華師大版九年級下第27章圓2圓的認(rèn)識2圓的對稱性-“黃岡杯”一等獎

《圓的對稱性》同步練習(xí)一、選擇題1.烏鎮(zhèn)是著名的水鄉(xiāng)，如圖，圓拱橋的拱頂?shù)剿娴木嚯xCD為8m，水面寬AB為8m，則橋拱半徑OC為（） 2.如圖，在半徑為10的⊙O中，AB，CD是互相垂直的兩條弦，垂足為P，且AB＝CD＝16，則OP的長為（） 3.已知圓中兩條平行的弦之間距離為1，其中一弦長為8，若半徑為5，則另一弦長為（） 或2 D.以上說法都不對4.如圖，在△ABC中，∠B＝45°，CE是AB邊上的高，且BE＝4，AE＝2，以點A為圓心，AC為半徑作圓弧，交BC于點D，則BD的長為（） C. D.5.如圖，AB，BC是⊙O的弦，∠ABC＝90°，OD，OE分別垂直AB，BC于點D，E，若AD＝3，CE＝4，則⊙O的半徑長為（） 6.如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝10，P是半徑OA上的一動點，PC⊥AB交⊙O于點C，在半徑OB上取點Q，使得OQ＝CP，DQ⊥AB交⊙O于點D，點C，D位于AB兩側(cè)，連接CD交AB于點F，點P從點A出發(fā)沿AO向終點O運動，在整個運動過程中，△CFP與△DFQ的面積和的變化情況是（）A.一直減小 B.一直不變 C.先變大后變小 D.先變小后變大7.如圖，直線y＝﹣x+4與x軸、y軸分別交于D，C兩點，P是直線CD上的一個動點，⊙A的圓心A的坐標(biāo)為（﹣4，﹣4），半徑為，直線PO與⊙A相交于M，N兩點，Q是MN的中點.當(dāng)OP＝t，OQ＝S，則S與t的函數(shù)圖象大致為（）A. B. C. D.8.如圖，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中點，且OM＝3，則⊙O的半徑等于（） 9.如圖，MN是⊙O的直徑，點A是半圓上的三等分點，點B是劣弧AN的中點，點P是直徑MN上一動點。若MN＝2，AB＝1，則△PAB周長的最小值是（）+1 B.+1 10.如圖，將沿弦AB翻折過圓心O點，交弦AC于D，AD＝1，CD＝2，則AB長為（）A. B. C. D.二、填空題11.如圖，在⊙O中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點P為上任意一點，連接PA，PB，PC，則線段PA，PB，PC之間的數(shù)量關(guān)系為。12.如圖，⊙O的半徑OA垂直于弦BC，垂足是D，OA＝5，AD：OD＝1：4，則BC的長為。13.如圖，AB為⊙O直徑，AB＝4，C為OA中點，則過C點的最短弦長為。14.如圖，AC＝1，∠BAC＝60°，弧BC所對的圓心角為60°，且AC⊥弦BC.若點P在弧BC上，點E、F分別在AB、AC上.則PE+EF+FP的最小值為。15.如圖所示，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，弧BC所對的圓心角為60°，點P、E、F分別是弧BC、線段AB和線段AC上的動點，則PE+EF+FP的最小值為。三、解答題16.如圖，有一座拱橋是圓弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米。（1）求圓弧所在的圓的半徑r的長；（2）當(dāng)洪水泛濫到跨度只有30米時，要采取緊急措施，若拱頂離水面只有4米，即PE＝4米時，是否要采取緊急措施？17.如圖，在直角△ABC中，∠C＝90°，以點C為圓心，BC為半徑的圓交AB于點D，交AC于點E。（1）若∠A＝25°，求弧DE的度數(shù)；（2）若BC＝2，AC＝6，求BD的長。18.如圖，線段AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點H，P是上任意一點，AH＝2，CH＝4。（1）求⊙O的半徑r的長度；（2）求sin∠CPD。19.圖1是某奢侈品牌的香水瓶.從正面看上去（如圖2），它可以近似看作⊙O割去兩個弓形后余下的部分與矩形ABCD組合而成的圖形（點B、C在⊙O上），其中BC∥EF；從側(cè)面看，它是扁平的，厚度為。（1）已知⊙O的半徑為，BC＝2cm，AB＝，EF＝，求香水瓶的高度h。（2）用一張長22cm、寬19cm的矩形硬紙板按照如圖3進(jìn)行裁剪，將實線部分折疊制作成一個底面積為SMNPQ＝9cm2的有蓋盒子（接縫處忽略不計）。請你計算這個盒子的高度，并且判斷上述香水瓶能否裝入這個盒子里。20.如圖，已知AB是圓O的直徑，弦CD⊥AB，垂足H在半徑OB上，AH＝5，CD＝，點E在弧AD上，射線AE與CD的延長線交于點F。（1）求圓O的半徑；（2）如果AE＝6，求EF的長。

參考答案一、選擇題1.【分析】連接OA，設(shè)OB＝OC＝x，則OD＝8﹣x，根據(jù)垂徑定理得出BD，然后根據(jù)勾股定理得出關(guān)于x的方程，解方程即可得出答案?！窘獯稹拷猓哼B接BO，由題意可得：AD＝BD＝4m，設(shè)B半徑OC＝xm，則DO＝（8﹣x）m，由勾股定理可得：x2＝（8﹣x）2+42，解得：x＝5。故選：B。【點評】此題考查了垂徑定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意做出輔助線，用到的知識點是垂徑定理、勾股定理。2.【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，連接OP，OB，OD，首先利用勾股定理求得OM的長，然后判定四邊形OMPN是正方形，求得正方形的對角線的長即可求得OP的長?！窘獯稹拷猓鹤鱋M⊥AB于M，ON⊥CD于N，連接OP，OB，OD，∵AB＝CD＝16，∴BM＝DN＝8，∴OM＝ON＝＝6，∵AB⊥CD，∴∠DPB＝90°，∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，∴∠OMP＝∠ONP＝90°∴四邊形MONP是矩形，∵OM＝ON，∴四邊形MONP是正方形，∴OP＝＝6.故選：B?！军c評】本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵。3.【分析】如圖，分CD＝8和AB＝8這兩種情況，利用垂徑定理和勾股定理分別求解可得?！窘獯稹拷猓喝鐖D，①若CD＝8，則CF＝CD＝4，∵OC＝OA＝5，∴OF＝3，∵EF＝1，∴OE＝2，則AE＝，∴AB＝2AE＝2；②若AB＝8，則AE＝AB＝4，∵OA＝OC＝5，∴OE＝3，∵EF＝1，∴OF＝4，則CF＝3，∴CD＝2CF＝6；綜上，另一弦長為6或2，故選：C?！军c評】本題主要考查垂徑定理，解題的關(guān)鍵是掌握垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。4.【分析】先根據(jù)△BEC是等腰直角三角形計算BC的長為4，作輔助線構(gòu)建：△AFB是等腰直角三角形，計算BF的長，可得FC的長，可得結(jié)論。【解答】解：∵CE是AB邊上的高，∴∠BEC＝90°，∵∠B＝45°，BE＝4，∴CE＝4，∴BC＝＝4，過A作AF⊥BC于F，則DF＝CF，∵AB＝AE+BE＝2+4＝6，∠B＝45°，∴△AFB是等腰直角三角形，∴BF＝3，∴CF＝DF＝4﹣3＝，∴BD＝4﹣2＝2，故選：C?！军c評】此題主要考查了垂徑定理，勾股定理和等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦。5.【分析】連接OB，由OD⊥AB，OE⊥BC知∠ODB＝∠OEB＝90°，AD＝BD＝3，CE＝BE＝4，再證四邊形ODBE是矩形得OD＝BE＝4，繼而根據(jù)勾股定理可得答案?！窘獯稹拷猓喝鐖D，連接OB，∵OD⊥AB，OE⊥BC，∴∠ODB＝∠OEB＝90°，AD＝BD＝3，CE＝BE＝4，∵∠ABC＝90°，∴四邊形ODBE是矩形，∴OD＝BE＝4，則OB＝＝＝5，∴⊙O的半徑長為5，故選：C?！军c評】本題主要考查垂徑定理，解題的關(guān)鍵是掌握垂徑定理及矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識點。6.【分析】連接OC，OD，PD，CQ.設(shè)PC＝x，OP＝y(tǒng)，OF＝a，利用分割法求出陰影部分的面積，再求出a＝y(tǒng)﹣x即可判斷；【解答】解：連接OC，OD，PD，CQ.設(shè)PC＝x，OP＝y(tǒng)，OF＝a，∵PC⊥AB，QD⊥AB，∴∠CPO＝∠OQD＝90°，∵PC＝OQ，OC＝OD，∴Rt△OPC≌Rt△DQO，∴OP＝DQ＝y(tǒng)，∴S陰＝S四邊形PCQD﹣S△PFD﹣S△CFQ＝（x+y）2﹣?（y﹣a）y﹣（x+a）x＝xy+a（y﹣x），∵PC∥DQ，∴＝，∴＝，∴a＝y(tǒng)﹣x，∴S陰＝xy+（y﹣x）（y﹣x）＝（x2+y2）＝故選：B?！军c評】本題考查勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會用分割法求面積，屬于中考選擇題中的壓軸題。7.【分析】作輔助線，構(gòu)建相似三角形，先證明AQ⊥MN，AO⊥CD，證明∠AOQ∽△POG，得，代入可得S＝，是反比例函數(shù)，可得選項C、D不正確；根據(jù)特殊值t＝2時，此時，直線OP過圓心A，此時Q與A重合，此種情況成立，可得結(jié)論?！窘獯稹拷猓哼B接AO，并延長交直線CD于G，連接AQ，∵Q是MN的中點?！郃Q⊥MN，∵A的坐標(biāo)為（﹣4，﹣4），∴直線AO：y＝x，AO＝4，∵直線CD：y＝﹣x+4，∴AO⊥CD，∴∠AQO＝∠OGP＝90°，∵∠AOQ＝∠POG，∴∠AOQ∽△POG，∴，當(dāng)x＝0時，y＝4，當(dāng)y＝0時，x＝4，∴OC＝OD＝4，∴OG＝CD＝2，∵OP＝t，OQ＝S，∴，S＝，故選項C、D不正確；當(dāng)OP＝2時，即S＝OQ＝4，t＝2，直線OP過圓心A，此時Q與A重合，此種情況成立，故選項B不正確；故選：A?！军c評】本題考查了圓和函數(shù)的綜合題：熟練掌握直線與圓的位置關(guān)系、一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)等是解決問題的關(guān)鍵；運用相似三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理是解決幾何計算常用的方法；對于綜合題一般采用各個擊破的方式解決。8.【分析】連接OA，根據(jù)垂徑定理求出OM⊥AB，求出AM長，根據(jù)勾股定理求出OA即可?！窘獯稹拷猓哼B接OA，∵⊙O的弦AB＝8，M是AB的中點，OM過O，∴AM＝BM＝4，OM⊥AB，∴由勾股定理得：OA＝＝＝5，故選：C?！军c評】本題考查了勾股定理、垂徑定理，能構(gòu)造直角三角形是解此題的關(guān)鍵，注意：垂直于弦的直徑平分這條弦。9.【分析】本題是要在MN上找一點P，使PA+PB的值最小，設(shè)A′是A關(guān)于MN的對稱點，連接A′B，與MN的交點即為點P.此時PA+PB＝A′B是最小值，可證△OA′B是等腰直角三角形，從而得出結(jié)果。【解答】解：作點A關(guān)于MN的對稱點A′，連接A′B，交MN于點P，連接OA′，OA，OB，PA，AA′，∵點A與A′關(guān)于MN對稱，點A是半圓上的一個三等分點，∴∠A′ON＝∠AON＝60°，PA＝PA′，∵點B是弧AN的中點，∴∠BON＝30°，∴∠A′OB＝∠A′ON+∠BON＝90°，又∵OA＝OA′＝，∴A′B＝2?！郟A+PB＝PA′+PB＝A′B＝2，∴△PAB周長的最小值是2+1＝3，故選：D?！军c評】本題結(jié)合圖形的性質(zhì)，考查軸對稱﹣﹣最短路線問題。其中求出∠BOC的度數(shù)是解題的關(guān)鍵。10.【分析】求出△CDB為等邊三角形，求出BE和DE的長，求出AE，再根據(jù)勾股定理求出AB即可?！窘獯稹拷猓哼^點O作OF⊥AB于F，過點B作BE⊥AC于E，連接OA、OB、BD、BC，∵OF＝OA，∴∠AOF＝∠BOF＝60°，∴∠ADB＝∠AOB＝120°，∠ACB＝∠AOB＝60°，∴∠CDB＝∠ACB＝60°，∴△CDB為等邊三角形，∵CD＝2，∴DE＝1，BE＝，∴AB＝＝＝，故選：D?！军c評】本題考查了勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)和判定，圓周角定理和垂徑定理，能構(gòu)造直角三角形是解此題的關(guān)鍵，注意：垂直于弦的直徑平分這條弦。二、填空題11.【分析】如圖作AE⊥PC于E，AF⊥PB交PB的延長線于F，證明Rt△AEC≌Rt△AFB（HL），可得BF＝CE，證明Rt△APF≌Rt△APE（HL），可得PF＝PE，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可解決問題；【解答】解：如圖作AE⊥PC于E，AF⊥PB交PB的延長線于F。∵BC是直徑，∴∠BAC＝∠EPF＝90°，∵AB＝AC，∴＝，∴∠APF＝∠APC，∵AE⊥PC，AF⊥PF，∴AE＝AF，∵∠F＝∠AEC＝90°，∴Rt△AEC≌Rt△AFB（HL），∴BF＝CE，∵∠AFP＝∠AEP＝90°，AP＝AP，AF＝AE，∴Rt△APF≌Rt△APE（HL），∴PF＝PE，∴PB+PC＝PF﹣BF+PE+EC＝2PE，∵∠APC＝∠ABC＝45°，∴△APE是等腰直角三角形，∴PA＝PE，∴PE＝PA，∴PB+PC＝PA。故答案為PB+PC＝PA?！军c評】本題考查圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型。12.【分析】連接OB，根據(jù)垂徑定理得出BC＝2BD，根據(jù)勾股定理求出BD即可?！窘獯稹拷猓哼B接OB，∵OA＝5，AD：OD＝1：4，∴AD＝1，OD＝4，OB＝5，在Rt△ODB中，由勾股定理得：OB2＝OD2+BD2，52＝42+BD2，解得：BD＝3，∵OD⊥BC，OD過O，∴BC＝2BD＝6，故答案為：6。【點評】本題考查了垂徑定理和勾股定理，能根據(jù)垂徑定理求出BC＝2BD是解此題的關(guān)鍵。13.【分析】先畫出圖形，根據(jù)勾股定理求出EC，再根據(jù)垂徑定理求出EF＝2EC即可?！窘獯稹拷猓哼^C作弦EF⊥AB，連接OE，則弦EF是過C點的最短的弦，∵直徑AB＝4，C為OA中點，∴OC＝1，OE＝2，在Rt△OCE中，由勾股定理得：EC＝＝＝，根據(jù)垂徑定理得：EF＝2EC＝2，故答案為：2?！军c評】本題考查了勾股定理和垂徑定理，能根據(jù)垂徑定理求出EF＝2EC是解此題的關(guān)鍵，注意：垂直于弦的直徑平分這條弦。14.【分析】連接AP，OP，OA.分別以AB、AC所在直線為對稱軸，作出P關(guān)于AB的對稱點為M，P關(guān)于AC的對稱點為N，連接MN，交AB于點E，交AC于點F，連接PE、PF，所以AM＝AP＝AN，設(shè)AP＝r，易求得：MN＝r，所以PE+EF+PF＝ME+EF+FN＝MN＝r，即當(dāng)AP最小時，PE+EF+PF可取得最小值?！窘獯稹拷猓哼B接AP，O，OA。分別以AB、AC所在直線為對稱軸，作出P關(guān)于AB的對稱點為M，P關(guān)于AC的對稱點為N，連接MN，交AB于點E，交AC于點F，連接PE、PF?！郃M＝AP＝AN，∵∠MAB＝∠PAB，∠NAC＝∠PAC，∵∠BAC＝∠PAB+∠PAC＝∠MAB+∠NAC＝60°，∴∠MAN＝120°∴M、P、N在以A為圓心，AP為半徑的圓上，設(shè)AP＝r，易求得：MN＝r，∵PE＝ME，PF＝FN，∴PE+EF+PF＝ME+EF+FN＝MN＝r，∴當(dāng)AP最小時，PE+EF+PF可取得最小值∵AP+OP≥OA，∴AP≥OA﹣OP，即點P在OA上時，AP可取得最小值，在Rt△ABC中，∵AC＝1，∠BAC＝60°，∴BC＝，∵∠BOC＝60°，OB＝OC，∴△OBC是等邊三角形，∴OC＝BC＝，作OH⊥AC交AC的延長線于H。在Rt△OCH中，∵OC＝，∠OCH＝30°，∴OH＝OC＝，CH＝OH＝，在Rt△AOH中，AO＝＝＝，此時AP＝r＝﹣，∴PE+EF+PF的最小值為﹣3，故答案為﹣3?！军c評】本題考查圓的有關(guān)知識，涉及軸對稱的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定等知識，綜合程度較高，需要學(xué)生靈活運用知識。15.【分析】連接AP，OP，OA.分別以AB、AC所在直線為對稱軸，作出P關(guān)于AB的對稱點為M，P關(guān)于AC的對稱點為N，連接MN，交AB于點E，交AC于點F，連接PE、PF，所以AM＝AP＝AN，設(shè)AP＝r，易求得：MN＝r，所以PE+EF+PF＝ME+EF+FN＝MN＝r，即當(dāng)AP最小時，PE+EF+PF可取得最小值。【解答】解：連接BC，取AB的中點D，連接CD，則AD＝BD＝1，∴AD＝BD＝AC，∵∠BAC＝60°，∴△ADC是等邊三角形，∴CD＝AC＝1，∴CD＝AB，∴∠ACB＝90°，連接AP，O，OA.分別以AB、AC所在直線為對稱軸，作出P關(guān)于AB的對稱點為M，P關(guān)于AC的對稱點為N，連接MN，交AB于點E，交AC于點F，連接PE、PF?！郃M＝AP＝AN，∵∠MAB＝∠PAB，∠NAC＝∠PAC，∵∠BAC＝∠PAB+∠PAC＝∠MAB+∠NAC＝60°，∴∠MAN＝120°∴M、P、N在以A為圓心，AP為半徑的圓上，設(shè)AP＝r，易求得：MN＝r，∵PE＝ME，PF＝FN，∴PE+EF+PF＝ME+EF+FN＝MN＝r，∴當(dāng)AP最小時，PE+EF+PF可取得最小值∵AP+OP≥OA，∴AP≥OA﹣OP，即點P在OA上時，AP可取得最小值，在Rt△ABC中，∵AC＝1，∠BAC＝60°，∴BC＝，∵∠BOC＝60°，OB＝OC，∴△OBC是等邊三角形，∴OC＝BC＝，作OH⊥AC交AC的延長線于H。在Rt△OCH中，∵OC＝，∠OCH＝30°，∴OH＝OC＝，CH＝OH＝，在Rt△AOH中，AO＝＝＝，此時AP＝r＝﹣，∴PE+EF+PF的最小值為﹣3，故答案為：﹣3。【點評】本題考查圓的有關(guān)知識，涉及軸對稱的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定等知識，綜合程度較高，需要學(xué)生靈活運用知識。三、解答題16.【分析】（1）連結(jié)OA，利用r表示出OD的長，在Rt△AOD中根據(jù)勾股定理求出r的值即可；（2）連結(jié)OA′，在Rt△A′EO中，由勾股定理得出A′E的長，進(jìn)而可得出A′B′的長，據(jù)此可得出結(jié)論。【解答】解：（1）連結(jié)OA，由題意得：AD＝AB＝30，OD＝（r﹣18）在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，解得，r＝34；（2）連結(jié)OA′，∵OE＝OP﹣PE＝30，∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，解得：A′E＝16?！郃′B′＝32?！逜′B′＝32＞30，∴不需要采取緊急措施?！军c評】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵。17.【分析】（1）求出∠B的度數(shù)，求出∠B所對的弧的度數(shù)，即可得出答案；（2）根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)割線定理得出比例式，即可得出答案。【解答】解：（1）連接CD，∵∠A＝25°，∴∠B＝65°，∵CB＝CD，∴∠B＝∠CDB＝65°，∴∠BCD＝50°，∴∠DCE＝40°∴的度數(shù)為40°；（2）延長AC交⊙C與點F，∵∠BCA＝90°，BC＝2，AC＝6，∴AB＝2＝5，AE＝6﹣2＝4?！逜B與AF均是⊙C的割線，∴AD?AB＝AE?AF，即2?AD＝4×8，解得AD＝，∴BD＝AB﹣AD＝2﹣＝?！军c評】本題考查了勾股定理，割線定理圓心角、弧、弦之間的關(guān)系的應(yīng)用，能綜合運用知識點進(jìn)行計算是解此題的關(guān)鍵。18.【分析】（1）直接利用勾股定理得出半徑長即可；（2）結(jié)合垂徑定理以及銳角三角三角函數(shù)關(guān)系得出答案。【解答】解：（1）連接OC∵AB⊥CD，