復(fù)變函數(shù)詳細(xì)講解

復(fù)變函數(shù)詳細(xì)講解第1頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一浙江大學(xué)第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)第二章解析函數(shù)第三章復(fù)變函數(shù)的積分第四章級(jí)數(shù)第五章留數(shù)第六章保角映射第七章Laplace變換第2頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一浙江大學(xué)第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算復(fù)數(shù)的表示復(fù)數(shù)的乘冪與方根復(fù)平面點(diǎn)集與區(qū)域復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)第3頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一浙江大學(xué)復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算a)復(fù)數(shù)：一對(duì)有序?qū)崝?shù)（x,y），記為z=x+iy規(guī)定：第4頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一浙江大學(xué)b)按上述定義容易驗(yàn)證加法交換律、結(jié)合律乘法交換律、結(jié)合律和分配律均成立。第5頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一浙江大學(xué)c)共軛復(fù)數(shù)：互為共軛復(fù)數(shù)容易驗(yàn)證第6頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一浙江大學(xué)d)復(fù)平面一對(duì)有序?qū)崝?shù)（x，y）平面上一點(diǎn)P復(fù)數(shù)z=x+iyxyz=x+iyO實(shí)軸、虛軸、復(fù)平面Z平面、w平面第7頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一浙江大學(xué)e)復(fù)數(shù)的幾種表示法幾何表示：平面上一矢量與一復(fù)數(shù)z構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)，復(fù)數(shù)的加減與矢量的加減一致。xyO加法運(yùn)算第8頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一浙江大學(xué)xyO減法運(yùn)算第9頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一浙江大學(xué)復(fù)數(shù)的三角形式與指數(shù)形式利用極坐標(biāo)來(lái)表示復(fù)數(shù)z，則復(fù)數(shù)z可表示為三角式：指數(shù)式：復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)的幅角第10頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一浙江大學(xué)討論：復(fù)數(shù)的幅角不能唯一地確定。任意非零復(fù)數(shù)均有無(wú)窮多個(gè)幅角。通常把的幅角稱為Argz的主值。記為2）復(fù)數(shù)“零”的幅角沒(méi)有意義，其模為零。3）當(dāng)r=1時(shí)，復(fù)數(shù)z稱為單位復(fù)數(shù)。利用復(fù)數(shù)的三角形式或指數(shù)形式作乘除法比較方便。第11頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一浙江大學(xué)設(shè)定理注意多值性xyO第12頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一浙江大學(xué)指數(shù)形式表示推廣至有限個(gè)復(fù)數(shù)的乘法第13頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一浙江大學(xué)除法運(yùn)算或者第14頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一浙江大學(xué)例：已知正三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)為求三角形的另一個(gè)頂點(diǎn)。xyO第15頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一浙江大學(xué)復(fù)數(shù)的乘冪n個(gè)相同復(fù)數(shù)z的乘積成為z的n次冪復(fù)數(shù)的方根設(shè)為已知復(fù)數(shù)，n為正整數(shù)，則稱滿足方程的所有w值為z的n次方根，并且記為第16頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一浙江大學(xué)設(shè)則即第17頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一浙江大學(xué)當(dāng)k＝0，1，2，…，n－1時(shí)，得到n個(gè)相異的根：第18頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一浙江大學(xué)例：即第19頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一浙江大學(xué)復(fù)球面與無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)zPN球極平面射影法取一個(gè)在原點(diǎn)O與z平面相切的球面，過(guò)O點(diǎn)作z平面的垂線與球面交于N點(diǎn)（稱為北極或者球極）。P對(duì)于平面上的任一點(diǎn)z，用一條空間直線把它和球極連接起來(lái)，交球面于P。第20頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一浙江大學(xué)從幾何上可以看出：

Z平面上每個(gè)以原點(diǎn)為圓心的圓周對(duì)應(yīng)于球面上的某一個(gè)緯圈，這個(gè)圓周以外的點(diǎn)則對(duì)應(yīng)于相應(yīng)緯圈以北的點(diǎn)，而且若點(diǎn)z的模越大，球面上相應(yīng)的點(diǎn)則越靠近北極N。由此我們引進(jìn)一個(gè)理想“點(diǎn)”與北極N對(duì)應(yīng)。稱之為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)擴(kuò)充復(fù)平面＝復(fù)平面＋約定無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的實(shí)部、虛部及幅角都沒(méi)有意義；另外等也沒(méi)有意義。N第21頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一浙江大學(xué)復(fù)平面點(diǎn)集與區(qū)域（1）鄰域（2）去心鄰域（3）內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)z是點(diǎn)集E的內(nèi)點(diǎn)存在z的某個(gè)r鄰域含于E內(nèi)，即（4）外點(diǎn)點(diǎn)z是點(diǎn)集E的外點(diǎn)存在z的某個(gè)r鄰域不含E內(nèi)的點(diǎn)第22頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一浙江大學(xué)（5）邊界點(diǎn)點(diǎn)z既非E的內(nèi)點(diǎn)，又非E的外點(diǎn)邊界點(diǎn)的任一鄰域無(wú)論多小，都既含有E的內(nèi)點(diǎn)，又同時(shí)含有E的外點(diǎn)。（6）開(kāi)集點(diǎn)集E中的點(diǎn)全是內(nèi)點(diǎn)（7）閉集開(kāi)集的余集空集和整個(gè)復(fù)平面既是開(kāi)集，又是閉集。（8）連通集E中任意兩點(diǎn)可以用一條全在E中的曲線連接起來(lái)。（9）區(qū)域非空的連通開(kāi)集第23頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一浙江大學(xué)（10）有界區(qū)域如果存在正數(shù)M，使得對(duì)于一切D中的點(diǎn)z，有（11）簡(jiǎn)單曲線、光滑曲線點(diǎn)集稱為z平面上的一條有向曲線。則稱D為有界區(qū)域。第24頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一浙江大學(xué)簡(jiǎn)單曲線：簡(jiǎn)單閉曲線：光滑曲線：（12）單連通區(qū)域設(shè)D為復(fù)平面上的區(qū)域，若在D內(nèi)的任意簡(jiǎn)單閉曲線的內(nèi)部仍屬于D，則稱D為單連通區(qū)域，否則稱多連通區(qū)域。沒(méi)有交叉點(diǎn)。第25頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一浙江大學(xué)平面圖形的復(fù)數(shù)表示很多平面圖形能用復(fù)數(shù)形式的方程（或不等式）來(lái)表示；也可以由給定的復(fù)數(shù)形式的方程（或不等式）來(lái)確定所表示的平面圖形。例：Z平面上以原點(diǎn)為中心、R為半徑的圓周方程為Z平面上以z_0為中心、R為半徑的圓周方程為第26頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一浙江大學(xué)例：（1）連接z1和z2兩點(diǎn)的線段的參數(shù)方程為（2）過(guò)兩點(diǎn)z1和z2的直線L的參數(shù)方程為（3）z1、z2，z3三點(diǎn)共線得充要條件為第27頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一浙江大學(xué)例：證明：若|z1|=|z2|=|z3|=1,z1+z2+z3=0,則z1，z2，z3是內(nèi)接于單位圓|z|=1的一個(gè)正三角形的三頂點(diǎn)。證明：由于所以z1，z2，z3位于單位圓上。又得即第28頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一浙江大學(xué)同理可以得到得證。第29頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一浙江大學(xué)例：考察下列方程（或不等式）在平面上所描繪的幾何圖形。（1）該方程表示到點(diǎn)2i和－2距離相等的點(diǎn)的軌跡，所以方程表示的曲線就是連接點(diǎn)2i和－2的線段的垂直平分線，它的方程為y=－x。（2）設(shè)z=x+iy,第30頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一浙江大學(xué)（3）表示實(shí)軸方向與由點(diǎn)i到z的向量之間交角的主值，因此滿足方程的點(diǎn)的全體是自i點(diǎn)出發(fā)且與實(shí)軸正向夾角為45度的一條半射線。（不包括i點(diǎn)）（4）第31頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一浙江大學(xué)例：指出不等式中點(diǎn)z的軌跡所在范圍。解：因?yàn)樗杂谑怯械?2頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一浙江大學(xué)它表示在圓外且屬于左半平面的所有點(diǎn)的集合第33頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一浙江大學(xué)復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)的定義設(shè)D是復(fù)變數(shù)z的一個(gè)集合，對(duì)于D中的每一個(gè)z，按照一定的規(guī)律，有一個(gè)或多個(gè)復(fù)數(shù)w的值與之對(duì)應(yīng)，則稱w為定義在D上的復(fù)變函數(shù)，記做單值函數(shù)f(z):對(duì)于D中的每個(gè)z，有且僅有一個(gè)w與之對(duì)應(yīng)。多值函數(shù)f(z):對(duì)于D中的每個(gè)z，有兩個(gè)或兩個(gè)以上w與之對(duì)應(yīng)。第34頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一浙江大學(xué)定義：我們主要考慮單值函數(shù)f(z)是單射（或一對(duì)一映射）對(duì)于任意f(z)是滿射f(z)是雙射f(z)既是單射，又是滿射。第35頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一浙江大學(xué)例：第36頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一浙江大學(xué)第37頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一浙江大學(xué)第38頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一浙江大學(xué)復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限定義：設(shè)函數(shù)w=f(z)定義在z0的去心鄰域如果有一確定的數(shù)A存在，對(duì)于任意給定的相應(yīng)地必有一正數(shù)使得當(dāng)時(shí)有那么稱A為f(z)當(dāng)z趨向z0時(shí)的極限，記作第39頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一浙江大學(xué)幾何意義：當(dāng)變點(diǎn)z一旦進(jìn)入z0的充分小的去心鄰域時(shí)，它的象點(diǎn)f(z)就落入A的預(yù)先給定的小鄰域內(nèi)。關(guān)于極限的計(jì)算，有下面的定理。注意：z趨于z0的方式是任意的，就是說(shuō)，無(wú)論z從什么方向，以何種方式趨向于z0，f(z)都要趨向于同一個(gè)常數(shù)。第40頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一浙江大學(xué)定理一定理二第41頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一浙江大學(xué)例證明函數(shù)當(dāng)z趨于0時(shí)的極限不存在。解法一令z=x+iy,則所以極限不存在。第42頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一浙江大學(xué)解法2利用復(fù)數(shù)的三角表示式當(dāng)z沿著不同的射線趨于零時(shí)，f(z)趨于不同的值。如極限不存在。第43頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期一浙江大學(xué)函數(shù)的連續(xù)如果那么f(z)在z0處連續(xù)。如果f(z)在D內(nèi)各點(diǎn)都連續(xù)，那么f(z)在D內(nèi)連續(xù)。定理：f(z)在z