平衡問(wèn)題探驪

平衡問(wèn)題探驪第1頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一物體平衡的種類穩(wěn)定平衡模型特征O稍微偏離原平衡位置后能回到原位置不穩(wěn)定平衡模型特征稍微偏離原平衡位置后不能回到原位置隨機(jī)平衡模型特征能在隨機(jī)位置保持平衡O平衡位置是位能最低的位置第2頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一判斷物體平衡種類的一般操作對(duì)由重力與支持力作用下的平衡

設(shè)計(jì)一個(gè)元過(guò)程，即設(shè)想對(duì)物體施一微擾，使之稍偏離原平衡位置．

或從能量角度考察受擾動(dòng)后物體重心位置的高度變化，根據(jù)重心是升高、降低還是不變來(lái)判斷物體原本是穩(wěn)定平衡、不穩(wěn)定平衡或是隨遇平衡；

為比較擾動(dòng)前后物體的受力與態(tài)勢(shì)，要作出直觀明晰的圖示；由于對(duì)微擾元過(guò)程作的是“低細(xì)節(jié)”的描述，故常需運(yùn)用合理的近似這一數(shù)學(xué)處理手段．

或從受力角度考察受擾動(dòng)后重力作用點(diǎn)的側(cè)移量，即重力對(duì)擾動(dòng)后新支點(diǎn)的力臂，從而判斷物體原來(lái)的平衡態(tài)屬于哪一種．依問(wèn)題的具體情況，擇簡(jiǎn)而從．第3頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

如圖所示，一個(gè)熟雞蛋的圓、尖兩端的曲率半徑分別為a、b且長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度為l，蛋圓的一端可以在不光滑的水平面上穩(wěn)定直立．求蛋尖的一端可以在一個(gè)半球形的碗內(nèi)穩(wěn)定地直立，碗的半徑r需滿足的條件．

專題3-問(wèn)題1考察質(zhì)心位置的高度變化蛋圓在水平面處穩(wěn)定平衡,應(yīng)滿足BAbaClR低細(xì)節(jié)描述蛋尖在球形碗內(nèi)處穩(wěn)定平衡,應(yīng)滿足微擾情況下α、β為小量，整理得碗的半徑續(xù)解第4頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一MNOα-βCAβBα蛋尖在球形碗內(nèi)處穩(wěn)定平衡,應(yīng)滿足續(xù)解續(xù)解第5頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一考察質(zhì)心位置側(cè)移量蛋處于穩(wěn)定平衡的條件是:重力對(duì)擾動(dòng)后新支點(diǎn)N的力矩可使蛋返回原位，即滿足低細(xì)節(jié)描述碗的半徑第6頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

如圖所示，桿長(zhǎng)l=a+b,質(zhì)心在C點(diǎn),桿的A、B兩端分別支于互相垂直的兩個(gè)光滑斜面上而處于平衡.試問(wèn)在圖示位置時(shí),此桿的平衡是穩(wěn)定平衡、隨遇平衡還是不穩(wěn)定平衡？并證明之.

專題3-問(wèn)題2先研究三力桿平衡時(shí)的幾何位置特點(diǎn):ABabφ0αCO在△BOC中由正弦定理:α證明FAFBG第7頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一證法一:考察質(zhì)心位置的高度變化ABφαCy擾動(dòng)后當(dāng)桿處于與右斜面成夾角φ方位時(shí)已有結(jié)論質(zhì)心C的高度有最大值受擾動(dòng)后桿質(zhì)心降低,屬不穩(wěn)定平衡續(xù)解第8頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一證法二:考慮質(zhì)心對(duì)桿的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心的側(cè)移量φ0αABCO原平衡位置時(shí)桿的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心為O如示擾動(dòng)后桿的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心為O′此時(shí),重力對(duì)O的力矩為0此時(shí),重力對(duì)的力矩使桿繼續(xù)順時(shí)針遠(yuǎn)離原平衡位置!不穩(wěn)定平衡abαα第9頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

如圖所示，課桌面與水平面夾角成α，在桌面上放一支正六棱柱形鉛筆，欲使鉛筆既不向下滾動(dòng)、又不向下滑動(dòng)．試求：⑴在此情況下鉛筆與桌面的靜摩擦因數(shù)μ．⑵鉛筆的軸與斜面母線（斜面與水平面的交線）應(yīng)成多大的角度放置？專題3-問(wèn)題3考慮不滑動(dòng)鉛筆在斜面上恰不滑動(dòng),有摩擦角恰為斜面傾角αφ若滿足筆不會(huì)因滑動(dòng)而破壞平衡!考慮不滾動(dòng)低細(xì)節(jié)描述筆所受重力作用線不超出斜面對(duì)筆的支持面!應(yīng)滿足放置筆時(shí)筆的軸線與斜面母線所成角筆不會(huì)因滾動(dòng)而破壞平衡!第10頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一B1BOAαCa過(guò)筆質(zhì)心的橫截面臨界狀態(tài)下續(xù)解重力作用線第11頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一127

飛檐問(wèn)題：如圖所示，建造屋頂邊緣時(shí)，用長(zhǎng)度為L(zhǎng)的長(zhǎng)方形磚塊，一塊壓著下面一塊并伸出磚長(zhǎng)的1/8，如果不用水泥粘緊，則最多可以堆幾層同樣的磚剛好不翻倒？這樣的幾層磚最多可使屋檐“飛”出多長(zhǎng)？

專題3-問(wèn)題4GL若共堆n層、每塊伸出1/8的磚而恰未翻倒C全nG123n最上1層磚恰不翻倒,最多伸出最上2層磚恰不翻倒,最多伸出2G3G最上3層磚恰不翻倒,最多伸出GG以此類推，7層磚的最大伸出第12頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

如圖所示，一矩形導(dǎo)電線圈可繞其中心軸O轉(zhuǎn)動(dòng)．它處于與軸垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，在磁場(chǎng)的作用下，線框開始轉(zhuǎn)動(dòng)，最后靜止的平面位置是圖中的鞏固練習(xí)1AOBBBOCBODBO選項(xiàng)A不穩(wěn)定平衡選項(xiàng)B穩(wěn)定平衡選項(xiàng)C不穩(wěn)定平衡選項(xiàng)D不穩(wěn)定平衡第13頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

圖中每一系統(tǒng)的兩個(gè)球都用一跨過(guò)滑輪的線聯(lián)結(jié)起來(lái)，問(wèn)每一種情況各屬哪種平衡？鞏固練習(xí)2隨機(jī)平衡穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡給兩小球線繩系統(tǒng)一擾動(dòng),從受力角度考察受擾動(dòng)后,兩小球重力沿繩方向力的合力指向,從而判斷平衡種類!第14頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一llmLαm

如圖所示裝置，它是由一個(gè)長(zhǎng)L的木釘、從木釘上端向左右斜伸出兩個(gè)下垂的、長(zhǎng)為l的細(xì)木桿，以及在木桿的末端裝有質(zhì)量同為m的小重球而組成．木釘及木桿的質(zhì)量可忽略，木桿與木釘間夾角為α，此裝置放在硬質(zhì)木柱上，則l、L、α間應(yīng)當(dāng)滿足______________關(guān)系才能使木釘由垂直位置稍微偏斜后，此裝置只能以O(shè)點(diǎn)為支點(diǎn)擺動(dòng)而不致傾倒．鞏固練習(xí)3為滿足題意即系統(tǒng)處于穩(wěn)定平衡,給系統(tǒng)一擾動(dòng),兩小球重力對(duì)O的力矩應(yīng)能使系統(tǒng)回到原位!原平衡位置時(shí)受一微擾后ααO2mg不能回到原位原平衡位置時(shí)2mg受一微擾后能回到原位第15頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

如圖所示,長(zhǎng)度為2L、粗細(xì)均勻的桿，一端靠在鉛直的墻上，而另一端靠在不動(dòng)的光滑面上．為了使桿即使沒有摩擦仍能在任意位置處于平衡，試寫出這個(gè)表面的橫截線的函數(shù)表達(dá)式Ｙ(x)（桿總是位于垂直于墻面的豎直平面內(nèi)）鞏固練習(xí)4為滿足題意即桿處于隨遇平衡,應(yīng)使桿的重心始終在x軸!OyxC(0,)(x,y)表面的橫截線滿足該表面為橢球面的一部分第16頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

如圖所示,兩個(gè)質(zhì)量分別為m1和m2的小環(huán)能沿著一光滑的輕繩滑動(dòng)．繩的兩端固定于直桿的兩端，桿與水平線成角度θ．在此桿上又套一輕小環(huán)，繩穿過(guò)輕環(huán)并使m1、m2在其兩邊．設(shè)環(huán)與直桿的接觸是光滑的，當(dāng)系統(tǒng)平衡時(shí)，直桿與輕環(huán)兩邊的繩夾角為φ．試證：鞏固練習(xí)5m2θm1同一光滑繩上張力處處相同設(shè)為FT,m1gφφFT兩小環(huán)平衡,分析受力如圖:m2gFT由力矢量三角形:第17頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

一根質(zhì)量為m的均勻桿，長(zhǎng)為L(zhǎng)，處于豎直的位置，一端可繞固定的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)．有兩根水平輕彈簧，勁度系數(shù)相同，把桿的上端拴住，如圖所示，問(wèn)彈簧的勁度系數(shù)k為何值時(shí)才能使桿處于穩(wěn)定平衡？

鞏固練習(xí)6為使桿處于穩(wěn)定平衡,給桿一擾動(dòng),彈簧拉力對(duì)O的力矩應(yīng)大于桿重力矩!mgFT即其中得FT第18頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一如圖所示,一塊厚d的木板位于半徑為R的圓柱上，板的重心剛好在圓柱的軸上方．板與圓柱的一根摩擦因數(shù)為μ．試求板可以處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)的條件．鞏固練習(xí)7RC令板從原平衡位置偏轉(zhuǎn)一小角度αα板處于穩(wěn)定平衡條件是重心升高!以圓柱軸為參照,原板重心高度擾動(dòng)后重心高度α應(yīng)有考慮到且第19頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

如圖所示,用均勻材料制成的浮子，具有兩個(gè)半徑均為R的球冠圍成的外形，像一粒豆子．浮子的厚度h＜2R，質(zhì)量為m1．沿浮子對(duì)稱軸向浮子插入一細(xì)輻條，穿過(guò)整個(gè)厚度．輻條長(zhǎng)l＞h，質(zhì)量為m2．當(dāng)將浮子輻條向上地浸于水中時(shí)，浮子只有少部分沒于水中．浮子的狀態(tài)是穩(wěn)定的嗎？

鞏固練習(xí)8先由同向平行力合成求浮子重力合力作用點(diǎn)－重心位置：Cm1gm2g浮子偏轉(zhuǎn)小角度低細(xì)節(jié)描述浮子為不穩(wěn)定平衡!浮子為隨遇平衡!浮子為穩(wěn)定平衡!至題9第20頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一CC續(xù)解CCC第21頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一OOKDhRKDβαCKO

如圖所示,兒童玩具不倒翁高h(yuǎn)＝21cm，質(zhì)量m＝300g，相對(duì)軸KD對(duì)稱分布．不倒翁的下部是半徑R＝６cm的球面，如果不倒翁放在與水平面成角α＝30°的粗糙面上，當(dāng)它的軸KD與豎直方向傾角β＝45°，則處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)．為了使它在水平面上失去穩(wěn)定平衡，試問(wèn)最少需在頭頂Ｋ加多少塑泥？鞏固練習(xí)9C先求原重心位置：在三角形OCD中運(yùn)用正弦定理：在水平面上：O

DKC不倒翁失去穩(wěn)定平衡條件是重心高于O!Δm第22頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

有一長(zhǎng)為0.2m、截面積為2cm2的均勻細(xì)棒，密度為5×102kg/m3．⑴在細(xì)棒下端釘上一小鐵片（不計(jì)體積），讓細(xì)棒豎立在水面，若細(xì)棒露出水面部分的長(zhǎng)為0.02m，則小鐵片質(zhì)量為多少？⑵不拿去浸在水中的小鐵片，在上端要截去多少長(zhǎng)度，恰好使上端面與水面齊平？⑶要使細(xì)棒豎在水面是穩(wěn)定平衡，下端小鐵片至少要多重?鞏固練習(xí)10⑴分析此時(shí)受力：CM⑵此時(shí)態(tài)勢(shì)為：C1⑶低細(xì)節(jié)描述系統(tǒng)為穩(wěn)定平衡條件是浮心高于合重心!C總至題11第23頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一C總C總C總不穩(wěn)定平衡隨機(jī)平衡穩(wěn)定平衡續(xù)解第24頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一ab

兩個(gè)相同長(zhǎng)方體處于圖示位置．問(wèn)當(dāng)α角為多少時(shí)它們才可能平衡？長(zhǎng)方體與水平面間摩擦因數(shù)為μ，長(zhǎng)方體長(zhǎng)b寬a．長(zhǎng)方體間無(wú)摩擦．鞏固練習(xí)11α分析受力：G系統(tǒng)可能平衡條件是在此條件下,對(duì)右物塊由力矩平衡Gα在此條件下,對(duì)左物塊由力矩平衡綜上第25頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

在互相垂直的斜面上放置一勻質(zhì)桿AB，設(shè)各接觸面的摩擦角均為φ（μ＝tgφ）,求平衡時(shí)桿AB與斜面AO交角θ的范圍．已知斜面BO與水平面交角為α．鞏固練習(xí)12αABOθ三力桿平衡時(shí)的幾何位置特點(diǎn):不穩(wěn)定平衡桿兩端約束力與重力三力匯交當(dāng)θ=α?xí)rαGABOθf(wàn)A=0fB=0續(xù)解結(jié)論:平衡時(shí)桿AB與斜面AO交角θ的范圍為α

第26頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一當(dāng)θ＜α?xí)rαGOABθGφφ-δαfA=fm

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fmφ桿平衡位置與左斜面的夾角θ續(xù)解第27頁(yè)，共32頁(yè)，2023年，2月20日，星期一當(dāng)θ＞α?xí)r