微分中值定理的證明題74625

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題74625

微分中值定理的證實(shí)題

1.若?SkipRecordIf...?在?SkipRecordIf...?上延續(xù)，在?SkipRecordIf...?上可

導(dǎo)，?SkipRecordIf...?，證實(shí)：?SkipRecordIf...?，?SkipRecordIf...?使

得：?SkipRecordIf...?。

證：構(gòu)造函數(shù)?SkipRecordIf...?，則?SkipRecordIf...?在?SkipRecordIf...?上延續(xù)，在?SkipRecordIf...?內(nèi)可導(dǎo)，

且?SkipRecordIf...?，由羅爾中值定理知：?SkipRecordIf...?，使?SkipRecordIf...?

即：?SkipRecordIf...?，而?SkipRecordIf...?，故?SkipRecordIf...?。

2.設(shè)?SkipRecordIf...?，證實(shí)：?SkipRecordIf...?，使得?SkipRecordIf...?。

證：將上等式變形得：?SkipRecordIf...?

作輔助函數(shù)?SkipRecordIf...?，則?SkipRecordIf...?在?SkipRecordIf...?上延續(xù)，在?SkipRecordIf...?內(nèi)可導(dǎo)，

由拉格朗日定理得：

?SkipRecordIf...??SkipRecordIf...??SkipRecordIf...?，

即?SkipRecordIf...??SkipRecordIf...??SkipRecordIf...?，

即：?SkipRecordIf...??SkipRecordIf...?。

3.設(shè)?SkipRecordIf...?在?SkipRecordIf...?內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，且?Skip

RecordIf...?，有?SkipRecordIf...?證實(shí)：在?SkipRecordIf...?內(nèi)至少存在一點(diǎn)?SkipRecordIf...?，使得：?SkipRecordIf...?。

證：明顯?SkipRecordIf...?在?SkipRecordIf...?上延續(xù)，在?SkipRecordIf...?內(nèi)可導(dǎo)，又?SkipRecordIf...?，故由羅爾定理知：?SkipRecordIf...?，使得?SkipRecordIf...?

又?SkipRecordIf...?，故?SkipRecordIf...?，于是?SkipRecordIf...?在?SkipRecordIf...?上滿足羅爾定理?xiàng)l件，故存在?SkipRecordIf...?，使得：?SkipRecordIf...?，而?SkipRecordIf...??SkipRecordIf...??SkipRecordIf...?，即證4.設(shè)函數(shù)?SkipRecordIf...?在[0,1]上延續(xù)，在(0,1)上可導(dǎo)，?Skip

RecordIf...?，?SkipRecordIf...?.證實(shí)：

(1)在(0,1)內(nèi)存在?SkipRecordIf...?，使得?SkipRecordIf...?．

(2)在(0,1)內(nèi)存在兩個(gè)不同的點(diǎn)?SkipRecordIf...?，?SkipRecordIf...?

【分析】第一部分明顯用閉區(qū)間上延續(xù)函數(shù)的介值定理；其次部分為雙介值問題，可考慮用拉格朗日中值定理，但應(yīng)注重利用第一部分已得結(jié)論.

【證實(shí)】（I）令?SkipRecordIf...?，則F(x)在[0，1]上延續(xù)，且F(0)=-10,于是由介值定理知，存在存在?SkipRecordIf...?使得?SkipRecordIf...?，即?SkipRecordIf...?.

（II）在?SkipRecordIf...?和?SkipRecordIf...?上對(duì)f(x)分離應(yīng)用拉格朗日中值定理，知存在兩個(gè)不同的點(diǎn)?SkipRecordIf...?，使得?SkipRecordIf...?，?SkipRecordIf...?

于是?SkipRecordIf...?

5.設(shè)?SkipRecordIf...?在[0，2a]上延續(xù)，?SkipRecordIf...?，證實(shí)

在[0,a]上存在?SkipRecordIf...?使得

?SkipRecordIf...?.

【分析】?SkipRecordIf...?在[0,2a]上延續(xù)，條件中沒有涉及導(dǎo)數(shù)或微分，用介值定理或根的存在性定理證實(shí)。輔助函數(shù)可如下得到

?SkipRecordIf...?

【證實(shí)】令?SkipRecordIf...?，?SkipRecordIf...?．?SkipRecordIf...?在[0,a]上延續(xù)，且

?SkipRecordIf...?

?SkipRecordIf...?

當(dāng)?SkipRecordIf...?時(shí)，取?SkipRecordIf...?，即有?SkipRecordIf...?；

當(dāng)?SkipRecordIf...?時(shí)，?SkipRecordIf...?，由根的存在性定理知存在?SkipRecordIf...?使得，?SkipRecordIf...?，即?SkipRecordIf...?．

6.若?SkipRecordIf...?在?SkipRecordIf...?上可導(dǎo)，且當(dāng)?Skip

RecordIf...?時(shí)有?SkipRecordIf...?，且?SkipRecordIf...?，證實(shí)：在?SkipRecordIf...?內(nèi)有且僅有一個(gè)點(diǎn)?SkipRecordIf...?使得?SkipRecordIf...?

證實(shí)：存在性

構(gòu)造輔助函數(shù)?SkipRecordIf...?

則?SkipRecordIf...?在?SkipRecordIf...?上延續(xù)，且有?SkipRecordIf...?，?SkipRecordIf...?，

?SkipRecordIf...?由零點(diǎn)定理可知：?SkipRecordIf...?在?SkipRecordIf...?內(nèi)至少存在一點(diǎn)?SkipRecordIf...?，使得?SkipRecordIf...?，即：?SkipRecordIf...?

唯一性：（反證法）

假設(shè)有兩個(gè)點(diǎn)?SkipRecordIf...?，且?SkipRecordIf...?，使得?SkipRecordIf...?

?SkipRecordIf...??SkipRecordIf...?在?SkipRecordIf...?上延續(xù)且可導(dǎo)，且?SkipRecordIf...??SkipRecordIf...?

?SkipRecordIf...??SkipRecordIf...?在?SkipRecordIf...?上滿足Rolle定理?xiàng)l件

?SkipRecordIf...?必存在一點(diǎn)?SkipRecordIf...?，使得：?SkipRecordIf...?

即：?SkipRecordIf...?，這與已知中?SkipRecordIf...?沖突

?SkipRecordIf...?假設(shè)不成立，即：?SkipRecordIf...?在?SkipRecordIf...?內(nèi)僅有一個(gè)根，

綜上所述：在?SkipRecordIf...?內(nèi)有且僅有一個(gè)點(diǎn)?SkipRecordIf...?，使得?SkipRecordIf...?

7.設(shè)?SkipRecordIf...?在[0，1]上延續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且?Skip

RecordIf...?=?SkipRecordIf...?=0，?SkipRecordIf...?=1。試證

至少存在一個(gè)?SkipRecordIf...?(0，1)，使?SkipRecordIf...?=1。

分析：?SkipRecordIf...?=1?SkipRecordIf...??SkipRecordIf...?=1?SkipRecordIf...??SkipRecordIf...?=x?SkipRecord

If...??SkipRecordIf...?=0令?SkipRecordIf...?(?SkipRecord

If...?)=?SkipRecordIf...?

證實(shí)：令F(?SkipRecordIf...?)=?SkipRecordIf...?

?SkipRecordIf...?(?SkipRecordIf...?)在[0，1]上延續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，

?SkipRecordIf...?(1)=?SkipRecordIf...?

?SkipRecordIf...?(?SkipRecordIf...?)=?SkipRecordIf...?

由介值定理可知，?SkipRecordIf...?一個(gè)?SkipRecordIf...?(?SkipRecordIf...?，1)，使

?SkipRecordIf...?(?SkipRecordIf...?)=0又?SkipRecordIf...?(0)=?SkipRecordIf...?0=0

對(duì)?SkipRecordIf...?(?SkipRecordIf...?)在[0，1]上用Rolle定理，?SkipRecordIf...?一個(gè)?SkipRecordIf...?(0，?SkipRecordIf...?)?SkipRecordIf...?(0，1)使

?SkipRecordIf...?=0即?SkipRecordIf...?=1

8.設(shè)?SkipRecordIf...?在?SkipRecordIf...?上延續(xù)，在?SkipRecord

If...?內(nèi)可導(dǎo)，且?SkipRecordIf...?試證存在?SkipRecordIf...?和

?SkipRecordIf...?.滿足?SkipRecordIf...?，使?SkipRecord

If...?。

證由拉格朗日中值定理知，

?SkipRecordIf...??SkipRecordIf...?

?SkipRecordIf...?

?SkipRecordIf...?

9.設(shè)?SkipRecordIf...?在?SkipRecordIf...?上延續(xù),?SkipRecordIf...?內(nèi)可導(dǎo)

?SkipRecordIf...??SkipRecordIf...?

證實(shí):?SkipRecordIf...?使得

?SkipRecordIf...?(1)

證:(用?SkipRecordIf...?乘于(1)式兩端,知)(1)式等價(jià)于

?SkipRecordIf...?(2)

為證此式,只要取?SkipRecordIf...?取?SkipRecordIf...?和?SkipRecordIf...?在?SkipRecordIf...?上分離應(yīng)用Cauchy中值定理,則知

?SkipRecordIf...?

其中?SkipRecordIf...?.

10.已知函數(shù)?SkipRecordIf...?在[0,1]上延續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，?Skip

RecordIf...?，證實(shí)存在?SkipRecordIf...?，使?SkipRecordIf...?

解：利用柯西中值定理?SkipRecordIf...?

而?SkipRecordIf...?則

?SkipRecordIf...?（后面略）

11.設(shè)?SkipRecordIf...?在?SkipRecordIf...?時(shí)延續(xù)，?SkipRecordIf...?，當(dāng)

?SkipRecordIf...?時(shí)，?SkipRecordIf...?，則在?SkipRecordIf...?內(nèi)?SkipRecordIf...?有唯一的實(shí)根

解：由于?SkipRecordIf...?，則?SkipRecordIf...?在?Sk