四川省名校聯(lián)盟高三下學(xué)期4月聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題（解析版）

第25頁/共25頁四川省名校聯(lián)盟高三4月聯(lián)考理科數(shù)學(xué)注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，則（）A.2 B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】先求出，根據(jù)的特征求解【詳解】由得，所以，故選：A2.設(shè)集合，，集合中恰好含有2個元素，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)一元二次不等式的解法求出集合，再根據(jù)交集的定義結(jié)合已知即可得解.【詳解】，，因為集合中恰好含有2個元素，所以.故選：B.3.我國古代數(shù)學(xué)家朱世杰所著《四元玉鑒》記載有“鎖套吞容”之“方田圓池結(jié)角池圖”，意思是說，有一塊正方形田地，在其一角有一個圓形的水池（其中圓與正方形一角的兩邊均相切），如圖所示．已知圓O的半徑為2丈，過C作圓O的兩條切線，切點分別為M，N，若，則對角線AC長度為（）A.丈 B.丈C.丈 D.丈【答案】A【解析】【分析】結(jié)合圖形的對稱性和切線的性質(zhì)，通過三角函數(shù)或勾股定理，由丈，，求出，可得對角線AC長度.【詳解】記OC與MN相交于E，過O作AB的垂線，與AB相交于F點，如圖所示，丈，丈，則丈，在中，，則，中，丈，中，丈，，則丈，所以丈.故選：A.4.國家統(tǒng)計局公報顯示繪制出的2017-2021年每年本?？啤⒅械嚷殬I(yè)教育及普通高中的招生人數(shù)（單位：萬）統(tǒng)計圖如下圖所示，則下列關(guān)于2017-2021年說法正確的是（）A.每年本專科、中等職業(yè)教育和普通高中的招生人數(shù)都在增長B.中等職業(yè)教育和普通高中的招生人數(shù)差距最大的年份是2019年C.本?？泼磕甑恼猩藬?shù)增幅最大的年份是2018年D.本?？频恼猩藬?shù)所占比例最高的年份是2021年【答案】D【解析】【分析】根據(jù)柱狀圖的數(shù)據(jù)，逐一分析選項即可得出答案．【詳解】對于A：中等職業(yè)教育2017年招生人數(shù)為582萬人,2018年招生人數(shù)為557萬人，即2017-2018年中等職業(yè)教育招生人數(shù)出現(xiàn)減少，故A錯誤；對于B：2017-2021年中等職業(yè)教育和普通高中的招生人數(shù)差為：218萬人，236萬人，239萬人，231萬人，249萬人，即中等職業(yè)教育和普通高中的招生人數(shù)差距最大的是2021年，故B錯誤；對于C：2018-2021年本?？泼磕甑恼猩藬?shù)增幅為：，，，，即本專科每年的招生人數(shù)增幅最大的年份是2019年，故C錯誤；對于D：2017-2021年本?？频恼猩藬?shù)所占比例為：，，，，，即本?？频恼猩藬?shù)所占比例最高的年份是2021年，故D正確，故選：D．5.已知等比數(shù)列的前n項和為，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先列方程組求得等比數(shù)列的首項和公比的值，進(jìn)而求得其通項公式和前n項和公式.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的首項為，公比為q，則即解之得，則，故選：D6.設(shè)函數(shù)，則曲線在處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為（）A.e B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出切點坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率，得切線方程，分別令，得該切線分別與兩坐標(biāo)軸的交點，可求三角形面積.【詳解】函數(shù)，有，，，切點坐標(biāo)為，切線斜率為，切線方程為，分別令，得該切線分別與兩坐標(biāo)軸交于，兩點，故三角形面積為.故選：C7.函數(shù)的圖象可能為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先判斷出函數(shù)為奇函數(shù)，排除選項C；再利用特值排除選項AB，進(jìn)而得到正確選項D.【詳解】函數(shù)定義域為，則函數(shù)為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點中心對稱，排除選項C；又，排除選項AB；故選：D8.過拋物線的焦點F的直線交拋物線于A，B點，，且，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)，和拋物線的定義得到，，然后根據(jù)，得到直線的傾斜角為，即可得到，最后將點坐標(biāo)代入拋物線方程中求即可.【詳解】過點，作準(zhǔn)線垂線，交準(zhǔn)線與，，過點作，交與點，因為，所以，又因為，所以，，，在直角三角形中，，，所以，即直線的傾斜角為，所以，將點坐標(biāo)代入拋物線方程中可得，解得或（舍去）.故選：C.9.已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)且，在區(qū)間內(nèi)存在最值點，則當(dāng)取得最大值時，滿足的一個值可能為（）A.0 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)單調(diào)區(qū)間長度及最值確定范圍，再求函數(shù)值可能的值.【詳解】在區(qū)間內(nèi)單調(diào)且,,

在區(qū)間內(nèi)存在最值點,,

則當(dāng)取得最大值時，,

可能為,可得.故選:B.10.已知四棱錐的底面ABCD為梯形，，，，，為正三角形，平面平面ABCD，E，F(xiàn)分別為PA，PB的中點，則（）A.平面PADB.PD與平面ABCD所成角的正弦值為C.D.四棱錐的體積為【答案】A【解析】【分析】A選項根據(jù)四邊形為平行四邊形得到，然后利用線面平行的判定定理證明即可；B選項根據(jù)平面平面，得到為直線與平面所成角,然后求正弦值即可；C選項根據(jù)點為中點，得到，不垂直，即可得到，不垂直；D選項根據(jù)椎體體積公式求體積即可.【詳解】A選項：連接，，因為，為，中點，所以，，因為，，，所以，，四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以∥平面，故A正確；B選項：取中點，連接，，因為為正三角形，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，為直線與平面所成角，因為，，所以，，，，故B錯；C選項：連接，因為，，，所以，，在三角形中，點為中點，，所以，不垂直，又因為，所以，不垂直，故C錯；D選項：，故D錯.故選：A.11.已知雙曲線，，為的左、右焦點，，直線與的一支交于點，且，則的離心率最大值為（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可得，由，得，設(shè)，根據(jù)相似可得，代入雙曲線方程，進(jìn)而得到，再結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求解即可.【詳解】由雙曲線，得，由，得，又，設(shè)，則，即，又在雙曲線上，所以，即，即，整理，得，令，，則，因為函數(shù)對稱軸為，在上單調(diào)遞增，所以時，，即，所以.故選：D.12.已知函數(shù)，函數(shù)的圖象與曲線有3個不同的交點，其橫坐標(biāo)依次為，，，設(shè)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將表示為的函數(shù)后，利用換元法和導(dǎo)數(shù)可求其取值范圍.【詳解】因為函數(shù)的圖象與曲線有3個不同的交點，所以有一個解且有兩個不同的解.而，故且，且，故，故，其中.設(shè)，則，設(shè)，，故，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，而，，故在的值域為即的取值范圍為.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量，，，則向量與的夾角為______．【答案】【解析】【分析】由可得，，后由向量夾角的坐標(biāo)表示可得答案.【詳解】，則，則，又，則故答案為：.14.2022年11月29日，神舟十五號載人飛船成功發(fā)射升空，在飛船入軌后未來6個月里，空間站將逐步解鎖、安裝并測試15個科學(xué)實驗機(jī)柜，開展涵蓋空間科學(xué)研究與應(yīng)用、航天醫(yī)學(xué)、航天技術(shù)等領(lǐng)域的40余項空間科學(xué)實驗和技術(shù)試驗．已知此科學(xué)實驗機(jī)柜在投入使用前會進(jìn)行調(diào)試工作，現(xiàn)有8個科學(xué)實驗機(jī)柜，其中包括5個A類型、3個B類型，兩名調(diào)試員計劃共抽取3個機(jī)柜進(jìn)行調(diào)試，則至少有1人抽到B類型機(jī)柜進(jìn)行調(diào)試的概率為______．【答案】【解析】【分析】利用古典概型即可求得至少有1人抽到B類型機(jī)柜進(jìn)行調(diào)試的概率.【詳解】記“至少有1人抽到B類型機(jī)柜進(jìn)行調(diào)試”為事件A，則則至少有1人抽到B類型機(jī)柜進(jìn)行調(diào)試的概率為.故答案為：.15.已知正項數(shù)列的前n項和為，滿足，則______．【答案】18【解析】【分析】根據(jù)題中條件，先求出，再判斷數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而可求出.【詳解】當(dāng)時，由得，即，解得或，因為是正項數(shù)列，所以；當(dāng)時，由得，則，整理得，所以，因此數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，則，所以.故答案為：.16.在直四棱柱中，，，M，N在棱，上，且，，過的平面交于G，則截面的面積為______；若線段上存在一點P，使得，則______．【答案】①.6②.【解析】【分析】作出圖形，根據(jù)線面的相關(guān)性質(zhì)求出截面為平行四邊形，進(jìn)而求出面積，再利用勾股定理求出線段的比值即可.【詳解】取上靠近點的一個四等分點，連接，因為，所以且，則四邊形為平行四邊形，所以且，過點作，連接，過作，連接，因為，所以四邊形為平行四邊形，則且，所以且，則截面為平行四邊形，由直四棱柱的性質(zhì)可得，，，，在中，由余弦定理得，，所以，則截面的面積為；如圖，設(shè)，則，因為，在中，，在中，，則，解得，即，所以，故答案為：；.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．在下列三個條件①，，且；②；③中任選一個，回答下列問題．（1）求A；（2）若，求面積的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）條件①：根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示轉(zhuǎn)化，求得；條件②：根據(jù)正弦定理轉(zhuǎn)化為，求得；條件③：將條件中的余弦轉(zhuǎn)化為正弦，再用正弦定理與余弦定理求得.（2）根據(jù)余弦定理及基本不等式求得面積的最大值．【小問1詳解】選擇條件①，因為，，且，所以，即，所以，由為銳角三角形可知，則，故，，選擇條件②，因，由正弦定理可得，由為銳角三角形可知，所以，則，即，由為銳角三角形可知，故．選擇條件③，因為，所以，即，由正弦定理可得，根據(jù)余弦定理可得，由為銳角三角形可知，故，【小問2詳解】因為，由（1）可得，所以根據(jù)余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，滿足條件．則，故面積的最大值為．18.在三棱錐中，底面ABC是邊長為4的正三角形，側(cè)面底面ABC，，，點E在線段SB上，且．（1）證明：平面ACE；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取AC中點為D，連接SD，BD，由，得到，再由底面ABC是邊長為4的正三角形，得到，進(jìn)而得到平面SBD，則，然后由，得到，利用線面垂直的判定定理證明；（2）由（1）可得DC，DB，DS兩兩垂直，故以D為坐標(biāo)原點，DC，DB，DS所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面SAB的一個法向量為和平面SBC的法向量為，由求解.【小問1詳解】證明：如圖所示：取AC中點為D，連接SD，BD．因為，D為AC中點，所以．又側(cè)面底面ABC，側(cè)面底面，側(cè)面SAC，所以底面ABC，．由于，，則，，由于，則，，因為，所以．又，，，且兩直線在平面SBD內(nèi)，所以平面SBD，且平面SBD，所以．又，且兩直線在平面ACE內(nèi)，所以平面ACE．【小問2詳解】由（1）可得DC，DB，DS兩兩垂直，故以D為坐標(biāo)原點，DC，DB，DS所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面SAB的一個法向量為，則，即，令，則，，即，設(shè)平面SBC的一個法向量為，則，即，令，則，，即，則，，設(shè)二面角的平面角為，則，故二面角的正弦值為．19.錨定2060碳中和，中國能源演進(jìn)“綠之道”，為響應(yīng)綠色低碳發(fā)展的號召，某地在沙漠治理過程中，計劃在沙漠試點區(qū)域四周種植紅柳和梭梭樹用于防風(fēng)固沙，中間種植適合當(dāng)?shù)丨h(huán)境的特色經(jīng)濟(jì)作物，通過大量實驗發(fā)現(xiàn)，單株經(jīng)濟(jì)作物幼苗的成活率為0.8，紅柳幼苗和梭梭樹幼苗成活的概率均為p，且已知任取三種幼苗各一株，其中至少有兩株幼苗成活的概率不超過0.896．（1）當(dāng)p最大時，經(jīng)濟(jì)作物幼苗的成活率也將提升至0.88，求此時三種幼苗均成活的概率（）；（2）正常情況下梭梭樹幼苗栽種5年后，其樹桿地徑服從正態(tài)分布（單位：mm）．㈠梭梭樹幼苗栽種5年后，若任意抽取一棵梭梭樹，則樹桿地徑小于235mm的概率約為多少？（精確到0.001）㈡為更好地監(jiān)管梭梭樹的生長情況，梭梭樹幼苗栽種5年后，農(nóng)林管理員隨機(jī)抽取了10棵梭梭樹，測得其樹桿地徑均小于235mm，農(nóng)林管理員根據(jù)抽檢結(jié)果，認(rèn)為該地塊土質(zhì)對梭梭樹的生長產(chǎn)生影響，計劃整改地塊并選擇合適的肥料，試判斷該農(nóng)林管理員的判斷是否合理？并說明理由．附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布，則，，．【答案】（1）0.5632（2）（1）0.001；（2）答案見解析【解析】【分析】（1）先求得紅柳幼苗和梭梭樹幼苗成活的概率的取值范圍，再利用條件概率公式即可求得三種幼苗均成活的概率；（2）㈠利用正態(tài)分布的性質(zhì)即可求得樹桿地徑小于235mm的概率；㈡答案不唯一，符合概率統(tǒng)計的原理，言之有理即可.【小問1詳解】由題意得，任取三種幼苗各一株，至少有兩株幼苗成活，包括恰有兩株幼苗成活，三株幼苗均成活兩種情況，故概率為，即，解得或（舍去）又，故p的取值范圍為，故p的最大值為0.8，記紅柳和梭梭樹幼苗均成活為事件A，經(jīng)濟(jì)作物幼苗成活為事件B，則有，．故所求概率為．【小問2詳解】㈠設(shè)正常情況下，任意抽取一株梭梭樹，樹桿地徑，由題意可知，因為，所以由正態(tài)分布的對稱性及“”原則可知：．㈡理由①：農(nóng)林管理員的判斷是合理的．如果該地塊土質(zhì)對梭梭樹的生長沒有影響，由（1）可知，隨機(jī)抽取10棵梭梭樹，樹桿地徑都小于235mm的概率約為，為極小概率事件，幾乎不可能發(fā)生，但這樣的事件竟然發(fā)生了，所以有理由認(rèn)為該地塊對梭梭樹的生長產(chǎn)生影響，即農(nóng)林管理員的判斷是合理的．理由②：農(nóng)林管理員的判斷是不合理的．由于是隨機(jī)抽取了10棵梭梭樹，所以不可控因素比較多，例如有可能這10顆樹的幼苗栽培深度較淺，也有可能是自幼苗栽種后的澆水量或澆水頻率不當(dāng)所致．（答案不唯一，言之有理即可）20.已知橢圓的左、右焦點分別為，，A，B為其左、右頂點，M為橢圓上一點，且．（1）求C的離心率；（2）若左焦點到橢圓上的點的最大距離為3，且直線交C于另一點N，已知的面積是的2倍，求直線MN的方程．【答案】（1）（2）或．【解析】【分析】（1）利用題給條件得到出，進(jìn)而求得橢圓C的離心率；（2）先求得橢圓C的方程并設(shè)直線，聯(lián)立二者組成方程組，利用設(shè)而不求的方法求得m的值，進(jìn)而得到直線MN的方程．【小問1詳解】設(shè)，則有，則，又，，則，即，則，解得，故離心率．【小問2詳解】由左焦點到橢圓上的點的最大距離為3可知，又，解得，，則，故橢圓C的方程為．則，設(shè)，，設(shè)點M位于x軸上方，點N位于x軸下方，則，．聯(lián)立，消去x得，，則，，因為，所以，代入可知，則，又，即，結(jié)合橢圓對稱性得，故直線MN的方程為或．21.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)恰有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）討論，時的正負(fù)確定單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，先增后減，只需時恰有兩個零點，當(dāng)時，判斷兩個極值均大于0，不可能有兩個零點.【小問1詳解】因為，定義域為，所以，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減．綜上可知，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．【小問2詳解】因為，，①當(dāng)時，上只有一個零點2，不符合題意；②當(dāng)時，求導(dǎo)得，令，解得或，（?。┊?dāng)時，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，則，要使函數(shù)有兩個零點，必有，即，且，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在一個零點；又因為，因為，則，又，則，，故，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在一個零點，故當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點；（ⅱ）當(dāng)時，函數(shù)有兩個極值點和，因為，，令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以，所以當(dāng)時，，，則當(dāng)時，函數(shù)的兩個極值均大于零，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)最多有一個零點．綜上可得，實數(shù)a的取值范圍為．【點睛】方法點睛：已知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的常用方法（1）分離參數(shù)法：首先分離出參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍．（2）分類討論法：結(jié)合單調(diào)性，先確定參數(shù)分類的標(biāo)準(zhǔn)，在每個小范圍內(nèi)研究零點的個