遠期合約和期貨合約價格的性質

第二章遠期合約和期貨合約

價格的性質第一頁，共八十五頁。?套利機會的定義利用套利確定：遠期價格與標的物現(xiàn)貨價格之間的關系遠期價格與標的物現(xiàn)貨價格之間的關系依賴于：標的物是投資型資產(chǎn)還是消費型資產(chǎn)標的物的儲藏成本期貨價格與標的物現(xiàn)貨價格之間的關系遠期價格和期貨價格之間的關系第二頁，共八十五頁。?對標的資產(chǎn)未來價格的分布不作任何假設。第三頁，共八十五頁。?1.套利機會套利機會：不花錢就能掙到錢。具體地說，有兩種類型的套利機會。如果一種投資能夠立即產(chǎn)生正的收益而在將來不需要有任何支付（不管是正的還是負的），我們稱這種投資為第一類的套利機會。如果一種投資有非正的成本，但在將來，獲得正的收益的概率為正，而獲得負的收益（或者說正的支出）的概率為零，我們稱這種投資為第二類的套利機會。第四頁，共八十五頁。?任何一個均衡的市場，都不會存在這兩種套利機會。如果存在這樣的套利機會，人人都會利用，從而與市場均衡矛盾。所以我們假設市場上不存在任何套利機會。第五頁，共八十五頁。?無套利證券市場的性質首先，證券的定價滿足線性性質。其次，有零的終端支付的證券組合，其價格一定為零。最后，證券的定價滿足占優(yōu)性質。第六頁，共八十五頁。?

例子：假設經(jīng)濟環(huán)境由四個狀態(tài)和兩種證券構成，證券組合甲由11份證券1構成。相關的信息特征如下表所示。狀態(tài)證券組合甲

15355 25655

3103110 4103110假設事件的概率為P({1})=0.2，P({2})=0.3，P({34})=0.5。兩種證券的價格為P1=4，P2=2，證券組合甲的價格為P甲=40。

第七頁，共八十五頁。?在這個經(jīng)濟中是否存在套利機會。第一，P甲=4011P1=44，這屬于第一類套利機會。第二，我們把證券組合甲當作第三種證券。構造新的證券組合乙：賣空11份證券1，買入1份證券3。則證券組合乙的價格為11（4）+1（40）0第八頁，共八十五頁。?證券組合乙在期末的支付為

狀態(tài) 證券組合乙 概率

1 00.2 2 00.3 3、400.5

因此，P(證券組合乙的支付=0)=1，這是第一類的套利機會。第九頁，共八十五頁。?第三，定義證券組合丙：賣空10份證券1，買入一份證券3。則證券組合丙的價格為10（4）+1（40）=0。證券組合丙在期末的支付為

狀態(tài) 證券組合概率

1 50.2 250.3 3、4100.5

因此，P(證券組合丙的支付0)=1且P(證券組合丙的支付0)=10。這是第二類套利機會。第十頁，共八十五頁。?套利機會導致交易發(fā)生和價格的調(diào)整，直到經(jīng)濟達到均衡，經(jīng)濟中不再存在套利機會。經(jīng)濟中無套利機會是衍生證券定價的基礎。證券的無套利價格與經(jīng)濟均衡和金融市場的有效性一致。第十一頁，共八十五頁。?Economicdisequilibriumisasituationinwhichtradersareunsatisfiedwiththeircurrentportfoliopositions,andtheytrade.第十二頁，共八十五頁。?第十三頁，共八十五頁。?衍生證券定價理論假設假設1：市場無摩擦（無交易成本，無買賣差價bid-askspread，無抵押需求，無賣空限制，無稅收）假設2：無違約風險假設3：市場是完全競爭的。市場參與者是價格接受者。假設4：價格一直調(diào)整到市場無套利第十四頁，共八十五頁。?任何理論的質量依賴于假設的質量。假設決定理論適應于實際的程度。假設1-4的合理性第十五頁，共八十五頁。?假設1：對于大的市場參與者，例如金融機構，這是合理的一階近似。研究無摩擦市場是研究摩擦市場的基礎。本課程不放寬該條件第十六頁，共八十五頁。?假設2：一階近似在假設1下，假設2意味著借貸利率應該相等對于在交易所交易的期權和期貨，由于有結算室，這是一個合理假設，但對于柜下交易的衍生產(chǎn)品，這個假設不一定成立，所以必須有抵押品本課程不放寬該條件第十七頁，共八十五頁。?假設3：放寬該假設是現(xiàn)在研究的主要領域，包括策略交易和市場操縱的研究不放寬第十八頁，共八十五頁。?假設4：標準假設假設4稱為可變假設，而其余的稱為固定假設：我們將在假設1-4下研究遠期合約、期貨和期權的公平或者理論價格，再與實際市場價格作比較。如果有區(qū)別，則把該差別歸因于可變假設而不是固定假設。因此我們把這作為套利機會存在的證據(jù)，發(fā)展理論來利用這種價格差別獲利。如果確實發(fā)現(xiàn)不是假設4的原因，我們再加入更現(xiàn)實的固定假設來修改理論。第十九頁，共八十五頁。?2.期貨價格和現(xiàn)貨價格決定遠期合約和期貨合約價格的一個關鍵變量是標的資產(chǎn)的市場價格第二十頁，共八十五頁。?2.1期貨價格和現(xiàn)貨價格的趨同性當期貨合約的交割日臨近時，期貨價格逼近標的資產(chǎn)的現(xiàn)貨價格。時間期貨價格現(xiàn)貨價格現(xiàn)貨價格期貨價格第二十一頁，共八十五頁。?如果在交割期期貨價格高于現(xiàn)貨價格，則存在如下套利機會賣空期貨合約買入資產(chǎn)交割如果在交割期期貨價格低于現(xiàn)貨價格，則存在如下套利機會買入期貨合約賣出資產(chǎn)交割第二十二頁，共八十五頁。?2.2期貨價格和期望現(xiàn)貨價格futurespricesandtheexpectedfuturespotprice當期貨價格小于期望現(xiàn)貨價格時，稱為現(xiàn)貨溢價(normalbackwardation)當期貨價格大于期望現(xiàn)貨價格時，稱為期貨溢價（contango)第二十三頁，共八十五頁。?期貨頭寸中的風險一個投機者持有期貨合約多頭頭寸，希望在到期日資產(chǎn)價格將高于期貨價格。假設他在時間把期貨價格的現(xiàn)值投資在無風險債券同時持有期貨合約多頭頭寸。如果把期貨合約當作交割日為的遠期合約，則投機者的現(xiàn)金流為：：（資產(chǎn)在時間的價格）第二十四頁，共八十五頁。?該投資的目前值這里是與投資風險相關的折現(xiàn)率，依賴于投資的系統(tǒng)風險如果證券市場上所有的投資機會的凈現(xiàn)值為0，則或者第二十五頁，共八十五頁。?如果與市場證券組合不相關，則如果與市場證券組合正相關，則如果與市場證券組合負相關，則第二十六頁，共八十五頁。?3.遠期合約的定價注意投資型標的物與消費型標的物的區(qū)分，投資型標的物的遠期價格和期貨價格能夠確定，而消費型標的物的不能確定。投資型資產(chǎn)消費型資產(chǎn)第二十七頁，共八十五頁。?遠期合約的定價相對容易，沒有每天結算對許多標的物相同的遠期合約和期貨合約而言，如果到期日相同，則它們的價格非常接近。先給出遠期合約一般定價公式，再給出期貨的一般價格公式第二十八頁，共八十五頁。?首先研究投資型標的物的遠期合約，再研究消費型標的物的遠期合約第二十九頁，共八十五頁。?投資型標的物遠期合約的一般定價公式分為三步標的證券不提供紅利標的證券提供確定的現(xiàn)金紅利標的證券提供確定的紅利收益率第三十頁，共八十五頁。?符號：遠期合約到期日（年）：現(xiàn)在的時間（年）：標的物在時間的價格：標的物在時間的價格（在時間未知）：交割價格：遠期合約在時間的價值第三十一頁，共八十五頁。?：時間的遠期價格：時間和之間的利率第三十二頁，共八十五頁。?3.1投資型標的物遠期合約定價：

標的證券不提供紅利例子：假設一種不支付紅利股票今天的價格是25元，假設利率是7%（以復利計算）。確定以該股票為標的物，還有6個月到期的遠期合約的遠期價格。第三十三頁，共八十五頁。?構造策略：以利率7%借入25元買一份股票，以為交割價格寫一份6個月到期的遠期合約成本為06個月后股票S(0.5)遠期合約-[S(0.5)-]還貸-25第三十四頁，共八十五頁。?在得到遠期價格的同時，合成構造了遠期合約。(Thecash-andcarrystrategy)(1)buythestockthroughborrowing(cash)(2)holdituntilthedeliverydateoftheforwardcontract(carry)Thisstrategyreplicatestheforwardcontract’scashflowsatthedeliverdate.第三十五頁，共八十五頁。?Itgeneratestotalownershipofthestockatthedeliverydatewhentheborrowingispaidoff.The“purchaseprice”atmaturityisdeterminedatthestrategyisinitiated.第三十六頁，共八十五頁。?一般公式遠期價格和現(xiàn)貨價格之間的關系為Thisiscalledthecash-and-carryrelationshipbetweenthespotandforwardprice,animplicationofwhichisthatwhentherearenocashflowsontheunderlyingasset,theforwardpriceisneverlessthanthespotprice.第三十七頁，共八十五頁。?證明：第三十八頁，共八十五頁。?例子：考慮以不支付紅利股票為標的物的遠期合約，3個月到期。假設股票價格為40元，3個月的利率為5%（以年為單位表示，連續(xù)復利），遠期價格為第三十九頁，共八十五頁。?如果遠期價格的報價是41.50元，如何構造套利機會第四十頁，共八十五頁。?遠期合約的價值為原始合約在簽定以后和到期日之前的價值依賴于和它有相同到期日的新的合約的新遠期價格遠期合約的價值可正可負第四十一頁，共八十五頁。?證明：證券組合A:買入遠期合約，投資在無風險證券證券組合B:買入標的物第四十二頁，共八十五頁。?例子：以1年到期純折現(xiàn)債券為標的物的6個月到期的遠期合約的交割價格為950元，假設6個月利率為6%（以年為單位表示，連續(xù)復利），現(xiàn)在債券價格為930元，遠期合約的價值為第四十三頁，共八十五頁。?3.2投資型標的物遠期合約定價：

標的證券提供確定的現(xiàn)金紅利Iftheunderlyingassethasknowncashflowsoverthelifeoftheforwardcontractsuchasadividendorinterestpayment,itwillaffecttheforwardpricebecauseownershipofaforwardcontractdoesnotentitletheholdertotheasset’scashflows.However,ownershipoftheunderlyingassetdoes.Thecurrentvalueoftheassetreflectsthepresentvaluesofallfuturecashflows.第四十四頁，共八十五頁。?投資型標的物遠期合約定價：

標的證券提供確定的現(xiàn)金紅利例子：12個月到期的國庫券，價格為1021.39，年息率為10%，每半年支付一次。假設6個月的簡單利率為7.18%，9個月的簡單利率為7.66%，12個月的簡單利率為7.90%，求以此國庫券為標的物、9個月到期的遠期合約的遠期價格。第四十五頁，共八十五頁。?時間0策略1：以價格1021.39購買國庫券借入利息的現(xiàn)值，借期6個月總成本=1021.39-50/(1+0.0718*0.5)策略2：買入遠期價格為F的9個月遠期合約把遠期價格的現(xiàn)值投資在無風險債券總成本=F/(1+0.0766*0.75)第四十六頁，共八十五頁。?到期日策略1：國庫券的市值策略2：國庫券的市值第四十七頁，共八十五頁。?一般結論假設現(xiàn)金紅利的現(xiàn)值為遠期價格和現(xiàn)貨價格之間的關系為第四十八頁，共八十五頁。?證明：第四十九頁，共八十五頁。?例子：10個月到期的遠期合約，標的股票的價格為50元，利率為8%。3個月、6個月、9個月各分紅0.75元。紅利的現(xiàn)值為第五十頁，共八十五頁。?證明：證券組合A:買入遠期合約，投資在無風險證券證券組合B:買入標的物，以無風險利率借入第五十一頁，共八十五頁。?例子：5年到期債券的價格為900元。假設以它為標的物的遠期合約的交割價格為910元，1年到期。6個月、12個月各支付利息為60元，6個月、12個月的利率各為9%、10%。第五十二頁，共八十五頁。?3.3投資型標的物遠期合約定價：

標的證券提供確定的紅利收益率假設標的資產(chǎn)支付已知紅利收益率（dividendyield)，即，當把紅利表示成資產(chǎn)價格的百分比時，這個比例是已知的。第五十三頁，共八十五頁。?首先假設紅利收益率以年率連續(xù)支付例如：假設為5%，即紅利收益率為每年5%，當資產(chǎn)價格為10元時，在下一個小時間區(qū)間以每年50分的比例支付。第五十四頁，共八十五頁。?例子：6個月遠期合約，標的證券的連續(xù)紅利率為4%。無風險利率為10%。股票價格為25元。第五十五頁，共八十五頁。?考慮如下的策略：（1）買入份資產(chǎn)，把在到期日前任何時間獲得的紅利重投資在標的資產(chǎn)上（2）賣空一份以一份標的資產(chǎn)為標的物的遠期合約時間0的成本到期日的收入第五十六頁，共八十五頁。?一般情形假設紅利以年率連續(xù)支付遠期價格和現(xiàn)貨價格之間的關系為第五十七頁，共八十五頁。?Whenthedividendyieldiscontinuous,butvariesthroughoutthelifeoftheforwardcontract,shouldbesettotheaveragedividendyieldduringthelifeofthecontract.Theequationcanalsobeusedinsituationwherethereisaknowndividendyield,butitispaidatdiscretepointsintime.Itisnecessarytofindthecontinuousdividendyieldthatisequivalenttothediscretedividendyield.第五十八頁，共八十五頁。?股票指標期貨的價格大多數(shù)指標可以看成支付紅利的證券，證券是組成指標的所有證券形成的證券組合，紅利為持有該證券組合所獲得的紅利。假設是紅利收益率，期貨價格為第五十九頁，共八十五頁。?例子：以S&P500為標的物的三個月到期的遠期合約。假設指標每年的紅利收益率為3%，指標現(xiàn)在的值為900，連續(xù)復利的無風險年利率為8%第六十頁，共八十五頁。?外匯遠期合約Aforeigncurrencyhasthepropertythattheholderofthecurrencycanearninterestattheriskfreeinterestrateprevailingintheforeigncountry.Aforeigncurrencycanberegardedasaninvestmentassetpayingaknowndividendyield.The‘dividendyield’istheriskfreerateofinterestintheforeigncurrency.第六十一頁，共八十五頁。?例子：假設美元和日元的國內(nèi)六個月利率各為5%和1%（以年利率表示）。現(xiàn)在日元/美元的匯率為100。求美國國內(nèi)投資者持有的遠期合約的價格第六十二頁，共八十五頁。?策略：以利率5%借入美元利用該筆現(xiàn)金購買日元，以日元利率投資賣空以1日元為標的物的遠期合約成本為0到期日收入為0第六十三頁，共八十五頁。?

假設是現(xiàn)在1美元的人民幣價格，是遠期合約的交割價格，是國內(nèi)利率，是美國利率，遠期合約的價值為遠期價格為interestrateparityrelationship近似的期貨合約價格第六十四頁，共八十五頁。?證明：證券組合A:買入遠期合約，投資在無風險證券證券組合B:買入數(shù)量為的美元第六十五頁，共八十五頁。?其次，假設紅利收益率是已知的，但不是常數(shù)，這時，等于遠期合約有效期內(nèi)平均紅利收益率。第六十六頁，共八十五頁。?最后，公式適用于任何紅利收益率已知的環(huán)境，不管是連續(xù)還是離散。如果是時間0和T之間的離散紅利，定義等價的連續(xù)紅利為第六十七頁，共八十五頁。?例子：考慮以某股票為標的物的6個月到期的遠期合約，股票在第1、4個月的紅利收益率為4%，無風險利率為6%，股票現(xiàn)在的價格為80元第六十八頁，共八十五頁。?3.4投資型標的物遠期合約定價：一般結果遠期合約價值和交割價格以及現(xiàn)在的遠期價格之間的關系為Wecanvaluealongforwardcontractonanassetbyassumingthatthepriceoftheassetatthematurityofaforwardcontractistheforwardprice,F.第六十九頁，共八十五頁。?證明：第七十頁，共八十五頁。?3.5商品遠期合約的遠期價格投資型商品：黃金、白銀消費型商品：石油Arbitrageargumentscanbeusedtoobtainexactfuturespricesinthecaseofinvestmentcommodities,butcanonlygiveanupperboundtofuturespricesinthecaseofconsumption.第七十一頁，共八十五頁。?投資型商品黃金和白銀：假設為儲藏成本的現(xiàn)值，儲藏成本可以視為負的收入，遠期價格為第七十二頁，共八十五頁。?策略：第七十三頁，共八十五頁。?例子：考慮1年的黃金遠期合約。假設每年的儲藏成本為2美元/盎司，在每年的年末支付。黃金的現(xiàn)貨價格為450美元/盎司，利率為7%。第七十四頁，共八十五頁。?

如果遠期價格為480美元，如何構造套利機會借錢450元買1盎司黃金，賣一份遠期合約。在到期日黃金價值S(T)遠期合約 -(S(T)-480)支付儲藏成本-2還債-450凈利潤第七十五頁，共八十五頁。?消費型商品一般商品的遠期合約第七十六頁，共八十五頁。?證明：第七十七頁，共八十五頁。?便利收益(convenienceyields)Usersofthecommoditymustfeelthattherearebenefitsfromownershipofthephysicalcommoditythatarenotobtainedbytheholderofaforwardcontract.Thesebenefitsmayincludetheabilitytokeepaproductionprocessrunning.第七十八頁，共八十五頁。?Aconsumptionas