2023版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：第二章函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)

成套的課件成套的教案成套的試題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854聯(lián)系QQ309000116加入百度網(wǎng)盤群2500G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存，自動更新，一勞永逸第一節(jié)函數(shù)及其表示最新考綱·1．了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域，了解映射的概念．2．在實(shí)際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)．3．了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用(函數(shù)分段不超過三段)．考向預(yù)測·考情分析：以基本初等函數(shù)為載體，考查函數(shù)的表示法、定義域，分段函數(shù)以及函數(shù)與其他知識的綜合仍是高考的熱點(diǎn)，題型既有選擇、填空題，又有解答題，中等偏上難度．學(xué)科素養(yǎng)：通過函數(shù)概念考查數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；通常通過函數(shù)定義域、函數(shù)解析式及分段函數(shù)問題考查數(shù)學(xué)運(yùn)算及直觀想象的核心素養(yǎng)．積累必備知識——基礎(chǔ)落實(shí)贏得良好開端一、必記3個知識點(diǎn)1．函數(shù)與映射的概念函數(shù)映射兩個集合A，B集合A，B是兩個非空的________集合A，B是兩個非空的________對應(yīng)關(guān)系按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的________一個數(shù)x，在集合B中都有________的數(shù)f(x)和它對應(yīng)．按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的________一個元素a，在集合B中都有________的元素b與之對應(yīng)名稱稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)．稱f：A→B為從集合A到集合B的一個映射．記法y＝f(x)，x∈Af：A→B2.函數(shù)的有關(guān)概念(1)函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的________；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的________．顯然，值域是集合B的子集．(2)函數(shù)的三要素：__________、__________和__________．(3)相等函數(shù)：如果兩個函數(shù)的________和________完全一致，則這兩個函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù)．(4)函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有：________________、________________、________________．[提醒]函數(shù)圖象的特征：與x軸垂直的直線與其最多有一個公共點(diǎn)．利用這個特征可以判斷一個圖形能否作為一個函數(shù)的圖象．3．分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的________，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)．分段函數(shù)雖然由幾部分組成，但它表示的是一個函數(shù)．[提醒]分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)，分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集．二、必明3個常用結(jié)論1．函數(shù)是特殊的映射，是定義在非空數(shù)集上的映射．2．直線x＝a(a是常數(shù))與函數(shù)y＝f(x)的圖象有0個或1個交點(diǎn)．3．判斷兩個函數(shù)相等的依據(jù)是兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致．三、必練4類基礎(chǔ)題(一)判斷正誤1．判斷下列說法是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?．(1)對于函數(shù)f：A→B，其值域是B.()(2)函數(shù)與映射是相同的概念，函數(shù)是映射，映射也是函數(shù)．()(3)只要集合A中的任意元素在集合B中有元素對應(yīng)，那么這個對應(yīng)關(guān)系就是函數(shù)．()(4)若兩個函數(shù)的定義域與值域都相同，則這兩個函數(shù)是相等函數(shù)．()(5)分段函數(shù)不是一個函數(shù)而是多個函數(shù)．()(二)教材改編2．[必修1·P18例2改編]下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝x＋1是相等函數(shù)的是()A．y＝(x+1)2B．y＝3xC．y＝x2x＋1D．y＝3．[必修1·P17例1改編]已知f(x)＝x+3+1x+a，若f(三)易錯易混4．(忽視自變量范圍)設(shè)函數(shù)f(x)＝(x+1)2,x<14?x?1,x≥1,則使得f(5．(忽視新元范圍)已知f(x)＝x－1，則f(x)＝________．(四)走進(jìn)高考6．[2021·浙江卷]已知a∈R，函數(shù)f(x)＝x2?4，x>2，x?3+a，x≤2.若f(f(提升關(guān)鍵能力——考點(diǎn)突破掌握類題通法考點(diǎn)一函數(shù)的定義域[基礎(chǔ)性]1．函數(shù)y＝lg2?x12+x?x2＋(A．{x|－3<x<1}B．{x|－3<x<2且x≠1}C．{x|0<x<2}D．{x|1<x<2}2．如果函數(shù)f(x)＝ln(－2x＋a)的定義域?yàn)?－∞，1)，那么實(shí)數(shù)a的值為()A．－2B．－1C．1D．23．[2022·江西撫州模擬]若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0，6]，則函數(shù)f2xA．(0，3)B．[1，3)∪C．[1，3)D．[0，3)4．[2022·陜西渭南高三檢測]若函數(shù)y＝ax+1ax2?4ax+2的定義域?yàn)镽A．0，12B．0，12一題多變●1．(變問題)將題3中的“函數(shù)f2xx?3的定義域”改為“函數(shù)f(x2．(變條件，變問題)將題3改為“已知函數(shù)f(x－5)的定義域?yàn)閇0，6]，則函數(shù)f(x)的定義域?yàn)開_______．”反思感悟1．給定函數(shù)的解析式，求函數(shù)的定義域2．求抽象函數(shù)定義域的方法考點(diǎn)二函數(shù)的解析式[綜合性][例1](1)已知f2x+1＝lgx，則f((2)(一題多解)已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，則f(x)的解析式為________．(3)[2022·佛山一中月考]已知函數(shù)f(x)滿足f(x)＋2f(－x)＝ex，則函數(shù)f(x)的解析式為________．聽課筆記：反思感悟求函數(shù)解析式常用的方法[提醒]由于函數(shù)的解析式相同，定義域不同，則為不相同的函數(shù)，因此求函數(shù)的解析式時，如果定義域不是R，一定要注明函數(shù)的定義域．【對點(diǎn)訓(xùn)練】1．若函數(shù)f(1－2x)＝1?x2x2(x≠0)，那么A．1B．3C．15D．302．已知fx+1x＝x＋1x，則函數(shù)3．已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，則f(x)＝________．4．已知f(x)滿足2f(x)＋f1x＝3x，則f(x考點(diǎn)三分段函數(shù)[基礎(chǔ)性、綜合性]角度1求分段函數(shù)的函數(shù)值[例2](1)[2022·安徽合肥檢測]已知函數(shù)f(x)＝x+1x?2，x>2，x2A．－12C．4D．11(2)[2022·鄭州模擬]已知f(x)＝cosπx，x≤1，fx?1+1，x>1，則fA．12B．－C．－1D．1聽課筆記：反思感悟分段函數(shù)的求值問題的解題思路(1)求函數(shù)值：先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．(2)求自變量的值：先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗(yàn)．角度2分段函數(shù)與方程[例3][2022·長春模擬]已知函數(shù)f(x)＝2x，x>0，x+1，x≤0.若f(a)＋fA．－3B．－1C．1D．3聽課筆記：反思感悟根據(jù)分段函數(shù)的函數(shù)值求自變量的值時，應(yīng)根據(jù)自變量與分段函數(shù)各段的定義域分類討論，結(jié)合各段的函數(shù)解析式求解，要注意求出的自變量的值應(yīng)滿足解析式對應(yīng)的自變量的范圍.角度3分段函數(shù)與不等式[例4][2022·湘贛皖長郡十五校一聯(lián)]設(shè)函數(shù)f(x)＝1，x≤0，2x，x>0，則滿足f(x＋2)>f(3xA．x<1B．x≥1C．－2<x<1D．0<x<1聽課筆記：反思感悟與分段函數(shù)有關(guān)的不等式問題主要表現(xiàn)為解不等式(有時還需要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性)．若自變量取值不確定，往往要分類討論求解；若自變量取值確定，但分段函數(shù)中含有參數(shù)，則只需依據(jù)自變量的情況，直接代入相應(yīng)解析式求解即可.【對點(diǎn)訓(xùn)練】1．[2022·長沙長郡中學(xué)月考]已知函數(shù)f(x)＝2x+1，x≥0，3x2，x<0，且f(x0A．－1B．1C．－1或1D．－1或－12．[2022·福州市高三質(zhì)量檢測]函數(shù)f(x)＝x，x<0，ex?1，x≥0，則f(2)＋f3．[2021·深圳模擬]已知函數(shù)f(x)＝1+x2，x≤01，x>0，若f(x－4)>f(2微專題?學(xué)通學(xué)活巧遷移新定義函數(shù)交匯創(chuàng)新所謂“新定義”函數(shù)，是相對于高中教材而言，指在高中教材中不曾出現(xiàn)或尚未介紹的一類函數(shù)．函數(shù)新定義問題的一般形式是：由命題者先給出一個新的概念、新的運(yùn)算法則，或者給出一個抽象函數(shù)的性質(zhì)等，然后讓學(xué)生按照這種“新定義”去解決相關(guān)的問題．[例][2022·廣東深圳模擬]在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，若函數(shù)f(x)的圖象恰好經(jīng)過n(n∈N*)個整點(diǎn)，則稱函數(shù)f(x)為n階整點(diǎn)函數(shù)．給出下列函數(shù)：①f(x)＝sin2x；②g(x)＝x3；③h(x)＝13x；④φ(x)＝lnA．①②③④B．①③④C．①④D．④解析：對于函數(shù)f(x)＝sin2x，它的圖象(圖略)只經(jīng)過一個整點(diǎn)(0，0)，所以它是一階整點(diǎn)函數(shù)，排除D項(xiàng)；對于函數(shù)g(x)＝x3，它的圖象(圖略)經(jīng)過整點(diǎn)(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一階整點(diǎn)函數(shù)，排除A項(xiàng)；對于函數(shù)h(x)＝(13)x，它的圖象(圖略)經(jīng)過整點(diǎn)(0，1)，(－1，3)，…答案：C名師點(diǎn)評本題意在考查考生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng)．破解新定義函數(shù)題的關(guān)鍵是緊扣新定義的函數(shù)的含義，學(xué)會語言的翻譯、新舊知識的轉(zhuǎn)化，便可使問題順利獲解．如本例，若能把新定義的一階整點(diǎn)函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)的圖象恰好經(jīng)過1個整點(diǎn)，問題便迎刃而解．[變式訓(xùn)練]1．[2022·山東濱州月考]具有性質(zhì)f1x＝－f(x)的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)．下列函數(shù)：①y＝x－1x；②y＝x＋1x；③y＝x0<x<1，A．①②B．②③C．①③D．只有①2．若函數(shù)f(x)同時滿足下列兩個條件，則稱該函數(shù)為“優(yōu)美函數(shù)”：(1)?x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0；(2)?x1，x2∈R，且x1≠x2，都有fx在①f(x)＝sinx，②f(x)＝?2x3，③fx＝1－x這三個函數(shù)中，____________是第二章函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)Ⅰ第一節(jié)函數(shù)及其表示積累必備知識一、1．?dāng)?shù)集集合任意唯一確定任意唯一確定2．(1)定義域值域(2)定義域值域?qū)?yīng)關(guān)系(3)定義域?qū)?yīng)關(guān)系解析法圖象法列表法3．對應(yīng)關(guān)系三、1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×2．解析：對于A，函數(shù)y＝(x+1)2的定義域?yàn)閧x|x≥－1}，與函數(shù)y＝x＋1的定義域不同，不是相等函數(shù)；對于B，定義域和對應(yīng)關(guān)系都相同，是相等函數(shù)；對于C，函數(shù)y＝x2x＋1的定義域?yàn)閧x|x≠0}，與函數(shù)y＝對于D，定義域相同，但對應(yīng)關(guān)系不同，不是相等函數(shù)．故選B.答案：B3．解析：因?yàn)閒(x)＝x+3+所以f(－2)＝?2+3+1?2+a答案：14．解析：因?yàn)閒(x)是分段函數(shù)，所以f(x)≥1應(yīng)分段求解．當(dāng)x<1時，f(x)≥1，即(x＋1)2≥1.解得x≤－2或x≥0，所以x≤－2或0≤x<1；當(dāng)x≥1時，f(x)≥1，即4－x?1≥1，解得1≤x≤10.綜上所述，x≤－2或0≤x≤10.答案：(－∞，－2]∪5．解析：令t＝x，則t≥0，x＝t2，所以f(t)＝t2－1(t≥0)．即f(x)＝x2－1(x≥0)．答案：x2－1(x≥0)6．解析：因?yàn)?>4＝2，所以f(6)＝(6)2－4＝2，所以f(f(6))＝f(2)＝|2－3|＋a＝1＋a＝3，解得a＝2.答案：2提升關(guān)鍵能力考點(diǎn)一1．解析：要使函數(shù)解析式有意義，須有2?x>0，解得x<2，?3<x<4，x≠1，所以－3<x<2且x≠1.故函數(shù)的定義域?yàn)閧x|－3<x<2且x答案：B2．解析：因?yàn)椋?x＋a>0，所以x<a2，又因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?－∞，1)，所以a2＝1，所以答案：D3．解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)閇0，6]，所以0≤2x≤6，解得0≤x≤3.又因?yàn)閤－3≠0，所以x≠3，函數(shù)f2x答案：D4．解析：要使函數(shù)的定義域?yàn)镽，則ax2－4ax＋2>0恒成立．①當(dāng)a＝0時，不等式為2>0，恒成立；②當(dāng)a≠0時，要使不等式恒成立，則a>0，Δ=?4a2?4·a·2<0，即a>0，a2a?1<0，解得0<a<12答案：D一題多變1．解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)閇0，6]，則0≤x－5≤6，即5≤x≤11，所以函數(shù)f(x－5)的定義域?yàn)閇5，11].答案：[5，11]2．解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x－5)的定義域是[0，6]，則0≤x≤6，有－5≤x－5≤1，所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－5，1].答案：[－5，1]考點(diǎn)二例1解析：(1)(換元法)令2x＋1＝t，則x＝2t?1.因?yàn)閤>0，所以t>1，所以f(t)＝lg2t?1，即f(x)的解析式是f(x)＝lg2(2)方法1：(換元法)令2x＋1＝t(t∈R)，則x＝t?12，所以f(t)＝4t?122－6×t?12＋5＝t2－5t＋9(t∈R)，所以f(x)＝x2－5x＋9(方法2：(配湊法)因?yàn)閒(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9，所以f(x)＝x2－5x＋9.方法3：(待定系數(shù)法)因?yàn)閒(x)是二次函數(shù)，所以設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝4ax2＋(4a＋2b)x＋a＋b＋c.因?yàn)閒(2x＋1)＝4x2－6x＋5，所以4a=4，4a+2b=?6，a+b+c=5，所以f(x)＝x2－5x＋9.解析：(3)(消去法)f(x)＋2f(－x)＝ex，①f(－x)＋2f(x)＝e－x，②①②聯(lián)立消去f(－x)得3f(x)＝2e－x－ex，所以f(x)＝23e－x－13e答案：(1)f(x)＝lg2x?1(x(2)f(x)＝x2－5x＋9(3)f(x)＝23e－x－13對點(diǎn)訓(xùn)練1．解析：(1)方法1：由于f(1－2x)＝1?x2x2當(dāng)x＝14時，f(12)＝方法2：設(shè)1－2x＝t，則x＝1?t2結(jié)合f(1－2x)＝1?x2x2f(t)＝41?t2－1＝所以f(12)＝4?答案：C2．解析：令t＝x+1x因?yàn)閤+1x≥2，則t2＝x＋1x＋2(t≥2)，得到x＋1x＝t所以由f(x+1x)＝xf(t)＝t2－2(t≥2)，即f(x)＝x2－2(x≥2)．答案：f(x)＝x2－2(x≥2)3．解析：(待定系數(shù)法)設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，則3f(x＋1)－2f(x－1)＝ax＋5a＋b，所以ax＋5a＋b＝2x＋17對任意實(shí)數(shù)x都成立，所以a=2，5a+b=17，解得a=2，b=7.所以f(x)＝2答案：2x＋74．解析：(解方程組法)因?yàn)?f(x)＋f1x＝3x，所以將x用1x替換，得2f1x＋f(x)＝3由①②解得f(x)＝2x－1x(x≠即f(x)的解析式是f(x)＝2x－1x(x≠答案：2x－1x(x≠考點(diǎn)三例2解析：(1)因?yàn)閒(1)＝12＋2＝3，所以f(f(1))＝f(3)＝3＋13?2(2)f43＝f43?1＋1＝f13＋1＝cosf?43＝cos?4π3＝cos∴f43＋f?43答案：(1)C(2)D例3解析：∵f(1)＝21＝2，∴f(a)＋2＝0，∴f(a)＝－2，當(dāng)a≤0時，f(a)＝a＋1＝－2，∴a＝－3，當(dāng)a>0時，f(a)＝2a＝－2，方程無解，綜上有a＝－3.答案：A例4解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝1，x≤0，2x，x>0，作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示．則由函數(shù)的圖象可得當(dāng)x＋2≤0時，f(x＋2)＝1，f(3x)＝1，不滿足f(x＋2)>f(3x)．當(dāng)x＋2>0時，要滿足f(x＋2)>f(3x)，則需x+2>0，3x≤0或x＋2>3x答案：C對點(diǎn)訓(xùn)練1．解析：由條件可知，當(dāng)x0≥0時，f(x0)＝2x0＋1＝3，所以x0＝1；當(dāng)x0<0時，f(x0)＝3x02＝3，所以x0＝－1，所以實(shí)數(shù)x答案：C2．解析：因?yàn)閒(x)＝x，x<0ex?1，x≥0，所以f(2)＋f答案：e2－23．解析：函數(shù)f(x)＝1+x2，x≤01，x>0在(－∞，0]上是減函數(shù)，在(0，＋∞)上函數(shù)值保持不變，若f(x－4)>f(2x－3)，則x?4<02x?3≥0或答案：(－1，4)微專題?學(xué)通學(xué)活巧遷移新定義函數(shù)變式訓(xùn)練1．解析：(逐項(xiàng)驗(yàn)證法)對于①，f1x＝1x－x＝－f(x)，滿足“倒負(fù)”變換；對于②，f1x＝1x＋x≠－f(x)，不滿足“倒負(fù)”變換；對于③，f1x＝?x0<x<1，0x=1，1xx>1，答案：C2．解析：由條件(1)得f(x)是R上的奇函數(shù)，由條件(2)得f(x)是R上的減函數(shù)．對于①，f(x)＝sinx在R上不單調(diào)，故不是“優(yōu)美函數(shù)”；對于②，f(x)＝－2x3既是奇函數(shù)，又在R上單調(diào)遞減，故是“優(yōu)美函數(shù)”；對于③，f(x)＝1－x不是奇函數(shù)，故不是“優(yōu)美函數(shù)”．答案：②

第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值·最新考綱·1．理解函數(shù)的單調(diào)性、最大(小)值及其幾何意義．2．會運(yùn)用基本初等函數(shù)圖象分析函數(shù)的單調(diào)性．考向預(yù)測·考情分析：以基本初等函數(shù)為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間及函數(shù)最值的確定與應(yīng)用，其中函數(shù)單調(diào)性及應(yīng)用仍是高考考查的熱點(diǎn)，題型多以選擇題為主，屬中檔題．學(xué)科素養(yǎng)：邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算．積累必備知識——基礎(chǔ)落實(shí)贏得良好開端一、必記2個知識點(diǎn)1．函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量值x1，x2當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是________當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是________圖象描述自左向右看圖象是________自左向右看圖象是________(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是________或________，則稱函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做函數(shù)y＝f(x)的________．(3)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D內(nèi)可導(dǎo)，當(dāng)________時，f(x)在區(qū)間D上為增函數(shù)；當(dāng)________時，f(x)在區(qū)間D上為減函數(shù)．(4)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．若構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的內(nèi)、外層函數(shù)單調(diào)性相同，則復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)，否則為減函數(shù)．簡稱“同增異減”．[提醒]有多個單調(diào)區(qū)間時應(yīng)分開寫，不能用符號“∪”連接，也不能用“或”連接，只能用“，”或“和”連接．2．函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件(1)對于任意x∈I，都有________；(2)存在x0∈I，使得________(1)對于任意x∈I，都有________；(2)存在x0∈I，使得________結(jié)論M是y＝f(x)的最大值M是y＝f(x)的最小值[提醒](1)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值．當(dāng)函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時最值一定在端點(diǎn)取到．(2)開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大值(或最小值)．二、必明3個常用結(jié)論1．函數(shù)y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定義域內(nèi)與y＝－f(x)，y＝1f2．“對勾函數(shù)”y＝x＋ax(a>0)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－a)，(a，＋∞)；單調(diào)遞減區(qū)間是[－a，0)，(0，a3．增函數(shù)與減函數(shù)形式的等價變形：?x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，則(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0?fx1?fx2x1?x2>0?f(x)在[a，b]上是增函數(shù)；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0?f三、必練4類基礎(chǔ)題(一)判斷正誤1．判斷下列說法是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?．(1)函數(shù)y＝|x|是R上的增函數(shù)．()(2)函數(shù)y＝1x的單調(diào)減區(qū)間是(－∞，0)∪(3)若函數(shù)y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[1，＋∞)．()(4)對于函數(shù)f(x)，x∈D，若對任意x1，x2∈D，x1≠x2且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)．()(5)已知函數(shù)y＝f(x)在R上是增函數(shù)，則函數(shù)y＝f(－x)在R上是減函數(shù)．()(二)教材改編2．[必修1·P39習(xí)題A組T3改編]下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，1)上是增函數(shù)的是()A.y＝2|x|B．y＝6－xC．y＝1xD．y＝－x23．[必修1·P31例4改編]函數(shù)y＝1x?1A．2B．12C．13(三)易錯易混4．(忽視函數(shù)的定義域出錯)函數(shù)f(x)＝ln(4＋3x－x2)的單調(diào)遞減區(qū)間是________．5．(忘記函數(shù)的單調(diào)區(qū)間出錯)已知函數(shù)y＝f(x)是定義在[－2，2]上的減函數(shù)，且f(a＋1)<f(2a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．(四)走進(jìn)高考6．[2021·全國甲卷]下列函數(shù)中是增函數(shù)的為()A．f(x)＝－xB．f(x)＝2C．f(x)＝x2D．f(x)＝3提升關(guān)鍵能力——考點(diǎn)突破掌握類題通法考點(diǎn)一確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間[基礎(chǔ)性]角度1判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性1．(一題多解)試討論函數(shù)f(x)＝axx?1(a≠聽課筆記：反思感悟利用定義法證明或判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟(1)取值：設(shè)x1，x2是定義域內(nèi)的任意兩個值，且x1<x2.(2)作差、變形：作差f(x2)－f(x1)，并通過因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判斷差的符號的方向變形．(3)定號：確定差的符號，當(dāng)符號不確定時，可以進(jìn)行分類討論．(4)判斷：根據(jù)定義作出結(jié)論．[提醒]判斷函數(shù)的單調(diào)性還有圖象法、導(dǎo)數(shù)法、性質(zhì)法等．角度2利用函數(shù)圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2．求函數(shù)f(x)＝－x2＋2|x|＋1的單調(diào)區(qū)間．聽課筆記：一題多變(變條件)若題2中函數(shù)變?yōu)閒(x)＝|－x2＋2x＋1|，如何求解？反思感悟由圖象確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間需注意兩點(diǎn)(1)單調(diào)區(qū)間必須是函數(shù)定義域的子集；(2)圖象不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間要分開寫，用“和”或“，”連接，不能用“∪”連接.角度3復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間3．函數(shù)f(x)＝ln(x2－2x－8)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A．(－∞，－2)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)聽課筆記：反思感悟復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的確定方法若兩個簡單函數(shù)的單調(diào)性相同，則這兩個函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；若兩個簡單函數(shù)的單調(diào)性相反，則這兩個函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)，簡稱“同增異減”.考點(diǎn)二函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用[綜合性]角度1比較函數(shù)值的大小[例1](1)[2022·武漢模擬]已知函數(shù)f(x)＝1ex+1?12，若a＝f(21.3)，b＝f(40.7)，c＝f(log38)，則A．c<a<bB．a(chǎn)<c<bC．b<a<cD．a(chǎn)<b<c(2)已知函數(shù)f(x)的圖象向左平移1個單位長度后關(guān)于y軸對稱，當(dāng)x2>x1>1時，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，設(shè)a＝f?12，b＝f(2)，c＝f(3)，則a，b，c的大小關(guān)系A(chǔ)．c>a>bB．c>b>aC．a(chǎn)>c>bD．b>a>c聽課筆記：反思感悟利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小的方法比較函數(shù)值的大小時，若自變量的值不在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，則要利用函數(shù)性質(zhì)，將自變量的值轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)進(jìn)行比較，對于選擇題、填空題通常選用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行求解.角度2求函數(shù)的最值(值域)[例2](1)[2022·河南鄭州調(diào)研]函數(shù)f(x)＝x?1x2在x∈[1，4]上最大值為M，最小值為m，則A．3116B．2C．94(2)函數(shù)y＝x2聽課筆記：反思感悟利用函數(shù)單調(diào)性求最值應(yīng)先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值．(可結(jié)合本節(jié)微專題理解)[提醒](1)求函數(shù)的最值時，應(yīng)先確定函數(shù)的定義域．(2)求分段函數(shù)的最值時，應(yīng)先求出每一段上的最值，再選取其中最大的作為分段函數(shù)的最大值，最小的作為分段函數(shù)的最小值．角度3解函數(shù)不等式[例3]已知R上的函數(shù)f(x)滿足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1；②當(dāng)x>0時，f(x)>－1.(1)求f(0)的值，并證明f(x)在R上是單調(diào)增函數(shù)；(2)若f(1)＝1，解關(guān)于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4.聽課筆記：一題多變(變條件，變問題)例3中，函數(shù)f(x)滿足的條件改為“定義域?yàn)?0，＋∞)，fx1x2＝f(x1)－f(x2)，當(dāng)x>1時，f(x(1)求f(1)的值；(2)證明：f(x)為單調(diào)遞減函數(shù)；(3)求不等式f(2x＋1)>f(2－x)的解集．反思感悟求解含“f”的不等式，應(yīng)先將不等式轉(zhuǎn)化為f(m)<f(n)的形式，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“f”，應(yīng)注意m，n應(yīng)在定義域內(nèi)取值.角度4求參數(shù)的值或取值范圍[例4](1)[2022·哈爾濱模擬]已知函數(shù)f(x)＝ax?2，0<x≤1，logaxA．(1，＋∞)B．(1，2)C．(1，2]D．(0，2](2)[2022·貴陽市高三摸底]函數(shù)y＝x?5x?a?2在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增，則aA．a(chǎn)＝－3B．a(chǎn)<3C．a(chǎn)≤－3D．a(chǎn)≥－3聽課筆記：反思感悟利用單調(diào)性求參數(shù)的方法(1)依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與已知單調(diào)區(qū)間比較．(2)需注意若函數(shù)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子區(qū)間上也單調(diào)．(3)分段函數(shù)的單調(diào)性，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點(diǎn)的取值.【對點(diǎn)訓(xùn)練】1．[2022·西安模擬]已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，當(dāng)x1≠x2且x1，x2∈(1，＋∞)時，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，設(shè)a＝f?12，b＝f(2)，c＝f(e)，則a，b，A．c>a>bB．c>b>aC．a(chǎn)>c>bD．b>a>c2．設(shè)函數(shù)f(x)＝2xx?2在區(qū)間[3，4]上的最大值和最小值分別為M，m，則mA．23B．38C．33．如果函數(shù)f(x)＝(2?a)x+1，x<1,ax,x≥1滿足對任意x1≠x2，都有A．(0，2)B．(1，2)C．(2，＋∞)D．34．[2022·濟(jì)南模擬]已知函數(shù)f(x)＝x3，x≤0，lnx+1，x>0，若f(2－x2)>f微專題?求函數(shù)最值的常用方法思想方法一、單調(diào)性法[例1]函數(shù)f(x)＝－ax＋b(a>0)在12，2上的值域?yàn)?2，2解析：∵f(x)＝－ax＋b(a>0)在1∴f(x)min＝f(12)＝12，f(x)max＝即?2a+b=12，?a2+b=2，答案：15名師點(diǎn)評利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的值域是最基本的方法，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確確定函數(shù)的單調(diào)性．二、不等式法主要是指運(yùn)用均值不等式及其變形公式來解決函數(shù)最值問題的一種方法．常用的不等式有以下幾種：a2＋b2≥2ab(a，b為實(shí)數(shù))；a+b2≥ab(a≥0，ab≤a+b22≤a2[例2]已知函數(shù)f(x)＝sin2xsinx+2解析：設(shè)t＝sinx＋2，則t∈[1，3]，則sin2x＝(t－2)2，則g(t)＝t?22t＝t＋4t－4(1≤t≤3)，由“對勾函數(shù)”的性質(zhì)可得g(t)在[1，2)上為減函數(shù)，在(2，3]上為增函數(shù)，又g(1)＝1，g(3)＝13，所以g(t)max＝g(1)＝1.即f(答案：1名師點(diǎn)評在利用均值不等式法求函數(shù)最值時，必須注意“一正”“二定”“三相等”，特別是“三相等”，是我們易忽略的地方，容易產(chǎn)生失誤．三、換元法換元法有兩類，即代數(shù)換元和三角換元，我們可以根據(jù)具體問題及題目形式去靈活選擇換元的方法，以便將復(fù)雜的函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為簡單函數(shù)的最值問題，從而求出原函數(shù)的最值．如可用三角代換解決形如a2＋b2＝1及部分根式函數(shù)形式的最值問題．[例3](1)函數(shù)f(x)＝x＋21?x的最大值為________；(2)求函數(shù)y＝x－4?x解析：(1)設(shè)1?x＝t(t≥0)，所以x＝1－t2，所以y＝f(x)＝x＋21?x＝1－t2＋2t＝－t2＋2t＋1＝－(t－1)2＋2.所以當(dāng)t＝1即x＝0時，ymax＝f(x)max＝2.(2)換元法：由4－x2≥0，得－2≤x≤2，所以設(shè)x＝2cosθ(θ∈[0，π])，則y＝2cosθ－4?4cos2θ＝2cos＝22cosθ+π因?yàn)棣龋?∈π所以cosθ+π4∈所以y∈[－22，2].答案：(1)2(2)y∈[－22，2]名師點(diǎn)評在使用換元法時注意換元后新元的范圍(即定義域)，特別是三角換元后新函數(shù)的周期性對值域的影響．四、數(shù)形結(jié)合法數(shù)形結(jié)合法，是指利用函數(shù)所表示的幾何意義，借助幾何方法及函數(shù)的圖象求函數(shù)最值的一種常用的方法．[例4]對a，b∈R，記max{a，b}＝a，a≥bb，a<b，函數(shù)f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R解析：由|x＋1|≥|x－2|，得(x＋1)2≥(x－2)2.所以x≥12.所以f(x)＝其圖象如圖所示：由圖象易知，當(dāng)x＝12時，函數(shù)有最小值，所以fxmin＝f(12)＝答案：3第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值積累必備知識一、1．(1)增函數(shù)減函數(shù)上升的下降的(2)增函數(shù)減函數(shù)單調(diào)區(qū)間(3)f′(x)>0f′(x)<02．f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M三、1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2．解析：對于A，y＝2|x|在[0，＋∞)上是增函數(shù)，所以在(0，1)上是增函數(shù)，正確；對于B，函數(shù)y＝6－x在R上是減函數(shù)，所以在(0，1)上是減函數(shù)，錯誤；對于C，函數(shù)y＝1x在(0，＋∞)上是減函數(shù)，所以在(0，1)上是減函數(shù)，錯誤；對于D，函數(shù)y＝－x2＋6在[0，＋∞答案：A3．解析：因?yàn)閥＝1x?1在[2，3]上單調(diào)遞減，所以ymin＝13?1＝答案：B4．解析：由4＋3x－x2>0得出函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?<x<4.令t＝4＋3x－x2，則f(x)＝lnt．因?yàn)楹瘮?shù)t在?1，32上單調(diào)遞增，在32，4上單調(diào)遞減，而函數(shù)y＝ln答案：35．解析：由條件知?2≤a+1≤2答案：[－1，1)6．解析：對于f(x)＝－x，由正比例函數(shù)的性質(zhì)可知，f(x)是減函數(shù)，故A不符合題意；對于f(x)＝23x，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，f(x)是減函數(shù)，故B不符合題意；對于f(x)＝x2，由二次函數(shù)的圖象可知，f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故C不符合題意；對于f(x)＝3x＝x13，由冪函數(shù)的性質(zhì)可知，f(x答案：D提升關(guān)鍵能力考點(diǎn)一1．解析：方法1：設(shè)－1<x1<x2<1，f(x)＝ax?1+1x?1＝a1+f(x1)－f(x2)＝a1+1x1?1－a由于－1<x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，故當(dāng)a>0時，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函數(shù)f(x)在(－1，1)上單調(diào)遞減；當(dāng)a<0時，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函數(shù)f(x)在(－1，1)上單調(diào)遞增．方法2：f′(x)＝ax'x?1?axx?1'當(dāng)a>0時，f′(x)<0，函數(shù)f(x)在(－1，1)上單調(diào)遞減；當(dāng)a<0時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(－1，1)上單調(diào)遞增．2．解析：f(x)＝?＝?畫出函數(shù)圖象，如圖所示，則單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1]和[0，1]，單調(diào)遞減區(qū)間為(－1，0)和(1，＋∞)．一題多變解析：函數(shù)y＝|－x2＋2x＋1|的圖象如圖所示，由圖象可知，函數(shù)y＝|－x2＋2x＋1|的單調(diào)遞增區(qū)間為(1－2，1]和(1＋2，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，1－2]和(1，1＋2].3．解析：由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.設(shè)t＝x2－2x－8，則y＝lnt為增函數(shù)．要求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，即求函數(shù)t＝x2－2x－8在定義域內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間．∵函數(shù)t＝x2－2x－8在(－∞，－2)上單調(diào)遞減，在(4，＋∞)上單調(diào)遞增，∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(4，＋∞)．答案：D考點(diǎn)二例1解析：(1)函數(shù)f(x)＝1ex+1?12是R上的減函數(shù)，又log38<2<21.3<21.4＝40.7，所以f(40.7)<f(21.3)<f(log38)，即(2)由于函數(shù)f(x)的圖象向左平移1個單位長度后得到的圖象關(guān)于y軸對稱，故函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，所以a＝f?12＝f52.當(dāng)x2>x1>1時，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，等價于函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，所以b>a答案：(1)C(2)D例2解析：(1)因?yàn)閥＝x和y＝－1x2在[1，4]上是增函數(shù)，所以f(x)＝x?1x2在[1，4]上是增函數(shù)，所以M＝f(x)max＝f(4)＝2－116＝3116，m＝f(1)＝0.因此(2)令x2+4＝t，則t∴x2＝t2－4，∴y＝tt2+1設(shè)h(t)＝t＋1t，則h(t)在[2，＋∞∴h(t)min＝h(2)＝52∴y≤152＝25即y最大值為25答案：(1)A(2)2例3解析：(1)令x＝y(tǒng)＝0，得f(0)＝－1.在R上任取x1>x2，則x1－x2>0，f(x1－x2)>－1.又f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x2)，所以函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)增函數(shù)．(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5.由f(x2＋2x)＋f(1－x)>4，得f(x2＋2x)＋f(1－x)＋1>5，即f(x2＋x＋1)>f(3)，又函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，故x2＋x＋1>3，解得x<－2或x>1，故原不等式的解集為{x|x<－2或x>1}．一題多變解析：(1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，則x1x2>1，由于當(dāng)x>1時，f所以fx1x2<0，即f(x1)－f(因此f(x1)<f(x2)，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是單調(diào)遞減函數(shù)．(3)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以不等式f(2x＋1)>f(2－x)等價于2x+1>02?x>02x+1<2?x，解得－12<x故原不等式的解集為x?例4解析：(1)要使函數(shù)f(x)＝ax?2，0<x≤1logax，x>1，在(0，＋∞(2)y＝x?5x?a?2＝x?a?2+a?3x?a?2＝1＋a?3x?a+2，所以當(dāng)a－3<0時，y＝x?5x?a?2的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，a＋2)，(a＋2，＋∞)；當(dāng)a－3≥0時不符合題意．又y＝x?5x?a?2在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以(－1，＋∞)?(a＋2，＋∞)，所以a＋2≤－1，即a答案：(1)C(2)C對點(diǎn)訓(xùn)練1．解析：依題意f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，在(－∞，1)上單調(diào)遞增，且f(x)關(guān)于x＝1對稱，∴a＝f?12＝f∴f(e)<f52<f即c<a<b.答案：D2．解析：因?yàn)閒(x)＝2xx?2＝2＋4x?2，所以f(所以M＝f(3)＝2＋43?2＝6，m＝f(4)＝2＋44?2＝4，所以m2M＝答案：D3．解析：因?yàn)閷θ我鈞1≠x2，都有fx所以y＝f(x)在R上是增函數(shù)．所以2?a>0，a>1，2?a×1+1≤故實(shí)數(shù)a的取值范圍是32答案：D4．解析：根據(jù)函數(shù)f(x)的圖象(圖略)可知，f(x)是定義在R上的增函數(shù)．∴2－x2>x，∴－2<x<1.答案：(－2，1)

第三節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性最新考綱·1．了解函數(shù)奇偶性的含義．2．會運(yùn)用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的奇偶性．3．了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會判斷、應(yīng)用簡單函數(shù)的周期性．·考向預(yù)測·考情分析：以理解函數(shù)的奇偶性、會用函數(shù)的奇偶性為主，其中與函數(shù)的單調(diào)性、周期性交匯的問題仍是高考考查的熱點(diǎn)．題型以選擇、填空題為主，中等偏上難度．學(xué)科素養(yǎng)：通過函數(shù)奇偶性和周期性的概念考查數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；通過函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用考查直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng)．積累必備知識——基礎(chǔ)落實(shí)贏得良好開端一、必記2個知識點(diǎn)1．函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)______x都有______________________，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于______對稱奇函數(shù)如果函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)______x都有______________________，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于______對稱2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝________，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期．(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中______________的正數(shù)，那么這個________就叫做f(x)的最小正周期．二、必明3個常用結(jié)論1．函數(shù)奇偶性常用結(jié)論(1)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|).(2)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．(3)在公共定義域內(nèi)有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函數(shù)周期性常用結(jié)論對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝1fx，則T＝2a((3)若f(x＋a)＝－1fx，則T＝2a(3．函數(shù)對稱性常用結(jié)論(1)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱．(2)若對于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱．(3)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b，0)中心對稱．三、必練4類基礎(chǔ)題(一)判斷正誤1．判斷下列說法是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?．(1)“a＋b＝0”是“函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b](a≠b)上具有奇偶性”的必要條件．()(2)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則必有f(0)＝0.()(3)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱．()(4)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b，0)中心對稱．()(5)已知函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，若在(－∞，0)上是減函數(shù)，則在(0，＋∞)上是增函數(shù)．()(6)若T為y＝f(x)的一周期，那么nT(n∈Z)是函數(shù)f(x)的周期．()(二)教材改編2．[必修1·P36練習(xí)T1改編]下列函數(shù)為偶函數(shù)的是()A．f(x)＝x－1B．f(x)＝x2＋xC．f(x)＝2x－2－xD．f(x)＝2x＋2－x3．[必修1·P45復(fù)習(xí)題B組T4改編]設(shè)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)x∈[－1，1)時，f(x)＝?4x2+2，?1≤x<0，x，0≤x<1，(三)易錯易混4．(不化簡函數(shù)解析式出錯)函數(shù)f(x)＝lg1?x2x+3?3是________函數(shù)．(填“奇”或“偶”5．(找不到函數(shù)的周期從而求不出結(jié)果)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＝－fx+12，且f(12)＝3，則(四)走進(jìn)高考6．[2021·全國乙卷理]設(shè)函數(shù)f(x)＝1?x1+xA．f(x－1)－1B．f(x－1)＋1C．f(x＋1)－1D．f(x＋1)＋1提升關(guān)鍵能力——考點(diǎn)突破掌握類題通法考點(diǎn)一函數(shù)奇偶性的判斷[基礎(chǔ)性][例1]判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝9?x(2)f(x)＝(x＋1)1?x1+x(3)f(x)＝4?x(4)f(x)＝?聽課筆記：反思感悟判定函數(shù)奇偶性的兩種常用方法(1)定義法(2)圖象法[注意]對函數(shù)奇偶性的判斷，不能用特殊值法，如存在x0使f(－x0)＝－f(x0)，不能判斷函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．考點(diǎn)二函數(shù)奇偶性的應(yīng)用[綜合性、應(yīng)用性][例2](1)[2019·全國Ⅱ卷]已知f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時，f(x)＝－eax，若f(ln2)＝8，則a＝________．(2)設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－5，5]，若當(dāng)x∈[0，5]時，f(x)的圖象如圖所示，則不等式f(x)<0的解集是________．聽課筆記：反思感悟函數(shù)奇偶性的應(yīng)用(1)求函數(shù)值：將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知解析式的區(qū)間上的函數(shù)值．(2)求解析式：將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的區(qū)間上，再利用奇偶性的定義求出．(3)求解析式中的參數(shù)：利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)f(x)±f(－x)＝0得到關(guān)于參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對等性或等式恒成立的條件得方程(組)，進(jìn)而得出參數(shù)的值．(4)畫函數(shù)圖象：利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在另一對稱區(qū)間上的圖象．(5)求特殊值：利用奇函數(shù)的最大值與最小值之和為零可求一些特殊結(jié)構(gòu)的函數(shù)值．[注意]對于定義域?yàn)镮的奇函數(shù)f(x)，若0∈I，則f(0)＝0.【對點(diǎn)訓(xùn)練】1．[2022·武漢質(zhì)檢]下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是()A．y＝xsinxB．y＝xlnxC．y＝ex?1ex+1D．y＝x2．已知f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝2x＋m，則f(－3)＝________．3．[2022·貴陽市第一學(xué)期監(jiān)測考試]函數(shù)f(x)＝(x－1)2可以表示為奇函數(shù)h(x)與偶函數(shù)g(x)的和，則g(1)等于()A．－2B．0C．1D．2考點(diǎn)三函數(shù)的周期性及其應(yīng)用[綜合性][例3](1)[2022·重慶質(zhì)檢]已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，對任意的實(shí)數(shù)x，f(x－2)＝f(x＋2)，當(dāng)x∈(0，2)時，f(x)＝x2，則f132A．－94B．－14C．1(2)已知f(x)是定義域?yàn)?－∞，＋∞)的奇函數(shù)，滿足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A．－50B．0C．2D．50(3)已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)0≤x<2時，f(x)＝x3－x，則函數(shù)y＝f(x)的圖象在區(qū)間[0，6]上與x軸的交點(diǎn)個數(shù)為________．聽課筆記：反思感悟求函數(shù)周期的方法方法解讀適合題型定義法具體步驟為：對于函數(shù)y＝f(x)，如果能夠找到一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么T就是函數(shù)y＝f(x)的周期非零常數(shù)T容易確定的函數(shù)遞推法采用遞推的思路進(jìn)行，再結(jié)合定義確定周期．如：若f(x＋a)＝－f(x)，則f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以2a為f(x)的一個周期含有f(x＋a)與f(x)的關(guān)系式換元法通過換元思路將表達(dá)式化簡為定義式的結(jié)構(gòu)，如：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，則x＝t＋a，則f(t＋2a)＝f(t＋a＋a)＝f(t＋a－a)＝f(t)，所以2a為f(x)的一個周期f(bx±a)＝f(bx±c)型關(guān)系式【對點(diǎn)訓(xùn)練】1．已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且滿足f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，且f(12)＝22，f(0)≠0，則A．2021B．1C．0D．－12．已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(x＋2)為偶函數(shù)，f(2x＋1)為奇函數(shù)，則()A．f?12＝0B．C．f(2)＝0D．f(4)＝0考點(diǎn)四函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用[綜合性]角度1函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性[例4](1)已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)<b<cB．c<b<aC．b<a<cD．b<c<a(2)[2020·新高考Ⅰ卷]若定義在R的奇函數(shù)f(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，且f(2)＝0，則滿足xf(x－1)≥0的x的取值范圍是()A．[－1，1]∪B．[－3，－1]∪C．[－1，0]∪D．[－1，0]∪聽課筆記：反思感悟1．比較函數(shù)值的大小問題，可以利用奇偶性，把不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個或多個自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，再利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小；2．對于抽象函數(shù)不等式的求解，應(yīng)變形為f(x1)>f(x2)的形式，再結(jié)合單調(diào)性，脫去“f”變成常規(guī)不等式，轉(zhuǎn)化為x1<x2(或x1>x2)求解.角度2函數(shù)的奇偶性與周期性[例5](1)[2022·貴陽調(diào)研]定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(2－x)＝f(x)，且當(dāng)－1≤x<0時，f(x)＝2x－1，則f(log220)＝()A．14B．15C．－1(2)已知f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)，若f(1)<1，f(5)＝2a?3a+1，則實(shí)數(shù)aA．(－1，4)B．(－2，0)C．(－1，0)D．(－1，2)聽課筆記：反思感悟周期性與奇偶性結(jié)合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解．角度3函數(shù)的奇偶性與對稱性相結(jié)合[例6]已知定義在R上的函數(shù)f(x)，對任意實(shí)數(shù)x有f(x＋4)＝－f(x)，若函數(shù)f(x－1)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，f(－5)＝2，則f(2021)＝________．聽課筆記：反思感悟函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函數(shù)圖象的對稱性，函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函數(shù)的周期性，在使用這兩個關(guān)系時不要混淆．【對點(diǎn)訓(xùn)練】1．[2022·佛山調(diào)研]已知函數(shù)f(x)＝log21x+1+1xA．110，10C．(1，10)D．12．已知f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且函數(shù)f(x＋2)為偶函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是()A．函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱B．f(4)＝0C．f(x＋8)＝f(x)D．若f(－5)＝－1，則f(2019)＝－1微專題?函數(shù)性質(zhì)中“三個二級”結(jié)論的應(yīng)用數(shù)學(xué)抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性與對稱性，在高考中常常將它們綜合在一起命題，解題時，往往需要借助函數(shù)的奇偶性和周期性來確定另一區(qū)間上的單調(diào)性，即實(shí)現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換，再利用單調(diào)性解決相關(guān)問題．結(jié)論1抽象函數(shù)的對稱性已知函數(shù)f(x)是定義在R上的函數(shù)．(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a+b2對稱，特別地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a(2)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即f(x)＝－f(2a－x)，則f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，0)對稱．[例1]定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：①對任意x∈R有f(x＋4)＝f(x)；②f(x)在[0，2]上是增函數(shù)；③f(1＋x)＝f(3－x)，則下列結(jié)論正確的是()A．f(7)<f(6.5)<f(4.5)B．f(7)<f(4.5)<f(6.5)C．f(4.5)<f(6.5)<f(7)D．f(4.5)<f(7)<f(6.5)解析：由①知函數(shù)f(x)的周期為4，由f(1＋x)＝f(3－x)，知函數(shù)f(x)圖象關(guān)于直線x＝2對稱，由②知函數(shù)f(x)在[0，2]上單調(diào)遞增，則在[2，4]上單調(diào)遞減，且在[0，4]上越靠近x＝2，對應(yīng)的函數(shù)值越大，又f(7)＝f(3)，f(6.5)＝f(2.5)，f(4.5)＝f(0.5)，由以上分析可得f(0.5)<f(3)<f(2.5)，即f(4.5)<f(7)<f(6.5).答案：D結(jié)論2奇函數(shù)的最值性質(zhì)已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間D上的奇函數(shù)，則對任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特別地，若奇函數(shù)f(x)在D上有最值，則fxmax+fxmin＝0，且若0[例2]設(shè)函數(shù)f(x)＝x+12+sinxx2+1的最大值為M解析：顯然函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(x)＝x+12+sin設(shè)g(x)＝2x+sinxx2+1，則g(－x∴g(x)為奇函數(shù)，由奇函數(shù)圖象的對稱性知g(x)max＋g(x)min＝0，∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.答案：2結(jié)論3抽象函數(shù)的周期性(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函數(shù)，其中的一個周期T＝2a.(2)如果f(x＋a)＝1fx(a≠0)，那么f(x)是周期函數(shù)，其中的一個周期T＝2(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函數(shù)，其中的一個周期T＝2a.[例3][2022·江西鷹潭模擬]偶函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對稱，當(dāng)－1≤x≤0時，f(x)＝?x2＋1，則A．2B．0C．－1D．1解析：∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(x)的圖象關(guān)于直線x＝0對稱，f(x)＝f(－x)．又f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對稱，∴f(x)＝－f(2－x)，即f(x)＝－f(x－2)．∴f(x)的周期為4.∴f(2020)＝f(2020－4×505)＝f(0)，又當(dāng)－1≤x≤0時，f(x)＝－x2＋1，∴f(2020)＝f(0)＝1.答案：D第三節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性積累必備知識一、1．任意一個f(－x)＝f(x)y軸任意一個f(－x)＝－f(x)原點(diǎn)2．f(x)存在一個最小最小正數(shù)三、1．答案：(1)√(2)×(3)√(4)√(5)√(6)×2．解析：D中，f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)，其余A，B，C選項(xiàng)均不滿足f(－x)＝f(x)．答案：D3．解析：f32＝f?12＝－4答案：14．解析：由1?x2>0，x+3?3≠0，得－1<x<1且x≠0，所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－1，0)∪0，1，因?yàn)閒(－x)＝lg1?x2?x＝－f(x)，所以答案：奇5．解析：因?yàn)閒(x)＝－fx+12，所以f(x＋1)＝fx+12+12＝－fx+12＝f(x)，所以f(x)是以1為周期的周期函數(shù)，所以f答案：36．解析：方法1：f(x)＝－1＋2x+1，其圖象的對稱中心為(－1，－1)，將y＝f(x)的圖象沿x軸向右平移1個單位，再沿y軸向上平移1個單位可得函數(shù)f(x－1)＋1的圖象，關(guān)于(0，0)對稱，所以函數(shù)f(x方法2：選項(xiàng)A，f(x－1)－1＝2x－2，此函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；選項(xiàng)B，f(x－1)＋1＝2x，此函數(shù)為奇函數(shù)；選項(xiàng)C，f(x＋1)－1＝?2x?2x+2，此函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；選項(xiàng)D，f(x答案：B提升關(guān)鍵能力考點(diǎn)一例1解析：(1)由9?x2≥∴f(x)的定義域?yàn)閧－3，3}，此時f(x)＝0.又f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0.即f(x)＝±f(－x)．∴f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)．(2)由1?x1+x≥0，1+x≠0∵f(x)的定義域?yàn)?－1，1]不關(guān)于原點(diǎn)對稱．∴f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．解析：(3)由4?x2≥0，x+3?3≠0得－2≤∴f(x)的定義域?yàn)閇－2，0)∪0，2，關(guān)于原點(diǎn)對稱．此時，有f(x)＝∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函數(shù)．(4)當(dāng)x>0時，f(x)＝－x2＋2x＋1，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；當(dāng)x<0時，f(x)＝x2＋2x－1，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)．所以f(x)為奇函數(shù)．考點(diǎn)二例2解析：(1)由題意得，當(dāng)x>0，－x<0時，f(x)＝－f(－x)＝－(－e－ax)＝e－ax，所以f(ln2)＝e－aln2＝eln2?a＝2－a＝8＝23，即2－a＝23(2)由圖象知，當(dāng)0<x<2時，f(x)>0；當(dāng)2<x≤5時，f(x)<0，又f(x)是奇函數(shù)，∴當(dāng)－2<x<0時，f(x)<0，當(dāng)－5≤x<－2時，f(x)>0.綜上，f(x)<0的解集為(－2，0)∪答案：(1)－3(2)(－2，0)∪對點(diǎn)訓(xùn)練1．解析：A中，y＝xsinx為偶函數(shù)，D中，y＝xln(x2+1－x)是偶函數(shù)．B中，函數(shù)y＝xlnx的定義域?yàn)?0，＋∞)，非奇非偶函數(shù)．C中，f(－x)＝e?x?1e?x+1＝1?ex答案：B2．解析：因?yàn)閒(x)為R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，故f(x)＝2x－1(x≥0)，則f(－3)＝－f(3)＝－(23－1)＝－7.答案：－73．解析：由已知得f(x)＝(x－1)2＝x2－2x＋1＝h(x)＋g(x)，∵h(yuǎn)(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，∴g(x)＝x2＋1，h(x)＝－2x，∴g(1)＝12＋1＝2.答案：D考點(diǎn)三例3解析：(1)由f(x－2)＝f(x＋2)知y＝f(x)的周期T＝4，又f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f132＝f8?32＝f?32＝－(2)方法一∵f(x)在R上是奇函數(shù)，且f(1－x)＝f(1＋x)．∴f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x)．因此f(x＋4)＝f(x)，則函數(shù)f(x)是周期為4的函數(shù)，由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0，令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.方法二由題意可設(shè)f(x)＝2sinπ2x，作出f(由圖可知，f(x)的一個周期為4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.解析：(3)因?yàn)楫?dāng)0≤x<2時，f(x)＝x3－x.又f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且f(0)＝0，則f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0，又f(1)＝0，∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，故函數(shù)y＝f(x)的圖象在區(qū)間[0，6]上與x軸的交點(diǎn)有7個．答案：(1)A(2)C(3)7對點(diǎn)訓(xùn)練1．解析：令x＝y(tǒng)＝0，則f(0)＋f(0)＝2f(0)f(0)，故2f(0)(f(0)－1)＝0，故f(0)＝1，(f(0)＝0舍)令x＝y(tǒng)＝12，則f(1)＋f(0)＝2f(12)f(故f(1)＝0.∴f(x＋1)＋f(x－1)＝2f(x)f(1)＝0，即f(x＋1)＝－f(x－1)?f(x＋2)＝－f(x)?f(x＋4)＝f(x)，故f(x)的周期為4，即f(x)是周期函數(shù)．∴f(2021)＝f(1)＝0.答案：C2．解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x＋2)為偶函數(shù)，則f(2＋x)＝f(2－x)，可得f(x＋3)＝f(1－x)，因?yàn)楹瘮?shù)f(2x＋1)為奇函數(shù)，則f(1－2x)＝－f(2x＋1)，所以，f(1－x)＝－f(x＋1)，所以，f(x＋3)＝－f(x＋1)＝f(x－1)，即f(x)＝f(x＋4)，故函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)F(x)＝f(2x＋1)為奇函數(shù)，則F(0)＝f(1)＝0，故f(－1)＝－f(1)＝0，其它三個選項(xiàng)未知．答案：B考點(diǎn)四例4解析：(1)易知g(x)＝xf(x)在R上為偶函數(shù)，∵奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，且f(0)＝0.∴g(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．又3>log25.1>2>20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，∴g(3)>g(log25.1)>g(20.8)，則c>a>b.(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，且f(2)＝0，畫出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖(1)所示，則函數(shù)f(x－1)的大致圖象如圖(2)所示．當(dāng)x≤0時，要滿足xf(x－1)≥0，則f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.當(dāng)x>0時，要滿足xf(x－1)≥0，則f(x－1)≥0，得1≤x≤3.故滿足xf(x－1)≥0的x的取值范圍是[－1，0]∪答案：(1)C(2)D例5解析：(1)依題意，知f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，則f(4＋x)＝f(x)，所以f(x)是周期函數(shù)，且周期為4.又2<log25<3，則－1<2－log25<0，所以f(log220)＝f(2＋log25)＝f(log25－2)＝－f(2－log25)＝－(22－log25－1)＝－(2)因?yàn)閒(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)．∴f(5)＝f(－1)＝f(1)<1.從而2a?3a+1<1，解得－1<a答案：(1)B(2)A例6解析：由函數(shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱可知，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，故f(x)為偶函數(shù)．由f(x＋4)＝－f(x)，得f(x＋4＋4)＝－f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是周期T＝8的偶函數(shù)，所以f(2021)＝f(5＋252×8)＝f(5)＝f(－5)＝2.答案：2對點(diǎn)訓(xùn)練1．解析：∵f(x)的定義域?yàn)閧x|x∈R，且x≠0}，且f(－x)＝f(x)，則y＝f(x)是偶函數(shù)，易知f(x)在(0，＋∞)上是單調(diào)遞減函數(shù)，f(1)＝log22＋4＝3，所以不等式f(lgx)>3可化為0<|lgx|<1，即－1<lgx<1，且lgx≠0，解得110<x<10，且x≠所以所求不等式的解集為1答案：D2．解析：根據(jù)題意，f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，則f(－x)＝－f(x)，又由函數(shù)f(x＋2)為偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，則有f(－x)＝f(4＋x)，則有f(x＋4)＝－f(x)，即f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，則函數(shù)f(x)是周期為8的周期函數(shù)；據(jù)此分析選項(xiàng)：對于A，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，A錯誤；對于B，f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，則f(0)＝0，又由函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，則f(4)＝0，B正確；對于C，函數(shù)f(x)是周期為8的周期函數(shù)，即f(x＋8)＝f(x)，C正確；對于D，若f(－5)＝－1，則f(2019)＝f(－5＋2024)＝f(－5)＝－1，D正確．答案：A

第四節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)·最新考綱·1．了解冪函數(shù)的概念．2．結(jié)合函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x3．理解二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．4．能用二次函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系解決簡單問題．·考向預(yù)測·考情分析：冪函數(shù)一般不單獨(dú)命題，常與指數(shù)、對數(shù)函數(shù)交匯命題；二次函數(shù)的圖象與應(yīng)用仍是高考考查的熱點(diǎn)，題型多以選擇題、填空題為主，屬中檔題．學(xué)科素養(yǎng)：通過二次函數(shù)與冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．積累必備知識——基礎(chǔ)落實(shí)贏得良好開端一、必記2個知識點(diǎn)1．冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地，函數(shù)________叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．(2)冪函數(shù)的性質(zhì)①冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義；②當(dāng)α>0時，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；③當(dāng)α<0時，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1，1)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．2．二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式一般式：f(x)＝____________．頂點(diǎn)式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為________．零點(diǎn)式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為f(x)的零點(diǎn)．(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)圖象(拋物線)定義域______值域4ac??∞，對稱軸x＝________頂點(diǎn)坐標(biāo)________奇偶性當(dāng)b＝0時是偶函數(shù)，當(dāng)b≠0時是非奇非偶函數(shù)單調(diào)性在?∞，?b在?b在?∞，?b在?b二、必明3個常用結(jié)論1．二次函數(shù)的單調(diào)性、最值與拋物線的開口方向和對稱軸及給定區(qū)間的范圍有關(guān)．2．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則當(dāng)a>0，Δ<0時，恒有f(x)>0；當(dāng)a<0，Δ<0時，恒有f(3．(1)冪函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會出現(xiàn)在第四象限；(2)冪函數(shù)的圖象過定點(diǎn)(1，1)，如果冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn)．三、必練4類基礎(chǔ)題(一)判斷正誤1．判斷下列說法是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?．(1)函數(shù)y＝2x(2)當(dāng)n>0時，冪函數(shù)y＝xn在(0，＋∞)上是增函數(shù)．()(3)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函數(shù)．()(4)如果冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn)．()(5)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是4ac?b(二)教材改編2．[必修1·P79習(xí)題T1改編]已知冪函數(shù)f(x)＝k·xα的圖象過點(diǎn)(12，22)，則k＋A．12C．323．[必修1·P44習(xí)題A組T9改編]已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋3，若y＝f(x)在區(qū)間[－4，6]上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．(三)易錯易混4．(忽視二次項(xiàng)系數(shù)的討論)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋ax＋5的圖象在x軸上方，則a的取值范圍是()A．(0，20)B．[0，20)C．[0，20]D．[20，＋∞)5．(忽視函數(shù)的定義域)若a+112<(四)走進(jìn)高考6．[2020·江蘇卷]已知y＝f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝x23，則提升關(guān)鍵能力——考點(diǎn)突破掌握類題通法考點(diǎn)一冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)[基礎(chǔ)性]1．若冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過點(diǎn)(4，2)，則冪函數(shù)y＝f(x)的大致圖象是()2．[2022·巴蜀中學(xué)調(diào)研]已知點(diǎn)(m，8)在冪函數(shù)f(x)＝(m－1)xn的圖象上，設(shè)a＝f(13)，b＝f(lnπ)，c＝f(2?12)，則aA．a(chǎn)<c<bB．a(chǎn)<b<cC．b<c<aD．b<a<c3．[2022·長沙質(zhì)檢]冪函數(shù)f(x)＝(m2－3m＋3)xm的圖象關(guān)于y軸對稱，則實(shí)數(shù)m＝________．反思感悟冪函數(shù)的指數(shù)與圖象特征的關(guān)系(1)冪函數(shù)的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一個參數(shù)α，因此只需一個條件即可確定其解析式．(2)若冪函數(shù)y＝xα(α∈R)是偶函數(shù)，則α必為偶數(shù)，當(dāng)α是分?jǐn)?shù)時，一般將其先化為根式再判斷．(3)若冪函數(shù)y＝xα在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則α>0，若在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，則α<0.[提醒]在比較冪值的大小時，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較．考點(diǎn)二二次函數(shù)的解析式[綜合性][例1]已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，試確定該二次函數(shù)的解析式．聽課筆記：反思感悟求二次函數(shù)解析式的方法根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，一般用待定系數(shù)法，規(guī)律如下：【對點(diǎn)訓(xùn)練】1．若二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(4，－3)，且當(dāng)x＝3時，二次函數(shù)取得最大值－1，則該函數(shù)的解析式為________．2．若二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1，0)，(3，0)，且過點(diǎn)(0，3)，則該二次函數(shù)的解析式是________．考點(diǎn)三二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)[綜合性]角度1二次函數(shù)的圖象[例2](1)如圖是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的一部分，圖象過點(diǎn)A(－3，0)，對稱軸為直線x＝－1.給出下面四個結(jié)論：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b.其中正確的結(jié)論是()A．②④B．①④C．②③D．①③(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，若f(m)<0，則()A．f(m＋1)≥0B．f(m＋1)≤0C．f(m＋1)>0D．f(m＋1)<0聽課筆記：反思感悟(1)研究二次函數(shù)圖象應(yīng)從“三點(diǎn)一線一開口”進(jìn)行分析，“三點(diǎn)”中有一個點(diǎn)是頂點(diǎn)，另兩個點(diǎn)是圖象上關(guān)于對稱軸對稱的兩個點(diǎn)，常取與x軸的交點(diǎn)；“一線”是指對稱軸這條直線