(專題精選)初中數(shù)學銳角三角函數(shù)的全集匯編及解析

（專題精選）初中數(shù)學銳角三角函數(shù)的全集匯編及解析一、選擇題1．在一次數(shù)學活動中，嘉淇利用一根拴有小錘的細線和一個半圓形量角器制作了一個測角儀，去測量學校內(nèi)一座假山的高度.如圖，嘉淇與假山的水平距離為，他的眼睛距地面的高度為，嘉淇的視線經(jīng)過量角器零刻度線和假山的最高點，此時，鉛垂線經(jīng)過量角器的刻度線，則假山的高度為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知得出AK=BD=6m，再利用tan30°=，進而得出CD的長．【詳解】解：如圖，過點A作AKCD于點K∵BD=6米，李明的眼睛高AB=1.6米，∠AOE=60°，∴DB=AK，AB=KD=1.6米，∠CAK=30°，

∴tan30°=，解得：CK=2即CD=CK+DK=2+1.6=（2+1.6）m．故選：A．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，解答關(guān)鍵是應用銳角三角函數(shù)定義.2．如圖，對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平，再一次折疊紙片，使點A落在EF上的點A′處，并使折痕經(jīng)過點B，得到折痕BM，若矩形紙片的寬AB=4，則折痕BM的長為()A． B． C．8 D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)折疊性質(zhì)可得BE=AB，A′B=AB=4，∠BA′M=∠A=90°，∠ABM=∠MBA′，可得∠EA′B=30°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得∠EBA′=60°，進而可得∠ABM=30°，在Rt△ABM中，利用∠ABM的余弦求出BM的長即可.【詳解】∵對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，AB=4，∴BE=AB=2，∠BEF=90°，∵把紙片展平，再一次折疊紙片，使點A落在EF上的點A’處，并使折痕經(jīng)過點B，∴A′B=AB=4，∠BA′M=∠A=90°，∠ABM=∠MBA′，∴∠EA′B=30°，∴∠EBA′=60°，∴∠ABM=30°，∴在Rt△ABM中，AB=BMcos∠ABM，即4=BMcos30°，解得：BM=，故選A.【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)及三角函數(shù)的定義，折疊前后，對應邊相等，對應角相等；在直角三角形中，銳角的正弦是角的對邊比斜邊；余弦是角的鄰邊比斜邊；正切是角的對邊比鄰邊；余切是角的鄰邊比對邊；熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.3．如圖，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，D為BC的中點，將△ABC折疊，使點A與點D重合，EF為折痕，則sin∠BED的值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得到，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)可得到，設，，則，再根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：∵△DEF是△AEF翻折而成，∴△DEF≌△AEF，∠A＝∠EDF，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠EDF＝45°，由三角形外角性質(zhì)得∠CDF+45°＝∠BED+45°，∴∠BED＝∠CDF，設CD＝1，CF＝x，則CA＝CB＝2，∴DF＝FA＝2﹣x，∴在Rt△CDF中，由勾股定理得，CF2+CD2＝DF2，即x2+1＝（2﹣x）2，解得：，．故選：B．【點睛】本題考查的是圖形翻折變換的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形外角的性質(zhì)，涉及面較廣，但難易適中．4．如圖，點從點出發(fā)沿方向運動，點從點出發(fā)沿方向運動，同時出發(fā)且速度相同，（長度不變，在上方，在左邊），當點到達點時，點停止運動．在整個運動過程中，圖中陰影部分面積的大小變化情況是（）A．一直減小 B．一直不變 C．先減小后增大 D．先增大后減小【答案】B【解析】【分析】連接GE，過點E作EM⊥BC于M，過點G作GN⊥AB于N，設AE=BG=x，然后利用銳角三角函數(shù)求出GN和EM，再根據(jù)S陰影=S△GDE＋S△EGF即可求出結(jié)論．【詳解】解：連接GE，過點E作EM⊥BC于M，過點G作GN⊥AB于N設AE=BG=x，則BE=AB－AE=AB－x∴GN=BG·sinB=x·sinB，EM=BE·sinB=（AB－x）·sinB∴S陰影=S△GDE＋S△EGF=DE·GN＋GF·EM=DE·（x·sinB）＋DE·[（AB－x）·sinB]=DE·[x·sinB＋（AB－x）·sinB]=DE·AB·sinB∵DE、AB和∠B都為定值∴S陰影也為定值故選B．【點睛】此題考查的是銳角三角函數(shù)和求陰影部分的面積，掌握利用銳角三角函數(shù)解直角三角形和三角形的面積公式是解決此題的關(guān)鍵．5．如圖，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，點D是CB延長線上的一點，且BD＝BA，則tan∠DAC的值為（）A．2＋ B．2 C．3＋ D．3【答案】A【解析】【分析】【詳解】設AC=x，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，即可得AB=2x，BC=x，所以BD=BA=2x，即可得CD=x+2x=（+2）x，在Rt△ACD中，tan∠DAC=，故選A.6．如圖，在矩形ABCD中，BC＝2，AE⊥BD，垂足為E，∠BAE＝30°，則tan∠DEC的值是（）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)題意過點C作CF⊥BD與點F可求得△AEB≌△CFD（AAS），得到AE＝CF＝1，EF＝，即可求出答案【詳解】過點C作CF⊥BD與點F．∵∠BAE＝30°，∴∠DBC＝30°，∵BC＝2，∴CF＝1，BF＝，易證△AEB≌△CFD（AAS）∴AE＝CF＝1，∵∠BAE＝∠DBC＝30°，∴BE＝AE＝，∴EF＝BF﹣BE＝﹣＝，在Rt△CFE中，tan∠DEC＝，故選C．【點睛】此題考查了含30°的直角三角形，三角形全等的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是證明所進行的全等7．如圖，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，點D是CB延長線上的一點，且AB＝BD，則tanD的值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】設AC＝m，解直角三角形求出AB，BC，BD即可解決問題．【詳解】設AC＝m，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2m，BC＝AC＝m，∴BD＝AB＝2m，DC＝2m+m，∴tan∠ADC＝＝＝2﹣．故選：D．【點睛】本題考查解直角三角形，直角三角形30度角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．8．如圖所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，CD是AB邊上的中線，作CD的中垂線與CD交于點E，與BC交于點F．若CF＝x，tanA＝y(tǒng)，則x與y之間滿足（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出CD＝AB＝AD＝4，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠A＝∠ACD，得出tan∠ACD＝＝tanA＝y(tǒng)，證明△CEG∽△FEC，得出，得出y＝，求出y2＝，得出＝FE2，再由勾股定理得出FE2＝CF2﹣CE2＝x2﹣4，即可得出答案．【詳解】解：如圖所示：∵在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，CD是AB邊上的中線，∴CD＝AB＝AD＝4，∴∠A＝∠ACD，∵EF垂直平分CD，∴CE＝CD＝2，∠CEF＝∠CEG＝90°，∴tan∠ACD＝＝tanA＝y(tǒng)，∵∠ACD+∠FCE＝∠CFE+∠FCE＝90°，∴∠ACD＝∠FCE，∴△CEG∽△FEC，∴＝，∴y＝，∴y2＝，∴＝FE2，∵FE2＝CF2﹣CE2＝x2﹣4，∴＝x2﹣4，∴+4＝x2，故選：A．【點睛】本題考查了解直角三角形、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．9．如圖，在中，，，，，垂足為，的平分線交于點，則的長為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】在Rt△ADC中，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可求出AD的長度，在Rt△ADB中，由AD的長度及∠ABD的度數(shù)可求出BD的長度，在Rt△EBD中，由BD的長度及∠EBD的度數(shù)可求出DE的長度，再利用AE=AD?DE即可求出AE的長度．【詳解】∵AD⊥BC∴∠ADC=∠ADB=在Rt△ADC中，AC=4，∠C=∴AD=CD=在Rt△ADB中，AD=，∠ABD=∴BD=AD=．∵BE平分∠ABC，∴∠EBD=．在Rt△EBD中，BD=，∠EBD=∴DE=BD=∴AE=AD?DE=-=故選：C【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，以及利用特殊角三角函數(shù)解直角三角形．10．如圖，已知△A1B1C1的頂點C1與平面直角坐標系的原點O重合，頂點A1、B1分別位于x軸與y軸上，且C1A1＝1，∠C1A1B1＝60°，將△A1B1C1沿著x軸做翻轉(zhuǎn)運動，依次可得到△A2B2C2，△A3B3C3等等，則C2019的坐標為（）A．（2018+672，0） B．（2019+673，0）C．（+672，） D．（2020+674，0）【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可知三角形在軸上的位置每三次為一個循環(huán)，又因為，那么相當于第一個循環(huán)體的即可算出.【詳解】由題意知，，，則，，，結(jié)合圖形可知，三角形在軸上的位置每三次為一個循環(huán)，，，，故選.【點睛】考查解直角三角形，平面直角坐標系中點的特征，結(jié)合找規(guī)律.理解題目中每三次是一個循環(huán)是解題關(guān)鍵.11．把三邊的長度都擴大為原來的倍，則銳角的余弦值（）A．擴大為原來的倍 B．縮小為原來的 C．擴大為原來的倍 D．不變【答案】D【解析】【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答．【詳解】三邊的長度都擴大為原來的3倍，則所得的三角形與原三角形相似，

∴銳角A的大小不變，

∴銳角A的余弦值不變，

故選：D．【點睛】此題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義，掌握相似三角形的對應角相等是解題的關(guān)鍵．12．定義：在等腰三角形中，底邊與腰的比叫做頂角的正對，頂角的正對記作，即底邊:腰.如圖，在中，，.則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】證明△ABC是等腰直角三角形即可解決問題．【詳解】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，

∵∠A=2∠B，

∴∠B=∠C=45°，∠A=90°，

∴在Rt△ABC中，BC==AC，∴sin∠B?sadA=,故選：C．【點睛】本題考查解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．13．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）過原點O，與x軸另一交點為A，頂點為B，若△AOB為等邊三角形，則b的值為（）A．﹣ B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知求出B（﹣），由△AOB為等邊三角形，得到＝tan60°×（﹣），即可求解；【詳解】解：拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）過原點O，∴c＝0，B（﹣），∵△AOB為等邊三角形，∴＝tan60°×（﹣），∴b＝﹣2；故選B．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，等邊三角形性質(zhì)；能夠?qū)佄锞€上點的關(guān)系轉(zhuǎn)化為等邊三角形的邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．14．如圖，在平面直角坐標系中，的頂點在第一象限，點在軸的正半軸上，，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，點的對應點的坐標是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】過點作x軸的垂線，垂足為M，通過條件求出，MO的長即可得到的坐標.【詳解】解：過點作x軸的垂線，垂足為M，∵，，∴，，∴，在直角△中，，，∴，，∴OM=2+1=3，∴的坐標為.故選：D.【點睛】本題考查坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．15．如圖，△ABC的頂點是正方形網(wǎng)格的格點，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造全等三角形，證明△ABD是等腰直角三角形，進行作答.【詳解】過A作AE⊥BE，連接BD，過D作DF⊥BF于F.∵AE=BF，∠AEB=∠DFB，BE=DF，∴△AEB≌△BFD，∴AB=DB.∠ABD=90°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴cos∠DAB=.答案選B.【點睛】本題考查了不規(guī)則圖形求余弦函數(shù)的方法，熟練掌握不規(guī)則圖形求余弦函數(shù)的方法是本題解題關(guān)鍵.16．如圖，在中，，則的長為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】先利用相似三角形的相似比證明點D是AB的中點，再解直角三角形求得AB，最后利用直角三角形斜邊中線性質(zhì)求出DF．【詳解】解：∵，∴，∵，∴點D是AB的中點，∵，，∴∠B＝30°，∴，∴DF=3，故選：D．【點睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形和直角三角形斜邊中線性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)的運用是解題關(guān)鍵．17．如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，AB：BC＝2：1，且BE∥AC，CE∥DB，連接DE，則tan∠EDC＝（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】過點E作EF⊥直線DC交線段DC延長線于點F，連接OE交BC于點G．根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可判斷四邊形OBEC是菱形，則OE與BC垂直平分，易得EF=x，CF=x．再由銳角三角函數(shù)定義作答即可．【詳解】解：∵矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，AB：BC＝2：1，∴BC＝AD，設AB＝2x，則BC＝x．如圖，過點E作EF⊥直線DC交線段DC延長線于點F，連接OE交BC于點G．∵BE∥AC，CE∥BD，∴四邊形BOCE是平行四邊形，∵四邊形ABCD是矩形，∴OB＝OC，∴四邊形BOCE是菱形．∴OE與BC垂直平分，∴EF＝AD＝x，OE∥AB，∴四邊形AOEB是平行四邊形，∴OE＝AB＝2x，∴CF＝OE＝x．∴tan∠EDC＝＝＝．故選：B．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)以及解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形的性質(zhì)和菱形的判定與性質(zhì)，屬于中考