2023屆江蘇宿遷市數學高二第二學期期末考試試題含解析

2022-2023高二下數學模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．對于平面上點和曲線，任取上一點，若線段的長度存在最小值，則稱該值為點到曲線的距離，記作，若曲線是邊長為的等邊三角形，則點集所表示的圖形的面積為（）A． B． C． D．2．某研究性學習小組調查研究學生使用智能手機對學習的影響，部分統(tǒng)計數據如表（參考公式：，其中.）附表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828則下列選項正確的是（）A．有的把握認為使用智能手機對學習有影響B(tài)．有的把握認為使用智能手機對學習無影響C．有的把握認為使用智能手機對學習有影響D．有的把握認為使用智能手機對學習無影響3．若為兩條異面直線外的任意一點，則（）A．過點有且僅有一條直線與都平行B．過點有且僅有一條直線與都垂直C．過點有且僅有一條直線與都相交D．過點有且僅有一條直線與都異面4．已知、分別為雙曲線的左、右焦點，以原點為圓心，半焦距為半徑的圓交雙曲線右支于、兩點，且為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．5．若x，y滿足約束條件，則的最大值為（）A． B．1 C．2 D．46．己知集合，，若，則實數的取值范圍_______.A． B． C． D．7．已知具有線性相關關系的兩個變量，的一組數據如下表：245682040607080根據上表，利用最小二乘法得到關于的線性回歸方程為，則的值為（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.58．設函數，若實數分別是的零點，則（）A． B． C． D．9．在數列中，若，，則（）A．108 B．54 C．36 D．1810．若復數滿足，其中為虛數單位，則（）A． B． C． D．11．已知是虛數單位，則在復平面內對應的點位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．下列5個命題中：①平行于同一直線的兩條不同的直線平行；②平行于同一平面的兩條不同的直線平行；③若直線與平面沒有公共點，則；④用一個平面截一組平行平面，所得的交線相互平行；⑤若，則過的任意平面與的交線都平行于.其中真命題的個數是（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，其中都是實數，是虛數單位，則__________．14．設正方形的中心為，在以五個點、、、、為頂點的三角形中任意取出兩個，則它們面積相等的概率為________15．設，函數f

是偶函數，若曲線

的一條切線的斜率是，則切點的橫坐標為______．16．在上隨機地取一個數，則事件“直線與圓相交”發(fā)生的概率為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.（1）若，求的最小值，并指出此時的取值范圍；（2）若，求的取值范圍.18．（12分）已知函數，為的導函數．（1）證明：在上存在唯一零點．（2）若，恒成立，求的取值范圍．19．（12分）某大學餐飲中心為了了解新生的飲食習慣，在某學院大一年級名學生中進行了抽樣調查，發(fā)現(xiàn)喜歡甜品的占.這名學生中南方學生共人。南方學生中有人不喜歡甜品.（1）完成下列列聯(lián)表：喜歡甜品不喜歡甜品合計南方學生北方學生合計（2）根據表中數據，問是否有的把握認為“南方學生和北方學生在選用甜品的飲食習慣方面有差異”；（3）已知在被調查的南方學生中有名數學系的學生，其中名不喜歡甜品；有名物理系的學生，其中名不喜歡甜品.現(xiàn)從這兩個系的學生中，各隨機抽取人，記抽出的人中不喜歡甜品的人數為，求的分布列和數學期望.附：.0.150.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63520．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.21．（12分）已知集合，其中，集合．若，求；若，求實數的取值范圍．22．（10分）已知正四棱柱中，底面邊長為2，，點在線段上.（1）求異面直線與所成角的大小；（用反三角函數值表示）（2）若直線平面所成角大小為，求多面體的體積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

根據可畫出滿足題意的點所構成的平面區(qū)域；分別求解區(qū)域各個構成部分的面積，加和得到結果.【詳解】由定義可知，若曲線為邊長為的等邊三角形，則滿足題意的點構成如下圖所示的陰影區(qū)域其中，，，，，，又又陰影區(qū)域面積為：即點集所表示的圖形的面積為：本題正確選項：【點睛】本題考查新定義運算的問題，關鍵是能夠根據定義，找到距離等邊三角形三邊和頂點的最小距離小于等于的點所構成的區(qū)域，易錯點是忽略三角形內部的點，造成區(qū)域缺失的情況.2、A【解析】分析：根據列聯(lián)表中數據利用公式求得，與鄰界值比較，即可得到結論.詳解：根據卡方公式求得，，該研究小組有的把握認為中學生使用智能手機對學生有影響，故選A.點睛：獨立性檢驗的一般步驟：（1）根據樣本數據制成列聯(lián)表；（2）根據公式計算的值；(3)查表比較與臨界值的大小關系，作統(tǒng)計判斷.3、B【解析】解：因為若點是兩條異面直線外的任意一點，則過點有且僅有一條直線與都垂直，選B4、A【解析】分析：利用雙曲線的對稱性以及圓的對稱性，求出A的坐標，代入雙曲線方程，然后求解雙曲線的離心率即可.詳解：、分別為雙曲線的左、右焦點，以原點為圓心，半焦距為半徑的圓交雙曲線右支于、兩點，且為等邊三角形，則，代入雙曲線方程可得：，即：，可得，即，可得，.故選：A.點睛：本題考查雙曲線的簡單性質的應用，考查轉化思想以及計算能力.5、D【解析】

已知x，y滿足約束條件，畫出可行域，目標函數z＝y(tǒng)﹣2x，求出z與y軸截距的最大值，從而進行求解；【詳解】∵x，y滿足約束條件，畫出可行域，如圖：由目標函數z＝y(tǒng)﹣2x的幾何意義可知，z在點A出取得最大值，A（﹣3，﹣2），∴zmax＝﹣2﹣2×（﹣3）＝4，故選：D．【點睛】在解決線性規(guī)劃的小題時，常用步驟為：①由約束條件畫出可行域?②理解目標函數的幾何意義，找出最優(yōu)解的坐標?③將坐標代入目標函數，求出最值；也可將可行域各個角點的坐標代入目標函數，驗證，求出最值．6、B【解析】

首先解出集合,若滿足，則當時，和恒成立，求的取值范圍.【詳解】，，即當時，恒成立，即，當時恒成立，即，而是增函數，當時，函數取得最小值，且當時，恒成立，，解得：綜上：.故選：B【點睛】本題考查根據給定區(qū)間不等式恒成立求參數取值范圍的問題，意在考查轉化與化歸和計算求解能力，恒成立問題可以參變分離轉化為求函數的最值問題，如果函數是二次函數可以轉化為根的分布問題，列不等式組求解.7、B【解析】

回歸直線經過樣本中心點.【詳解】樣本中心點為，因為回歸直線經過樣本中心點，所以，.故選B.【點睛】本題考查回歸直線的性質.8、A【解析】由題意得，函數在各自的定義域上分別為增函數，∵，又實數分別是的零點∴，∴，故．選A．點睛：解答本題時，先根據所給的函數的解析式判斷單調性，然后利用判斷零點所在的范圍，然后根據函數的單調性求得的取值范圍，其中借助0將與聯(lián)系在一起是關鍵．9、B【解析】

通過，可以知道數列是公比為3的等比數列，根據等比數列的通項公式可以求出的值.【詳解】因為，所以數列是公比為的等比數列，因此，故本題選B.【點睛】本題考查了等比數列的概念、以及求等比數列某項的問題，考查了數學運算能力.10、A【解析】

由，得，則，故選A.11、A【解析】

分子分母同時乘以，化簡整理，得出，再判斷象限．【詳解】，在復平面內對應的點為（），所以位于第一象限．故選A．【點睛】本題考查復數的基本運算及復數的幾何意義，屬于基礎題.12、C【解析】

根據平行公理判定①的真假；根據線線位置關系，判定②的真假；根據線面平行的概念，判定③的真假；根據面面平行的性質，判斷④的真假；根據線面平行的性質，判斷⑤的真假.【詳解】對于①，根據平行公理，平行于同一直線的兩條不同的直線平行，①正確；對于②，平行于同一平面的兩條不同的直線，可能平行、異面或相交；②錯誤；對于③，根據線面平行的概念，若直線與平面沒有公共點，所以，③正確；對于④，根據面面平行的性質，用一個平面截一組平行平面，所得的交線相互平行，④正確；對于⑤，根據線面平行的性質，若，則過的任意平面與的交線都平行于，⑤正確.故選：C【點睛】本題主要考查線面關系、面面關系相關命題的判定，熟記平面的性質，平行公理，線面位置關系，面面位置關系即可，屬于?？碱}型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

首先進行復數的乘法運算，得到，的值，然后代入求解即可得到結果【詳解】解得，故答案為【點睛】本題是一道關于考查復數概念的題目，熟練掌握復數的四則運算是解題的關鍵，屬于基礎題．14、【解析】

先確定以五個點、、、、為頂點的三角形的個數，再確定從中取出兩個的事件數，從中取出兩個面積相等的事件數，最后根據古典概型概率公式求結果.【詳解】以五個點、、、、為頂點的三角形共有,則從中取出兩個有種方法；因為,因此從中取出兩個面積相等有種方法；從而所求概率為故答案為：【點睛】本題考查古典概型概率以及簡單計數，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.15、【解析】

先根據f(x)為偶函數求得，再由，解得．【詳解】由題意可得f(x)=f(-x),即，變形為為任意x時都成立，所以，所以，設切點為，，由于是R上的單調遞增函數，且．所以．填．【點睛】本題考查函數的奇偶性與單調性及由曲線的斜率求切點橫坐標．16、【解析】試題分析：直線y=kx與圓相交,需要滿足圓心到直線的距離小于半徑，即，解得，而，所以所求概率P=.【考點】直線與圓位置關系；幾何概型【名師點睛】本題是高考?？贾R內容，考查幾何概型概率的計算.本題綜合性較強，具有“無圖考圖”的顯著特點，涉及點到直線距離的計算.本題能較好地考查考生分析問題、解決問題的能力及基本計算能力等.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2).【解析】

（1）根據絕對值的意義求出的范圍即可；（2）問題轉化為當時，，結合函數的性質得到關于的不等式，解出即可.【詳解】（1），當且僅當時取等號，故的最小值為，此時的取值范圍是.（2）時，顯然成立，所以此時；時，由，得.由及的圖象可得且，解得或.綜上所述，的取值范圍是【點睛】該題考查的是有關絕對值不等式的問題，涉及到的知識點有絕對值的意義，絕對值三角不等式，分類討論思想，靈活掌握基礎知識是解題的關鍵.18、（1）詳見解析；（2）.【解析】

(1)求出,設，求,由的單調性及零點存在定理說明在區(qū)間上存在唯一零點,即證得在上存在唯一零點.(2)將恒成立問題,轉化為函數的最值問題,利用導數研究函數的單調性,從而求得最值即可.【詳解】（1）證明：設，則，．令，則．∵當時，，則為增函數，且，，∴存在，使得，∴當時，；當時，．即在上單調遞減，在上單調遞增．又∵，，∴在區(qū)間上存在唯一零點，即在區(qū)間上存在唯一零點．（2）解：當時，；當時，．設，，即，∵，∴，∴在上單調遞減，∴，∴．綜上所述，的取值范圍為．【點睛】本題考查導數的運算、零點存在性定理的應用,以及利用導數證明不等式恒成立問題,難度較大.19、(1)列聯(lián)表見解析.(2)有的把認為“南方學生和北方學生在選甜品的飲食習慣方面有差異”.(3)分布列見解析；.【解析】分析：（1）根據數據填寫表格，（2）根據卡方公式得，再與參考數據比較得可靠率，（3）先列隨機變量可能取法，再利用組合數求對應概率，最后根據數學期望公式求期望.詳解：（1）喜歡甜品不喜歡甜品合計南方學生602080北方學生101020合計7030100（2）由題意，，∴有的把握認為“南方學生和北方學生在選甜品的飲食習慣方面有差異”.（3）的所有可能取值為0，1，2，3，，，，，則的分布列為0123所以的數學期望.點睛：求解離散型隨機變量的數學期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式(常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨立事件的概率積公式，以及對立事件的概率公式等)，求出隨機變量取每個值時的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機變量的數學期望的定義求期望的值.20、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）．【解析】分析：（1）先證明，，再證明平面.(2)利用向量方法求直線與平面所成角的正弦值.詳解：（Ⅰ）因為，平面平面，，所以平面，所以，又因為，所以平面；（Ⅱ）取的中點，連結，，因為，所以.又因為平面，平面平面，所以平面.因為平面，所以.因為，所以.如圖建立空間直角坐標系，由題意得，，，，，.設平面的法向量為，則，即，令，則，.所以.又，所以.所以直線與平面所成角的正弦值為.點睛：（1）本題主要考查線面位置關系的證明，考查直線和平面所成的角的求法，意在考查學生對這些知識的掌握水平和空間想象轉化能力.(2)直線和平面所成的角的求法方法一：（幾何法）找作（定義法）證（定義