2023屆山東省淄博市高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題

2023屆山東省淄博市高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出集合A,B中元素的范圍，然后求即可.【詳解】,,,.故選：C.2．設(shè)復(fù)數(shù)，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】求出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，進而可求模.【詳解】，.故選：D.3．函數(shù)的圖象與軸的兩個相鄰交點間的距離為，得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象（

）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位【答案】C【分析】先根據(jù)條件求出周期，即可得到，再利用平移的規(guī)則即可得到答案、.【詳解】函數(shù)的圖象與軸的兩個相鄰交點間的距離為，則，，，只需將的圖象向左平移個單位即可得到函數(shù)的圖象.故選：C.4．如圖，某幾何體的形狀類似膠囊，兩頭都是半球，中間是圓柱，其中圓柱的底面半徑與半球的半徑都為2，若該幾何體的表面積為，則其體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由圖可知：該幾何體是有一個圓柱和兩個半球拼接而成，根據(jù)表面積公式求出圓柱的高，利用體積計算公式即可求解.【詳解】由題意可知：設(shè)該幾何體中間部分圓柱的高為，圓柱的半徑為，則該幾何體的表面積為，因為，所以，所以該幾何體的體積，故選：A.5．某公園有如圖所示至共8個座位，現(xiàn)有2個男孩2個女孩要坐下休息，要求相同性別的孩子不坐在同一行也不坐在同一列，則不同的坐法總數(shù)為（

）A．168 B．336 C．338 D．84【答案】B【分析】根據(jù)題意，先排男生再排女生，由分步計數(shù)原理計算可得答案.【詳解】第一步：排男生，第一個男生在第一行選一個位置有四個位置可選，第二個男生在第二行有三個位置可選，由于兩名男生可以互換，故男生的排法有種，第二步：排女生，若男生選，則女生有共7種選擇，由于女生可以互換，故女生的排法有種，根據(jù)分步計數(shù)原理，共有種，故選：B6．已知中，，，，過點作垂直于點，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)求得，再用余弦定理求得，利用等面積法求得，勾股定理求得，從而，最后分解為已知向量即可.【詳解】即，又因為，所以.在中，根據(jù)余弦定理可得：，即，根據(jù)三角形面積公式，解得，，，.故選：A7．直線經(jīng)過橢圓的左焦點，交橢圓于，兩點，交軸于點，若，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由直線與坐標(biāo)軸的交點，得到，，則，由，得點坐標(biāo)，點A又在橢圓上，由定義求得，可求橢圓的離心率.【詳解】對直線，令，解得，令，解得，故，，則，設(shè)，則，而，則，解得，則，點A又在橢圓上，左焦點，右焦點，由，則，橢圓的離心率.故選：C8．已知，，.其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件構(gòu)造函數(shù)，，，再利用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)即可求解.【詳解】由，令，令，則，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，又，所以，在成立，所以，即，所以，即，令，所以，因為，所以，即，所以在上單調(diào)遞減，所以，即令，所以，因為，所以，即，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，在成立，令，則上式變?yōu)?，所以，即，綜上，.故選：B.【點睛】解決此題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，，，然后利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)即可.二、多選題9．某學(xué)校為普及安全知識，對本校1500名高一學(xué)生開展了一次校園安全知識競賽答題活動(滿分為100分).現(xiàn)從中隨機抽取100名學(xué)生的得分進行統(tǒng)計分析，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則根據(jù)該直方圖，下列結(jié)論正確的是（

）A．圖中B．估計該校高一大約有77%的學(xué)生競賽得分介于60至90之間C．該校高一學(xué)生競賽得分不小于90的人數(shù)估計為195人D．該校高一學(xué)生競賽得分的第75百分位數(shù)估計大于80【答案】BCD【分析】根據(jù)頻率分布直方圖性質(zhì)可得，判斷A錯誤；計算出得分介于60至90之間的頻率，判斷B正確；利用1500乘以得分不小于90頻率，判斷C正確；計算得分介于50至80之間的頻率判斷D正確.【詳解】由頻率分布直方圖性質(zhì)可得：，解得，故A錯誤；得分介于60至90之間的頻率為，故B正確；得分不小于90的人數(shù)估計為，故C正確；得分介于50至80之間的頻率為，故D正確.故選：BCD.10．已知函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時，在有最小值1B．當(dāng)時，圖象關(guān)于點中心對稱C．當(dāng)時，對任意恒成立D．至少有一個零點的充要條件是【答案】AC【分析】利用基本不等式判斷選項；利用函數(shù)的對稱性即可判斷選項；利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可判斷選項；舉例說明即可判斷選項.【詳解】對于，當(dāng)時，，當(dāng)時，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時去等號，所以函數(shù)在有最小值1，故選項正確；對于，當(dāng)時，則，因為，所以此時函數(shù)圖象不關(guān)于點中心對稱，故選項錯誤；對于，當(dāng)時，則，令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，則當(dāng)時，對任意恒成立，故選項正確；對于，因為時，函數(shù)，，函數(shù)在上有一個零點，所以選項錯誤，故選：.11．已知曲線的方程為（且)，，分別為與軸的左、右交點，為上任意一點(不與，重合)，則（

）A．若，則為雙曲線，且漸近線方程為B．若點坐標(biāo)為，則為焦點在軸上的橢圓C．若點的坐標(biāo)為，線段與軸垂直，則D．若直線，的斜率分別為，，則【答案】BD【分析】根據(jù)方程的特征和橢圓與雙曲線的性質(zhì)逐項進行分析即可判斷.【詳解】對于，若，則為雙曲線，其雙曲線的漸近線方程為：，故選項錯誤；對于，因為點在曲線上，所以，所以，則曲線為橢圓，又因為，所以為焦點在軸上的橢圓，故選項正確；對于，因為點的坐標(biāo)為，所以過點與軸垂直的直線方程為，代入曲線方程可得：，若，則有，若，則有，故選項錯誤；對于，由題意可知：，，設(shè)點，則，，所以，又因為點在曲線上，所以，所以，故選項正確，故選：.12．如圖，在正方體中，，是正方形內(nèi)部(含邊界)的一個動點，則（

）A．存在唯一點，使得B．存在唯一點，使得直線與平面所成的角取到最小值C．若，則三棱錐外接球的表面積為D．若異面直線與所成的角為，則動點的軌跡是拋物線的一部分【答案】BCD【分析】由線面垂直得線線垂直來確定點位置，判斷選項A；幾何法找線面角，當(dāng)角最小時確定點位置，判斷選項B；為中點時，求三棱錐外接球的半徑，計算外接球的表面積，判斷選項C；利用向量法解決異面直線所成角的問題，求出動點的軌跡，判斷選項D.【詳解】對于A選項：正方形中，有，正方體中有平面，平面，，又，平面，平面，只要平面，就有，在線段上，有無數(shù)個點，A選項錯誤；對于B選項：平面，直線與平面所成的角為，，取到最小值時，最大，此時點與點重合，B選項正確；對于C選項：若，則為中點，為等腰直角三角形，外接圓半徑為，三棱錐外接球的球心到平面的距離為，則外接球的半徑為，所以三棱錐外接球的表面積為，C選項正確；對于D選項：以D為原點，的方向為軸，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，則有，，有，化簡得，是正方形內(nèi)部(含邊界)的一個動點，所以的軌跡是拋物線的一部分，D選項正確.故選：BCD三、填空題13．在二項式的展開式中，常數(shù)項是______.【答案】【分析】由題意首先結(jié)合通項公式寫出通項，然后結(jié)合展開式的性質(zhì)整理計算即可求得最終結(jié)果.【詳解】展開式的通項公式為：，令可得：，則展開式的常數(shù)項為：.故答案為：14．若，，則______.【答案】【分析】先通過以及確定的范圍，進而可得，再利用兩角差的余弦公式展開計算即可.【詳解】,，又，若，則，與矛盾，，，.故答案為：.15．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，直線與圓交于，兩點，若為正三角形，則實數(shù)______.【答案】【分析】結(jié)合作圖，可求得直線的斜率，以及原點到直線的距離，利用點到直線的距離公式，求得答案.【詳解】由題意可知在圓上，如圖：設(shè)MN中點為H，連接PH，因為為正三角形，則PH過點O,且，則直線MN的斜率為：，故即為，因為為正三角形，則O點為的中心，由中心及重心性質(zhì)知，，故，解得，結(jié)合在圓上，是圓的內(nèi)接正三角形，可知，即.故答案為：，16．已知函數(shù)，若存在實數(shù)，滿足，則的最大值是______．【答案】【分析】作出的函數(shù)圖象，得出，，將化簡為，構(gòu)造函數(shù)，，由得出單調(diào)遞增，求出的最大值，即可求得答案．【詳解】解：作出的函數(shù)圖象如圖所示：∵存在實數(shù)，滿足，，，由圖可知，，，設(shè)，其中，，顯然在單調(diào)遞增，，，，在單調(diào)遞增，在的最大值為，的最大值為，故答案為：．四、解答題17．已知數(shù)列中，，.(1)判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，并說明理由；(2)求數(shù)列的前項和【答案】(1)是等差數(shù)列，理由見解析(2)【分析】(1)根據(jù)數(shù)列的遞推公式即可求解；(2)結(jié)合（1）的結(jié)論得出，然后利用錯位相減法即可求解.【詳解】（1）因為，所以數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列；（2）由（1）知：數(shù)列的通項公式為：，則，①，②，①②得：，則.18．在中，角，，的對邊分別是，，，滿足(1)求角；(2)若角的平分線交于點，且，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】(1)結(jié)合已知條件，利用余弦定理即可求解；(2)利用正弦定理得到，，然后利用基本不等式即可求解.【詳解】（1）由可得：，由余弦定理知，，又因此.（2）在中，由，得，在中，由，可得，所以；在中，由，得，解得，，所以，因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此的最小值為.19．某電商平臺統(tǒng)計了近七年小家電的年度廣告費支出(萬元)與年度銷售量(萬臺)的數(shù)據(jù)，如表所示:年份2016201720182019202020212022廣告費支出1246111319銷售量其中，(1)若用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，求出關(guān)于的線性回歸方程；(2)若用模型擬合得到的回歸方程為，經(jīng)計算線性回歸模型及該模型的分別為0.75和0.88，請根據(jù)的數(shù)值選擇更好的回歸模型擬合與的關(guān)系，進而計算出年度廣告費為何值時，利潤的預(yù)報值最大？參考公式：，；【答案】(1)(2)選用回歸方程更好，時，利潤的預(yù)報值最大【分析】(1)根據(jù)數(shù)據(jù)，利用公式即可求出線性回歸方程；（2）越大擬合效果越好，選用回歸方程更好，從而計算出結(jié)果.【詳解】（1）由題意可得：所以，，關(guān)于的線性回歸方程：.（2）因為，越大擬合效果越好，選用回歸方程更好，，即當(dāng)時，時，利潤的預(yù)報值.20．已知多面體中，，且，，(1)證明:；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析;(2)【分析】（1）通過證明，得平面，從而證明；（2）由條件證得，以所在直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系求解.【詳解】（1）連接,，在中，，，，，可得，即，同時，可得，同理可得，因為，，且平面，平面，，所以平面；又因為平面，所以.（2）在中，易得，且，所以，同時，，以所在直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系.其中，，，，，，設(shè)向量為平面的法向量，滿足，不妨取，，直線與平面所成角的正弦值為：.21．已知拋物線：上一點到其焦點的距離為3，，為拋物線，分別交拋物線于點，，直線，相交于點.(1)若，求四邊形面積的最小值；(2)證明:點在定直線上.【答案】(1)32(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)拋物線的焦半徑公式求得拋物線方程，設(shè)，，直線的方程，聯(lián)立方程，利用韋達定理求得，，再根據(jù)弦長公式求得，再結(jié)合基本不等式即可得解；（2）設(shè)，，，根據(jù)，，三點共線和，，三點共線，求得，再結(jié)合（1）即可得出結(jié)論.【詳解】（1）由拋物線定義可知，，解得，即拋物線方程為，由題意，設(shè)，，直線的方程，由，消去得，恒成立，由韋達定理可知：，，故，因為，所以直線的方程為，于是，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以四邊形面積的最小值為32；（2）設(shè)，，，因為，，，都在上，所以，，因為，，三點共線，所以有，即，整理得：，同理，因為，，三點共線，可得，即，解得：，由（1）可知，，代入上式可得：，得，即點在定直線上.【點睛】本題考查了拋物線的焦半徑公式及拋物線與直線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了拋物線中四邊形的面積的最值問題，及拋物線中的定直線問題，考查了邏輯推理和數(shù)據(jù)分析能力，有一定的難度.22．已知函數(shù)和有相同的最小值.(1)求的值；(2)設(shè)，方程有兩個不相等的實根，，求證:【答案】(1)(2)證明見解析【分析】(1)由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，利用導(dǎo)數(shù)可得，再根據(jù)兩函數(shù)的最小值相同，求解即可；(2)令，利用導(dǎo)數(shù)確定即在上單調(diào)遞增，由零點存在定理可得，使，由題意可設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)可得是減函數(shù)，即