數(shù)字信號(hào)處理（第3版）5-4-線性相位FIR濾波器的優(yōu)化設(shè)計(jì)

電子信息工程學(xué)院信號(hào)處理課程組數(shù)字信號(hào)處理DigitalSignalProcessingFIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)

FIR數(shù)字濾波器引論線性相位FIR濾波器特性窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器頻率取樣法設(shè)計(jì)FIR濾波器FIR數(shù)字濾波器的優(yōu)化設(shè)計(jì)FIR與IIR數(shù)字濾波器的比較線性相位FIRDF優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本原理利用積分加權(quán)平方誤差準(zhǔn)則設(shè)計(jì)FIRDF利用最大最小誤差準(zhǔn)則設(shè)計(jì)FIRDF線性相位FIR濾波器的優(yōu)化設(shè)計(jì)優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本原理優(yōu)化設(shè)計(jì)的概念：在一定的誤差準(zhǔn)則下，使得所設(shè)計(jì)的FIR濾波器的頻率響應(yīng)H(ejW)與給定濾波器的頻率響應(yīng)Hd(ejW)的誤差ε

最小。優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本原理常用誤差準(zhǔn)則：1.最大最小誤差準(zhǔn)則(MinimaxCriterion/Chebyshev準(zhǔn)則)加權(quán)誤差函數(shù)可用E(W)表示I：濾波器在0Wp范圍內(nèi)各頻帶區(qū)間的集合。如低通濾波器I=[0,Wp][Ws,p]。A(W)應(yīng)具有I型或II型或III型或IV型線性相位濾波器的幅度函數(shù)形式W(W)0，是由設(shè)計(jì)者定義的加權(quán)函數(shù)設(shè)計(jì)所得濾波器的幅度函數(shù)給定濾波器的幅度函數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本原理常用誤差準(zhǔn)則：加權(quán)誤差函數(shù)可用E(W)表示I：濾波器在0Wp范圍內(nèi)各頻帶區(qū)間的集合。如低通濾波器I=[0,Wp][Ws,p]。A(W)應(yīng)具有I型或II型或III型或IV型線性相位濾波器的幅度函數(shù)形式W(W)0，是由設(shè)計(jì)者定義的加權(quán)函數(shù)設(shè)計(jì)所得濾波器的幅度函數(shù)給定濾波器的幅度函數(shù)2.積分加權(quán)平方誤差準(zhǔn)則優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本原理I型II型III型IV型四種類(lèi)型線性相位濾波器的幅度函數(shù)形式基本原理：優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本原理其中E(W)=W(W)[A

(W)-D(W)]根據(jù)一定的誤差準(zhǔn)則，計(jì)算FIR濾波器的系數(shù)h[k]，使得該誤差準(zhǔn)則定義的誤差ε

在最小。對(duì)于積分加權(quán)平方誤差準(zhǔn)則，就是計(jì)算FIR濾波器的系數(shù)h[k]，使得誤差最小。對(duì)于最大最小誤差準(zhǔn)則，就是計(jì)算FIR濾波器的系數(shù)h[k]，使得誤差最小。利用積分加權(quán)平方誤差準(zhǔn)則設(shè)計(jì)FIRDF根據(jù)積分加權(quán)平方誤差準(zhǔn)則設(shè)計(jì)濾波器就是計(jì)算FIR濾波器的系數(shù)h[k]，使得誤差最小。A(W)具有I型或II型或III型或IV型線性相位濾波器的幅度函數(shù)形式：令e對(duì)h[k]的導(dǎo)數(shù)為0，即可求得誤差最小的h[k]該方法可利用MATLAB提供的函數(shù)firls實(shí)現(xiàn)。MATLAB實(shí)現(xiàn)w:各頻帶的加權(quán)值，在不同頻帶設(shè)置不同頻段的最小化誤差值。

h=firls(M,f,a,w)M:

濾波器的階數(shù)f:歸一化頻帶值。如FIR濾波器的B個(gè)頻帶為則f是一個(gè)有2B個(gè)元素的向量，其值為f=[f1,f2,

,f2B-1,f2B]a:幅度值，表示濾波器在上述各頻帶邊界的幅度。

pf1Wpf2，pf3Wpf4，，pf2B-1Wpf2B利用積分加權(quán)平方誤差準(zhǔn)則設(shè)計(jì)FIRDF例：根據(jù)積分加權(quán)平方誤差準(zhǔn)則設(shè)計(jì)M=63(II型)，Wp=0.5prad，

Ws=0.6prad的線性相位FIR低通數(shù)字濾波器。分析：調(diào)用參數(shù)：M=63；%階數(shù)f=[0FpFs1]；%低通濾波器頻帶(其中通帶頻率Fp=0.5,阻帶頻率Fs=0.6)a=[1100]；%濾波器在f中各頻帶邊界頻率處的幅度w為各頻帶的加權(quán)值相同，可缺省。利用MATLAB函數(shù)firls實(shí)現(xiàn)，調(diào)用形式為即h=firls(M,[0FpFs1],[1100]);h=firls(M,f,a,w)解：MATLAB程序如下%根據(jù)積分加權(quán)平方誤差準(zhǔn)則設(shè)計(jì)FIR濾波器M=63;Fp=0.5;Fs=0.6;%定義濾波器參數(shù)h=firls(M,[0FpFs1],[1100]);%低通濾波w=linspace(0,pi,1000);mag=freqz(h,[1],w);%求頻率響應(yīng)plot(w/pi,abs(mag),'LineWidth',2);gridon;%畫(huà)幅度響應(yīng)xlabel('Normalizedfrequency');ylabel('A(\Omega)');figure;plot(w/pi,20*log10(abs(mag)),'LineWidth',2);gridon;%畫(huà)增益響應(yīng)xlabel('Normalizedfrequency');ylabel('Gain,db');axis([01-10010]);例：根據(jù)積分加權(quán)平方誤差準(zhǔn)則設(shè)計(jì)M=63(II型)，Wp=0.5prad，

Ws=0.6prad的線性相位FIR低通數(shù)字濾波器。解：設(shè)計(jì)結(jié)果濾波器幅度響應(yīng)濾波器增益

M=63,As=55.5dB例：根據(jù)積分加權(quán)平方誤差準(zhǔn)則設(shè)計(jì)M=63(II型)，Wp=0.5prad，

Ws=0.6prad的線性相位FIR低通數(shù)字濾波器。利用最大最小誤差準(zhǔn)則設(shè)計(jì)FIRDF根據(jù)最大最小誤差準(zhǔn)則設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，計(jì)算FIR濾波器的系數(shù)h[k]，使得誤差最小。A(W)具有I型或II型或III型或IV型線性相位濾波器的幅度函數(shù)形式：如何獲得誤差e最小時(shí)所對(duì)應(yīng)的h[k]？JamesMcClellan和ThomasParks于1972年提出了一種迭代算法，用于尋找最優(yōu)化的FIR數(shù)字濾波器。

在求解過(guò)程中，使用了數(shù)學(xué)優(yōu)化中Remez交替算法。因此該方法稱(chēng)為PM(Parks-McClellan)算法或Remez算法。如何獲得誤差e最小時(shí)所對(duì)應(yīng)的h[k]？PM算法可利用MATLAB提供的函數(shù)firpmord和firpm實(shí)現(xiàn)。利用最大最小誤差準(zhǔn)則設(shè)計(jì)FIRDF[M,fo,ao,w]=firpmord(f,a,dev)估計(jì)濾波器階數(shù)Mf：需要設(shè)計(jì)的FIR濾波器的B個(gè)頻帶a：FIR濾波器在B個(gè)頻帶中的幅度值dev：FIR濾波器在B個(gè)頻帶中的波動(dòng)值

具有B個(gè)元素的向量

0Wpf1，pf2Wpf3，，pf2(B-1)-2Wpf2(B-1)-1，pf2B-2Wp則f是一個(gè)有2B-2個(gè)元素的向量(B2)，其值為f=[f1,f2,f3,,f2B-2](歸一化頻率)如FIR濾波器的B個(gè)頻帶分別為具有B個(gè)元素的向量,通帶取1，阻帶取0fo,ao：B個(gè)頻帶2B邊界頻率值和幅度值具有B個(gè)元素的向量w：各個(gè)頻帶加權(quán)值具有B個(gè)元素的向量M：濾波器階數(shù)利用最大最小誤差準(zhǔn)則設(shè)計(jì)FIRDFh=firpm(M,fo,ao,w)實(shí)現(xiàn)PM算法數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)h：M階線性相位FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)h[k]M,fo,ao,w：函數(shù)firpmord的返回值利用最大最小誤差準(zhǔn)則設(shè)計(jì)FIRDF[M,fo,ao,w]=firpmord(f,a,dev)h=firpm(M,fo,ao,w)調(diào)用參數(shù)：f=[Fp,Fs];%低通濾波的歸一化頻帶，其中Fp=0.2,Fs=0.4a=[10];%濾波器在f中各頻帶的幅度值dev=[δpδs];%濾波器在f中各個(gè)頻帶中的波動(dòng)值例：利用PM算法設(shè)計(jì)滿足下列指標(biāo)的線性相位FIR低通濾波器。

Wp=0.2prad，Ws=0.4prad,Ap≤

0.3dB,As≥

55dB分析：利用MATLAB函數(shù)firpmord和firpm實(shí)現(xiàn)，調(diào)用形式為解:%PM算法FIR濾波器設(shè)計(jì)Fp=0.2;Fs=0.4;ds=0.0017;dp=0.034;f=[FpFs];a=[10];dev=[dpds];%確定濾波器參數(shù)[M,fo,ao,w]=firpmord(f,a,dev);%確定濾波器階數(shù)M=M+2;%調(diào)整濾波器階數(shù)h=firpm(M,fo,ao,w);%設(shè)計(jì)PM算法濾波器w=linspace(0,pi,1000);mag=freqz(h,[1],w);%求頻率響應(yīng)plot(w/pi,abs(mag),'LineWidth',2);gridon;xlabel('Normalizedfrequency');ylabel('A(\Omega)');%畫(huà)幅度響應(yīng)figure;plot(w/pi,20*log10(abs(mag)),'LineWidth',2);gridon;%畫(huà)增益響應(yīng)xlabel('Normalizedfrequency');ylabel('Gain,db');例：利用PM算法設(shè)計(jì)滿足下列指標(biāo)的線性相位FIR低通濾波器。

Wp=0.2prad，Ws=0.4prad,Ap≤

0.3dB,As≥

55dB解：設(shè)計(jì)結(jié)果

M=21,Ap=0.3dB,

As=55dB濾波器幅度響應(yīng)濾波器增益例：利用PM算法設(shè)計(jì)滿足下列指標(biāo)的線性相位FIR低通濾波器。

Wp=0.2prad，Ws=0.4prad,Ap≤

0.3dB,As≥

55dB解:與Kaiser窗設(shè)計(jì)結(jié)果比較可見(jiàn)實(shí)現(xiàn)相同的指標(biāo)，等波紋濾波器的階數(shù)要小于窗函數(shù)法PM算法設(shè)計(jì)濾波器增益

M