高考復習體系-高考母題B-不等式“十校聯(lián)賽”一等獎

課時4不等式的證明(II)課前預習識記考點不等式的證明，除了上節(jié)介紹的三種基本方法外，還有一些其他的方法和常用技巧，例如反證法、換元法、判別式法、放縮法、最值法等．反證法：從否定結(jié)論出發(fā)．經(jīng)過邏輯推理，導出矛盾，證實結(jié)論的否定是錯誤的，從而肯定原結(jié)論是正確的證明方法．換元法：換元法是指對結(jié)構(gòu)較為復雜、量與量之間關系不甚明了的命題，通過恰當引入新變量，代換原題中的部分式子。簡化原有結(jié)構(gòu)，使其轉(zhuǎn)化為便于研究的形式．判別式法：判別式法是根據(jù)已知的或構(gòu)造出來的一元二次方程解集、一元二次不等式的根、二次函數(shù)的性質(zhì)等特征確定出其判別式所應滿足的不等式，從而推出欲證的不等式的方法．放縮法：欲證A≥B，可通過適當放大或縮小，借助一個或多個中間量，使得B≤BI，B．≤B2．…，B．≤A，或A≥A·，AI≥A：，…，A?！軧，再利用傳遞性，達到證明的目的．這種方法叫做放縮法．最值法：x≥y，恒成立x≥ymax；x≤y恒成立x≤ymin不等式的證明，方法靈活多樣，它可以和很多內(nèi)容結(jié)合．高考解答題中，常滲透不等式證明的內(nèi)容．“純”不等式的證明，歷來是高中數(shù)學中的一個難點，復習中應控制其難度。不宜去搞難度很大的不等式證明題．考前熱身考點點擊1．若實數(shù)m、n、x、y滿足m2+n2=a．x2+y2=b，其中a，b為常數(shù)，那么mx+ny的最大值為()2．設x2+y2=l，則x+y()(A)有最小值l(B)有最小值(C)有最小值-1(D)有最小值-3．設x、yR+，且xy-(x+y)=l，則()4．已知x2+y2=4．則2x+3y的取值范圍為5．設x>0，y>0，A=，B=，則A、B的大小關系是課堂互動講解重點【例1】已知a、b、c∈(0，1)，求證：(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不能同時大于．思路用反證法進行證明．證明證法一：假設三式同時大于，即有b-ab>，c-bc>，a-ac>．三式同向相乘。得(1-a)a(1-b)b(1-c)c>又(1-a)a≤()2=．同理，(1-b)b≤．(1-c)c≤，(1-a)a(1-b)6(1-c)c≤，因此假設矛盾．結(jié)論正確證法二：假設三式同時大于．0<a<1．1-a>0，≥同理、都大于．三式相加，得>，矛盾．原命題成立．點評結(jié)論若是“都是……”、“都不是……”、“至少……”、“至多……”或“……≠……”形式的不等式命題往往宜用反證法．【例2】(I)用反證法證明以下不等式：已知p3+q3=2，求證p+q≤2．思路運用放縮法進行證明．=6q2-12q+8=將上述各式兩邊分別相加得點評用放縮法證明不等武過程中，往往采用添項或減項的“添舍”放縮，拆項對比的分項放縮，函數(shù)的單調(diào)性放縮，重要不等武放縮等．放縮時要注意適度，否則不能同向傳遞．討論難點思路根據(jù)a、b、c滿足的條件，聯(lián)想到用方程的判別式求解．a(chǎn)、b為方程x2-(1-c)x+c2-c=0①的二實根，而a>b>c，故方程①有均大于c的二不等實根．點評本題把證不等式的問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布問題求解．【例4】(2001年全國)已知i、m、n是正整數(shù)，且l<i≤m<n．(1)證明niA<miA；(2)證明(1+m)n>(1+n)m。思路本小題考查排列、組合、二項式定理、不等式的基本知識和邏輯推理能力．證明(1)對于l<i≤m，有A=m·…·(m-i+1)，隨堂小結(jié)方法提煉1．放縮法是一種證題技巧，要想用好它，必須有目標。目標可以從要證的結(jié)論中考查．2．在已知式中如果出現(xiàn)兩數(shù)相加等于一個正常數(shù)，可聯(lián)想到公式sin2a+cos23．含有字母的不等式證明．可以化為一邊為零，而另一邊為某個字母的二次三項式，考慮判別式．4．有些不等式，從正面證如果不易說清楚，可以考慮反證法．凡是有“至少”、“惟一”或含其他否定詞的命題．適宜用反證法．變式訓練能力進階一、選擇題1．若a、bR，且a2+b2=10，則a+b的取值范圍是()2．設a、b、c、dR，a2+b2=c2+d2=l，則abcd的最小值是()(A)(B)-(C)(D)-3．設實數(shù)x,y滿足x2+(y-1)2=l，若對滿足條件的x,y，x+y+c≥0恒成立，c的取值范圍是()4．已知a、bR+，下列各式中成立的是()5．設x>0，y>0，x+y=l，則≤a恒成立的a的最小值是()(A)( B)(C)2(D)2二、填空題6．實數(shù)x、y滿足，則x的取值范圍是7．已知x，y∈R，且1≤x2+y2≤2，z=x2+xy+y2，則z的取值范圍是=l+…+與(nN*)的大小關系為三、解答題9．已知f(x)=x2+px+q，求證：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個不小于．10．設a、b、c為三角形的三邊，求證：11．設a、b為正數(shù)，求證：不等式①成立的充要條件是：對于任意實數(shù)x>1．有②12．定義在R+上的函數(shù)f(x)滿足如下兩條件：①存在x0>1使f(x0)≠0．②對任意的實數(shù)b，有f(xb)=bf(x)．求證：(1)對一切x>l，均有f(x)≠0；(2)對a>2時，有f(a-1)f(a+1)<[f(a)]2．13.（選做題2003年西城一模）設f(x)是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，g(x)的圖像與f(x)的圖像關于直線x=l對稱，而當x[2，3]時，g(x)=-x2+4x+c(c為常數(shù))．(1)求f(x)的表達式；(2)對于任意x1、x2[0，1]且x1≠x2，求證：|f(x2)-f(x1)|<2|x2-x1|；(3)對于任意x1、x2[0，1]且x1≠x2．求證：