第三講描述統(tǒng)計之常用統(tǒng)計參數(shù)

[問題]反映變量次數(shù)分布特征主要有哪些呢？目前一頁\總數(shù)九十三頁\編于七點目前二頁\總數(shù)九十三頁\編于七點1、集中趨勢指的是數(shù)據(jù)分布中大量數(shù)據(jù)向某方向集中的程度。用以刻劃集中程度的統(tǒng)計量，即集中量數(shù)。（平均數(shù)等）目前三頁\總數(shù)九十三頁\編于七點2、離中趨勢（離散性）刻劃變量出現(xiàn)（一組數(shù)據(jù)）的分散程度，即數(shù)據(jù)分布的離散程度。目前四頁\總數(shù)九十三頁\編于七點第一部分：集中趨勢一、算術(shù)平均數(shù)簡稱平均數(shù)、均數(shù)或均值，為與其它幾種平均數(shù)相區(qū)別，也稱算術(shù)平均數(shù)。■符號表示：M、、、

觀察數(shù)據(jù)的平均數(shù)總體均值目前五頁\總數(shù)九十三頁\編于七點2、公式其中：是算術(shù)平均數(shù)；N是總體容量；是變量X的第i次觀察值；

①未分組觀察數(shù)據(jù)平均數(shù)目前六頁\總數(shù)九十三頁\編于七點[例]某項研究在一年級學生總體中抽取出10名被試，測得他們的分數(shù)為60、70、65、78、98、64、89、75、69、75，試求他們的平均分數(shù)。目前七頁\總數(shù)九十三頁\編于七點②觀察數(shù)據(jù)整理成次數(shù)分布表后平均的計算■注

◆公式隱含了觀察數(shù)據(jù)在各分組區(qū)間均勻散布的假設；

◆、f分別是各分組區(qū)間的組中值與相應次數(shù)目前八頁\總數(shù)九十三頁\編于七點分組區(qū)間

組中值劃記次數(shù)相對次數(shù)(頻率)累加次數(shù)累積相對次數(shù)[96.5,99.5)97||

2.021001.00[93.5,96.5)94|||3.0398.98[90.5,93.5)91||||4.0495.95[87.5,90.5)

88||||||||8.0891.91[84.5,87.5)85|||||||||||11.1183.83[81.5,84.5)82|||||||||||||||||17.1772.72[78.5,81.5)79|||||||||||||||||||19.1955.55[75.5,78.5)76||||||||||||||14.1436.3688名高考考生數(shù)學成績統(tǒng)計結(jié)果中數(shù)動差目前九頁\總數(shù)九十三頁\編于七點3、算術(shù)平均數(shù)的性質(zhì)一組數(shù)據(jù)中每一個數(shù)與平均數(shù)之差（稱為離均差）的總和等于0，即：①性質(zhì)1目前十頁\總數(shù)九十三頁\編于七點給一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)加上一個常數(shù)C則所得到的新數(shù)組的平均數(shù)為原來數(shù)組的平均數(shù)加上常數(shù)C，即：②性質(zhì)2目前十一頁\總數(shù)九十三頁\編于七點給一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)乘上一個常數(shù)C，則所得到的新數(shù)組的平均數(shù)為原來數(shù)組的平均數(shù)（設為）乘以常數(shù)C，即：③性質(zhì)3目前十二頁\總數(shù)九十三頁\編于七點4、平均數(shù)的意義應用最廣泛的一種集中量數(shù)。是總體均值（或“真值”）的最佳估計。依概率1目前十三頁\總數(shù)九十三頁\編于七點■通俗的理解

設共有n個觀察數(shù)據(jù)，第i個為，設真值或總體均值為，則有：觀察值與真值的差為：目前十四頁\總數(shù)九十三頁\編于七點◆算術(shù)平均數(shù)易受極端數(shù)據(jù)的影響；◆無法對模糊數(shù)據(jù)進行處理；5、評價①優(yōu)點

具有反應靈敏、確定嚴密、簡明易解、計算簡單、適合進一步演算和較小受抽樣變化的影響等優(yōu)點。②缺點目前十五頁\總數(shù)九十三頁\編于七點6、應用平均數(shù)的原則⑴同質(zhì)性原則⑵平均數(shù)與個體數(shù)據(jù)結(jié)合的原則⑶平均數(shù)與方差相結(jié)合的原則目前十六頁\總數(shù)九十三頁\編于七點二、中數(shù)1、定義又稱中位數(shù)，符號Mdn,是指位于一組數(shù)據(jù)中較大一半與較小一半中間位置的那個數(shù)。中數(shù)所處的位置以表示。

■注：這個數(shù)可能是數(shù)據(jù)中的某一個，也可能根本不是原有的數(shù)據(jù)。目前十七頁\總數(shù)九十三頁\編于七點是將數(shù)據(jù)依大小次序排列：◆若數(shù)據(jù)個數(shù)為奇數(shù)，則取數(shù)列中間的那個數(shù)為中數(shù)；◆若數(shù)據(jù)個數(shù)為偶數(shù)，則取中間兩個數(shù)的平均數(shù)為中數(shù)。2、計算方法及分類⑴未分組數(shù)據(jù)求中數(shù)的方法（無重復數(shù)據(jù)）目前十八頁\總數(shù)九十三頁\編于七點①求數(shù)據(jù)３、６、７、9、20的中數(shù)；②求數(shù)據(jù)３、６、７、9、20、60的中數(shù)；■例

目前十九頁\總數(shù)九十三頁\編于七點⑵未分組數(shù)據(jù)求中數(shù)的方法（有重復數(shù)據(jù)）■例子

求數(shù)據(jù)11、11、11、11、13、13、13、17、17的中數(shù)；（數(shù)據(jù)個數(shù)為奇數(shù)）1312.513.544目前二十頁\總數(shù)九十三頁\編于七點■例子

求數(shù)據(jù)11、11、11、11、13、13、13、17、17、18的中數(shù)；（數(shù)據(jù)個數(shù)為奇數(shù)）1312.513.545目前二十一頁\總數(shù)九十三頁\編于七點⑶分組數(shù)據(jù)求中數(shù)的方法①分組數(shù)據(jù)的中數(shù)當觀察數(shù)據(jù)整理成次數(shù)分布表以后，中數(shù)的求取也是取序列中將N（觀察數(shù)據(jù)總數(shù)）平分為兩半的那點作為中數(shù)。目前二十二頁\總數(shù)九十三頁\編于七點②中數(shù)的計算公式

i、公式1

◆為中數(shù)所在組的精確下限；◆為中數(shù)所在組以下各組的累積次數(shù)；◆為中數(shù)所在組數(shù)據(jù)的個數(shù)；◆i為組距；目前二十三頁\總數(shù)九十三頁\編于七點ii、公式2

◆為中數(shù)所在組的精確上限；◆為中數(shù)所在組以上各組的累積次數(shù)；◆為中數(shù)所在組數(shù)據(jù)的個數(shù)；目前二十四頁\總數(shù)九十三頁\編于七點■累加曲線求中數(shù)示意圖目前二十五頁\總數(shù)九十三頁\編于七點■例子-求下列數(shù)據(jù)的中數(shù)分組區(qū)間次數(shù)96~99

293~96390~93487~90884~871181~841778~811975~7814目前二十六頁\總數(shù)九十三頁\編于七點3、中數(shù)的特點①計算簡單，不受極端數(shù)據(jù)影響；②沒有反映所有數(shù)據(jù)的信息，從而具有較大的抽樣誤差，不如平均數(shù)穩(wěn)定．也無法進行進一步的數(shù)學分析。目前二十七頁\總數(shù)九十三頁\編于七點4、應用◆出現(xiàn)兩極端數(shù)據(jù)時；◆當次數(shù)分布的兩端數(shù)據(jù)或個別數(shù)據(jù)不清楚時；◆快速估記時；目前二十八頁\總數(shù)九十三頁\編于七點三、眾數(shù)1、定義又稱密集數(shù)、通常數(shù)，符號Mo，它指在一組數(shù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)。2、計算方法直接找出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)。目前二十九頁\總數(shù)九十三頁\編于七點■例子３、６、７、7、7、9、20、60目前三十頁\總數(shù)九十三頁\編于七點4、應用范圍◆一組數(shù)據(jù)出現(xiàn)不同質(zhì)的情況◆一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)極端數(shù)據(jù)，也用眾數(shù)作為集中量數(shù)的粗略估計。3、皮爾遜經(jīng)驗公式（數(shù)據(jù)偏態(tài)分布）目前三十一頁\總數(shù)九十三頁\編于七點

ThedataaboutannualsalariesofManagementandExployeesofXYZcompanyarepresentedbelow,canyoucalculatethevaluesofthemode,themedianandthemean(threedifferentmeasuresofcentraltendency)$72,000.0054,000.0026,400.0019,200.0019,200.0019,200.0019,200.0018,000.0016,800.0016,800.0016,800.0014,400.0014,400.0014,400.0014,400.00[Exercise]目前三十二頁\總數(shù)九十三頁\編于七點◆估計數(shù)據(jù)次數(shù)分布是否呈偏態(tài)；估計指標M-Mo>0，正偏態(tài)M-Mo<0，負偏態(tài)目前三十三頁\總數(shù)九十三頁\編于七點5、平均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)的關(guān)系⑴正態(tài)分布⑵偏態(tài)分布

待圖(P68)目前三十四頁\總數(shù)九十三頁\編于七點四、幾何平均數(shù)1、幾何平均數(shù)計算⑴統(tǒng)計學表示法：或Mg⑵計算公式設有一組觀察數(shù)據(jù)，則公式為：目前三十五頁\總數(shù)九十三頁\編于七點2、適用場合①一組數(shù)據(jù)中任何兩個相鄰數(shù)據(jù)之比接近于常數(shù)；■比較適合求平均增長率②當一組數(shù)據(jù)中存在極端數(shù)據(jù)，分布呈偏態(tài)時；目前三十六頁\總數(shù)九十三頁\編于七點欲研究介于與兩感覺之間的感覺的物理刺激是多少，隨機抽取10個被試，讓其調(diào)節(jié)一個可變的物理量的刺激量，使所產(chǎn)生的感覺恰好介于與之間，然后測量所調(diào)節(jié)的物理量，結(jié)果如下：5.7、6.2、6.7、6.9、7.5、8.0、7.6、10.0、15.6、18.0。求介于與之間的感覺平均物理刺激量是多少?■例（心理物理學）目前三十七頁\總數(shù)九十三頁\編于七點■例2（平均增長率）在一項有關(guān)閱讀能力的實驗中，閱讀的遍數(shù)與每遍理解的程度依次是：第一遍：40%第二遍：52%，第三遍：65%，第四遍：75%第五遍：86%，第六遍：97%。問在該實驗中被試閱讀程度的平均進步率是多少？閱讀理解程度的平均增加比率又是多少？目前三十八頁\總數(shù)九十三頁\編于七點五、加權(quán)平均數(shù)（Mw）1、計算公式■即權(quán)數(shù)，刻劃各變量在構(gòu)成總體

的相對重要性目前三十九頁\總數(shù)九十三頁\編于七點2、為什么要加權(quán)？在實際測量數(shù)據(jù)中，有些數(shù)據(jù)的權(quán)重不一樣，此時刻劃數(shù)據(jù)分布的中心位置只能用加權(quán)平均數(shù)。（生活例子）目前四十頁\總數(shù)九十三頁\編于七點■例子某課題組在全國8個省區(qū)進行了一項調(diào)查，各省區(qū)接受調(diào)查的人數(shù)和平均數(shù)如下表，求該項調(diào)查的總平均數(shù)。目前四十一頁\總數(shù)九十三頁\編于七點省區(qū)代碼12345678人數(shù)627268400670411314610500平均分數(shù)9860829680659688目前四十二頁\總數(shù)九十三頁\編于七點六、調(diào)和平均數(shù)MH1、計算公式■N為數(shù)據(jù)個數(shù)是第i個觀察數(shù)據(jù)，或第i個變量值；目前四十三頁\總數(shù)九十三頁\編于七點2、調(diào)和平均數(shù)適用范圍調(diào)和平均數(shù)在描述速度方面的集中趨勢時，優(yōu)于其他平均數(shù)?！艄ぷ髁抗潭?，記錄被試完成相同工作量所需時間◆時間量固定，記錄被試完成的工作量目前四十四頁\總數(shù)九十三頁\編于七點■例1[工作量固定]有一學生15分鐘學會生詞30個，后10分鐘學會生詞也是30個，問該生平均學習速度是多少？目前四十五頁\總數(shù)九十三頁\編于七點■例2[時間固定]在一個學習實驗中，統(tǒng)計了6名被試在2個小時內(nèi)完成的解題量，依次為24題、20題、16題、12題、8題、4題，試問這6名被試每小時的平均解題量是多少？目前四十六頁\總數(shù)九十三頁\編于七點■例子三個不同被試對某詞的聯(lián)想速度如下表，求三個被試的平均聯(lián)想速度。被試ABC聯(lián)想詞數(shù)131313時間（分）2325目前四十七頁\總數(shù)九十三頁\編于七點第二部分：差異量數(shù)■引例目前四十八頁\總數(shù)九十三頁\編于七點1、動差是借用力學上測量力的旋轉(zhuǎn)趨勢的術(shù)語而來的一個統(tǒng)計學概念，表示數(shù)據(jù)離散情況。它將分組數(shù)據(jù)各組的次數(shù)f看成力，且以數(shù)值（或組中值）與原點之差作為距離來計算動差。■注：若以平均數(shù)作為原點，這種動差稱為中心動差。一、動差體系目前四十九頁\總數(shù)九十三頁\編于七點⑴一級動差2、常見的中心動差（centrelmoment）⑵二級動差

目前五十頁\總數(shù)九十三頁\編于七點⑶三級動差⑷四級動差目前五十一頁\總數(shù)九十三頁\編于七點■注◆三級動差是表示數(shù)據(jù)分布偏態(tài)性的指標；☆表示偏態(tài)系數(shù)；☆表示數(shù)據(jù)分布呈正偏態(tài)，☆表示數(shù)據(jù)分布呈負偏態(tài)；☆表示數(shù)據(jù)分布呈對稱形；目前五十二頁\總數(shù)九十三頁\編于七點◆四級動差是表示數(shù)據(jù)分布峰態(tài)性的指標；☆表示峰態(tài)系數(shù)；☆表示數(shù)據(jù)次數(shù)分布呈高狹峰；☆表示數(shù)據(jù)分布呈低闊峰；☆表示數(shù)據(jù)分布呈正態(tài)峰；目前五十三頁\總數(shù)九十三頁\編于七點二、常用刻劃數(shù)據(jù)離散程度的指標㈠平均差（averagedeviation）

1、平均差公式（以符號AD表示）設一組原始數(shù)據(jù)為，則計算平均差的公式：■是離均差；目前五十四頁\總數(shù)九十三頁\編于七點有5個被試的錯覺實驗數(shù)據(jù)如下，求其平均差？被試12345錯覺量（單位：毫秒）1618202217■例目前五十五頁\總數(shù)九十三頁\編于七點①它是一個能較好地刻劃數(shù)據(jù)分布離散程度的差異量數(shù)；②不足之處是它利用了絕對值以致不便于作進一步代數(shù)演算，故其實際應用上被方差或標準差取代；2、評價目前五十六頁\總數(shù)九十三頁\編于七點方差也稱變異數(shù)，均方，是每個數(shù)據(jù)與該組數(shù)據(jù)平均數(shù)之差的平方的均值，即離均差平方的平均數(shù)。標準差是方差的平方根■樣本方差常用表示；樣本標準差總體方差常用表示；總體標準差㈡方差與標準差（最常用）1、方差（二級動差）、標準差目前五十七頁\總數(shù)九十三頁\編于七點設是一個容量為N的總體的第次測定，那么有：⑴總體方差、標準差公式目前五十八頁\總數(shù)九十三頁\編于七點設從一個總體X中抽取一個容量為n的樣本，是樣本第次測定值，則樣本方差為：注意：是n-1⑵樣本方差、標準差目前五十九頁\總數(shù)九十三頁\編于七點■例子計算一組數(shù)據(jù)5、6、7、9、8、7的方差與標準差。目前六十頁\總數(shù)九十三頁\編于七點⑶分組數(shù)據(jù)方差與標準差的計算■是各分組區(qū)間的組中值；

（AM是估計平均值）目前六十一頁\總數(shù)九十三頁\編于七點■例子分組區(qū)間96～93～90～87～84～81～78～75～72～69～66～63～60～979491888582797673706764612348111719141073116543210-1-2-3-4-5-61215162422170-14-20-21-12-5-67275647244170144063482536目前六十二頁\總數(shù)九十三頁\編于七點2、方差（或標準差）的合成公式心理學研究有時需要將幾組數(shù)據(jù)的方差合成一個總的方差。（例）⑴總標準差（或）合成公式（符號解釋）目前六十三頁\總數(shù)九十三頁\編于七點■例子在某測定被試反應時的實驗中，主試先后對4組被試進行測試，測驗的數(shù)據(jù)如下：（單位：毫秒）組別n（人數(shù)）均值S2018.52.13621.62.691117.23.11219.23.0目前六十四頁\總數(shù)九十三頁\編于七點3、方差與標準差的性質(zhì)①性質(zhì)1設有一組觀察值，對其每一個觀察值加上一個常數(shù)C后，得到一組新的一組數(shù)據(jù)，其中，則這組新的數(shù)據(jù)的方差與標準差等于原標準差；目前六十五頁\總數(shù)九十三頁\編于七點②性質(zhì)2（練習題）一組數(shù)據(jù)乘以一個常數(shù)C，得到新數(shù)組，其中設原數(shù)據(jù)組的標準差是，新數(shù)據(jù)組的標準差，則有：目前六十六頁\總數(shù)九十三頁\編于七點③性質(zhì)3（練習題）設一組觀察數(shù)據(jù)中每一個觀察值都乘以同一個常數(shù)C（C≠0），再加上一具常數(shù)D，得到新數(shù)據(jù)，其中，則有新數(shù)據(jù)的標準差等于原先數(shù)據(jù)的標準差乘以|C|，即：目前六十七頁\總數(shù)九十三頁\編于七點4、方差與標準差的特點①反應靈敏、計算精確②受抽樣變動的影響較少；③計算公式嚴密確定，容易計算；④適合做代數(shù)運算，因方差具有可加性，即總的變異可以分成各種原因造成變異之和；目前六十八頁\總數(shù)九十三頁\編于七點方差與標準差是表示一組數(shù)據(jù)離散程度的最好指標；■評價目前六十九頁\總數(shù)九十三頁\編于七點5、方差與標準差的應用⑴差異系數(shù)（Coefficientofvariation又稱相對標準差）①功能

刻劃幾組性質(zhì)（單位）不同數(shù)據(jù)和

同性質(zhì)但樣本平均水平（均值）相差

懸殊數(shù)據(jù)的相對離散程度。[例]宇宙天體與微觀世界之間的距離目前七十頁\總數(shù)九十三頁\編于七點②差異系數(shù)計算公式■s為某樣本的標準差；

為該樣本的平均數(shù)；目前七十一頁\總數(shù)九十三頁\編于七點某校高考考生語文科平均分63分，標準差為11分，數(shù)學科平均分為75分，標準差為12分，試比較該?？忌囊豢齐x散程度大些？■例子目前七十二頁\總數(shù)九十三頁\編于七點⑶標準分數(shù)（Z分數(shù)）

①內(nèi)涵是一個以平均數(shù)為參照點、以標準差為單位的表示原始分數(shù)在團體中所處位置的相對位置量數(shù)。目前七十三頁\總數(shù)九十三頁\編于七點②計算公式◆X是某個原始數(shù)據(jù)；◆是X所在數(shù)據(jù)組的平均數(shù)；◆S是X所在數(shù)據(jù)組的標準差；目前七十四頁\總數(shù)九十三頁\編于七點③標準分數(shù)的應用i、比較性質(zhì)不同的觀察值（數(shù)據(jù)）在各自數(shù)據(jù)分布中的相對位置的高低；[例1]目前七十五頁\總數(shù)九十三頁\編于七點■例1某被試同時接受韋克斯勒智力測驗與EPQ的內(nèi)外向分量表的測驗，韋氏智力測驗智商得分112分，EPQ內(nèi)外向分量表的量表分數(shù)70分，試求該被試在這二個測驗上的Z分數(shù)？（已知韋氏智力測驗智商平均數(shù)是100，標準差是15，EPQ內(nèi)外向分測驗量表分的平均數(shù)是50，標準差是10）目前七十六頁\總數(shù)九十三頁\編于七點ii、計算不同性的觀察數(shù)據(jù)的總和或平均值，以表示在團體中的相對位置；[例2]目前七十七頁\總數(shù)九十三頁\編于七點■例2下表是高等學校入學考試中兩名考生甲、乙的成績分數(shù)，試問根據(jù)考試成績應該錄取哪個考生？考試科目原始成績甲乙全體考生平均數(shù)標準差Z分數(shù)甲乙語文政治外語數(shù)學理化89706268725340728770106556985067581.51.91-.6-.125.375.5-1.67-.3751.5目前七十八頁\總數(shù)九十三頁\編于七點iii、導出標準測驗分數(shù)■常見的幾種標準測驗分數(shù)IQ=15Z+100T=10Z+50目前七十九頁\總數(shù)九十三頁\編于七點iv、異常值的統(tǒng)計取舍目前八十頁\總數(shù)九十三頁\編于七點③標準分數(shù)的性質(zhì)i、性質(zhì)1Z分數(shù)無實際單位，是以平均數(shù)為參照點，以標準差為單位的一個相對量。ii、性質(zhì)2Z分數(shù)的平均數(shù)為0，標準差為1。目前八十一頁\總數(shù)九十三頁\編于七點iii、性質(zhì)3（略，后面補充）設原始數(shù)據(jù)呈正態(tài)分布，則將原始分數(shù)轉(zhuǎn)化為Z分數(shù)后服從標準正態(tài)分布。目前八十二頁\總數(shù)九十三頁\編于七點㈢全距與百分位差

1、全距⑴計算公式（舉例）⑵評價⑴最簡單、最易直觀理解；⑵利用數(shù)據(jù)信息量少，最為粗糙，易受極端值的影響，不可靠；目前八十三頁\總數(shù)九十三頁\編于七點2、百分位差⑴百分位數(shù)（percentile）它指的是量尺上的一個點（數(shù)），在此點以下，包括數(shù)據(jù)分布中全部數(shù)據(jù)個

數(shù)的一定百分比。第m位百分位數(shù)就是指在數(shù)值Q