數(shù)字信號(hào)處理 課件第1章 離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)1.1-1.29-25

第1章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)離散信號(hào)的表示方法序列的運(yùn)算常用序列序列周期性1.1離散時(shí)間信號(hào)——序列時(shí)域離散信號(hào)

數(shù)字信號(hào)

隨著二進(jìn)制編碼的位數(shù)的增加，時(shí)域離散信號(hào)和數(shù)字信號(hào)的數(shù)值差別越來越小。在計(jì)算機(jī)上，精度很高，可達(dá)32或者64位，差別可忽略不計(jì)，但是在用硬件實(shí)現(xiàn)的時(shí)候，由于二進(jìn)制編碼位數(shù)直接影響到設(shè)備的復(fù)雜性和成本，所以位數(shù)不是很高，如8位通用單片機(jī)，這樣的誤差是要考慮的。對(duì)幅度進(jìn)行有限位的二進(jìn)制編碼、量化離散時(shí)間信號(hào)表示方法離散時(shí)間信號(hào)在離散時(shí)間給出數(shù)值，時(shí)間不連續(xù)序列，可以實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)，一個(gè)整數(shù)變量n的函數(shù)。

時(shí)域離散信號(hào)（序列）的來源

①對(duì)模擬信號(hào)采樣：

②通過實(shí)驗(yàn)測(cè)試得到：不同時(shí)刻的血壓測(cè)量值T稱為采樣周期或采樣間隔，F(xiàn)=1/T成為采樣頻率離散時(shí)間信號(hào)的時(shí)域表示（三種）零點(diǎn)位置1、枚舉式：例如：2、公式（封閉式）：例如：3、圖形式：例如：圖中橫坐標(biāo)n表示離散的時(shí)間坐標(biāo)，且僅在n為整數(shù)時(shí)才有意義；縱坐標(biāo)代表信號(hào)樣點(diǎn)的值。為了醒目，常常在每一條豎線的頂端加一個(gè)小黑點(diǎn)舉例：模擬信號(hào)-》時(shí)域離散信號(hào)-》數(shù)字信號(hào)，例1.1：已知模擬信號(hào)是一個(gè)正弦波即,試將它轉(zhuǎn)換成時(shí)域離散信號(hào)和數(shù)字信號(hào)。解：等間隔采樣，將得到的t=nT,

代入到中去，得到：等間隔采樣，采樣頻率必須是模擬信號(hào)最高頻率的2倍以上模擬信號(hào)頻率為25Hz周期為0.04s采樣頻率Fs=200Hz采樣間隔T=1/Fs=0.005s式中n={…,0,1,2,3,…}將n代入到式子中去，得到：x(n)={…,0,0.9sin50πT,0.9sin100πt,0.9sin150πt,…}

這里的n就是第n個(gè)采樣點(diǎn)，只能取整數(shù)。按照上式算出來的序列值一般有無限位小數(shù)，如果我們采用四位二進(jìn)制數(shù)表示x(n)的幅度，第一位為符號(hào)位，且信號(hào)用x[n]表示，那么有x[n]={…,0.000,0.101,0.111,0.101,0.000,0.101,0,111,0.101}時(shí)域離散信號(hào)數(shù)字信號(hào)序列的三種形式左邊序列：右邊序列：周期和非周期:能量和功率序列:能量：非周期序列平均功率：周期序列的平均功率：功率序列：能量無限，平均功率有限的信號(hào)。能量序列：能量有限，平均功率為零的信號(hào)。其他分類方法:序列的基本運(yùn)算序列的加減將兩序列序號(hào)相同的數(shù)值相加減，即：

z(1)=x(1)+y(1)…

z(2)=x(2)+y(2)z(0)=x(0)+y(0)序列的乘積將兩序列序號(hào)相同的數(shù)值相乘，即：

z(1)=x(1)·y(1)…

z(2)=x(2)·y(2)z(0)=x(0)·y(0)序列的移位將序列全體在時(shí)間軸上移動(dòng)，即：時(shí)左移，時(shí)右移，如：序列乘常數(shù)序列的反褶

前向差分后向差分序列的差分

同一序列相鄰兩個(gè)樣點(diǎn)之差，分為前向差分和后向差分。序列的累加

例常用序列單位脈沖序列單位階躍序列矩形序列斜變序列單邊指數(shù)序列正弦序列復(fù)指數(shù)序列1．單位脈沖序列

單位脈沖序列也稱為單位采樣序列。特點(diǎn)是僅在n=0處取值為1，其他均為零。

時(shí)移性抽樣性注意：2．單位階躍序列特點(diǎn):只有在n≥0時(shí)，它才取非零值1，當(dāng)n<0時(shí)，均取零值。3．矩形序列下標(biāo)N稱為矩形序列的長(zhǎng)度4．斜變序列5．實(shí)指數(shù)序列實(shí)指數(shù)序列u(n)起著使x(n)在n<0時(shí)幅度值為零的作用。如果0<a<1，x(n)的值隨著n加大會(huì)逐漸減小如果a>1，x(n)的值則隨著n的加大而加大。一般把絕對(duì)值隨著n的加大而減小的序列稱為收斂序列而把絕對(duì)值隨著n的加大而加大的序列稱為發(fā)散序列6．正弦序列7．復(fù)指數(shù)序列復(fù)序列用極坐標(biāo)表示：復(fù)指數(shù)序列：序列的周期性

如果對(duì)所有的n存在一個(gè)最小的正整數(shù)N，滿足x（n）=x（n+N），則x（n）是周期序列，周期為N。

討論一般正弦序列的周期性分情況討論1）當(dāng)為整數(shù)時(shí)2）當(dāng)為有理數(shù)時(shí)3）當(dāng)為無理數(shù)時(shí)求序列的周期。解：當(dāng)取2時(shí)，可得到的最小正周期數(shù)3，即序列的周期。例：判斷是否是周期序列例判斷下列序列是否是周期序列。若是，請(qǐng)確定它的最小周期（1）（2）（3）分析：對(duì)于正弦序列或是復(fù)指數(shù)序列，其周期性主要根據(jù)的值來判斷。

若某序列是由兩個(gè)正弦的和或乘積構(gòu)成，其中周期分別是N1和N2，則和序列或積序列的基本周期可以采用最小公倍數(shù)的方法來得到。(2)

是無理數(shù)，所以不是周期序列。(3)

周期即最小公倍數(shù)正弦序列周期性的判別

正弦序列是周期的離散點(diǎn)（時(shí)刻）nT上的正弦值區(qū)別利用單位樣值信號(hào)表示任意序列例子序列:畫出x(n)用表示x(n）Y(n)=3x(n+2),畫出y(n)(1)1.2連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣

1.2.1模擬信號(hào)數(shù)字處理原理方框圖1.2.2理想采樣1.2.3理想采樣信號(hào)的頻譜1.2.4采樣信號(hào)的恢復(fù)1.2.1模擬信號(hào)數(shù)字處理原理方框圖預(yù)濾波采樣數(shù)字信號(hào)處理DAC平滑濾波量化編碼模數(shù)轉(zhuǎn)化ADC模擬信號(hào)數(shù)字處理第一步就是將在時(shí)間上連續(xù)的模擬信號(hào)離散化，使之成為在時(shí)間上離散的信號(hào)。

采樣是將連續(xù)時(shí)間信號(hào)離散化的過程，它僅抽取信號(hào)波形某些時(shí)刻的樣值。抽樣分為均勻抽樣和非均勻抽樣，當(dāng)抽樣是可取均勻等間隔點(diǎn)時(shí)為均勻抽樣，否則為非均勻抽樣。實(shí)際抽樣多為均勻抽樣理想采樣抽樣器:

開關(guān)每隔T秒短暫的閉合一次，接通連續(xù)時(shí)間信號(hào)，實(shí)現(xiàn)一次采樣。若每次開關(guān)閉合時(shí)間為秒，則采樣器的輸出將是一列重復(fù)周期為T，寬度為的脈沖串。T實(shí)際抽樣與理想抽樣理想采樣指采樣開關(guān)閉合時(shí)間無限短，即

的極限情況。

預(yù)備知識(shí)（1）沖激信號(hào)及其抽樣特性

定義：t0取樣特性：(2)頻域卷積定理若沖激序列的傅氏變換仍為沖激序列。理想采樣信號(hào)的頻譜我們首先看看通過理想采樣信號(hào)后信號(hào)頻譜發(fā)生了什么變化。時(shí)域相乘，則頻域（傅里葉變換域）為卷積運(yùn)算。若各個(gè)信號(hào)的傅里葉變換分別表示為：

1-20

1-21

1-22

則應(yīng)滿足：

1-23

現(xiàn)在來求

。由于

是以采樣頻率重復(fù)

重復(fù)的沖擊脈沖，因此是一個(gè)周期函數(shù)，可表示為傅里葉級(jí)數(shù)，即

此級(jí)數(shù)的基頻為采樣頻率，即：

一般稱

為頻率，單位為Hz，

為角頻率，單位為弧度/秒；

習(xí)慣上都統(tǒng)稱為“頻率”。他們的區(qū)別由符號(hào)

來識(shí)別，根據(jù)

傅氏級(jí)數(shù)的知識(shí)，系數(shù)，

可以通過以下運(yùn)算求得

以上結(jié)果的得出是考慮到在|t|≤T/2的積分區(qū)間內(nèi)，只有一個(gè)沖擊脈沖，其他n0都在積分區(qū)間之外，且利用了一下關(guān)系：

因而

1-24

由此得出

由于

1-25

所以

1-26以上結(jié)果的得出是考慮到在|t|≤T/2的積分區(qū)間內(nèi)，只有一個(gè)沖擊脈沖，其他n0都在積分區(qū)間之外，且利用了一下關(guān)系：

因而

1-24

由此得出

由于

1-25

所以

1-26將式（1-26）代入式（1-23）可得根據(jù)沖激函數(shù)的性質(zhì)，可得1-27或者1-28

由此看出，一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)經(jīng)過理想采樣后，其頻譜將沿著頻率軸以采樣頻率為間隔而重復(fù)，這就說明頻譜產(chǎn)生了周期性延拓，也就是說理想采樣信號(hào)的頻譜，是的周期延拓函數(shù)，其周期為，而頻譜的幅度則受1/T加權(quán)，由于T是常數(shù)，所以除了一個(gè)常數(shù)因子外，每一個(gè)延拓的譜分量都和原頻譜分量相同。因此，只要各延拓分量與原頻譜不發(fā)生頻率混疊，則有可能恢復(fù)出原信號(hào)那么原始信號(hào)的頻譜和各次延拓分量的頻譜彼此不重疊。這是采用一個(gè)截止頻率為的理想低通濾波器，就可以得到不失真的原信號(hào)頻譜，也就是說能不失真的還原出原來信號(hào)的連續(xù)信號(hào)。如果信號(hào)的最高頻譜超過了，則各周期延拓分量產(chǎn)生頻譜的交疊，稱為混疊現(xiàn)象。由于一般是復(fù)數(shù)，所以混疊也是復(fù)數(shù)相加。為了簡(jiǎn)明起見，我們將作為標(biāo)量處理。我們將采樣頻率之半（）稱為折疊頻率，即

1-30

它如同一面鏡子，當(dāng)信號(hào)頻譜超過它時(shí)，就會(huì)被折疊回來，造成頻譜的混疊。1-29如果是限帶信號(hào)，且最高頻譜分量不超過，即

下圖說明了在簡(jiǎn)單余弦信號(hào)情況下頻譜混疊的情況。在下圖（a）中，給出該余弦信號(hào)

的傅里葉變換圖（b）是時(shí)，的傅里葉變換。（d）和（e）則分別對(duì)應(yīng)和時(shí)低通濾波器輸出的傅里葉變換，在沒有混疊時(shí)，恢復(fù)出的輸出為圖（c）是在時(shí)，的傅里葉變換。在有混疊時(shí)，則是這就是說，作為采樣和恢復(fù)的結(jié)果，高頻信號(hào)已經(jīng)被當(dāng)作和低頻信號(hào)是一樣的東西被冒名頂替了，這個(gè)結(jié)論是奈奎施特采樣定理的基礎(chǔ)。1-33奈奎斯特采樣定理要想采樣后能夠不失真地還原出原信號(hào)，則采樣頻率必須大于兩倍信號(hào)譜的最高頻率，這就是奈奎斯特采樣定理。即。頻率一般稱為奈奎斯特頻率，而稱為奈奎斯特率，采樣頻率必須大于奈奎斯特率。在實(shí)際工作中，為了避免頻譜混淆現(xiàn)象發(fā)生，采樣頻率總是選得比奈奎斯特頻率更高一些，例如選到（3~4）。同時(shí)為了避免高于折疊頻率的雜散頻譜進(jìn)入采樣器造成頻譜混淆，一般在采樣器前加入一個(gè)保護(hù)性的前置低通濾波器，稱為防混疊濾波器，其截至頻率為，以便濾除掉高于的頻率分量。1.2.3采樣的恢復(fù)如果理想采樣滿足奈奎斯特定理，即模擬信號(hào)譜的最高頻率小于折疊頻率則采樣后不會(huì)產(chǎn)生頻譜混疊，由式（1-27）知故將通過一個(gè)理想低通濾波器，這個(gè)理想低通濾波器應(yīng)該只讓基帶頻譜通過，因而其帶寬應(yīng)該等于折疊頻率，它的特性如圖所示。

ΩΩs/2-Ωs/2T

0H(jΩ)H（