第十三章機(jī)械振動(dòng)

第十三章機(jī)械振動(dòng)第1頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三5.1簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)第2頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三彈簧振子的振動(dòng)第3頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三常數(shù)和的確定初始條件對(duì)給定振動(dòng)系統(tǒng)，周期由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定，振幅和初相由初始條件決定.第4頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三取已知求討論第5頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例1如圖所示系統(tǒng)（細(xì)線的質(zhì)量和伸長(zhǎng)可忽略不計(jì)），細(xì)線靜止地處于鉛直位置，重物位于O點(diǎn)時(shí)為平衡位置.若把重物從平衡位置O略微移開(kāi)后放手,重物就在平衡位置附近往復(fù)的運(yùn)動(dòng)．這一振動(dòng)系統(tǒng)叫做單擺.求單擺小角度振動(dòng)時(shí)的周期．第6頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三令轉(zhuǎn)動(dòng)正向時(shí)解第7頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

角簡(jiǎn)諧振子固定點(diǎn)懸絲參考線（為扭轉(zhuǎn)系數(shù)）懸絲的恢復(fù)力矩角簡(jiǎn)諧振子周期（J為角簡(jiǎn)諧振子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）第8頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三懸絲懸絲

例2圖中左邊是一根細(xì)棒，長(zhǎng)度為,質(zhì)量為，一條長(zhǎng)金屬絲懸在其中點(diǎn)，它的角簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期測(cè)出為.有一個(gè)無(wú)規(guī)則形狀的物體，也懸掛在同樣的一條金屬絲上，測(cè)得其角簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期為，試問(wèn):此無(wú)規(guī)則物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是多少？棒解因?yàn)樗缘?頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的判斷（滿足其中一條即可）2）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)描述1）物體受線性回復(fù)力作用平衡位置彈簧振子單擺（由振動(dòng)系統(tǒng)本身性質(zhì)決定）

簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特征3）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述（在無(wú)外驅(qū)動(dòng)力的情況下）第10頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三5.2旋轉(zhuǎn)矢量第11頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

以

為原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)矢量的端點(diǎn)在軸上的投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).當(dāng)時(shí)第12頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三以

為原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)矢量的端點(diǎn)在軸上的投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).時(shí)第13頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

旋轉(zhuǎn)矢量的端點(diǎn)在軸上的投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).第14頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三A-AOOT*A-A用旋轉(zhuǎn)矢量圖畫簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖

（旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)一周所需的時(shí)間）********第15頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

（旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)一周所需的時(shí)間）用旋轉(zhuǎn)矢量圖畫簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖第16頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三討論

相位差：表示兩個(gè)相位之差.1）對(duì)同一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，相位差可以給出兩運(yùn)動(dòng)狀態(tài)間變化所需的時(shí)間.第17頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三同步

2）對(duì)于兩個(gè)同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，相位差表示它們間步調(diào)上的差異.（解決振動(dòng)合成問(wèn)題）為其它超前落后反相第18頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

例一質(zhì)點(diǎn)作諧振動(dòng)，周期為T，當(dāng)它由平衡位置向x軸正方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，從二分之一最大位移處到最大位移處這段路程所需要的時(shí)間為（1）T/4（2）T/12（3）T/6（4）T/8第19頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例已知一諧振動(dòng)曲線如圖所示，由圖確定：（1）在_______s時(shí)速度為零（2）在___s時(shí)動(dòng)能最大（3）在_______s時(shí)加速度取正的最大值kk+1/22k+1/2ox(cm)12t（s）

第20頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三0例用旋轉(zhuǎn)矢量法求初相位第21頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

例1如圖所示，一輕彈簧的右端連著一物體，彈簧的勁度系數(shù)，物體的質(zhì)量.

（1）把物體從平衡位置向右拉到處停下后再釋放，求簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程；

（3）如果物體在處時(shí)速度不等于零，而是具有向右的初速度，求其運(yùn)動(dòng)方程.

（2）求物體從初位置運(yùn)動(dòng)到第一次經(jīng)過(guò)處時(shí)的速度；0.05第22頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解（1）由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知第23頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解

由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知（負(fù)號(hào)表示速度沿軸負(fù)方向）

（2）求物體從初位置運(yùn)動(dòng)到第一次經(jīng)過(guò)處時(shí)的速度；第24頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解

（3）如果物體在處時(shí)速度不等于零，而是具有向右的初速度，求其運(yùn)動(dòng)方程.因?yàn)?，由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知第25頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

例2一質(zhì)量為的物體作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其振幅為，周期為，起始時(shí)刻物體在處，向軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)（如圖）.試求

（1）

時(shí)，物體所處的位置和所受的力；

解第26頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三代入第27頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三代入上式得第28頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

（2）由起始位置運(yùn)動(dòng)到處所需要的最短時(shí)間.

法一

設(shè)由起始位置運(yùn)動(dòng)到處所需要的最短時(shí)間為第29頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解法二起始時(shí)刻時(shí)刻第30頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三5.3簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量第31頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)能量圖4T2T43T能量第32頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

例質(zhì)量為的物體，以振幅作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其最大加速度為，求：（1）振動(dòng)的周期；（2）通過(guò)平衡位置的動(dòng)能；解:第33頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三時(shí)，由（3）總能量；（4）物體在何處其動(dòng)能和勢(shì)能相等？第34頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三5.4簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成第35頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三一兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)合成后仍為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)第36頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三1）相位差

討論第37頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2）相位差第38頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3）一般情況2）相位差1）相位差相互加強(qiáng)相互削弱相位差第39頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三*二多個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成多個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)合成仍為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)第40頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2）1）個(gè)矢量依次相接構(gòu)成一個(gè)閉合的多邊形.討論第41頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三*三兩個(gè)同方向不同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成拍現(xiàn)象頻率較大而頻率之差很小的兩個(gè)同方向簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成，其合振動(dòng)的振幅時(shí)而加強(qiáng)時(shí)而減弱的現(xiàn)象叫拍.第42頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三合振動(dòng)頻率振幅部分討論,的情況方法一第43頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三合振動(dòng)頻率振幅部分振幅振動(dòng)頻率拍頻（振幅變化的頻率）第44頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三方法二：旋轉(zhuǎn)矢量合成法第45頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（拍在聲學(xué)和無(wú)線電技術(shù)中的應(yīng)用）拍頻振幅振動(dòng)圓頻率第46頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成圖兩相互垂直同頻率不同相位差第47頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三兩相互垂直不同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成測(cè)量振動(dòng)頻率和相位的方法李薩如圖第48頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例圖中所畫的是兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線.若這兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)可疊加，則合成的余弦振動(dòng)的初相為A/2-AOxt（1）（2）（4）0（3）第49頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

例

一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)曲線如圖所示，求振動(dòng)周期.0第50頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三0

**ab例已知諧振動(dòng)的A、T，求1）如圖簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程，2）到達(dá)a、b點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的時(shí)間.解法一從圖上可知或或第51頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三0

**ab第52頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解法二A/2矢量位于軸下方時(shí)0

**ab用旋轉(zhuǎn)矢量法求初相位A/2第53頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三A/20

**ab第54頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

例求兩個(gè)同方向同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合振幅0x第55頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

例

一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)在同一直線上的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，求合振動(dòng)的振幅和初相位。第56頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例

已知如下的三個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，求合振動(dòng).求：已知Ox第57頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三5.5阻尼振動(dòng)受迫振動(dòng)共振第58頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三三種阻尼的比較阻尼振動(dòng)位移時(shí)間曲線b）過(guò)阻尼

a）欠阻尼c）臨界阻尼第59頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三共振頻率大阻尼小阻尼共振頻率共振振幅阻尼共振第60頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三火車的危險(xiǎn)速率與軌長(zhǎng)

例車輪行駛到兩鐵軌接縫處時(shí)，受到一次撞擊，使車廂受迫振動(dòng)．當(dāng)車速達(dá)某一速率時(shí)（使撞擊頻率與車廂固有頻率相同）發(fā)生激烈顛簸，這一速率即為危險(xiǎn)速率．

設(shè)車廂總負(fù)荷為m=

5.5×104kg，車廂彈簧每受力F=9.8×103N被壓縮x=0.8mm，鐵軌長(zhǎng)L=12.6m，求危險(xiǎn)速率．第61頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三已知：m=5.5×104kg；受力F=9.8×103N，壓縮x=0.8mm；鐵軌長(zhǎng)L=12.6m，mk解：

長(zhǎng)軌有利于高速行車，無(wú)縫軌能避免受迫振動(dòng)．第62頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三共振簡(jiǎn)介共振創(chuàng)造了世界聲學(xué)上的“共鳴”電學(xué)上的“諧振”產(chǎn)生共振的重要條件之一，就是要有彈性共振現(xiàn)象也可以說(shuō)是一種宇宙間最普遍和最頻繁的自然現(xiàn)象之一，所以在某種程度上甚至可以這么說(shuō)，是共振產(chǎn)生了宇宙和世間萬(wàn)物，沒(méi)有共振就沒(méi)有世界。第63頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三宏觀的宇宙－宇宙大爆炸微觀物質(zhì)世界－化學(xué)元素的誕生生命中的共振－人的呼吸、心跳、血液循環(huán)、大腦思維、發(fā)聲；動(dòng)物的各種發(fā)聲；植物的光合作用共振充當(dāng)?shù)厍蛏锶Φ谋Ｗo(hù)神－紫外線與臭氧層的共振；紅外線與二氧化碳層的共振。共振造就了世界的多姿多彩第64頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三共振的危害橋梁的共振－齊步走，1940年，美國(guó)的全長(zhǎng)860米的塔柯姆大橋因大風(fēng)引起的共振而塌毀由于共振的力量，巨大的冰川能被“溫柔”的海洋波濤給拍裂開(kāi)。給人類帶來(lái)重大傷亡和財(cái)產(chǎn)損失的地震，其中亦有共振的“幢幢魔影”第65頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三共振現(xiàn)象的危害1940年7月1日美國(guó)Tocama懸索橋因共振而坍塌第66頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三持續(xù)發(fā)出的某種頻率的聲音會(huì)使玻璃杯破碎。機(jī)器的運(yùn)轉(zhuǎn)可以因共振而損壞機(jī)座。高山上的一聲大喊，可引起山頂?shù)姆e雪的共振，頃刻之間造成一場(chǎng)大雪崩。行駛著的汽車，如果輪轉(zhuǎn)周期正好與彈簧的固有節(jié)奏同步，所產(chǎn)生的共振就能導(dǎo)致汽車失去控制，從而造成車毀人亡……

第67頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三人們?cè)谏詈蜕a(chǎn)中會(huì)接觸到各種振動(dòng)源，這些振動(dòng)都可能會(huì)對(duì)人體產(chǎn)生危害。為了保障工人的安全與健康，有關(guān)部門己作出了相應(yīng)規(guī)定，要求用手工操作的各類振動(dòng)機(jī)械的頻率必須大于20赫茲。

第68頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三對(duì)人危害程度尤為厲害的是次聲波所產(chǎn)生的共振。不論是次聲波槍還是次聲波炸彈，都是利用頻率為16—17赫茲的次聲波，與人體內(nèi)的某些器官發(fā)生共振，使受振者的器官發(fā)生變形、位移或出血，從而達(dá)到殺傷敵方的目的?，F(xiàn)代科學(xué)研究已經(jīng)證明，大量發(fā)射的頻率為16—17赫茲的次聲波會(huì)引起人體無(wú)法忍受的顫抖，從而產(chǎn)生視覺(jué)障礙、定向力障礙、惡心等癥狀，甚至還會(huì)出現(xiàn)可導(dǎo)致死亡的內(nèi)臟損壞或破裂。這種次聲波武器可以說(shuō)是人類運(yùn)用共振來(lái)危害人類自己的一種技術(shù)上的極致。

第69頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三消除共振危害的方法防止共振危害的最好方法是改變物體的固有頻率人們?cè)陔娪霸?、播音室等?duì)隔音要求很高的地方，常常采用加裝一些海綿、塑料泡沫或布簾的辦法，使聲音的頻率在碰到這些柔軟的物體時(shí)，不能與它們產(chǎn)生共振，而是被它們吸收掉。第70頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三電動(dòng)機(jī)要安裝在水泥澆注的地基上，與大地牢牢相連，或要安裝在很重的底盤上，為的是使基礎(chǔ)部分的固有頻率增加，以增大與電機(jī)的振動(dòng)頻率(驅(qū)動(dòng)力頻率)之差來(lái)防止基礎(chǔ)的振動(dòng)。

一種消聲器，它是由開(kāi)有許多小孔的孔板和空腔所構(gòu)成，當(dāng)傳來(lái)的噪聲頻率與消聲器的固有頻率相同時(shí)，就會(huì)跟小孔內(nèi)空氣柱產(chǎn)生劇烈共振。這樣，相當(dāng)一部分噪聲能在共振時(shí)被“吞吃”掉，而且還能夠轉(zhuǎn)變?yōu)闊崮軄?lái)進(jìn)行使用。

第71頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三共振帶來(lái)福祉古代戰(zhàn)爭(zhēng)中的共鳴器現(xiàn)代醫(yī)學(xué)中的聽(tīng)診器微波技術(shù)音樂(lè)治療心理精神疾病粒子加速器第72頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三共振不僅是一種客觀存在，它也是有待于進(jìn)一步開(kāi)拓的科技領(lǐng)域。共振技術(shù)普遍應(yīng)用于機(jī)械、化學(xué)、力學(xué)、電磁學(xué)、光學(xué)及分子、原子物理學(xué)、工程技術(shù)等幾乎所有的科技領(lǐng)域。如音響設(shè)備中揚(yáng)聲器紙盆的振動(dòng)，各種弦樂(lè)器中音腔在共鳴箱中的振動(dòng)等利用了“力學(xué)共振”；電磁波的接收和發(fā)射利用了“電磁共振”；激光的產(chǎn)生利用了“光學(xué)共振”；醫(yī)療技術(shù)中則有已經(jīng)非常普及的“核磁共振”等。在21世紀(jì)開(kāi)始的正在蓬勃發(fā)展的信息技術(shù)、基因科學(xué)、納米材料、航天高科學(xué)技術(shù)大發(fā)展的浪潮中，更是大量運(yùn)用到共振技術(shù)。而且隨著科學(xué)的發(fā)展，可以預(yù)見(jiàn)，共振將會(huì)對(duì)我們這個(gè)社會(huì)產(chǎn)生更加巨大的“震蕩”。第73頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三本章內(nèi)容小結(jié)第74頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期三一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的描述和特征4加速度與位移成正比而方