2023屆江西省臨川一中百校聯(lián)盟高三下學(xué)期4月信息卷（四）數(shù)學(xué)（理）試題

2023屆江西省臨川一中百校聯(lián)盟高三下學(xué)期4月信息卷（四）數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．集合且，，，且，，，則（

）A． B． C． D．2．已知平面向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．10 B．8 C．5 D．33．在一些比賽中，對(duì)評(píng)委打分的處理方法一般是去掉一個(gè)最高分，去掉一個(gè)最低分，然后計(jì)算余下評(píng)分的均值作為參賽者的得分．在一次有9位評(píng)委參加的賽事中，評(píng)委對(duì)一名參賽者所打的9個(gè)分?jǐn)?shù)，去掉一個(gè)最高分，去掉一個(gè)最低分后，一定不變的數(shù)字特征為（

）A．平均值 B．中位數(shù) C．眾數(shù) D．方差4．設(shè)，下列四個(gè)命題中真命題的是（

）A．“若，則”的否命題 B．“若，則”的逆否命題C．若，則且 D．“若，則”的逆命題5．已知命題：，使得；命題：，，則下列命題為真命題的是（

）A． B． C． D．6．昆蟲信息素是昆蟲用來(lái)表示聚集、覓食、交配、警戒等信息的化學(xué)物質(zhì)，是昆蟲之間起化學(xué)通訊作用的化合物，是昆蟲交流的化學(xué)分子語(yǔ)言，包括利它素、利己素、協(xié)同素、集合信息素、追蹤信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆蟲信息素在生產(chǎn)中有較多的應(yīng)用，尤其在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中的病蟲害的預(yù)報(bào)和防治中較多使用．研究發(fā)現(xiàn)，某昆蟲釋放信息素t秒后，在距釋放處x米的地方測(cè)得的信息素濃度y滿足，其中k，a為非零常數(shù)．已知釋放信息素1秒后，在距釋放處2米的地方測(cè)得信息素濃度為m；若釋放信息素4秒后，距釋放處b米的位置，信息素濃度為，則b＝（

）A．3 B．4 C．5 D．67．曲線和所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周后，所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積為（

）A． B． C． D．8．已知為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)為C內(nèi)一點(diǎn)，若在C上存在一點(diǎn)P，使得，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．9．在中，三內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知，．當(dāng)B取最小值時(shí)，的面積為（

）A． B．1 C． D．10．已知函數(shù)，則在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．2023 B．2024 C．2025 D．202611．設(shè)雙曲線與冪函數(shù)的圖象相交于，且過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象相切于，則雙曲線的離心率為（

）A． B．C． D．12．已知，，且，則的最小值為（

）A．10 B．9 C． D．二、填空題13．已知函數(shù)（且），曲線在處的切線與直線垂直，則___．14．的展開式中，的系數(shù)為___________．15．某人在C點(diǎn)測(cè)得某直塔在南偏西，塔頂A的仰角為，此人沿南偏東方向前進(jìn)到D，測(cè)得塔頂A的仰角為，D，C與塔底O在同一水平面上，則塔高為______________．16．已知函數(shù)為奇函數(shù)，且對(duì)定義域內(nèi)的任意x都有．當(dāng)時(shí)，．給出以下4個(gè)結(jié)論：①函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱；②函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)；③當(dāng)時(shí)，；④函數(shù)在上單調(diào)遞減．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為______．三、解答題17．已知數(shù)列滿足，.(1)證明：是等比數(shù)列；(2)設(shè)，證明.18．如圖，已知菱形中，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，沿將折起，得到且二面角的大小為，點(diǎn)在棱上，平面.(1)求的值；(2)求二面角的余弦值.19．公元1651年，法國(guó)一位著名的統(tǒng)計(jì)學(xué)家德梅赫向另一位著名的數(shù)學(xué)家帕斯卡提請(qǐng)了一個(gè)問題，帕斯卡和費(fèi)馬討論了這個(gè)問題，后來(lái)惠更斯也加入了討論，這三位當(dāng)時(shí)全歐洲乃至全世界最優(yōu)秀的科學(xué)家都給出了正確的解答該問題如下：設(shè)兩名賭徒約定誰(shuí)先贏局，誰(shuí)便贏得全部賭注元.每局甲贏的概率為，乙贏的概率為，且每局賭博相互獨(dú)立.在甲贏了局，乙贏了局時(shí)，賭博意外終止賭注該怎么分才合理？這三位數(shù)學(xué)家給出的答案是：如果出現(xiàn)無(wú)人先贏局則賭博意外終止的情況，甲、乙便按照賭博再繼續(xù)進(jìn)行下去各自贏得全部賭注的概率之比分配賭注.（1）甲、乙賭博意外終止，若，則甲應(yīng)分得多少賭注？（2）記事件為“賭博繼續(xù)進(jìn)行下去乙贏得全部賭注”，試求當(dāng)時(shí)賭博繼續(xù)進(jìn)行下去甲贏得全部賭注的概率，并判斷當(dāng)時(shí)，事件是否為小概率事件，并說(shuō)明理由.規(guī)定：若隨機(jī)事件發(fā)生的概率小于，則稱該隨機(jī)事件為小概率事件.20．設(shè)橢圓的方程為，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，點(diǎn)在線段上，滿足，直線的斜率為．(1)求橢圓的方程；(2)若動(dòng)直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，且恒有，是否存在一個(gè)以原點(diǎn)為圓心的定圓，使得動(dòng)直線始終與定圓相切？若存在，求圓的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.21．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若，證明：對(duì)于任意，恒成立.（參考數(shù)據(jù)：）22．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.(1)寫出直線的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線與曲線有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.23．已知函數(shù)．(1)求不等式的解集；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：1．C2．A3．B4．D5．B6．B7．A8．D9．C10．B11．B12．C13．14．14515．16．①②③17．(1)證明見解析(2)證明見解析（1）由已知可得出，結(jié)合等比數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立；（2）計(jì)算得出，利用裂項(xiàng)相消法可證得結(jié)論成立.(1)證明：因?yàn)?，，則，，，以此類推可知，對(duì)任意的，，由已知得，即，所以，，且，是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.(2)證明：由（1）知，，，，.18．(1)(2)【分析】（1）首先通過(guò)面面平行的性質(zhì)證明，則，再利用三角形相似即可得到答案；（2）利用二面角定義得到，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面和平面的法向量，利用空間向量法求出二面角余弦值即可.【詳解】（1）連接，設(shè)，連接，取中點(diǎn)點(diǎn)，分別連接,,則，平面，平面，則平面，又因?yàn)槠矫?，且，平面，所以平面平面，又因?yàn)槠矫媾c平面平面相交，則交線，故，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，且底面為菱形，故，又在菱形中，，所以，所以.（2）因?yàn)?，，所以三角形為等邊三角形，所以，而根?jù)折疊過(guò)程可知，且平面平面，平面，，因此是二面角的平面角，則，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系.依據(jù)題意，從而設(shè)平面的法向量，由得到，由得到.令設(shè)平面的法向量，由得到，由得到.令.因此，所以，所求二面角的余弦值是.19．（1）216元；（2），是，理由見解析.【分析】(1)設(shè)賭博再進(jìn)行X局甲贏得全部賭注，甲必贏最后一局，最多再進(jìn)行4局，甲、乙必有人贏得全部賭注，由此利用概率計(jì)算公式即可得解；(2)設(shè)賭博再進(jìn)行Y局乙贏得全部賭注，同(1)的方法求出乙贏得全部賭注的概率，由對(duì)立事件可得，再利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值作答.【詳解】（1）設(shè)賭博再繼續(xù)進(jìn)行局甲贏得全部賭注，則最后一局必然甲贏，由題意知，最多再進(jìn)行4局，甲、乙必然有人贏得全部賭注，當(dāng)時(shí)，甲以贏，所以，當(dāng)時(shí)，甲以贏，所以，當(dāng)時(shí)，甲以贏，所以，于是得甲贏得全部賭注的概率為，所以，甲應(yīng)分得的賭注為元.（2）設(shè)賭博繼續(xù)進(jìn)行Y局乙贏得全部賭注，則最后一局必然乙贏，當(dāng)時(shí)，乙以贏，，當(dāng)時(shí)，乙以贏，，從而得乙贏得全部賭注的概率為，于是甲贏得全部賭注的概率，對(duì)求導(dǎo)得，因，即，從而有在上單調(diào)遞增，于是得，乙贏的概率最大值為，所以事件是小概率事件.20．(1)(2)存在，且圓的方程為【分析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)可求得的值，進(jìn)而可得出橢圓的方程；（2）對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，求出的值，可得出求出原點(diǎn)到直線的距離；在直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由可求得原點(diǎn)到直線的距離.綜合可得出定圓的方程.【詳解】（1）解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)在線段上，滿足，，，故，，因?yàn)椋?，解得：，∴橢圓的方程.（2）解：當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，所以，，此時(shí)原點(diǎn)到直線的距離為；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，原點(diǎn)到直線的距離為，所以，整理得，由可得，，由韋達(dá)定理可得，，，，所以，，所以，所以.綜上所述，定圓的方程是所以當(dāng)時(shí)，存在定圓始終與直線相切，且定圓的方程是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．21．(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求定義域，求導(dǎo)后，分與兩種情況分類討論，得到函數(shù)單調(diào)性；（2）放縮后即證對(duì)一切恒成立，構(gòu)造，求導(dǎo)后得到其單調(diào)性和極值，最值情況，結(jié)合，得到，所以，證明出結(jié)論.【詳解】（1）由題意可得定義域?yàn)镽，.當(dāng)時(shí)，，則在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上：當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）證明:因?yàn)?，且，所以，故，則要證對(duì)于任意恒成立，即證對(duì)于任意恒成立，即證對(duì)于任意恒成立，即證對(duì)一切恒成立.設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.故在處取得極大值，也是最大值，故.因?yàn)椋?，即，所以，則.故對(duì)一切恒成立，即對(duì)一切恒成立.【點(diǎn)睛】含參不等式的證明，若根據(jù)參數(shù)范圍進(jìn)行適當(dāng)放縮，消去參數(shù)，這樣可以簡(jiǎn)化不等式結(jié)構(gòu)，便于構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行研究，放縮消參是處理含參不等式的常規(guī)技巧，值得學(xué)習(xí)體會(huì)，常用放縮方法有切線放縮，也可結(jié)合題干中參數(shù)取值范圍進(jìn)行放縮.22．(1)(2)【分析】（1）由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式即可求出直線的直角坐標(biāo)方程；（2）將曲線的參數(shù)方程代入，則，直線與曲線有公共點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為與的圖象有交點(diǎn)，求