的夾角為，則向量在方向上的投影向量為.故選：A已知，設(shè)的夾角為，則在上的投影向量是（）A． B．C． D．