南京信息工程大學(xué)2023考研大綱：T65數(shù)學(xué)分析

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南京信息工程大學(xué)2023考研大綱：T65數(shù)學(xué)分析

科目代碼：T65

科目名稱：數(shù)學(xué)分析

第一部分大綱內(nèi)容

一、實(shí)數(shù)集與函數(shù)

1實(shí)數(shù)集及其性質(zhì)2確界定義與確界原理3函數(shù)概念4有某些特性的函數(shù)(有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、奇函數(shù)與偶函數(shù)、周期函數(shù))

二、數(shù)列極限

1數(shù)列極限概念2收斂數(shù)列的性質(zhì)(唯一性、有界性、保號性、不等式性、迫斂性、四則運(yùn)算)3數(shù)列極限存在的條件：包括單調(diào)有界定理與柯西(Cauchy)準(zhǔn)則

三、函數(shù)極限

1函數(shù)極限概念2函數(shù)極限的性質(zhì)(唯一性、局部有界性、局部保號性、不等式性、迫斂性、四則運(yùn)算)3函數(shù)極限存在的條件：包括歸結(jié)原則(Heine定理)，單調(diào)有界定理與柯西準(zhǔn)則4兩個重要極限5無窮小量，無窮大量,非正常極限，階的比較，曲線的漸近線

四、函數(shù)的連續(xù)性

1連續(xù)性概念，間斷點(diǎn)及其分類2連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(有界性、保號性、連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性、反函數(shù)的連續(xù)性;閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性、取得最大值最小值性、介值性、一致連續(xù)性)3實(shí)數(shù)集完備性的基本定理的應(yīng)用4初等函數(shù)的連續(xù)性

五、導(dǎo)數(shù)與微分

1導(dǎo)數(shù)的概念2求導(dǎo)法則3微分概念4高階導(dǎo)數(shù)與高階微分5參量方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

六、微分中值定理及其應(yīng)用

1中值定理(羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理)2不定式極限3泰勒公式(及其皮亞諾余項(xiàng)與拉格朗日余項(xiàng)、一些常用初等函數(shù)的泰勒展開式、應(yīng)用于近似計(jì)算)4函數(shù)的單調(diào)性、極值、最大值與最小值5函數(shù)的凸性與拐點(diǎn)6函數(shù)圖象的討論

七不定積分

1原函數(shù)與不定積分概念，基本積分公式2換元積分法與分部積分法3有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的積分

八、定積分

1定積分的概念及其幾何意義2可積條件的應(yīng)用(包括必要條件，可積準(zhǔn)則)，三類可積函數(shù)3定積分的性質(zhì)(線性運(yùn)算法則、區(qū)間可加性、不等式性質(zhì)、絕對可積性，積分中值定理)4微積分學(xué)基本定理，定積分的分部積分法與換元法

九、反常積分

1無窮限反常積分概念、柯西準(zhǔn)則，絕對收斂與條件收斂2無窮限反常積分收斂性判別法：比較判別法及p-函數(shù)判別法，狄利克雷(Dirichlet)判別法，阿貝爾(Abel)判別法3無界函數(shù)反常積分概念，無界函數(shù)反常積分比較判別法及p-函數(shù)判別法

十、定積分的應(yīng)用

1平面圖形的面積2由截面面積求體積、旋轉(zhuǎn)體的體積3曲線的弧長與曲率4旋轉(zhuǎn)曲面的面積

十一、數(shù)項(xiàng)級數(shù)

1級數(shù)收斂的概念，柯西收斂準(zhǔn)則，收斂級數(shù)的性質(zhì)2正項(xiàng)級數(shù)收斂判別法(比較判別法、p-級數(shù)判別法、比式與根式判別法、積分判別法)3一般項(xiàng)級數(shù)的絕對收斂與條件收斂、交錯級數(shù)的萊布尼茲判別法，阿貝爾(Abel)判別法與狄利克雷(Dirichlet)判別法，絕對收斂級數(shù)的性質(zhì)

十二、函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)

1函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂性，柯西準(zhǔn)則，函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的維爾斯特拉斯(Weierstrass)優(yōu)級數(shù)判別法，狄利克雷(Dirichlet)判別法，阿貝爾(Abel)判別法2函數(shù)列極限函數(shù)與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)和函數(shù)的連續(xù)性、可積性、可微性

十三、冪級數(shù)

1冪函數(shù)的收斂性，阿貝爾定理，收斂半徑與收斂域，內(nèi)閉一致收斂性，和函數(shù)的分析性質(zhì)2函數(shù)的冪級數(shù)展開

十四、傅里葉級數(shù)

1傅里葉級數(shù)的概念，三角函數(shù)系的正交性2以2L為周期的函數(shù)的展開式，奇式與偶式展開3收斂定理的證明

十五、多元函數(shù)的極限與連續(xù)

1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)2二元函數(shù)的極限，重極限與累次極限3二元函數(shù)的連續(xù)性，有界閉域(集)上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

十六、多元函數(shù)的微分學(xué)

1偏導(dǎo)數(shù)與全微分概念，可微性2復(fù)合函數(shù)微分法，高階導(dǎo)數(shù)，高階微分，混合偏導(dǎo)數(shù)與其順序無關(guān)性3方向?qū)?shù)與梯度4泰勒公式與極值問題

十七、隱函數(shù)定理及其應(yīng)用

1隱函數(shù)的概念，隱函數(shù)定理2隱函數(shù)組定理，隱函數(shù)組求導(dǎo)、反函數(shù)組與坐標(biāo)變換，函數(shù)行列式及其性質(zhì)3幾何應(yīng)用(空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線)4條件極值與拉格朗日乘數(shù)法

十八、含參量積分

1含參量正常積分，連續(xù)性、可積性與可微性2含參量反常積分的收斂與一致收斂，柯西準(zhǔn)則，維爾特拉斯(Weierstrass)判別法，狄利克雷(Dirichlet)判別法，阿貝爾(Abel)判別法，含參量無窮積分的連續(xù)性，可積性與可微性3歐拉積分

十九、曲線積分

1第一型曲線積分的概念，性質(zhì)和計(jì)算公式2第二型曲線積分的概念，性質(zhì)和計(jì)算公式，兩類曲線積分之間的關(guān)系

二十、重積分

1二重積分概念與性質(zhì)2二重積分的計(jì)算(化為累次積分)，二重積分的換元法(極坐標(biāo)與一般變換)3.格林(Green)公式，曲線積分與路線的無關(guān)性3三重積分的概念與計(jì)算，三重積分的換元法(柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)與一般變換)4重積分的應(yīng)用(體積、曲面面積等)

二十一、曲面積分

1第一型曲面積分的的概念與計(jì)算2第二型曲面積分的概念與計(jì)算，兩類曲面積分之間的關(guān)系3高斯(Gauss)公式，斯托克斯(Stokes)公式

第二部分說明

1、基本要求：掌握數(shù)學(xué)分析中的基本概念，理解考試范圍內(nèi)的各種微積分思想，掌握處理問題分析的基本方法、基本原理，具有運(yùn)用數(shù)學(xué)分析方法解決實(shí)際問題的基本能力。

2、分值比例：試卷滿分為150分，考試時間180分鐘。試卷內(nèi)容包括：一元微積分學(xué)100分;多元微積分學(xué)50分。

3、題型分布：填空題和單選題，約20%;解答計(jì)算題，約40%;理論證明題，約40%。

4、其他規(guī)定：答題方式為閉卷、筆試。不允許使用計(jì)算器。

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