2023屆湖北省第八屆高三（4月）調(diào)研模擬考試數(shù)學(xué)

2023屆湖北省高三下學(xué)期四月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．復(fù)數(shù)與下列復(fù)數(shù)相等的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)的除法化簡，結(jié)合復(fù)數(shù)的三角表示、各項(xiàng)的形式判斷正誤即可.【詳解】由題設(shè)，，故A、C、D錯誤；而，故B正確.故選：B2．已知集合，，且全集，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用集合的交集、并集、補(bǔ)集的運(yùn)算法則求解.【詳解】由已知得集合表示的區(qū)間為，集合表示的區(qū)間為，則，，，,故選：.3．城市交通信號燈的配時合理與否將直接影響城市交通情況．我國采用的是紅綠交通信號燈管理方法，即“紅燈停、綠燈行”．不妨設(shè)某十字路口交通信號燈的變換具有周期性．在一個周期T內(nèi)交通信號燈進(jìn)行著紅綠交替變換（東西向紅燈的同時，南北向變?yōu)榫G燈；然后東西向變?yōu)榫G燈，南北向變紅燈）．用H表示一個周期內(nèi)東西方向到達(dá)該路口等待紅燈的車輛數(shù)，V表示一個周期內(nèi)南北方向到達(dá)該路口等待紅燈的車輛數(shù)，R表示一個周期內(nèi)東西方向開紅燈的時間，S表示一個周期內(nèi)所有到達(dá)該路口的車輛等待時間的總和（不考慮黃燈時間及其它起步因素），則S的計(jì)算公式為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件分別求出東西方向路口等待時間的總和及南北方向路口等待時間的總和，即可求解.【詳解】由題意得：一個周期內(nèi)，東西方向路口等待紅燈的車輛數(shù)為，等待開紅燈的時間為，則一個周期內(nèi)，東西方向路口等待時間的總和為，又交通信號燈紅綠交替變換時間周期為，所以一個周期內(nèi)，南北方向路口等待開紅燈的時間為，又一個周期內(nèi)，南北方向路口等待紅燈的車輛數(shù)為，則一個周期內(nèi)，南北方向路口等待時間的總和為，一個周期內(nèi)，到達(dá)該路口的車輛等待時間的總和，故選：B.4．已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用等差、等比中項(xiàng)的性質(zhì)求得、，進(jìn)而可得、，代入目標(biāo)式求正切值即可.【詳解】由，故，則，，故，則，所以.故選：A5．在△ABC中，，且點(diǎn)D滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由、，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律轉(zhuǎn)化求模長即可.【詳解】由題設(shè)，為中點(diǎn)，則，所以，又，即，所以，故.故選：A6．已知，則（

）A． B．－1 C． D．【答案】C【分析】應(yīng)用誘導(dǎo)公式、商數(shù)關(guān)系可得，再由和角正切公式展開求得，最后由求值即可.【詳解】由，所以，則，所以，則，故，由.故選：C7．已知動直線l的方程為，，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線l的垂線，垂足為Q，則線段PQ長度的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用萬能公式將直線方程化為，求出過原點(diǎn)與直線垂直的直線方程，進(jìn)而得出點(diǎn)的軌跡為圓心為半徑為3的圓，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓的距離即可求解.【詳解】由可得，令，由萬能公式可得，，所以直線的方程為①，由題意可知過原點(diǎn)與直線垂直的直線方程為②，可得，即表示點(diǎn)的軌跡為圓心為半徑為3的圓，于是線段長度的取值范圍為，因?yàn)?，所以線段PQ長度的取值范圍為，故選：B.8．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)定義域均為R，滿足，記，其導(dǎo)函數(shù)為且的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則（

）A．0 B．3 C．4 D．1【答案】D【分析】根據(jù)題設(shè)知關(guān)于、對稱且，即可求，再由已知有關(guān)于、對稱，求，即可得解.【詳解】由關(guān)于原點(diǎn)對稱，則關(guān)于軸對稱，且，所以關(guān)于對稱，關(guān)于對稱，且，又，即，則關(guān)于對稱，綜上，，，則，所以，而，故，又，則關(guān)于對稱，即，所以，則，所以.故選：D二、多選題9．以下說法正確的有（

）A．某醫(yī)院住院的8位新冠患者的潛伏天數(shù)分別為10，3，8，3，2，18，7，4，則該樣本數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為B．經(jīng)驗(yàn)回歸直線至少經(jīng)過樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)中的一個點(diǎn)C．若，，則事件A，B相互獨(dú)立D．若隨機(jī)變量，則取最大值的必要條件是【答案】AC【分析】應(yīng)用百分位數(shù)的估計(jì)方法判斷A；由回歸直線的性質(zhì)判斷B；由條件概率公式，及獨(dú)立性判定公式判斷C；利用二項(xiàng)分布概率公式，結(jié)合組合數(shù)性質(zhì)確定參數(shù)，由充分必要性定義判斷D.【詳解】A：數(shù)列從小到大為，則，故第50百分位數(shù)為，正確；B：回歸直線不一定過樣本點(diǎn)，但必過樣本中心，錯誤；C：由，則，故，所以事件A，B相互獨(dú)立，正確；D：由，要使取最大值，只需取最大，顯然當(dāng)或時最大，故是取最大的充分條件，錯誤.故選：AC10．已知函數(shù)（其中，，T為圖象的最小正周期，滿足，且在恰有兩個極值點(diǎn)，則有（

）A．B．函數(shù)為奇函數(shù)C．D．若，則直線為圖象的一條切線【答案】BCD【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得，，繼而可判定各選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋?，所以，則（不符題意，舍去）或故，而，則，即A錯誤；，而，所以是奇函數(shù)，B正確；由在恰有兩個極值點(diǎn)，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)可得，故C正確；當(dāng)時，由上可得，即，則當(dāng)時，，則是的一條切線，即D正確.故選：BCD11．已知在棱長為2的正方體中，過棱BC，CD的中點(diǎn)E，F(xiàn)作正方體的截面多邊形，則下列說法正確的有（

）A．截面多邊形可能是五邊形B．若截面與直線垂直，則該截而多邊形為正六邊形C．若截面過的中點(diǎn)，則該截面不可能與直線平行D．若截面過點(diǎn)，則該截面多邊形的面積為【答案】ABD【分析】正方體中的平行或相交關(guān)系依次作出各選項(xiàng)截面分析即可.【詳解】對于B項(xiàng)，如下圖所示，在正方體中易證面,分別取棱的中點(diǎn)G、H、I、J，由中位線的性質(zhì)可得平面∥平面,故面,而六邊形顯然為正六邊形，故B正確；對于C項(xiàng)，如下圖所示，連接AC、BD交于O點(diǎn),記面AD1和面AB1的中心分別為G、H，易知G、H、E、F共面（即符合要求的截面）.連接A1O、CO交GH、EF于N、M兩點(diǎn)，由中位線性質(zhì)可得N、M為A1O、CO的中點(diǎn)，故A1C∥MN，所以A1C∥面GHEF，所以C項(xiàng)錯誤；對于AD項(xiàng)，如下圖所示，延長EF分別與直線AB、AD交于P、Q兩點(diǎn)，連接A1P、A1Q交棱D1D、B1B于TS，則五邊形A1SEFT為所得截面，A正確；，故D正確.故選：ABD12．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，與其準(zhǔn)線交于點(diǎn)D，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，且，點(diǎn)M是拋物線上間不同于其頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線與y軸交于點(diǎn)N，拋物線在A，B兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)T，則下列說法正確的有（

）A．拋物線焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為B．過點(diǎn)N作拋物線的切線，則切點(diǎn)坐標(biāo)為C．在△FMN中，若，，則t的最小值為D．若拋物線在點(diǎn)M處的切線分別交BT，AT于H，G兩點(diǎn)，則【答案】BCD【分析】對于A項(xiàng)，利用拋物線定義即可判定；對于B項(xiàng)，設(shè)切線方程聯(lián)立拋物線解方程即可；對于C項(xiàng)，利用拋物線的定義結(jié)合圖象可知在MN與拋物線相切時t取最小值，計(jì)算即可；對于D項(xiàng)，根據(jù)拋物線的切線方程用ABM的坐標(biāo)來表示HGT的坐標(biāo)，計(jì)算即可.【詳解】對于A項(xiàng)，如圖所示，過A向準(zhǔn)線作垂線，垂足為C，則由拋物線定義可得AF=AC=3，又F為AD中點(diǎn)，則F到準(zhǔn)線的距離為，所以F，故A錯誤；對于B項(xiàng)，由上可得，即，拋物線方程為，設(shè)過N的切線方程為：，聯(lián)立可得由相切可得，即切點(diǎn)橫坐標(biāo)，代入拋物線得切點(diǎn)坐標(biāo)，故B正確；對于C項(xiàng)，如圖所示過M作準(zhǔn)線的垂線垂足為E，，根據(jù)正弦的單調(diào)性知越小正弦值越小，即MN與拋物線相切時此角最小，由上可知此時M，易得，故C正確；對于D項(xiàng)，設(shè)M，由得，則過M的切線方程為，化簡得：，同理可得，過A、B的切線方程分別為、，聯(lián)立可得，則，，故D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于壓軸題.關(guān)鍵在于積累二級結(jié)論：過拋物線上一點(diǎn)的切線方程為，計(jì)算時注意技巧可簡化計(jì)算量.三、填空題13．在某項(xiàng)測量中，其測量結(jié)果服從正態(tài)分布，且，則_____________．【答案】【分析】利用正態(tài)分布的對稱性求概率即可.【詳解】由題設(shè)，，而，又，故，所以.故答案為：14．若的展開式中常數(shù)項(xiàng)為160，則的最小值為_____________．【答案】4【分析】在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令的冪指數(shù)等于0，求出的值，即可求出之間的關(guān)系，再結(jié)合不等式的性質(zhì)求解即可.【詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為:，令，則，所以，即,所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.所以的最小值為4.故答案為：4.15．已知函數(shù)有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_____________．【答案】【分析】令，問題化為與在上有兩個交點(diǎn)，且互為反函數(shù)，則它們有交點(diǎn)的臨界情況為與相切，設(shè)切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而確定臨界情況下值，即可得范圍.【詳解】由題設(shè)，令，則與在上有兩個交點(diǎn)，則、交點(diǎn)都在上，它們互為反函數(shù)，設(shè)、與相切，，，若切點(diǎn)為，所以，可得，此時，綜上，、之間，在時有兩個交點(diǎn)，在時有一個交點(diǎn)，在時無交點(diǎn)，所以.故答案為：16．已知X為包含v個元素的集合（，）．設(shè)A為由X的一些三元子集（含有三個元素的子集）組成的集合，使得X中的任意兩個不同的元素，都恰好同時包含在唯一的一個三元子集中，則稱組成一個v階的Steiner三元系．若為一個7階的Steiner三元系，則集合A中元素的個數(shù)為_____________．【答案】7【分析】令，列舉出所有三元子集，結(jié)合組成v階的Steiner三元系定義，確定中元素個數(shù).【詳解】由題設(shè)，令集合，共有7個元素，所以的三元子集，如下共有35個：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，因?yàn)橹屑蠞M足X中的任意兩個不同的元素，都恰好同時包含在唯一的一個三元子集，所以中元素滿足要求的有：、、、、、、，共有7個；、、、、、、，共有7個；、、、、、、，共有7個；、、、、、、，共有7個；、、、、、、，共有7個；、、、、、、，共有7個；、、、、、、，共有7個；、、、、、、，共有7個；、、、、、、，共有7個；、、、、、、，共有7個；、、、、、、，共有7個；、、、、、、，共有7個；、、、、、、，共有7個；、、、、、、，共有7個；、、、、、、，共有7個；共有15種滿足要求的集合A，但都只有7個元素.故答案為：7四、解答題17．設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和滿足，．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)條件以及消去，結(jié)合等比數(shù)列的定義可得答案；（2）先求出的通項(xiàng)公式，得到的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法可求答案.【詳解】（1）證明：∵，且，∴，∴，∴，令，可得，∴，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．（2）由（1）可得，∴，∴；∴；∴.18．如圖，在三棱柱中，，，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，且EF⊥平面．(1)求棱BC的長度；(2)若，且的面積，求二面角的正弦值．【答案】(1)1(2)【分析】（1）根據(jù)平行關(guān)系可得，再結(jié)合垂直關(guān)系可得，即可得結(jié)果；（2）根據(jù)題意分析可得平面ABC，，建系，利用空間向量求二面角.【詳解】（1）取AC中點(diǎn)D，連接ED，BD，∵分別為的中點(diǎn)，則且，又∵為三棱柱，且分別為的中點(diǎn)，則且，可得且，即四邊形DEFB為平行四邊形，故，又∵平面，則平面，平面，可得，又∵D為AC的中點(diǎn)，則△ABC為等腰三角形，∴.（2）由（1）可知：，且，即，∴，則可得，且，∵平面，平面，則，∴，解得，由（1）知平面，平面，則，又∵，則又∵，，則，，平面ABC，∴平面ABC，平面ABC，則，且，可得，∴為直角三角形，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，，方向?yàn)閤軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，可得，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，可得，∵平面的一個法向量為，設(shè)二面角的平面角為，可得，∴，故二面角的正弦值為.19．在△ABC中，D為邊BC上一點(diǎn)，，，．(1)求；(2)若，求內(nèi)切圓的半徑．【答案】(1)(2)2【分析】（1）設(shè)，在利用余弦定理結(jié)合已知條件即可求解；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論得到，然后在中利用余弦定理得到，然后利用三角形面積相等即可求解.【詳解】（1）設(shè)，∴，，在中，由正弦定理可得，在中，，又，所以，∴，∴，∴．（2）∵，∴，又易知為銳角，∴，∴，，∵，∴，∴中，，又，在中，由余弦定理可得，∴．設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，則，則.20．高性能計(jì)算芯片是一切人工智能的基礎(chǔ)．國內(nèi)某企業(yè)已快速啟動AI芯片試生產(chǎn)，試產(chǎn)期需進(jìn)行產(chǎn)品檢測，檢測包括智能檢測和人工檢測．智能檢測在生產(chǎn)線上自動完成，包括安全檢測、蓄能檢測、性能檢測等三項(xiàng)指標(biāo)，且智能檢測三項(xiàng)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率分別為，，，人工檢測僅對智能檢測達(dá)標(biāo)（即三項(xiàng)指標(biāo)均達(dá)標(biāo)）的產(chǎn)品進(jìn)行抽樣檢測，且僅設(shè)置一個綜合指標(biāo)．人工檢測綜合指標(biāo)不達(dá)標(biāo)的概率為．(1)求每個AI芯片智能檢測不達(dá)標(biāo)的概率；(2)人工檢測抽檢50個AI芯片，記恰有1個不達(dá)標(biāo)的概率為，當(dāng)時，取得最大值，求；(3)若AI芯片的合格率不超過93%，則需對生產(chǎn)工序進(jìn)行改良．以（2）中確定的作為p的值，試判斷該企業(yè)是否需對生產(chǎn)工序進(jìn)行改良．【答案】(1)(2)(3)需要對生產(chǎn)工序進(jìn)行改良【分析】（1）先求每個AI芯片智能檢測達(dá)標(biāo)的概率，再利用對立事件的概率求解；（2）先求，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性可求解；（3）利用條件概率求出AI芯片的合格率，與93%比較可得結(jié)論.【詳解】（1）記事件A＝“每個AI芯片智能檢測不達(dá)標(biāo)”，則

.（2）由題意，∴令，則，當(dāng)，，為增函數(shù)；當(dāng)，，為減函數(shù)；所以在處取到最大值．（3）記事件B＝“人工檢測達(dá)標(biāo)”，則，又，所以，所以需要對生產(chǎn)工序進(jìn)行改良．21．已知雙曲線C：的離心率為，過點(diǎn)的直線l與C左右兩支分別交于M，N兩個不同的點(diǎn)（異于頂點(diǎn)）．(1)若點(diǎn)P為線段MN的中點(diǎn)，求直線OP與直線MN斜率之積（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；(2)若A，B為雙曲線的左右頂點(diǎn)，且，試判斷直線AN與直線BM的交點(diǎn)G是否在定直線上，若是，求出該定直線，若不是，請說明理由【答案